1P Tall og algebra Modul 1: Regnerekkefølgen... 2 Modul 3: Brøkregning... 4 Modul 10: Prosentregning... 9 Bildeliste... 28 1
Modul 1: Regnerekkefølgen Du går i butikken og handler ett brød og to liter melk. Prisen for ett brød er 25 kroner og prisen for melk er 15 kroner per liter Personen som sitter i kassa vil teste dine regneferdigheter. Hun setter opp et regnestykke og ber deg regne ut samlet pris 25 15 2 Regnestykket inneholder to regneoperasjoner, du skal legge sammen og du skal gange. Hva skal du gjøre først? Du prøver å legge sammen før du ganger 25 15 2 40 2 80 Hvor mye koster ett brød og to liter melk? Du prøver så å gange før du legger sammen 25 15 2 25 30 55 Du får to ulike svar. Hvilket svar er riktig? Hva står egentlig tallene i oppgaven for? Tallet 2 står for antall liter med melk og er et tall uten benevning. Tallene 25 og 15 derimot, er priser i kroner og har derfor benevningen kroner. Vi kan sette opp regnestykket med benevning 25 kroner 15 kroner 2 Kanskje blir det nå opplagt at samlet pris er 15 kroner 2 30 kroner for melka pluss 25 kroner for brødet, til sammen 55 kroner. Det betyr at rett regnerekkefølge er å gange (multiplisere) før du legger sammen (adderer). Vi kan lage tilsvarende eksempler hvor vi deler og trekker fra. Du vil da på tilsvarende måte se at rett regnerekkefølge er å gange og dele (dividere) før du legger sammen eller trekker fra (subtraherer). Alle digitale verktøy, for eksempel CAS i GeoGebra, er blitt programmert til å regne på denne måten hvis de ikke spesielt får beskjed om noe annet. 2
To personer skal dele 3 pizzaer. To av pizzaene er delt i 3 biter, og den siste er delt i 4 biter. Antall pizzabiter på hver blir da Samlet antall pizzabiter 3 3 4 10 5 2 2 2 Her må vi altså legge sammen telleren før vi deler. Vi må gi GeoGebra beskjed om å ikke følge vanlig regnerekkefølge. Det gjør vi ved å bruke parenteser. Vi skriver det som står i telleren inne i en parentes. GeoGebra har nemlig fått beskjed om alltid å regne ut det som står inne i parenteser først. Vi skriver (3+3+4)/2 og får riktig svar. Hvis vi glemmer parentesene og skriver 3+3+4/2, gjør GeoGebra det den er programmert til og starter med å dele 4 på 2. Svaret blir 8, og vi ser at det blir feil svar. I CAS i GeoGebra får du ved kommandoknappen sjekket om du har skrevet inn uttrykket riktig. (Linje 1 og 3) For å få samme regneuttrykk i linje 2 som i linje 1, taster du likhetstegn på tastaturet. Ved kommandoknappen Ved kommandoknappen regner du ut tilnærmet verdi. regner du ut eksakt verdi. 3
Modul 3: Brøkregning Hva er en brøk? Vi deler en pizza i 8 like store deler. Hvert pizzastykke er da lik én åttendedel av hele pizzaen. Én åttendedel kan skrives som 1: 8. Vi velger en annen skrivemåte som vi kaller brøk. 1: 8 skriver vi som 1. Deletegnet har blitt til brøkstrek, men betyr 8 fortsatt deletegn. Tallet på topp, tallet over brøkstreken, kaller vi teller fordi det «teller opp» antall pizzastykker. Tallet under brøkstreken forteller størrelsen, verdien, på pizzastykkene, og kalles for nevner. På tilsvarende måte som kroner eller euro er benevninger på pengebeløp. Hvis vi har 4 5 av en pizza, betyr det at vi har delt en pizza i fem like store stykker og tatt, telt opp, fire av disse. Hva med 7 3 da? Det må jo bety at vi har delt pizzaen i tre like store stykker og tatt sju av disse. Er det mulig? Ja, det er mulig, men da må vi ha mer enn én pizza! Nedenfor ser du at vi må ha to hele pizzaer og et stykke utenom, 7 1 2 3 3 4
