1
Potensar og talsystem Mål for opplæringa er at eleven skal kunne rekne med potensar og tal på standardform med positive og negative eksponentar og bruke dette i praktiske samanhengar gjere greie for nokre plassverdisystem og gi praktiske døme på slike Aktivitet 1 Finn ut korleis du kan bestemme kor tjukt eit vanleg kopipapir er. Ta eit kopipapir og sjå kor mange gonger du klarer å brette det. Du skal brette det slik at det blir dobbelt så tjukt for kvar gong du brettar. Kor mange millimeter tjukt er det dersom du brettar det fire gonger? Korleis kan du rekne ut kor tjukt det hadde vorte viss du hadde klart å brette det ti gonger? Det høgaste huset i Noreg er Hotel Plaza i Oslo. Det er 117 m høgt. Kor mange gonger måtte vi brette eit kjempestort ark for at det skulle bli høgare enn 117 m? Avstanden frå jorda til månen er 384 400 km. Måtte vi brette meir enn 50 gonger for å nå månen?
1.1 Potensar Med vårt talsystem må vi bruke potensar når vi skal arbeide med spesielt små og spesielt store tal. Dersom vi til dømes skal rekne med massen av heile jorda i kilogram, må vi skrive eit tal med 24 siffer. Massen til eit hydrogen atom i kilogram får på tilsvarande måte 26 nullar etter kommaet. Dette talet klarer vi ikkje å rekne med om vi ikkje bruker ein potens med ein negativ eksponent. Det skal vi lære om no. Men først repeterer vi nokre av potens reglane frå ungdomsskulen. Vi skal òg sjå på kvifor reglane er rette. Uttrykket 2 4 kallar vi ein potens. Denne potensen betyr 2 2 2 2. Eksponenten 4 fortel kor mange gonger vi skal multiplisere grunntalet 2 med seg sjølv. Eksponent Grunntal 2 4 Potens Når vi skal rekne ut 2 4 2 3, får vi 4 + 3 faktorar 2 4 2 3 = 2 2 2 2 2 2 2 = 2 4 + 3 = 2 7 Denne regelen gjeld: 4 faktorar 3 faktorar a m a n = a m + n døme Rekn ut 5 4 5 2. Løysing: 5 4 5 2 = 5 4 + 2 = 5 6 Når vi skal rekne ut 35 3, får vi 3 3 5 3 3 = 3 3 3 3 3 = 3 3 3 3 3 1 = 32 = 9 10 Sinus 2P > Potensar og talsystem
Vi ser at 3 5 3 3 = 35 3 = 3 2 = 9 Vi har denne regelen: an a m = a n m Her må vi til å begynne med gå ut frå at n er større enn m. Sidan skal vi utvide potensomgrepet slik at formelen gjeld for alle n og m. døme Rekn ut. a) 47 4 5 b) 52 5 4 5 3 Løysing: a) 47 4 5 = 47 5 = 4 2 = 16 b) 52 5 4 5 3 = 52 + 4 5 3 = 56 5 3 = 56 3 = 5 3 = 125? Oppgåve 1.10 Rekn ut. a) 3 2 b) ( 3) 2 c) 3 3 d) ( 3) 3 Oppgåve 1.11 Trekk saman som éin potens. a) 3 2 3 3 b) 2 4 2 6 c) 5 3 5 d) 10 2 10 3 10 5 e) (2 10 4 ) (5 10 3 ) Oppgåve 1.12 Rekn ut. a) 24 b) 105 23 10 3 c) 43 4 2 4 4 d) 38 3 6 3 5 3 7 e) 2 105 6 10 2 4 10 4 11
1.2 Potensane a 0 og a n Så langt har vi studert potensen a n der n er eit naturleg tal. No skal vi innføre potensar der eksponenten er null eller negativ. Kva skal vi meine med 2 0? Det gir inga meining å multiplisere 2 med seg sjølv null gonger. Vi ynskjer at reknereglane for potensar skal gjelde for alle heiltalseksponentar. Vi reknar ut 23 3 på to måtar: 2 2 3 2 3 = 8 8 = 1 2 3 2 3 = 23 3 = 2 0 Vi hadde til føresetnad at potensregelen for brøkar gjeld her. For at dei to utreknings måtane skal gi same svaret, må vi ha at 2 0 = 1. Vi kan gjennomføre det same resonnementet for potensen a 0 der a er eit positivt tal. For å få rekne reglane til å passe må vi ha at a 0 = 1. a 0 = 1 Kva skal vi meine med uttrykket 2 4? Vi kan jo ikkje sjå for oss at vi multipliserer 2 med seg sjølv 4 gonger. Vi definerer 2 4 på ein slik måte at reknereglane for potensar gjeld for negative eksponentar: 2 4 = 2 0 4 = 20 2 4 = 1 2 4 = 1 16 Derfor vel vi å definere a n slik: a n = 1 a n døme Rekn ut. a) 3 0 b) 50 0 c) 3 2 d) 7 10 3 Løysing: a) 3 0 = 1 b) 50 0 = 1 c) 3 2 = 1 3 2 = 1 9 d) 7 10 3 = 7 1 = 10 3 = 7 1000 = 12 Sinus 2P > Potensar og talsystem
døme Skriv talet 1,7 10 4 som eit desimaltal. Løysing: 1,7 10 4 = 1,7 1 10 4 = 1,7 10 000 = 0,00017 Vi kan vise at reknereglane for potensar òg gjeld for eksponentar som ikkje er positive. Reglane gjeld altså òg når eksponentane er negative eller null. døme Rekn ut. a) 2 4 2 3 b) 33 3 5 c) 37 3 1 3 3 3 6 Løysing: a) 2 4 2 3 = 2 4 + ( 3) = 2 1 = 2 b) 33 3 5 = 33 5 = 3 2 = 1 3 2 = 1 9 c) 37 3 1 3 3 3 6 = 37 + ( 1) 3 = 36 3 + 6 3 3 = 36 3 = 3 3 = 27? Oppgåve 1.20 Rekn ut og skriv svaret som ein brøk eller eit heilt tal. a) 5 0 b) ( 2) 0 c) 5 1 d) 2 4 e) 10 2 f) 10 0 g) 10 4 Oppgåve 1.21 Rekn ut. a) 2 3 2 4 b) 3 4 3 5 c) 3 2 3 3 d) 2 3 2 5 2 3 2 1 e) a4 a 3 a 2 a 13
1.3 Reknereglar for potensar Dersom vi skal rekne ut ( 2 3 ) 3, kan vi gjere det slik: ( 2 3 ) 3 = 2 3 2 3 2 3 = 2 2 2 3 3 3 = 23 3 3 = 8 27 Vi har denne regelen for alle heile tal n: ( a b ) n = an b n døme Rekn ut. a) ( 2 5 ) 3 b) ( 3 Løysing: a) ( 2 5 ) 3 = 23 b) ( 3 2 ) 4 ( x 2 ) 4 ( x 3 ) 3 5 3 = 8 125 = 3 ) 3 = 34 2 4 x3 3 3 = 34 x 3 2 4 3 3 = 34 3 x 3 2 4 = 3x3 16 Uttrykk som (2x) 3 kan vi rekne ut utan å kjenne nokon potensregel: (2x) 3 = 2x 2x 2x = 2 2 2 x x x = 2 3 x 3 = 8x 3 Vi ser at (2x) 3 = 2 3 x 3. Tilsvarande gjeld for alle produkt ab og alle eksponentar n: (a b) n = a n b n døme Rekn ut. a) (3x) 2 b) (2x) 1 4x 14 Sinus 2P > Potensar og talsystem
Løysing: a) (3x) 2 = 3 2 x 2 = 9x 2 b) (2x) 1 4x = 2 1 x 1 4x = 1 2 1 4x = 4x x 2x = 2 2 1!? I dømet ovanfor såg vi at (3x) 2 = 9x 2. Det er dermed stor skilnad på (3x) 2 og 3x 2. I 3x 2 skal vi berre kvadrere x og ikkje 3-talet. I (3x) 2 kvadrerer vi 3-talet òg. Oppgåve 1.30 Rekn ut. a) ( 1 2 ) 3 b) ( 2 3 ) 3 c) ( 1 10 ) 3 d) ( 2 Oppgåve 1.31 Rekn ut. a) ( 2 3 ) 3 3 3 b) 25 5 2 ( 5 3 ) 3 2 ) 3 c) ( x 2 ) 2 d) 3 5 ( x 3 ) 4 Vi skal no finne ein regel vi kan bruke når vi skal rekne ut ein potens der grunntalet er ein potens. Uttrykket (2 3 ) 4 er av den typen. (2 3 ) 4 = 2 3 2 3 2 3 2 3 = 2 3 + 3 + 3 + 3 = 2 3 4 = 2 12 For to vilkårlege eksponentar m og n får vi: (a m ) n = a m n døme Rekn ut. a) (3 2 ) 3 b) (2x 2 ) 1 Løysing: a) (3 2 ) 3 = 3 2 3 = 3 6 = 729 b) (2x 2 ) 1 = 2 1 (x 2 ) 1 = 1 2 x( 2)( 1) = 1 2 x2 15
! Du må ikkje blande saman (a 2 ) 4 og a 2 a 4. (a 2 ) 4 = a 2 4 = a 8 a 2 a 4 = a 2 + 4 = a 6? Oppgåve 1.32 Rekn ut og skriv svaret som eit desimaltal eller eit heilt tal. a) (5 10 3 ) 3 b) (2 10 2 ) 1 c) (3 10 3 ) 2 (3 10 2 ) 1 d) 5 10 2 9 10 4 3 10 3 Oppgåve 1.33 Skriv så enkelt du kan. a) x 7 (x 2 ) 3 b) (2x 2 ) 1 2x 3 1.4 Tal på standardform Store tal med mange siffer er uoversiktlege. Ofte gjer vi reknefeil når vi skal rekne med slike tal, for det er lett å gløyme eit siffer. Dersom vi i staden skriv talet ved hjelp av tiarpotensar, får vi betre styring med utrekningane. døme Skriv talet 8 700 000 ved hjelp av tiarpotensar. Løysing: 8 700 000 = 8,7 1 000 000 = 8,7 10 6 Til vanleg skriv vi direkte 8 700 000 = 8,7 10 6. Eksponenten 6 fortel oss kor mange plassar vi har flytta kommaet mot venstre. Når vi skal rekne med svært små desimaltal, er det lett å gjere kommafeil. Vi reknar mykje sikrare dersom vi skriv tala ved hjelp av tiarpotensar med negative eksponentar. No skal vi rekne ut nokre tiarpotensar med negativ eksponent så vi ser korleis systemet er. 16 Sinus 2P > Potensar og talsystem
