Forelesning 5 MA000, Tirsdag 4/9-0 Grenser og kontinuitet Bittinger:.-. Grenser La oss begynne med å se på et eksempel. Vi tar for oss funksjonen f (x) = x/ +, og vi ønsker å studere hvordan f oppfører seg for x i nærheten av. Vi begynner med å lage en verditabell: Grafen til f er vist på figur. Vi ser av x f (x) = x/ + x f (x) = x/ + 0.8.4..6 0.9.45..55 0.95.475.05.55 0.99.495.0.505 0.999.4995.00.5005 Tabell : Tabell over f (x) = x/ + for x nær. y x Figur : Grafen til f (x) = x/ +. tabellen og grafen at når x nærmer seg, så nærmer funksjonsverdiene seg.5 - dette svarer også til funksjonsverdien f (), men det er for øyeblikket irrelevant. Det viser seg faktisk at vi kan få f (x) så nær.5 som vi bare måtte ønske,
ved å velge x tilstrekkelig nær. Vi sier at.5 er grenseverdien til f (x) når x går mot, og skriver f (x) =.5 La oss skrive ned definisjonen: Definisjon. La f være en reell funksjon av en variabel, og la x 0 være et reelt tall. Vi sier at grensen til f (x) er L når x går mot (eller nærmer seg) x 0, og skriver f (x) = L hvis alle funksjonsverdier f (x) kan gjøres vilkårlig nær L (altså så nær som vi bare måtte ønske), for alle x tilstrekkelig nær, men ikke lik, x 0. Vi kan også skrive at f (x) L når x x 0. Grensen L er entydig (hvis den eksisterer). Vi er faktisk farlig nær å gi en formell definisjon her - dette faller egentlig utenom pensum, men hensikten er å presentere stoffet på en litt annerledes måte enn læreboka gjør det. Med andre ord, ikke ta det altfor tungt hvis du ikke føler at du forstår dette, og prøv heller å lese presentasjonen som er gitt i læreboka. For å komme tilbake til hva vi holdt på med: det kreves kun at vi spesifiserer matematisk hva som menes med vilkårlig nær og tilstrekkelig nær Definisjon. La f og x 0 være som over. Vi sier at f (x) = L hvis det til enhver ε > 0, finnes en δ > 0 slik at dersom 0 < x x 0 < δ, så er f (x) L < ε. Vi kan gi et svært oppkonstruert fysisk eksempel som illustrerer dette: la oss anta at x og y er fysiske størrelser, og at y er en (ukjent) funksjon f av x, altså y = f (x) - f.eks kan x være temperaturen til et bestemt fysisk system, f.eks en (ideell) gass bestående av et fast antall atomer i en beholder av et bestemt volum. Størrelsen y kan f.eks være trykket, som vi antar at vi kan måle på en eller annen måte - i eksempelet med en ideell gass viser det seg at y = f (x) = kx, der k er en konstant (som avhenger av antall atomer og volumet av beholderen), men vi kan naturligvis også tenke oss at gassen ikke er ideell og at forholdet er mer komplisert - det spiller liten rolle. Vi ønsker å måle y 0 = f (x 0 ), noe som i utgangspunktet virker relativt enkelt - vi simpelthen varmer opp eller avkjøler beholderen til temperaturen x 0, og leser av trykket. Men vent nå litt... temperaturen er ikke nødvendigvis nøyaktig - uansett hvor godt termometeret vårt er, er det alltid en målefeil δ involvert, så dersom vi leser av temperaturen x 0, kan systemet i virkeligheten ha en temperatur x, der x 0 δ < x < x 0 + δ, alternativt x x 0 < δ - med andre ord, den virkelige temperaturen kan være litt høyere eller litt lavere enn den avleste temperaturen. Verdien av δ kaller vi termometerets toleranse og avhenger (naturlig nok)
av termometeret - et godt (altså nøyaktig) termometer har en lav δ. Vi antar at det finnes termometere med så liten δ > 0 som vi måtte ønske. Det må bety at også størrelsen y er usikker - ikke bare har trykkmåleren (barometeret) en målefeil, men unøyaktigheten i temperaturen vil også spille inn. La oss for enkelhets skyld ignorere målefeilen i trykket, og dermed anta at virkelig trykk er det samme som det avleste - det er altså bare usikkerheten i temperaturen som har noe å si. Uansett må vi se oss nødt til å senke ambisjonsnivået litt - istedet for å finne y 0 = f (x 0 ) nøyaktig, tillater vi et avvik på ε > 0 (dette kalles også en toleranse). Mer spesifikt, kan vi (som nevnt) ved avlest temperatur x 0 istedet ha en virkelig temperatur x, og dermed er avlest trykk (som vi antar er virkelig trykk) på f (x) - vi ønsker altså at f (x) y 0 < ε. Dersom vi har at x x0 f (x) = y 0, skal