Addisjon og subtraksjon med brøker De tre «røde» pizzastykkene på figuren som utgjør 3 8 av pizzaen og det «grønne» stykket som utgjør 1 8 av pizzaen, må til sammen utgjøre 4 åttendedeler av hele pizzaen. Det må bety at 3 1 4. 8 8 8 Motsatt, når vi fra fire åttendedeler trekker fra én åttendedel, så må vi sitte igjen med tre åttendedeler. Det betyr at 4 3 1. 8 8 8 Dette betyr at følgende regel må være riktig Når vi legger sammen eller trekker fra brøker med samme nevner, så legger vi sammen eller trekker fra tellerne og beholder nevnerne. Fra figuren ser vi videre at det grønne og de røde pizzastykkene utgjør halve pizzaen. Det må bety at 4 1. Det blir altså riktig om vi i brøken 4 4 : 4 1 deler på 4 i teller og nevner. 8 2 8 8: 4 2 Motsatt blir det også riktig når vi i brøken 1 1 4 4 ganger med 4 i teller og nevner. 2 2 4 8 Det er lov i en brøk å gange med samme tall i teller og nevner uten at brøken endrer verdi. Vi kaller det å utvide en brøk. Det er lov i en brøk å dele med samme tall i teller og nevner uten at brøken endrer verdi. Vi kaller det å forkorte en brøk. Vi kan nå legge sammen(addere) og trekke fra(subtrahere) alle slags brøker. Vi skal trekke sammen brøkene 1 2 3 2 3 Først skriver vi tallet 3 som en brøk. Tallet 3 endrer ikke verdi om vi deler på 1. 1 3 2 2 1 3 5
Så utvider vi alle brøkene slik at de får like nevnere 1 3 3 6 2 2 2 3 1 6 3 2 Vi ganger så ut i teller og nevner i alle brøkene og får 3 18 4 6 6 6 Nå har brøkene samme nevner, og kan vi trekke sammen tellerne og beholde nevneren 3 18 4 17 6 6 Til slutt må vi undersøke om svaret kan skrives på en enklere måte ved å forkorte bøken 17 6. Det er her ikke mulig siden ingen tall kan dele både 6 og 17. 17 er et primtall. 6
Multiplikasjon med brøker Fire pizzastykker som hvert utgjør 1 8 av hele pizzaen utgjør til sammen 4 8 1 1 1 1 1 1 1 1 4 av hele pizzaen fordi 8 8 8 8 8 8 1 4 Det må bety at 4. Når vi ganger et helt tall med en brøk, så må 8 8 vi altså gange det hele tallet med telleren for at det skal bli riktig. 1 4 1 4 4 8 8 8 Siden det hele tallet også kan skrives som en brøk, får vi at 4 1 4 1 4. 1 8 1 8 8 Vi får riktig svar når vi ganger teller med teller og nevner med nevner. Vi ser også at hvis vi tar halvparten av et pizzastykke som utgjør én tredjedel av en hel pizza, så må vi få én sjettedel av hele pizzaen. Det må bety at følgende regnestykke må være riktig 1 1 1 2 3 6 Det betyr at det også her blir riktig når vi ganger teller med teller og nevner med nevner. Regelen blir Vi multipliserer to brøker ved å multiplisere teller med teller og nevner med nevner. Hele tall dividerer vi med 1 slik at de kan oppfattes som brøker. Eksempel 6 5 6 5 30 : 2 15 8 7 8 7 56 : 2 28 Husk å forkorte svaret! Eksempel 2 7 2 14 7 Her kan vi ikke forkorte svaret. 3 1 3 3 7
Divisjon med brøker Kari hadde bursdagsselskap og ville servere pizza og brus. Hun kjøpte en svær beholder som inneholdt 10 liter brus. Kari ville helle brusen over i mindre flasker slik at gjestene kunne få én flaske hver. Hun tenkte først å bruke flasker som tok to liter. Hun satte opp et regnestykke og fant at da ble det nok til 5 flasker med brus fordi 10 : 2 5 Det ble ikke nok til alle gjestene, så Kari tenkte derfor å bruke flasker som hver tok 1 2 liter. Hun satte opp tilsvarende regnestykke for å finne ut hvor mange flasker det nå ble 1 10 : 2 Her fikk Kari et problem. Hvordan dele på en brøk? Nå måtte Kari bruke sunn fornuft. Det er klart at 20 flasker som hver inneholder 1 2 liter til sammen må bli lik 10 liter. Svaret på regnestykket er altså 20. Men Kari ga seg ikke. Det må da være mulig å regne seg fram til riktig svar, tenkte hun! Kari fant ut at hvis hun snudde brøken hun skulle dele med, på hodet, og samtidig gjorde deling om til ganging, så fikk hun riktig svar Regelen blir Brøken snus opp ned 1 10 10 10 2 20 10 : 1 2 : 20 2 1 2 1 1 1 1 1 Deletegn blir til gangetegn Å dividere med en brøk er det samme som å multiplisere med den omvendte brøken. Eksempel 7 2 7 3 7 5 35 : 3 2 5 2 3 6 5 8
Modul 10: Prosentregning Prosent betyr hundredel 1 1 % 0,01 100 Alle tall kan skrives som «prosent». Dette er fordi alle tall kan skrives som en brøk med 1 i nevneren. Vi kan så utvide brøken slik at vi får 100 i nevner. Prisene er satt ned med 30 100. Å skrive tall som «prosent». Noen eksempler 5 500 5 500 % 1 100 0,34 34 0,34 34 % 1 100 1,62 162 1,62 162 % 1 100 Å skrive prosent som tall. Noen eksempler 44 44 % 0,44 100 1,23 1,23 % 0,0123 100 25 1 25% 0,25 100 4 9