10 1 = 1 10 1 = 1 10 = 0,1 10 2 = 1 10 2 = 1 100 = 0,01 10 3 = 1 10 3 = 1 1000 = 0,001 10 4 = 1 10 4 = 1 10 000 = 0,0001 døme Skriv tala ved hjelp av tiarpotensar og rekn ut 0,00012 0,000037 Løysing: Vi omformar 0,00012: 0,00012 = 1,2 0,0001 = 1,2 10 4 Den negative eksponenten 4 fortel kor mange plassar vi har flytta kommaet mot høgre. For talet 0,000037 får vi 0,000037 = 3,7 10 5 No finn vi produktet. 0,00012 0,000037 = 1,2 10 4 3,7 10 5 = 1,2 3,7 10 4 10 5 4 = 4,44 10 + ( 5) = 4,44 10 9 = 0,00000000444 Legg merke til korleis vi byter om rekkjefølgja på desimaltal og potensar, og korleis vi så gongar saman tala for seg og potensane for seg. Eit tal er skrive på standardform når det er skrive som ±a 10 n der 1 a < 10 og n er eit heilt tal. 17
døme Skriv tala 230 000 og 0,0000000167 på standardform. Løysing: 230 000 = 2,3 10 5 0,0000000167 = 1,67 10 8? Oppgåve 1.40 Skriv som heile tal eller som desimaltal. a) 2,3 10 3 b) 7,1 10 2 c) 8,44 10 6 d) 2,92 10 5 Oppgåve 1.41 Skriv på standardform. a) 0,000153 b) 14 300 c) 937 000 000 d) 0,00000275 Mange lommereknarar har ein eigen tast som vi bruker når vi skal leggje inn tal på standardform. Denne tasten heiter til vanleg EE eller EXP. Dersom vi skal leggje inn talet 2,3 10 5, trykkjer vi til dømes 2,3 EE 5. Finn ut om dette går an på din lomme reknar. Bak i boka finn du framgangsmåten for den grafiske lommereknaren. Når vi har ei oppgåve der tala er skrivne på standardform, er det ofte lurt å rekne slik vi gjer i dette dømet: døme a) Rekn ut (2,3 10 8 ) (1,6 10 6 ). b) Bruk lommereknaren og rekn ut (8 106 ) (6 10 3 ) (4 10 3 ) (3 10 2 ) Løysing: a) Vi samlar desimaltala og tiarpotensane kvar for seg. (2,3 10 8 ) (1,6 10 6 ) = 2,3 1,6 10 8 10 6 = 3,68 10 8 + ( 6) = 3,68 10 2 = 368 18 Sinus 2P > Potensar og talsystem
b) På figuren har vi vist reknestykket på ein grafisk lommereknar. Du kan sikkert gjere det på ein tilsvarande måte på din lomme reknar.! Legg merke til at vi set parentes om teljaren og om nemnaren på lommereknaren.? 6 3 8 10 6 10 = 400 3 2 4 10 3 10 Oppgåve 1.42 Rekn ut både med og utan lommereknar. Skriv svaret som desimaltal. a) (5 103) (3 10 6) b) (2 10 1) (5 10 1) (5 10 2) (9 104) 8,4 10 2 d) c) 2,1 10 3 3 103 Oppgåve 1.43 Rekn ut både med og utan lommereknar. Skriv svaret på standardform. a) (4 10 4) (2 102) b) (8 106) (3 10 2) 5 2 (2 107) (4 105) (3,2 10 ) (4 10 ) d) c) 1,6 10 3 (4 10 2)2 Oppgåve 1.44 Gjer om til standardform og rekn ut. a) 12 000 000 0,0000023 b) 0,00075 0,000000017 0,00045 0,0012 4 600 000 000 d) c) 0,000002 27 000 000 Oppgåve 1.45 Jordradien er 6 400 000 m. Bruk formelen 4 V = 3 r3 og rekn ut volumet av jorda i kubikkmeter. 19
1.5 Talsystema våre Når vi reknar, bruker vi til vanleg titalssystemet. Korleis det er oppbygt, kan vi finne ut ved å dele opp til dømes talet 2347: 2347 = 2 1000 + 3 100 + 4 10 + 7 Det siste sifferet er einarar, det nest siste er tiarar, det tredjesiste hundrarar, osb. Dette talsystemet har ti talsymbol (0, 1, 2,, 9). Fordi det er plasseringa av siffera som fortel om det er einarar, tiarar, hundrarar osb., seier vi at dette er eit plassverdisystem. Talet 10 er grunntalet i titalssystemet. Når vi bruker potensar, får vi 2347 = 2 10 3 + 3 10 2 + 4 10 + 7 Vi kan òg skrive desimaltal ved hjelp av tiarpotensar. 725,49 = 7 10 2 + 2 10 + 5 + 4 10 1 + 9 10 2? Oppgåve 1.50 Skriv ved hjelp av tiarpotensar. a) 361 b) 4167 c) 10 345 d) 145 247 Oppgåve 1.51 Skriv ved hjelp av tiarpotensar. a) 25,7 b) 145,23 c) 2345,08 d) 12 356,582 Tid måler vi i timar, minutt og sekund. Eitt minutt er 60 sekund, og éin time er 60 minutt. Dermed er 1 time = 60 minutt = 60 60 sekund = 60 2 sekund = 3600 sekund Når vi skal finne ut kor mange sekund det er i 3 timar, 35 minutt og 17 sekund, kan vi gjere det slik: 3 h 35 min 17 s = 3 60 2 s + 35 60 s + 17 s = 12 917 s Dette liknar på det vi gjer i titalssystemet, men her bruker vi 60 i staden for 10. Vi reknar altså i sekstitalssystemet. Dette talsystemet tok babylonarane i bruk for ca. 4000 år sidan. Vårt vanlege talsystem, titalssystemet, vart innført i Europa for rundt 800 år sidan, men det fekk ikkje sitt endelege gjennombrot før på 1500-talet. På datamaskinar skriv vi ofte 3 timar, 35 minutt og 17 sekund som 3:35:17. Då finn vi sekunda på denne måten: 3:35:17 = 3 60 2 + 35 60 + 17 = 12 917 20 Sinus 2P > Potensar og talsystem
Skrivemåten 3:35:17 er eit plassverdisystem. Det er plasseringa av tala som avgjer om det er timar, minutt eller sekund. Når vi skal rekne om frå sekund til timar, minutt og sekund, tek vi utgangspunkt i at 1 time er 3600 sekund, og at 1 minutt er 60 s. Når vi skal rekne ut kor mange timar, minutt og sekund det er i 9753 s, kan vi gå fram på denne måten: Vi bruker lommereknaren og reknar ut 9753 3600 = 2,71 Altså er det litt meir enn 2 timar. Kor mange sekund over 2 timar det er, finn vi ut på denne måten: 9753 s 2 3600 s = 9753 s 7200 s = 2553 s No er 2553/60 = 42,55. Dermed er 2553 s litt meir enn 42 minutt. Kor mykje meir finn vi slik: 2553 s 42 60 s = 33 s Dermed er 9753 s det same som 2 timar, 42 minutt og 33 sekund. døme a) Kor mange sekund er det i 5 timar, 56 minutt og 12 sekund? b) Kor mange timar, minutt og sekund er det i 1) 2470 s 2) 12 500 s Løysing: a) 5 timar, 56 minutt og 12 sekund er 5 60 2 s + 56 60 s + 12 s = 21 372 s b) 1) Ettersom 1 time er 3600 s, er 2470 s mindre enn 1 time. No er 2470 60 = 41,17 2470 s er dermed litt meir enn 41 minutt. Talet på sekund over 41 min er 2470 s 41 60 s = 10 s 2470 s er 41 minutt og 10 sekund. 21
2) Ettersom 12 500 3600 = 3,47 er 12 500 s litt meir enn 3 timar. No er 12 500 s 3 3600 s = 1700 s Det er altså 1700 s over 3 timar. Vidare er og 1700 60 = 28,33 1700 s 28 60 s = 20 s 12 500 s er 3 timar, 28 minutt og 20 sekund.? Oppgåve 1.52 Rekn om til sekund. a) 23 min 12 s b) 2 h 45 min 30 s c) 3 døgn 14 h 32 min 10 s Oppgåve 1.53 Rekn om til timar, minutt og sekund. a) 3250 s b) 14 440 s c) 72 245 s Oppgåve 1.54 Kor mange år er du når du er 1 000 000 000 s gammal? I sekstitalssystemet legg vi saman og trekkjer frå omtrent som i titalssystemet. Ein film begynner kl. 19.35 og varer i 1 time og 45 minutt. Vi skal finne ut kva tid han sluttar. Då set vi opp dette reknestykket: 1 19.35 + 1.45 = 21.20 Når vi legg saman 35 minutt og 45 minutt, får vi 80 minutt. Det er 1 time og 20 minutt. Dermed set vi 20 nede og 1 i mente. Filmen sluttar altså kl. 21.20. 22 Sinus 2P > Potensar og talsystem