det for enhver slik toleranse ε, være mulig å finne et termometer som er nøyaktig nok til å gjøre jobben - med andre ord, vi skal kunne spesifisere hvilken toleranse δ som dette termometeret trenger. En illustrasjon er gitt på figur. Dersom vi lar ε bli mindre - med andre ord, vi krymper det horisontale båndet som ligger parallelt med x-aksen, så må også verdien av δ krympe - med språkbruken fra eksempelet over, trenger vi altså et mer nøyaktig termometer. Poenget er at uansett hvor mye vi krymper det horisontale båndet (sålenge det ikke kollapser til en linje), så skal det finnes et lite intervall om x 0 slik at alle de korresponderende funksjonsverdiene havner innenfor en avstand ε av L, eller alternativt at den delen av grafen som ligger over dette intervallet om x 0 også skal ligge innenfor det horisontale båndet. Sagt på en tredje måte, i eksempelet over skal vi alltid kunne tillate en viss målefeil i x, og likevel alltid kunne gi en vilkårlig god nøyaktighet i den målte verdien f (x). Eksempler på funksjoner der grensen ikke eksisterer, er de der funksjonsverdiene gjør plutselige hopp - med andre ord, selv en liten målefeil i x kan føre til en stor endring i y = f (x). Et slikt eksempel er { x hvis x < g(x) = hvis x Dersom vi velger x <, er f (x) = x <, mens for x > har vi f (x) =, så x-verdier svært nær hverandre omkring kan gi funksjonsverdier som ligger i en avstand på minst fra hverandre. Grafen er tegnet på figur. Denne funksjonen har imidlertid såkalte ensidige grenser i - nemlig, hvis x fra venstre, så går g(x) mot. Tilsvarende, hvis x fra høyre, så går g(x) mot (den er konstant lik der). Vi uttrykker førstnevnte ved å skrive og sistnevnte ved g(x) = x g(x) = x + Definisjonen er den samme, bortsett fra at vi erstatter 0 < x x 0 < δ med 0 < x x 0 < δ (som betyr at x er større enn x 0 ) eller 0 < x 0 x < δ (som betyr
y L + ε L L ε x 0 δ x 0 + δ x Figur : Definisjonen av en grense. at x er mindre enn x 0 ). Dette svarer til at termometeret konsekvent overestimerer eller underestimerer temperaturen. For ensidige grenser har vi følgende teorem Teorem. La f, x 0 og L være som i tidligere definisjoner. Vi har hvis og bare hvis x x + 0 f (x) = L f (x) = L og x x 0 f (x) = L Med andre ord, grensen eksisterer og er lik L hvis og bare hvis begge de ensidige grensene eksisterer og stemmer overens. Vi bør også nevne en annen type grenser mens vi er igang. La oss se på funksjonen f (x) = /x, og la oss undersøke hva som skjer for store verdier av x. Vi har regnet ut endel funksjonsverdier i tabell, og tegnet grafen på figur 4. Igjen ser det ut til at funksjonsverdiene nærmer seg noe - i dette tilfellet 0 - når x blir veldig stor. Vi uttrykker dette ved å skrive f (x) = 0 x 4
y x Figur : Funksjonen g definert over. x f (x) = /x x f (x) = /x 5 /5 = 0.0 0 /0 = 0. 0 /0 = 0.05 50 /50 = 0.0 00 0.0 000 0.00 Tabell : Tabell over f (x) = /x for store x. Tilsvarende kan vi snakke om grenser når x. Vi kan skrive ned definisjonen også Definisjon. La f være en reell funksjon av en variabel. Vi sier at grensen til f (x) er L når x går mot (eller nærmer seg) (uendelig), og skriver f (x) = L x hvis alle funksjonsverdier f (x) kan gjøres vilkårlig nær L (altså så nær som vi bare måtte ønske), for alle tilstrekkelig store x. Vi kan også skrive at f (x) L når x. Tilsvarende kan vi definere hva som menes med at f (x) = L x ved å erstatte tilstrekkelig store x med tilstrekkelig store x. 5
y 4 4 5 x Figur 4: Grafen til f (x) = /x. Vi har ennå ikke sagt så mye om hvordan man kan regne ut grenser - foreløpig har vi simpelthen laget tabeller og/eller tegnet grafen, og mer eller mindre gjettet oss frem til svaret. Vi skal nå gi et sett med regneregler for grenser, som lar oss gjøre dette på en langt mer effektiv måte Teorem. Anta at f og g er funksjoner, at x 0 er et reelt tall og at c er en konstant. Anta videre at x x0 f (x) = L og x x0 g(x) = M. Da gjelder. x x0 c = c,. x x0 x = x 0,. x x0 [ f (x)] n = [ x x0 f (x)] n = L n, 4. x x0 n f (x) = n x x0 f (x) = n L (dersom n er partall, må vi ha L 0). 5. x x0 [ f (x) ± g(x)] = x x0 f (x) ± x x0 g(x) = L ± M. 6. x x0 [ f (x) g(x)] = [ x x0 f (x)] [ x x0 g(x)] = L M. 7. x x0 [ f (x)/g(x)] = x x0 f (x)/ x x0 g(x) = L/M, forutsatt at M = 0. 8. x x0 [c f (x)] = c x x0 f (x) = cl. Disse reglene er også oppfyllt for ensidige grenser. Vi tar et regneeksempel, som illustrerer bruk av noen av disse reglene: Eksempel. Bestem x + x + x x + 6
