MA0003 Ole Jacob Broch Norwegian University of Science and Technology MA0003 p.1/29
Oversikt, torsdag 13/1 Avsnitt 1.3: intervaller og intervallnotasjon definisjons- og verdimengden til en funksjon Avsnitt 1.4: vertikale og horisontale linjer linjer og ligningen y = mx; proporsjonalitet linjer og ligningen y = mx + b; stigningstall ettpunktsformelen: y y 1 = m(x x 1 ) hvordan finne stigningstallet: m = y 2 y 1 x 2 x 1 MA0003 p.2/29
Oversikt, tirsdag 18/1 Avsnitt 1.4: oppgave 30, s. 52 (rette linjer, stigningstall) Avsnitt 1.1: renter og renters rente Avsnitt 1.5: kvadratiske funksjoner (f (x) = ax 2 + bx + c) potensfunksjoner, polynomfunksjoner, rasjonale funksjoner, absoluttverdifunksjoner Trigonometriske funksjoner radianer, sin x, cos x, tan x, periodiske funksjoner MA0003 p.3/29
Oversikt, torsdag 20/1 Ekstra notat: trigonometriske funksjoner periodiske funksjoner radianer sin x, cos x, tan x, Avsnitt 2.1: idéen bak grenser kontinuitet MA0003 p.4/29
Tirsdag 8/2: Avsnitt 2.8 og 2.9 d utvidet potensregel: dx xk = kx k 1 sammensatte funksjoner: f [g (x)], f g (x) kjerneregelen: d dx [f (g (x))] = f (g (x)) g (x), høyere ordens deriverte: ( (f (x)) = f d d y (x), dx dx aksellerasjon: a(t) = v (t) = s (t) d y dx = d y du ) = d2 y dx 2 du dx MA0003 p.5/29
Torsdag 10/2: Avsnitt 3.1, 3.2 og 3.3 kritiske punkt: f (c) = 0 eller f (c) finnes ikkes relative maksimums- og minimumsverdier førstederiverttesten: f (x) skifter fortegn annenderivertesten: f (x) > 0 eller f (x) < 0 vendepunkt: f (x 0 ) skifter fortegn skissering av grafer Muligens også litt om rasjonale funksjoner og asymptoter MA0003 p.6/29
Repetisjon f er voksende i et intervall I hvis f (a) < f (b) når a < b og a, b ligger i I f er avtagende i et intervall I hvis f (a) > f (b) når a < b og a, b ligger i I voksende funksjon avtagende funksjon MA0003 p.7/29
Førstederiverttesten Teorem 3, s.192 La f være en kontinuerlig funksjon som har nøyaktig ett kritisk punkt c i et åpent intervall (a, b). 1. f har et relativt minimum i c hvis f (x) < 0 i (a, c) og f (x) > 0 i (c, b). 2. f har et relativt maksimum i c hvis f (x) > 0 i (a, c) og f (x) < 0 i (c, b). 3. f har verken et relativt maksimum eller et relativt minimum i c hvis f (x) har samme fortegn i (a, c) og (c, b). MA0003 p.8/29
Annenderiverttesten Teorem 5, s.204 Sett at f er en funksjon slik at f (x) finnes for hver x i et åpent intervall (a, b) (i definisjonsmengden), og sett at der er et kritisk punkt c i (a, b) der f (c) = 0. Da er: 1. f (c) en relativ minimumsverdi hvis f (c) > 0 2. f (c) en relativ maksimumsverdi hvis f (c) < 0. Hvis f (c) = 0 kan vi ikke bruke testen, men må bruke førstederiverttesten i stedet for. MA0003 p.9/29
Skissering av grafer (s. 226) For å skissere grafen til en funksjon f må vi tenke på skjæringspunkt med x og y-aksene deriverte kritiske punkt for f (dvs. f (x 0 ) = 0 eller f (x 0 ) finnes ikke) relative maks/min punkt og verdier hvor f (x) > 0 og f (x) < 0 vendepunkt (f (x 0 ) = 0 eller f (x 0 ) finnes ikke) konkavitet (finn intervaller der f (x) > 0 eller f (x) < 0) asymptoter MA0003 p.10/29
Tirsdag 15/2: Avsn. 3.3 og 3.4 asymptoter: vertikale, horisontale og skrå å skissere grafer absolutte maksimums- og minimumsverdier ekstremverdisetningen hvordan finne absolutte maksimums- og minimumsverdier MA0003 p.11/29
Absolutt maks. og min. i [a, b] (1) Teorem 8, s. 236-237 La f være kontinuerlig i et lukket intervall [a, b]. Følg denne oppskriften for å finne de absolutte maksimums- og minimumsverdiene til f i [a, b]: 1. finn f (x) 2. finn de kritiske punktene c til f, dvs. punkt der f (c) = 0 eller der f (c) ikke finnes 3. de punktene som kan gi abs. maks og min er: endepunktene og de kritiske punktene a, c 1, c 2, etc., b. 4. finn verdiene f (a), f (c 1 ),..., f (b). Den største av disse verdiene er den absolutte maksimumsverdien til f i [a, b]. Den minste av disse verdiene er den absolutte minimumsverdien til f i [a, b]. MA0003 p.12/29