Ein annan film varer i 1 time og 47 minutt. Han sluttar kl. 22.22. Kva tid filmen begynte, kan vi finne ut på denne måten: 21 60 22.22 1.47 = 20.35 Ettersom 47 er meir enn 22, må vi låne. Vi låner dermed 1 time, som er 60 minutt. For å finne minutta reknar vi no slik: 60 47 + 22 = 13 + 22 = 35 Filmen begynte kl. 20.35. døme a) Ein skiløpar starta på ein 30 km kl. 11.45.15 og brukte 1 time, 23 minutt og 52 sekund. Kva tid kom han i mål? b) Ein annan skiløpar starta kl. 11.52.45 og kom i mål kl. 13.20.53. Kor lang tid brukte denne løparen? c) Kor mykje kortare tid brukte løparen i oppgåve a enn løparen i oppgåve b? Løysing: a) Vi set opp dette reknestykket: 1 1 11.45.15 + 1.23.52 = 13.09.07 Løparen kom i mål kl. 13.09.07. b) Dette reknestykket blir slik: 12 60 13.20.53 11.52.45 = 1.28.08 Løparen brukte 1 time, 28 minutt og 8 sekund. 27 60 c) 1.28.08 1.23.52 = 4.16 Han brukte 4 minutt og 16 sekund kortare tid. 23
? Oppgåve 1.55 a) Håkon drog heimanfrå kl. 19.42 og var borte i 2 timar og 45 minutt. Kva tid kom Håkon heim? b) Kristin var borte i 3 timar og 25 minutt og kom heim kl. 22.12. Kva tid drog ho heimanfrå? c) Anne drog heimanfrå kl. 21.48 og kom heim om natta kl. 01.12. Kor lenge var ho borte? Oppgåve 1.56 a) Petter starta i eit skirenn kl. 11.46.45 og kom i mål kl. 14.11.57. Kor lang tid brukte han? b) Markus starta kl. 11.51.15 og kom i mål kl. 14.16.03. Kor lang tid brukte Markus? c) Tobias gjekk i mål kl. 14.19.12 og hadde brukt 2.15.27. Kva tid starta Tobias? 1.6 Det oktale talsystemet Vi kan òg lage eit talsystem med 8 som grunntal. Då bruker vi symbola 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 og 7. Dersom 463 er eit tal i åttetalssystemet eller det oktale talsystemet, så er det det same som 463 = 4 8 2 + 6 8 + 3 = 4 64 + 6 8 + 3 = 307 Talet 463 i åttetalssystemet er det same som talet 307 i titalssystemet. For å skilje dei to tala skriv vi helst 463 8 når vi bruker åttetalssystemet.? Oppgåve 1.60 Tala 561 8, 720 8, 2356 8, 6200 8 og 12020 8 er skrivne i åttetalssystemet. Omset dei til vanlege tal. Oppgåve 1.61 a) Kva er det største talet vi kan skrive med to siffer i åttetalssystemet? b) Kva er det største talet vi kan skrive med tre siffer? Korleis kan vi omsetje eit tal frå titalssystemet til åttetalssystemet? Vi viser framgangsmåten i eit døme. 24 Sinus 2P > Potensar og talsystem
døme Omset talet 6206 til det oktale talsystemet. Løysing: Vi lagar ein tabell med potensar som har grunntalet 8. 8 5 8 4 8 3 8 2 8 1 8 0 32 768 4096 512 64 8 1 Vi finn det største talet i tabellen som er mindre enn 6206. Det er 4096. Dersom vi dividerer 6206 med 4096, blir svaret litt meir enn 1. Ved hjelp av lommereknaren finn vi at Altså er 6206 1 4096 = 2110 6206 = 1 4096 + 2110 6206 = 1 8 4 + 2110 Det neste talet i tabellen er 512. Dersom vi dividerer 2110 med 512, blir svaret litt meir enn 4. Lommereknaren gir 2110 4 512 = 62 2110 = 4 512 + 62 2110 = 4 8 3 + 62 Innsett i uttrykket for 6206 gir det 6206 = 1 8 4 + 2110 6206 = 1 8 4 + 4 8 3 + 62 Talet 62 er mindre enn 64 eller 8 2, som er det neste talet i tabellen ovanfor. Dermed er 6206 = 1 8 4 + 4 8 3 + 0 8 2 + 62 Når vi dividerer 62 med 8, går det i ein 7-gong. Vidare er Dermed er 62 7 8 = 6 62 = 7 8 + 6 6206 = 1 8 4 + 4 8 3 + 0 8 2 + 7 8 + 6 Talet 6206 skrive i åttetalssystemet er 14076 8. 25
? Oppgåve 1.62 Skriv tala i åttetalssystemet. a) 347 b) 1289 c) 5714 d) 89 123 Oppgåve 1.63 Vi kan lage talsystem med andre heile tal som grunntal. I femtals systemet bruker vi berre symbola 0, 1, 2, 3 og 4, altså fem ulike siffer. a) Tala 23 5, 241 5, 2412 5 og 12103 5 er skrivne i femtalssystemet. Skriv dei som vanlege tal. b) Skriv tala 47, 129, 708 og 4215 i femtalssystemet. 1.7 Det binære talsystemet I ein datamaskin eller lommereknar kan vi tenkje oss at alle tal blir lagra ved at ein brytar er av eller på. Då har vi berre to moglege talsymbol: 0 når brytaren er av, og 1 når han er på. Derfor må vi bruke eit talsystem med berre to symbol, 0 og 1. Dette talsystemet kallar vi totalssystemet eller det binære talsystemet. Alle tal i dette systemet er dermed samansette av berre nullar og einarar. Talet 1010 2 er eit døme på eit binært tal. Det er ikkje lik tusen og ti. Når vi skal finne ut kva for eit tal det er, gjer vi slik: 1010 2 = 1 2 3 + 0 2 2 + 1 2 + 0 = 1 8 + 0 4 + 1 2 + 0 = 10 Det binære talet 1010 2 er det same som talet ti. Vi ser at det binære talsystemet verkar på same måten som titalssystemet. Skilnaden er at for binære tal bruker vi potensar av to i staden for potensar av ti. Alle datamaskinar og lommereknarar bruker totalssystemet til all rekning utan at vi oppdagar det. Når du skriv eit reknestykke ved hjelp av tastaturet, blir tala automatisk omsette til totalssystemet. Alle utrekningane blir så gjorde i totalssystemet. Svaret blir deretter omsett til titalssystemet før det blir skrive ut på skjermen. Vi skal no lære å omsetje tal mellom totalssystemet og titalssystemet. DØME Rekn om frå binære tal til vanlege tal. a) 101 2 b) 1101 2 c) 10011 2 26 Sinus 2P > Potensar og talsystem
Løysing: a) 101 2 = 1 2 2 + 0 2 + 1 = 4 + 0 + 1 = 5 b) 1101 2 = 1 2 3 + 1 2 2 + 0 2 + 1 = 8 + 4 + 0 + 1 = 13 c) 10011 2 = 1 2 4 + 0 2 3 + 0 2 2 + 1 2 + 1 = 16 + 0 + 0 + 2 + 1 = 19? Oppgåve 1.70 Rekn om frå binære tal til vanlege tal. a) 110 2 b) 1110 2 c) 10110 2 d) 111001 2 Oppgåve 1.71 Fyll ut tabellen. Binærtal 0 2 1 2 10 2 11 2 100 2 101 2 110 2 111 2 1000 2 1001 2 1010 2 1011 2 Vanlege tal Korleis kan vi omsetje frå vanlege tal til binære tal? Vi tek då utgangspunkt i denne tabellen med potensar av 2. 2 10 2 9 2 8 2 7 2 6 2 5 2 4 2 3 2 2 2 1 2 0 1024 512 256 128 64 32 16 8 4 2 1 Dersom vi skal skrive talet 23 som eit binært tal, leitar vi oss fram til den største toarpotensen som er mindre enn 23. Det er 16. Vidare er 23 = 16 + 7 No finn vi den største toarpotensen som er mindre enn 7. Det er 4. Ettersom 7 = 4 + 3, får vi 23 = 16 + 4 + 3 eller 23 = 16 + 4 + 2 + 1 Dermed er 23 = 1 16 + 0 8 + 1 4 + 1 2 + 1 23 = 1 2 4 + 0 2 3 + 1 2 2 + 1 2 1 + 1 Talet 23 er altså det same som det binære talet 10111 2. 27