Hva utgjør prosentandelen Eksempel 1 Å beregne skattetrekk Linda har sommerjobb og tjener så mye at arbeidsgiveren må trekke 15 % av lønna i skatt. Hvor mye må Linda betale i skatt når hun tjener 3000 kroner? Løsning Vi går «veien om 1». 100 % av lønna utgjør 3 000 kr 1% av lønna blir da 3000 kr 30 kr 100 15% blir da 30kr 15 450 kr Vi regner gjerne slik: 30 00 kr 15 450 kr 100 Linda må betale 450 kroner i skatt. I GeoGebra Eksempel 2 Å finne salgspris Et par sko koster 540 kroner. Skoene settes ned med 40%. Hva blir salgsprisen på skoene? Løsning Vi går «veien om 1». 1% av prisen blir 540 kr 100 5,40 kr 40% blir da 5,40 kr 40 216 kr Ofte regner vi slik: 54 0 kr 4 0 100 216 kr 10
Salgsprisen blir da 540 kr 216 kr 324 kr. Ved GeoGebra Eksempel 3 I en klasse er det 15 elever. 40 % av elevene kan regne med å bli trukket ut til eksamen i matematikk. Hvor mange elever kan regne med å bli trukket ut? Løsning Antall elever som kan regne med å bli trukket ut er 15 4 0 10 0 6 elever kan regne med å bli trukket ut. 6 11
Å finne opprinnelig verdi Eksempel 1 En dongerijakke selges med 30% rabatt. Prisen etter at rabatten er trukket fra, er 420 kroner. Hva var den opprinnelige prisen? Løsning 30% rabatt betyr at 420 kroner svarer til 100% 30% 70% av den opprinnelige prisen. Vi går «veien om 1». 1% av prisen blir 420kr 6 kr 70 100 % blir da 6 kr 100 600 kr Den opprinnelige prisen var 600 kroner. 12
Eksempel 2 I en matematikklasse ble seks elever trukket ut til eksamen. Disse seks elevene utgjorde 40 % av elevene i klassen. Hvor mange elever var det i klassen? Løsning Siden 40 % av elevene utgjør 6 elever, så må 1 % utgjøre 6 elever 0,15 elever. 40 100 % blir da 0,15 100 15 elever. Det var 15 elever i klassen. Hvor mange prosent? Når vi skal finne hvor mange prosent én størrelse utgjør av en annen størrelse, er det ofte enklest å sette opp forholdet mellom størrelsene som en brøk. Da kan vi videre skrive brøken som et desimaltall og omgjøre desimaltallet til et prosenttall som vi viste innledningsvis. Eksempel 1 Niels Henrik og Mary Ann skal dele en pizza. Pizzaen er delt i fem like store stykker. Niels Henrik spiser tre pizzastykker og Mary Ann spiser to. Hvor mange prosent av pizzaen spiser Niels Henrik? Løsning Niels Henrik sin andel er 3 60 0,6 60 % 5 100 Vi regner altså brøken om til desimaltall og finner prosenttallet Eksempel 2 Pettersen selger moreller. Et år øker han prisen på en kurv moreller fra 35 kroner til 40 kroner. Hvor mange prosent øker prisen med? Løsning Vi finner forholdet mellom prisøkning og gammel pris. Dette forholdstallet gjør vi om til prosent 40 35 0,143 14,3 % 35 13
Tekst og eksempler Stein Aanensen og Olav Kristensen Bildeliste Melk Foto: Frode Hansen/VG/Scanpix Brød Foto: Trond Solberg/VG/Scanpix Tankefull kvinne Berit Roald, NTB Scanpix To ungdommer spiser pizza Mirko Iannace, Pixtal, NTB Scanpix Pinlig situasjon Berit Roald, NTB Scanpix Dongeribukse Foto: Nina Ruud/VG/Scanpix Penger Foto: Kerstin Mertens/Samfoto/Scanpix Veie epler Maskot, NTB Scanpix Smågodt Foto: Science Photo Library/Scanpix Frustrert elev DPA, NTB Scanpix Magiker sager en dame i to Bernd Vogel, Corbis, NTB Scanpix Vannflasker 14
Science Photo Library, NTB Scanpix Kjærester Sara Johannessen, NTB Scanpix Fargeprøver og malingsspann Pixtal, NTB Scanpix Kart Foto: Espen Sjølingstad Hoen/VG/Scanpix Valuta Foto: Henrik Montgomery/Scanpix Sweden Fengselsmurer Dan Petter Neergaard, Aftenposten, NTB Scanpix Arbeid på bærbar pc Corbis, NTB Scanpix Buss Morten Holm, NTB Scanpix Balansert vektstang med pære og eple Matthias Kulka, Corbis, NTB Scanpix Sør Arena Foto: Vegard Grøtt/Scanpix Termometer Rafael Ben-Ari, AGE fotostock, NTB Scanpix Sko Foto: James Veysey/Camera Press/Scanpix Dongerijakke Foto: Werner Juvik/VG/Scanpix Pizza Margherita Magnar Kirknes, VG, NTB Scanpix 15
Salg Foto: Ingar Storfjell/Aftenposten/Scanpix Kvinne i klesbutikk Shannon Fagan, Image Source, NTB Scanpix Vareutvalget i sportsbutikker Ingar Storfjell, Aftenposten, NTB scanpix Politiske partier - kommunevalg 2011 Hege Røyert 16