Løsning: Vi tar polynomene over og under brøkstreken hver for seg - vi har at x (x + x + ) = + + = 4 + 4 + = 9 Vi har brukt regel,,, 5 og 8 over. Tilsvarende blir (x + ) = + = 4 x slik at ifølge regel 7 over. x + x + = 9 x x + 4 La oss også merke oss at definisjonen av en grense ikke krever at funksjonen er definert i x 0 (men den er nødt til å være definert iallefall i et lite intervall om x 0 ). Eksempler på funksjoner med punkter der grensen eksisterer men funksjonen ikke er definert er forholdsvis enkle å gi - vi kan enten simpelthen fjerne et punkt fra definisjonsmengden: la h : R \ {0} R være definert ved h(x) = x for x = 0. Dette gir en funksjon hvor grensen x 0 h(x) eksisterer (og er 0), samtidig som funksjonen ikke er definert der. Et annet eksempel er følgende uttrykk: k(x) = x + x x = (x )(x + ) x Husk at det er ingenting i teorem, spesifikt regel 7, som sier at dersom M = 0 så kan ikke grensen til en kvotient av to funksjoner eksistere. I dette tilfellet ser vi at både teller og nevner går mot 0 når x. Dersom x =, kan vi dividere med x over og under brøkstreken, og vi står igjen med k(x) = x +, og det er lett å se at x k(x) = (bruk regnereglene), selv om k() ikke er definert. Vi har allerede sett minst ett eksempel på funksjon der grensen ikke eksisterer fordi funksjonsverdiene gjør et hopp - det kan også skje at funksjonsverdiene vokser seg vilkårlig store. La oss betrakte funksjonen g(x) = x For positive x er g(x) = /x, og grafen der blir dermed identisk med den som er tegnet på figur 4. Grafen for negative x blir simpelthen grafen for positive x speilet/reflektert om y-aksen. La oss undersøke hva som skjer når x 0. Det er lett å se at g(x) blir svært stor, og den kan faktisk gjøres vilkårlig stor ved å velge x tilstrekkelig nær 0. Det er også rimelig opplagt at grensen ikke eksisterer - uansett hvilke verdier for L, ε og δ vi velger, er det umulig å garantere at funksjonsverdiene for δ < x < δ ender opp innenfor intervallet (L ε, L + ε) - går vi nær nok 0, havner vi alltid utenfor. Likevel er dette en spesiell situasjon, 7
nemlig at f (x) vokser uten begrensning når vi nærmer oss et bestemt tall, så vi skriver x 0 x = Nok en gang, dette betyr ikke at grensen eksisterer - det er kun spesiell notasjon for å angi en spesiell situasjon. Tilsvarende kan vi skrive Kontinuitet x 0 x = En funksjon sies å være kontinuerlig dersom grafen er sammenhengende - med andre ord, den har ingen brudd og kan tegnes uten å løfte blyanten fra arket. Dette kan formaliseres ved hjelp av grenser Definisjon 4. En funksjon f sies å være kontinuerlig i x 0 dersom x 0 D f og x x0 f (x) = f (x 0 ) (altså, grensen eksisterer og er lik funksjonsverdien). En funksjon er kontinuerlig på et åpent intervall I dersom den er kontinuerlig i hvert punkt i intervallet. Dersom intervallet er lukket eller halvåpent (altså inneholder et eller to endepunkter), sier vi at f er kontinuerlig dersom de korresponderende ensidige grensene også eksisterer og stemmer overens med funksjonsverdien. For å ta et eksempel, definer f (x) = x for x. Denne funksjonen er kontinuerlig på hele [, ], siden den er definert på [, ] og for alle x (, ), og x = x 0 x + x = ( ) og x x =. Funksjonen oppfyller altså kontinuitetsbetingelsen både i det indre av intervallet og i endepunktene. De aller fleste funksjoner vi har snakket om hittil er kontinuerlige på alle intervaller der de er definert. Mer spesifikt er altså følgende funksjoner kontinuerlige på alle intervaller der de er definert: polynomer og, mer generelt, rasjonale funksjoner p(x)/q(x) (der p og q er polynomer) - dette kan vises ved å bruke regnereglene, trigonometriske funksjoner, sin(x), cos(x) og tan(x), eksponensialfunksjoner a x (definert for grunntall a > 0) og logaritmer log a (x) (definert for grunntall a > 0 og a = ). 8