DØME Skriv 37 som eit binært tal. Løysing: Talet 37 kan vi skrive slik: 37 = 32 + 5 = 32 + 4 + 1 Dermed er 37 = 1 32 + 0 16 + 0 8 + 1 4 + 0 2 + 1 = 100101 2? Oppgåve 1.72 Skriv tala som binærtal. a) 13 b) 23 c) 42 d) 70 Oppgåve 1.73 Skriv tala frå 1 til 16 som binærtal. 1.8 Omgjering mellom binære og oktale tal Det er enklare å omsetje mellom totalssystemet og åttetalssystemet enn det er å omsetje mellom titalssystemet og åttetalssystemet eller mellom titalssystemet og totalssystemet. Når vi omset mellom totalssystemet og åttetalssystemet, bruker vi denne tabellen: Totalssystem 000 2 001 2 010 2 011 2 100 2 101 2 110 2 111 2 Åttetalssystem 0 8 1 8 2 8 3 8 4 8 5 8 6 8 7 8 Vi viser framgangsmåten med eit døme. døme a) Talet 241 8 er skrive i åttetalssystemet. Skriv talet i totalssystemet. b) Talet 11010110 2 er skrive i totalssystemet. Omset talet til åttetalssystemet. 28 Sinus 2P > Potensar og talsystem
Løysing: a) Når vi skal omsetje frå åttetalssystemet til totalssystemet, bruker vi tabellen på førre sida og omset kvart siffer til totalssystemet. 010100001 2 4 1 Talet er 10100001 2 skrive i totalssystemet. b) Når vi skal omsetje frå totalssystemet til åttetalssystemet, deler vi talet opp i tre og tre siffer. Begynn bakarst! Dersom oppdelinga ikkje går opp, legg vi til nullar framfor som vist nedanfor. 011010110 3 2 6 Deretter bruker vi tabellen på førre sida og omset tre og tre siffer til åttetalssystemet. Talet er 326 8 i åttetalssystemet.? Oppgåve 1.80 Omset frå åttetalssystemet til totalssystemet. a) 72 8 b) 345 8 c) 1653 8 d) 12453 8 Oppgåve 1.81 Omset frå totalssystemet til åttetalssystemet. a) 110101 2 b) 10111011 2 c) 1000100101 2 d) 10111001101 2 Oppgåve 1.82 a) Talet 873 er skrive i titalssystemet. Omset det til totalssystemet. b) Omset svaret i oppgåve a til åttetalssystemet. c) Omset svaret i oppgåve b til titalssystemet. Fekk du 873? Oppgåve 1.83 I firetalssystemet bruker vi symbola 0, 1, 2 og 3. a) Tala 23 4, 113 4, 2103 4 og 12100 4 er skrivne i firetalssystemet. Skriv dei i titalssystemet. b) Skriv tala 37, 145, 337 og 536 i firetalssystemet. c) Finn ut korleis du enkelt kan omsetje tal mellom totalssystemet og firetalssystemet. 29
1.9 Det heksadesimale talsystemet Dei binære tala har mange siffer. Når vi skriv talet 211 som eit binærtal, blir det 11010011 2. Det er fort gjort å gjere feil når vi skal skrive eit slikt tal, eller når vi skal seie talet til ein annan person. Vi kunne ha delt opp talet i tre og tre siffer og omsett til åttetalssystemet. Men i datateknologien er det vanleg at binære tal inneheld 16 siffer, 32 siffer, 64 siffer osb. Det blir derfor lettare dersom vi les fire og fire siffer om gongen. I tillegg bruker vi denne tabellen: Binært tal Vanleg tal Symbol Binært tal Vanleg tal Symbol 0000 2 0 0 1000 2 8 8 0001 2 1 1 1001 2 9 9 0010 2 2 2 1010 2 10 A 0011 2 3 3 1011 2 11 B 0100 2 4 4 1100 2 12 C 0101 2 5 5 1101 2 13 D 0110 2 6 6 1110 2 14 E 0111 2 7 7 1111 2 15 F Talet 11010011 2 deler vi opp i to delar og les det på denne måten: 11010011 D 3 Når vi så skal ha tilbake binærtalet, bruker vi tabellen og skiftar ut D med 1101 og 3 med 0011. Då får vi tilbake talet 11010011. Når vi skal finne ut kva for eit tal D3 er, kan vi gjere slik: I tabellen ser vi at D er talet 13. Då er D3 det same som 13 16 + 3 = 211 Talet 10111001001 2 har elleve siffer. Når vi skal lese dette talet, set vi ein 0 framfor det slik at det blir tolv siffer. Då kan vi setje saman fire og fire 0 og 1 på denne måten: 010111001001 5 C 9 Vi les talet som 5C9. Kva for eit tal er så det? 30 Sinus 2P > Potensar og talsystem
Vi skriv 5C9 ved hjelp av potensar av 16. Hugs at C er det same som 12. 5C9 = 5 16 2 + 12 16 + 9 = 5 256 + 12 16 + 9 = 1481 Talet 5C9 er skrive i sekstentalssystemet (det heksadesimale talsystemet) og er det same som 1481 i titalssystemet. døme a) Skriv det binære talet 1011011001 2 i det heksadesimale talsystemet. b) Skriv talet i det vanlege talsystemet. Løysing: a) 1011011001 2 = 001011011001 = 2D9 16 2 D 9 b) Ettersom D er talet 13, blir dette 2D9 16 = 2 16 2 + 13 16 + 9 = 2 256 + 13 16 + 9 = 729? Oppgåve 1.90 a) Skriv det binære talet 11100101 2 i det heksadesimale talsystemet. b) Kva for eit tal er det i vårt talsystem? Oppgåve 1.91 a) Skriv det binære talet 1111010100 2 i det heksadesimale talsystemet. b) Kva for eit tal er det i vårt talsystem? Oppgåve 1.92 a) Skriv talet 729 i det binære talsystemet. b) Skriv svaret i oppgåve a i det heksadesimale talsystemet. c) Kontroller om svaret i oppgåve b gir talet 729. Oppgåve 1.93 Finn ut korleis du enkelt kan omsetje tal mellom firetalssystemet og det heksadesimale talsystemet. 31
Samandrag Definisjon av a 0 For alle tal a 0 er a 0 = 1 Definisjon av a n For alle tal n og alle tal a 0 er a n = 1 a n Reknereglar for potensar For alle tal m og n er a m a n = a m + n an a m = a n m (a b) n = a n b n ( a b ) n = an b n (a m ) n = a m n Tal på standardform Eit tal er skrive på standardform når det er skrive som ±a 10 n der 1 a < 10 og n er eit heilt tal. Titalssystemet Titalssystemet er det talsystemet med grunntal 10 som vi bruker kvar dag. Talet 247 betyr 247 = 2 10 2 + 4 10 + 7 Totalssystemet Totalssystemet (det binære talsystemet) har 2 som grunntal. Alle tal skriv vi der ved hjelp av siffera 0 og 1. Det binære talet 1101 2 er det same som 1101 2 = 1 2 3 + 1 2 2 + 0 2 + 1 = 13 32 Sinus 2P > Potensar og talsystem
Åttetalssystemet Åttetalssystemet (det oktale talsystemet) har 8 som grunntal. Alle tal skriv vi der ved hjelp av siffera 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 og 7. Talet 2573 8 i åttetalssystemet er det same som 2573 8 = 2 8 3 + 5 8 2 + 7 8 + 3 = 1403 Sekstentalssystemet Sekstentalssystemet (det heksadesimale talsystemet) har 16 som grunntal. Alle tal skriv vi der ved hjelp av siffera 0, 1,..., 9, A (10), B (11), C (12), D (13), E (14) og F (15). Talet 8D3 16 i sekstentalssystemet er det same som 8D3 16 = 8 16 2 + 13 16 + 3 = 2259 33
5 Prosentvis vekst Kategori 1 5.1 Prosentfaktorar Oppgåve 5.110 Finn prosentfaktoren til a) 18 % b) 60 % c) 11 % d) 99 % e) 49 % f) 1 % Oppgåve 5.111 Finn prosenten når prosentfaktoren er a) 0,35 b) 0,75 c) 0,02 d) 0,085 Oppgåve 5.112 Vi betaler 14 % meirverdiavgift for matvarer. Finn meirverdiavgifta for slike varer når prisen utan meirverdiavgift er a) 150 kr b) 200 kr c) 425 kr Oppgåve 5.113 a) Ei flyreise kostar 800 kr. Så blir prisen sett opp 15 %. Kor mange kroner blir prisen på denne flyreisa sett opp? b) Ei togreise kostar 425 kr. Så blir prisen sett ned 8 %. Kor mange kroner blir prisen på togreisa sett ned? Oppgåve 5.114 Gunn har to kontoar i banken som står urørde. På kontoane står det 24 000 kr og 106 000 kr. Ho får 3,5 % rente per år på begge kontoane. a) Kor mange kroner har kvar av desse kontoane auka med etter eitt år? b) Kor mykje har ho til saman på desse to kontoane etter eitt år? Oppgåve 5.115 a) Ei feriereise kostar 4250 kr. Prisen på denne reisa går opp med 510 kr. Kor mange prosent går prisen opp? b) Ein flybillett kostar 1850 kr. Prisen blir sett ned med 185 kr. Kor mange prosent går prisen ned? 235