Absolutt maks. og min. i [a, b] (2) Teorem 9, s. 240 f funksjon slik at f (x) finnes for hver x i I. Anta kun ett punkt c i det indre av I med f (c) = 0. Da er f (c) den absolutte maksimumsverdien i I hvis f (c) < 0 f (c) den absolutte minimumsverdien i I hvis f (c) > 0 MA0003 p.13/29
Eksempel 1, s. 249-251 En hobbybutikk har 6m gjerde til å sperre av et rektangulært område for et elektrisk tog i et hjørne av et utstillingsrom. Det trengs ikke gjerde for de to sidene mot veggen. Hvilke sidelengder må rektangelet ha for å gjerde inn størst mulig areal, og hva er det største arealet? x y = 6 x MA0003 p.14/29
Eksempel 3, s. 253-254 Et firma lager en rektangulær eske uten lokk, med kvadratisk bunn, som skal romme 108 cm 3. Hvilke dimensjoner gir minst mulig overflateareal? Hva er det minimale overflatearealet? MA0003 p.15/29
Torsdag 17/2: Avsn. 3.5 og 4.1 Eksempel 3 i avsnitt 3.5 eksponentialfunksjoner: f (x) = a x derivering av eksponentialfunksjoner tallet e og f (x) = e x d dx ex = e x kjerneregelen og e x MA0003 p.16/29
Tirsdag 22/2: Avsn. 4.2 og 4.3 generelle logaritmer: y = log a x x = a y logx = log 10 x, ln x = log e x regneregler for logaritmer d dx ln x = 1 x vekstmodeller: P (t) = kp(t) den logistiske vekstmodellen: : P(t) = L 1 + be kt MA0003 p.17/29
Torsdag 24/2: Avsn. 4.4 og 4.5 modellen dp dt = kp, P (t) = kp(t) radioaktiv desintegrasjon; halveringstid derivasjon av a x og log a x: d dx ax = (ln a)a x, (om tid) oppsummering d dx log a x = 1 ln a 1 x MA0003 p.18/29
Tirsdag 15/3: Avsn. 5.1 og 5.2 antiderivasjon (integrasjon): f (x)dx noen integrasjonsregler og - formler areal y f(x) A = b a f(x)dx a b x bestemt integral: b a f (x)dx MA0003 p.19/29
Torsdag 17/3: Avsn. 5.4 og 5.3 egenskaper ved bestemte integral: arealet mellom to grafer y f(x) A = b a [f(x) g(x)]dx g(x) a b x lim n n i=1 f (x i ) x = b a f (x)dx gjennomsnittsverdier: y av = 1 b a b a f (x)dx MA0003 p.20/29
Torsdag 31/3: Avsn. 5.5 og 5.6 Integrasjonsteknikker: substitusjon f (g (x))g (x)dx u=g (x) = f (u)du = f (g (x)) +C delvis integrasjon uv dx = uv u vdx Om tid: avsn. 6.2: T 0 P 0 e kt dt, T 0 P 0 e kt dt MA0003 p.21/29
Tirsdag 5/4: Avsn. 6.2 og 6.3 (6.6) Anvendelser av integrasjon: T 0 P 0 e kt dt, T 0 P 0 e kt dt Uegentlige integral: a b f (x)dx = lim b a f (x)dx (Om tid) Volum av omdreiningslegemer: V = b a π[f (x)] 2 dx. MA0003 p.22/29
Torsdag 7/4: Avsn. 6.6 og 6.7 Volum av omdreiningslegemer: V = b a π[f (x)] 2 dx. Differensialligninger: d y dx = g (x), d y dx = f (y)g (x). MA0003 p.23/29
Tirsdag 12/4: Lineære ligninger 1.1 lineære ligningssystemer: x 1 2x 2 + x 3 = 0 2x 2 8x 3 = 8 4x 1 + 5x 2 + 9x 3 = 9 matriser/matrisenotasjon 1 2 1 0 0 2 8 8 4 5 9 9 å løse lineære ligningssystemer: elementære rekkeoperasjoner MA0003 p.24/29
Torsdag 14/4 hvordan finne ut om et system er inkonsistent vektorer: v = [ 1 2 ] vektorligninger:x 1 a 1 + x 2 a 2 + + x n a n = b matriseligninger: Ax = b Om A = [ a 1... a n ], x = x 1., så er x n Ax = x 1 a 1 + x 2 a 2 + + x n a n MA0003 p.25/29
Tirsdag 19/4: 1.4, 1.6, 1.8 hvordan beregne Ax 1 2 1 0 2 8 4 5 9 x 1 x 2 x 3 = x 1 2x 2 + x 3 2x 2 8x 3 4x 1 + 5x 2 + 9x 3 anvendelser: strømning i nettverk transformasjoner (funksjoner!) matrisetransformasjoner T : R n R m T (x) = Ax MA0003 p.26/29
Torsdag 21/4: 1.8 og 1.9 (evt. 2.1) matrisetransformasjoner matrisen til en gitt transformasjon: T (x) = [ ([ ]) ([ ])][ 1 0 T T 0 1 } {{ } A geometrisk effekt av transformasjoner matriseregning: x 1 x 2 ] A + B, r A MA0003 p.27/29
Tirsdag 26/4: 2.1 og 2.2 skalarmultiplikasjon: r [ 1 2 0 2 ] = [ r 2r 0 2r ] matrisemultiplikasjon: Gitt A og B = [ b 1... b p ], da er AB = [ Ab 1... Ab p ] inversen til en matrise: AA 1 = A 1 A = I MA0003 p.28/29
Torsdag 28/4: 2.2 og 2.7 inversen til en matrise: A = [ a b c d ], A 1 1 = ad bc [ d c b a ] litt om anvendelser innen datagrafikk: - lineærtransformasjoner i R 2 - homogene koordinater MA0003 p.29/29