Oppgåve 5.116 a) Verditaksten på ein einebustad var eit år 4,0 millionar kroner. Året etter vart dette huset taksert til 4,6 millionar kroner. Kor mange prosent steig verdien på einebustaden? b) Eit år vart det selt 850 einebustader i ein kommune. Året etter vart det selt 884 einebustader i den same kommunen. Kor mange prosent auka salet av einebustader? b) I går kosta ein liter bensin 10,50 kr. I dag har prisen auka med 6 %. Frank kjøper i dag 40 liter bensin. Kva betaler han for bensinen? 5.2 Vekstfaktorar Oppgåve 5.124 Finn vekstfaktoren når den prosentvise nedgangen er a) 18 % b) 42 % c) 8 % d) 5 % e) 2,5 % Oppgåve 5.120 Finn vekstfaktoren når a) verdien aukar med 31 % b) verdien aukar med 5 % c) verdien aukar med 3 % d) verdien aukar med 2,5 % Oppgåve 5.121 a) Knut tente i fjor 360 000 kr. I år har han fått 5 % meir i løn. Finn den nye løna til Knut. b) Sissel tente i fjor 370 000 kr. I år har ho fått 6,5 % meir i løn. Finn den nye løna til Sissel. Oppgåve 5.122 a) I går kosta ein spesiell bilvask 120 kr på tilbod. I dag er prisen 15 % høgare. Nina vaskar bilen sin i dag. Kva betaler ho for vasken? 236 Sinus 2P > Prosentvis vekst Oppgåve 5.123 a) Britt kjøper matvarer for 250 kr utan 14 % meirverdiavgift. Kva betaler ho for matvarene med meirverdiavgift? b) Lars kjøper ein flybillett til 1250 kr utan 8 % meirverdiavgift. Kva betaler han for flybilletten med meirverdiavgift? Oppgåve 5.125 I ein butikk kostar eit kilogram appelsi nar til vanleg 18,00 kr. Ei veke fekk du kjøpt appelsinar på tilbod. Då var prisen 25 % lågare. a) Finn vekstfaktoren. b) Kva kosta 1 kg appelsinar denne veka? Oppgåve 5.126 Eit par sko kostar 800 kr. Skorne blir selde på sal med 33 % rabatt. a) Finn vekstfaktoren. b) Kva kostar skorne med rabatten? Oppgåve 5.127 Eit nettbrett (ipad) kostar 5600 kr. Ei veke blir prisen på brettet sett ned 12 %. a) Finn vekstfaktoren. b) Kva kostar nettbrettet denne veka?
5.3 Prosentvis endring i fleire periodar Oppgåve 5.130 Ei vare kostar i dag 72,00 kr. Vi reknar med at prisen aukar med 4 % per år i åra som kjem. a) Finn vekstfaktoren. b) Kor mykje vil vara koste om 1) 2 år 2) 5 år Oppgåve 5.131 Kari opnar ein sparekonto i ein bank og set 5000 kr inn på kontoen til 4 % rente per år. a) Finn vekstfaktoren. b) Vi reknar med at renta held seg på 4 % i åra som kjem, og at Kari ikkje set inn meir på denne kontoen. Kor mykje har Kari på kontoen etter 1) 3 år 2) 5 år 3) 8 år Oppgåve 5.132 Ein fabrikk investerer i ein ny maskin til 250 000 kr. Verdien av maskinen går ned med 15 % per år. a) Finn vekstfaktoren. b) Kva kan fabrikken høgst rekne med å få for maskinen når dei sel han etter 1) 2 år 2) 5 år 3) 10 år 5.4 Eksponentialfunksjonen Oppgåve 5.140 Stine set 8200 kr på ein sparekonto. Banken gir henne ei årsrente på 3,5 %. a) Kor mykje har ho på kontoen etter 5 år dersom renta held seg konstant? b) Finn eit uttrykk f(x) for kor mykje Stine har på kontoen etter x år. c) Teikn grafen til f for x mellom 0 og 10. Finn grafisk kva tid Stine har 10 000 kr på kontoen. Oppgåve 5.141 Åse har kjøpt ny datamaskin til 9000 kr. Ho har tenkt å ha han i 3 år. Datamaskinar taper seg raskt i verdi, og verdien av maskinen til Åse går ned med 40 % kvart år. a) Kva er maskinen verd etter 1) 2 år 2) 3 år b) Finn eit uttrykk f(x) for verdien av datamaskinen etter x år. c) Teikn grafen til f og finn grafisk når verdien av maskinen er halvert. Oppgåve 5.142 Ei bedrift må redusere talet på tilsette. Dei har som mål å ha 1500 tilsette etter 4 år. Bedrifta har bestemt seg for å bruke denne nedbemanningsplanen for å få redusert arbeidsstyrken: A(x) = 2500 0,88x der A(x) er talet på tilsette etter x år. a) Kor mange er tilsette i bedrifta i dag? b) Kor mange prosent blir arbeids styrken redusert med kvart år? c) Kan bedrifta nå målet dersom dei følgjer nedbemanningsplanen? 237
5.5 Eksponentialregresjon 5.6 Kjenneteikn ved funksjonar Oppgåve 5.150 Det er gjort målingar for å finne saman hengen mellom to variable storleikar x og y. Tabellen nedanfor viser resultatet av målingane. x 2 6 10 y 8 88 970 19 500 Oppgåve 5.160 Kva type funksjon meiner du passar best til punkta i desse koordinat systema? a) y 15 10 a) Finn den eksponentialfunksjonen som pas sar best med tala i ta bel len. b) Bruk eksponentialfunksjonen og finn y når x = 12. y 2 5 7 6 4 Oppgåve 5.151 Det er gjort målingar for å finne saman hengen mellom to variable storleikar x og y. Tabellen nedanfor viser resultatet av målingane. x 8 2 x 2 1 0 10 Oppgåve 5.152 Ta bel len vi ser ak ti vi te ten til eit ra dio aktivt stoff ved nokre tids punk t et ter at vi tok til å måle. 10 40 60 90 A(t) (bec que rel) 4400 3500 1700 1100 540 a) Finn funksjonsuttrykket A(t) til den eksponentialfunksjonen som pas sar best med tal a i ta bel len. b) Teikn gra fen til A i eit ko or di nat system. c) Finn gra fisk når ak ti vi te ten var 1390 Bq (bec que rel). 238 Sinus 2P > Prosentvis vekst 3 4 5 y 6 a) Finn den eksponentialfunksjonen som pas sar best med tal a i ta bel len. b) Bruk eksponentialfunksjonen og finn y når x = 8,5. 0 2 b) 73,6 16,4 6,0 1,3 t (ti mar) 1 4 2 x 2 1 2 4 1 2 3 4 5
Oppgåve 5.161 Vi har gitt denne tabellen: x 1 0 2 4 6 8 f(x) 1 0,4 3,6 6,5 9,3 12,6 a) Plasser punkta i eit koordinatsystem. b) Kva for ein funksjonstype meiner du passar best til desse dataa? c) Finn digitalt det funksjonsuttrykket f(x) du meiner passar best. d) Teikn grafen til f saman med punkta. Oppgåve 5.162 Vi har gitt denne tabellen: x 1 0 1 2 3 4 f(x) 3,8 0 2,2 1,8 0 4,3 a) Plasser punkta i eit koordinatsystem. b) Kva for ein funksjonstype meiner du passar best til desse dataa? c) Finn digitalt det funksjonsuttrykket f(x) du meiner passar best. d) Teikn grafen til f saman med punkta. Oppgåve 5.163 Vi har gitt denne tabellen: x 1 0 1 2 3 4 f(x) 0,7 1 1,5 2,3 3,4 5,1 a) Plasser punkta i eit koordinatsystem. b) Kva for ein funksjonstype meiner du passar best til desse dataa? c) Finn digitalt det funksjonsuttrykket f(x) du meiner passar best. d) Teikn grafen til f saman med punkta. Kategori 2 5.1 Prosentfaktorar Oppgåve 5.210 Finn prosentfaktoren til a) 19,5 % b) 50,1 % c) 12,5 % d) 8,8 % e) 5,5 % f) 0,3 % Oppgåve 5.211 Finn prosenten når prosentfaktoren er a) 0,235 b) 0,048 c) 0,782 d) 0,005 e) 1,50 f) 2,05 Oppgåve 5.212 Ei vare kostar normalt 360 kr. Bruk prosentfaktoren og finn prisendringa når a) prisen går opp med 5 % b) prisen går ned med 7,5 % Oppgåve 5.213 a) Prisen på ei vare gjekk opp frå 25 kr til 26 kr. Kor mange prosent vart prisen sett opp? b) Prisen på ei anna vare vart sett ned frå 12,50 kr til 10,50 kr per meter. Kor mange prosent vart prisen sett ned? Oppgåve 5.214 I ein klasse er det 18 gutar og 12 jenter. a) Kor mange prosent av klassen er jenter, og kor mange prosent er gutar? b) Litt ut i skuleåret slutter fire av gutane, og så kjem det ei ny jente. Korleis er prosentfordelinga mellom jenter og gutar i klassen no? 239
Oppgåve 5.215 a) Lise kjøper eit nytt kjøleskap som kostar 3899 kr. Ho får 299 kr i avslag. Kor mange prosent avslag får ho? b) Jan kjøper fire stolar til eit bord. Han får eit avslag på 408 kr til saman for stolane. Det svarar til 15 % rabatt. Kva kostar ein stol utan avslag? 5.2 Vekstfaktorar Oppgåve 5.220 Tre varer har endra pris med 1) 1,25 % 2) 0,55 % 3) 12,75 % a) Finn vekstfaktorane dersom endrin gane gir ein auke i prisane. b) Finn vekstfaktorane dersom endrin gane gir ein nedgang i prisane. Oppgåve 5.221 Kari er god til å hoppe høgde. Då ho var 16 år, hoppa ho 1,51 m. Det neste året auka ho denne høgda med 6,3 %. Då ho var 18 år, auka ho høgda frå året før med 7,3 %. a) Bruk vekstfaktoren og finn kor høgt Kari hoppa då ho var 17 år. b) Bruk vekstfaktoren og finn kor høgt Kari hoppa då ho var 18 år. Oppgåve 5.216 a) Hans får 25 % avslag i prisen på ein lampe. Det svarar til 76 kr. Kva betaler Hans for lampen? b) Du får 20 % avslag i prisen på ein mp3-spelar. Det svarar til 305 kr. Kva betalar du for mp3-spelaren? Oppgåve 5.217 Ein liter bensin kostar 13,39 kr. Prisen på bensinen blir sett ned to gonger på kort tid, først med 5 % og seinare med 8 %. a) Kor mykje har prisen på bensinen gått ned i alt etter desse to pris endringane? b) Kor mange prosent har prisen på bensinen gått ned i alt etter desse to prisendringane? 240 Sinus 2P > Prosentvis vekst Oppgåve 5.222 a) Ei vare kostar 25 kr. Prisen på vara blir sett opp til 28 kr. Kor mange prosent steig prisen på vara? b) Prisen på ei vare har gått ned 19 % til 567 kr. Kva kosta vara før prisendringa? Oppgåve 5.223 I 2008 tente Mette 420 000 kr. I 2009 steig løna hennar med 6 %, og i 2010 steig ho 8 % til. a) Kva fekk Mette i løn i 2010? b) Kor mange prosent har løna hennar stige i alt på desse to åra?
Oppgåve 5.224 a) Marie kjøper ein aksje og sel han for 352 kr. Det er 10 % meir enn ho gav for aksjen. Kva var kjøpsprisen på aksjen? b) Gustav kjøpte ei myntsamling og selde henne ei tid etter for 3960 kr. Det var 12 % mindre enn det Gustav gav for samlinga. Kva betalte Gustav for myntsamlinga? Oppgåve 5.225 a) Ein dress som kostar 3600 kr, blir sett ned 2,5 %. Bruk vekstfaktor og finn kva dressen kostar etter at prisen er sett ned. b) Ei kåpe som kostar 3200 kr, blir sett opp 22 %. Bruk vekstfaktor og finn kva kåpa kostar etter at prisen er sett opp. Oppgåve 5.226 a) Ein flatskjerm kostar 13 999 kr. På sal er prisen sett ned 21,5 %. Kva kostar flatskjermen på sal? b) Ein mobiltelefon kostar 2400 kr. På sal er prisen sett ned 17 %. Kva kostar mobiltelefonen på sal? Oppgåve 5.227 a) For to år sidan vog Lars 110 kg. I fjor vog han 10 % mindre, og i år har han gått ned 12 % til. 1) Bruk vekstfaktorar og finn ut kor mykje Lars veg i dag. 2) Kor mange prosent har Lars gått ned i alt på desse to åra? b) Siv trenar mykje og har i dag ein kvilepuls på 63 slag i minuttet. Kvile pulsen har gått ned 16 % frå i fjor til i år. Kor mange slag i minuttet var kvilepulsen til Siv i fjor? 5.3 Prosentvis endring i fleire periodar Oppgåve 5.230 Folketalet i eit land er i dag 45,6 millionar. I lengre tid har dette talet auka med 2 % kvart år, og vi reknar med at folketalet vil halde fram med å auke på den same måten i åra som kjem. a) Finn folketalet om fem år. b) Kva var folketalet for to år sidan? Oppgåve 5.231 Ein ny bil kostar 240 000 kr. Verdien av bilen minkar 12 % kvart år. a) Kva er verdien av bilen når han er fire år gammal? b) Kva er verdien av bilen etter ti år? c) Kor mange prosent har verdien av bilen gått ned på ti år? Oppgåve 5.232 Hege har i dag 6150 kr på ein sparekonto som gir 4,5 % årleg rente. Desse pengane har ho ikkje tenkt å røre i dei næraste åra. a) Finn ut kva tid Hege har 7800 kr på kontoen. b) Det er to år sidan Hege opna denne bankkontoen. Dei to siste åra har ho fått 3 % rente per år. Kor mykje pengar sette Hege inn for to år sidan? Oppgåve 5.233 Ola låner 25 000 kr i eit kredittselskap. Han må betale 1,6 % rente per månad. a) Kva skuldar han kredittselskapet etter eitt år når han ikkje begynner ned betalinga det første året? b) Kor mange prosent rente svarar det til på eitt år? 241
5.4 Eksponentialfunksjonen Oppgåve 5.240 I eit avgrensa område er elgbestanden i dag på 1622 dyr. Vi reknar med at talet på elg kjem til å auke med 4 % kvart år framover. a) Finn vekstfaktoren til ein prosentvis auke på 4 %. b) Kor mykje elg vil det vere i området om 5 år? c) Vi kallar talet på elg i området etter x år for E(x). Finn eit uttrykk for E(x). d) Vi går ut frå at elgbestanden auka med 4 % også tidlegare. Kor mykje elg var det i området for to år sidan? e) I eit anna område gjekk talet på elg ned frå 1275 til 1225 dyr på to år. Finn den årlege nedgangen i prosent på desse to åra. Oppgåve 5.242 Ein fabrikk ureinar lufta med utslepp av CO2 (karbondioksid). Tidleg i 2010 var det samla utsleppet på 60 tonn per år. Fabrikken fekk same året pålegg om å redusere utsleppet med 12 % kvart år. a) Finn utsleppet om 2 år og om 5 år. b) Finn eit uttrykk C(x) for utsleppet om x år. c) Teikn grafen til C digitalt. d) Finn grafisk når utsleppet er halvert. e) Frå 2009 til 2010 hadde utsleppet auka med 12 %. Kva var utsleppet i 2009? 5.5 Eksponentialregresjon Oppgåve 5.250 Ta bel len vi ser ut vik lin ga av inn byg gjar talet i byen New York i pe ri oden 1790 1900. La f (x) vere talet på inn byg gjarar i New York i tu se n x år et ter 1790. År Oppgåve 5.241 Hanne er ein god høgdehoppar og har i dag ein personleg rekord på 1,75 m. Ho har som mål å auke den personlege rekorden sin med 3 % per år. a) Finn eit uttrykk H(x) for kor høgt Hanne hoppar om x år. b) Kor høgt reknar Hanne med å hoppe 1) neste år 2) om tre år c) Teikn grafen til H digitalt og finn grafisk når Hanne vil hoppe 2,00 m. d) Hanne har hatt ein årleg auke på 4 % dei to siste åra fram til i dag. Kor høgt hoppa Hanne for to år sidan? 242 Sinus 2P > Prosentvis vekst 1790 1800 1820 1840 1860 1880 1900 x 0 10 30 50 70 90 110 f(x) 33 60 124 312 813 1912 3437 a) Plas ser punk ta i eit ko or di nat sy stem og vur der om plas se rin ga av punk ta kan pas se med ein eks po nen tial funk sjon. b) Bruk eit digitalt hjelpemiddel og finn den ekspo nentialfunksjonen f som pas sar best med tal a i ta bel len. c) I 2005 had de byen New York om lag 9 mil li onar inn byg gjarar. Korleis pas sar mo del len for det te året?
Oppgåve 5.251 I ha vet minkar lys in ten si te ten I(x) med djupna x. Noko av det kla ras te vatnet i verda er i Sar gas so ha vet i det vest le ge At lan ter havet. Når vi må ler lys in ten si te ten i pro sent av lys in ten si te ten ved hav over fla ta og djupna i me ter, får vi den ne ta bel len for Sar gas so ha vet: x (m) 0 5.5 Kjenneteikn ved funksjonar Oppgåve 5.260 Kva for ein funksjonstype meiner du passar best til punkta i desse koordinat systema? a) y 10 10 20 30 60 80 8 I(x) (%) 100 75 56 42 17 10 a) Bruk eit digitalt hjelpemiddel og finn den ekspo nen tial funksjonen I som pas sar best med tal a i ta bel len. b) Bruk mo del len i oppgåve a og finn den djupna som sva rar til ein lys inten si tet på 27 %. c) I Sar gas so ha vet er lys in ten si te ten 1 % på 160 m djupn. Finn ut om mo del len pas sar i den ne djupna. 6 4 2 1 3 5 9 3 8 10 b) y 1,5 1,0 15 0,5 P(x) (%) 100 77 65 46 27 a) Bruk eit digitalt hjelpemiddel og finn den ekspo nentialfunksjonen P som pas sar best med da ta a. b) Kor man ge pro sent av iso to pen blir om dan na kvart døgn? c) Teikn gra fen til P og finn halverings tida gra fisk. d) Mykje av den ne iso to pen vart send ut i at mo sfæ ren ved atomkraftulukka i Tsjernobyl i 1986. Kva for ein iso top kan det vere? 2 6 Oppgåve 5.252 Ta bel len ne dan for vi ser kor man ge pro sent P(x) vi har att av ein ra dio ak tiv iso top et ter x døgn. 0 1 2 4 2,0 x (døgn) x x 1 2 3 Oppgåve 5.261 Vi har gitt denne tabellen: x f(x) 0,5 1 1,5 2,5 3 3,5 0,02 0,10 0,25 0,82 1,25 1,78 a) Plasser punkta i eit koordinat system. b) Kva for ein funksjonstype meiner du passar best til desse dataa? c) Finn digitalt det funksjonsuttrykket f(x) du meiner passar best. d) Teikn grafen til f saman med punkta. 243
Oppgåve 5.262 Vi har gitt denne tabellen: x 3 2 1 0 1 2 3 4 f(x) 8 6 5 4 3 2,5 2 1,5 a) Plasser punkta i eit koordinatsystem. b) Kva for ein funksjonstype meiner du passar best til desse dataa? c) Finn digitalt det funksjonsuttrykket f(x) du meiner passar best. d) Teikn grafen til f saman med punkta. blanda oppgåver Oppgåve 5.300 Prisen på elektrisk straum er endra tre gonger på kort tid. Først steig prisen på ein kilowattime frå 45 øre til 54 øre. Deretter kom det ei ny prisstigning på 25 %. Til slutt vart prisen sett ned 14 %. a) Kva kosta ein kilowattime etter den siste prisstigninga? b) Kor mange prosent hadde straumprisen stige i alt i denne perioden? Oppgåve 5.301 a) Ei bukse kosta 390 kr. I ein salsperiode gjekk prisen på denne buksa ned to gonger. Første gongen vart prisen sett ned 20 %. Nokre dagar seinare vart prisen sett ned 25 % til. Kva kostar buksa etter begge desse prisreduksjonane? b) Prisen på ein liter 95 oktan bensin var 13,29 kr tidleg i veka. Seinare i veka vart prisen forandra to gonger. Tysdag var prisen 5,5 % lågare. Torsdag gjekk prisen ned 2,8 % til. Kva kosta ein liter 95 oktan bensin på torsdag? Oppgåve 5.302 I fjor leigde Pål ein hybel til 6000 kr per månad. I år er leiga sett opp til 6450 kr per månad. a) Kva er vekstfaktoren? b) Han får vite at leiga neste år kjem til å stige 9,3 %. Kor mange prosent har då leiga stige i alt på desse to åra? Oppgåve 5.303 I mai juni 2009 spreidde svineinfluensaen seg snøgt i USA. Tabellen viser talet S(t) på registrerte tilfelle av influensaen t dagar etter 17. mai 2009 for nokre verdiar av t. 2009 17. mai 25. mai 29. mai 11. juni 22. juni t 0 8 12 25 36 S(t) 4700 6500 7700 13 000 21 000 a) Plasser punkta i eit koordinatsystem. b) Kva for ein funksjonstype meiner du passar best til desse dataa? c) Finn digitalt det funksjonsuttrykket S(t) du meiner passar best. d) Teikn grafen til S saman med punkta. e) 1) Bruk tabellen og finn talet på dagar mellom 6500 og 13 000 registrerte tilfelle av influensaen. 2) Bruk grafen og finn kva tid talet på registrerte tilfelle av influensaen var dobla samanlikna med talet den 17. mai. 3) Ser du nokon samanheng mellom resultata i oppgåve e1) og e2)? 244 Sinus 2P > Prosentvis vekst
Oppgåve 5.304 Kjøpmann Sten Graven er kjend for å ha fine eple i butikken sin. Han er nøye med å plukke ut stygge og dårlege eple. a) Ein dag kjøpte han inn 250 kg eple til butikken. 12 % av desse epla måtte han etter kvart kaste. Kor mange kilogram eple kunne han då selje i butikken? b) Ein annan gong fekk han selt 266 kg av eit parti med eple etter å ha kasta 5 % av dei. Kor mange kilogram eple kjøpte han inn denne gongen? c) Sten Graven sel alltid epla til 14,00 kr per kg. Ei veke måtte han kaste 22 kg eller 10 % av eit innkjøpt parti. Kor mykje fekk Graven til slutt betalt for dette partiet med eple? Oppgåve 5.305 a) Ein genser kostar 280 kr på sal. Prisen er då redusert med 30 %. Kva var den opphavlege prisen på genseren? b) Ei bukse kostar 345 kr på sal. Den opphavlege prisen er då redusert med 25 %. Kva var den opphavlege prisen? c) Eit par motesko har gått opp i pris med 9 % til 1078 kr. Kva kosta dei før prisen vart sett opp? Oppgåve 5.306 Ei gruppe lønsmottakarar fekk eit år 165 kr i timeløn. Året etter fekk den same gruppa 180 kr i timelønn. Bruk eit digitalt hjelpemiddel og finn ut kva tid timeløna deira kjem til å passere 300 kr når vi går ut frå at ho utviklar seg a) lineært b) eksponentielt Oppgåve 5.307 a) Astrid fekk ein større pengesum av bestefar sin då ho vart fødd. Desse pengane skulle stå urørde på ein konto til ho fylte 18 år. I dag fyller Astrid 18 år og har 39 322 kr på kontoen. Ho har fått ei årsrente på 5,5 % i desse åra. Kor mykje fekk ho av bestefaren då ho vart fødd? b) Eirik kjøpte aksjar for 30 000 kr i fjor. Dei 12 neste månadene gjekk verdien av aksjane ned med 1,5 % per månad. 1) Kva var verdien av aksjane etter akkurat eitt år? 2) Bruk eit digitalt hjelpemiddel og finn når verdien av aksjane vil vere halvert dersom verdien går meir ned på den same måten. Oppgåve 5.308 Ta bel len vi ser ut vik lin ga av vek ta til ein kval un ge målt i ki lo gram nokre må na der et ter fød se len. t (må na der) 0 2 5 8 10 12 V(t) (kg) 600 718 1475 2530 3630 5200 a) Teikn punk ta i ta bel len inn i eit koordinat sy stem og vur der om punk ta kan til pas sast ein eks po nen tial funk sjon. b) Bruk eit digitalt hjelpemiddel og finn funksjons uttrykket V(t) for den ekspo nential funksjonen som pas sar best med tal a i ta bel len. c) Kva veg kval un gen når han er eit halvt år gam mal? 245
Oppgåve 5.309 Tre forretningar A, B og C har tilbodspris på det same syltetøyet. Dei sel syltetøyet i glas med ulik vekt, så kundane kan ikkje samanlikne prisane direkte. 1) Butikk A har alltid fast lågpris: 12,90 kr for 600 g. 2) Butikk B tek vanlegvis 21,90 kr for eit syltetøyglas på 800 g. Denne veka er prisen sett ned 20 %. 3) Butikk C har denne veka sett ned prisen på syltetøy i 1 kg glas med 17 % eller 4,59 kr. Kva for ein butikk har billegast syltetøy? Oppgåve 5.310 a) I ei matforretning kostar 1 kg tomatar normalt 25,00 kr. 1) Ein dag var prisen på tomatar sett ned 20,4 %. Kva var kiloprisen på tomatar denne dagen? 2) Ein annan dag var prisen på tomatar 29,90 kr. Kor mange prosent var prisen på tomatar sett opp denne dagen samanlikna med normal pris? b) I den same forretninga kan du få kjøpt poteter i laus vekt til 6,90 kr per kilogram eller 2,5 kg poteter i nett til 21,90 kr. Kor mange prosent billegare vil det vere å kjøpe poteter i laus vekt enn i nett à 2,5 kg? c) I forretninga kan du på tilbod få kjøpt kjøtdeig til 47,90 kr per kilogram. 1) Kor mykje kjøtdeig kan du då få kjøpt for 60 kr? 2) Kjøtdeigen var sett ned 45 % samanlikna med normal pris. Kva var den normale prisen på eit kilo kjøtdeig i denne forretninga? Oppgåve 5.311 Anna har kjøpt ny bil. Bilen kosta 380 000 kr. Ho reknar med at han kjem til å gå ned i verdi med 13 % per år. a) Finn verdien av bilen etter 1) 3 år 2) 7 år b) Finn eit uttrykk for verdien V(x) av bilen etter x år. c) Teikn grafen til V for x mellom 0 og 10. d) Finn grafisk kva tid verdien av bilen er halvert. Oppgåve 5.312 Det er sal i ei klesforretning. Tabellen viser nedslaget i prisen på nokre av salsvarene. Ordinær pris (kr) Salspris (kr) Avslag i prosent Skjorte 298 198 Bukse 350 40 Bluse 180 20 Fyll ut tabellen. Oppgåve 5.313 a) Per har bestemt seg for å kjøpe ny mobiltelefon. Han kan velje mellom to tilbod, A og B, på telefonen. A: 1400 kr pluss 25 % meirverdiavgift B: 15 % rabatt på 2000 kr medrekna meirverdiavgift Kva for eit tilbod bør Per velje? b) Siri har kjøpt DVD-spelar på tilbod til 2800 kr. Den opphavlege prisen var 25 % høgare. Kva var den opphavlege prisen? c) Linn har kjøpt ny blekkskrivar til datamaskinen. Ho fekk 30 % avslag i prisen og betalte 1015 kr. Kva var den opphavlege prisen? d) Øystein fekk 1015 kr i avslag på eit nytt musikkanlegg. Det svarar til 35 % rabatt på den opphavlege prisen. Kva var den opphavlege prisen? 246 Sinus 2P > Prosentvis vekst
Oppgåve 5.314 a) Line kjøper ei bukse til 480 kr og får 30 % avslag i prisen. Kor stort er avslaget? b) Kristian kjøper ei jakke til 860 kr og får 25 % avslag i prisen. Kva betaler Kristian for jakka? c) Pia betaler 600 kr for ein kjole. Då har ho fått 20 % avslag på den opphavlege prisen. Kva var den opphavlege prisen på kjolen? d) Ei forretning har denne annonsen: «Kjøp 3 skjorter, og vi betaler den billegaste for deg!» 1) Thomas kjøper tre skjorter. Dei kostar 299 kr, 399 kr og 499 kr. Kor mange prosent avslag får Thomas på skjortene? 2) Geir kjøper tre skjorter som alle har den same prisen. Kor mange prosent avslag får Geir på skjortene? Oppgåve 5.316 Robert arbeider på ein bensinstasjon. Han får 110 kr timen. I november arbeidde han 150 timar i alt. Av desse timane var 20 timar kveldsskift med 20 % tillegg i timeløna og 10 timar sundagsvakt med 50 % tillegg. a) Kor stor vart bruttoløna i november? b) Han fekk utbetalt 12 243 kr denne månaden. Kor mange prosent skatt har han betalt? Oppgåve 5.315 Ola har eit husvære som i dag har verdien 2,8 millionar kroner. Han reknar med at denne verdien kjem til å auke med 8 % per år framover. a) Finn verdien av husværet om 1) 3 år 2) 7 år b) Finn eit uttrykk V(x) for verdien av husværet om x år. c) Teikn grafen til V for x mellom 0 og 10. d) Finn grafisk kva tid verdien av husværet er dobla. 247
262 FASIT teoridel 1 1.10 a) 9 b) 9 c) 27 d) 27 1.11 a) 3 5 b) 2 10 c) 5 4 d) 10 10 e) 10 8 1.12 a) 2 b) 100 c) 4 d) 9 e) 3000 1.20 a) 1 b) 1 c) 1 5 d) 1 16 e) 1 100 f) 1 g) 1 10 000 1.21 a) 1 b) 3 c) 3 2 d) 1 e) a 2 1.30 a) 1 8 b) 8 27 c) 1 1000 d) 8 27 1.31 a) 8 b) 20 c) x2 d) 3x4 4 1.32 a) 125 000 000 000 b) 0,005 c) 300 000 000 d) 1,5 1.33 a) x b) 1 x 1.40 a) 2300 b) 0,071 c) 8 440 000 d) 0,0000292 1.41 a) 1,53 10 4 b) 1,43 10 4 c) 9,37 10 8 d) 2,75 10 6 1.42 a) 0,015 b) 0,1 c) 40 d) 1,5 1.43 a) 8 10 2 b) 2,4 10 5 c) 8 10 6 d) 5 10 15 1.44 a) 27,6 b) 1,275 10 11 c) 2,3 10 15 d) 2 10 14 1.45 1,1 10 21 m 3 1.50 a) 3 10 2 + 6 10 1 + 1 10 0 b) 4 10 3 + 1 10 2 + 6 10 1 + 7 10 0 c) 1 10 4 + 0 10 3 + 3 10 2 + 4 10 1 + 5 10 0 d) 1 10 5 + 4 10 4 + 5 10 3 + 2 10 2 + 4 10 1 + 7 10 0 1.51 a) 2 10 + 5 10 0 + 7 10 1 b) 1 10 2 + 4 10 1 + 5 10 0 + 2 10 1 + 3 10 2 c) 2 10 3 + 3 10 2 + 4 10 1 + 5 10 0 + 0 10 1 + 8 10 2 d) 1 10 4 + 2 10 3 + 3 10 2 + 5 10 1 + 6 10 0 + 5 10 1 + 8 10 2 + 2 10 3 1.52 a) 1392 s b) 9930 s c) 311 530 s 1.53 a) 54 min 10 s b) 4 h 40 s c) 20 h 4 min 5 s 1.54 31 år 1.55 a) 22.27 b) 18.47 c) 3 h 24 min 1.56 a) 2 h 25 min 12 s b) 2 h 24 min 48 s c) 12.03.45 1.60 369, 464, 1262, 3200, 5136 1.61 a) 77 8 = 63 b) 777 8 = 511 1.62 a) 533 8 b) 2411 8 c) 13122 8 d) 256043 8 1.63 a) 13, 71, 357 og 903 b) 142 5, 1004 5, 10313 5 og 113330 5 1.70 a) 6 b) 14 c) 22 d) 57 1.71 Binære tal Vanlege tal 0 2 0 1 2 1 10 2 2 11 2 3 100 2 4 101 2 5 110 2 6 111 2 7 1000 2 8 1001 2 9 1010 2 10 1011 2 11 1.72 a) 1101 2 b) 10111 2 c) 101010 2 d) 1000110 2 1.73 Vanlege Binære tal tal 0 0 2 1 1 2 2 10 2 3 11 2 4 100 2 5 101 2 6 110 2 7 111 2 8 1000 2 9 1001 2 10 1010 2 11 1011 2 12 1100 2 13 1101 2 14 1110 2 15 1111 2 16 10000 2