gjøre overslag over svar, regne praktiske oppgaver, med og uten digitale verktøy, presentere resultatene og vurdere hvor rimelige de er

Transkript

1 1P Tall og algebra Kompetansemåla i læreplanen for Vg1P... 1 Modul 1: Regnerekkefølgen... 2 Modul 2: Overslagsregning og hoderegning... 4 Modul 3: Brøkregning... 8 Modul 4: Koordinatsystemet Modul 5: Forhold Modul 6: Proporsjonalitet Modul 7: Omvendt proporsjonalitet Modul 8: Likninger Modul 9: Formelregning Modul 10: Prosentregning Modul 11: Vekstfaktor Modul 12: Prosentpoeng Bildeliste Kompetansemåla i læreplanen for Vg1P Mål for opplæringa er at eleven skal kunne gjøre overslag over svar, regne praktiske oppgaver, med og uten digitale verktøy, presentere resultatene og vurdere hvor rimelige de er tolke, bearbeide, vurdere og diskutere det matematiske innholdet i skriftlige, muntlige og grafiske framstillinger forenkle flerledda uttrykk og løse likninger av første grad og enkle potenslikninger tolke og bruke formler som gjelder dagligliv, yrkesliv og programområde regne med forhold, prosent, prosentpoeng og vekstfaktor behandle proporsjonale og omvendt proporsjonale størrelser i praktiske sammenhenger 1

2 Modul 1: Regnerekkefølgen Du går i butikken og handler ett brød og to liter melk. Prisen for ett brød er 25 kroner og prisen for melk er 15 kroner per liter Personen som sitter i kassa vil teste dine regneferdigheter. Hun setter opp et regnestykke og ber deg regne ut samlet pris Regnestykket inneholder to regneoperasjoner, du skal legge sammen og du skal gange. Hva skal du gjøre først? Du prøver å legge sammen før du ganger Hvor mye koster ett brød og to liter melk? Du prøver så å gange før du legger sammen Du får to ulike svar. Hvilket svar er riktig? Hva står egentlig tallene i oppgaven for? Tallet 2 står for antall liter med melk og er et tall uten benevning. Tallene 25 og 15 derimot, er priser i kroner og har derfor benevningen kroner. Vi kan sette opp regnestykket med benevning 25 kroner 15 kroner 2 Kanskje blir det nå opplagt at samlet pris er 15 kroner 2 30 kroner for melka pluss 25 kroner for brødet, til sammen 55 kroner. Det betyr at rett regnerekkefølge er å gange (multiplisere) før du legger sammen (adderer). Vi kan lage tilsvarende eksempler hvor vi deler og trekker fra. Du vil da på tilsvarende måte se at rett regnerekkefølge er å gange og dele (dividere) før du legger sammen eller trekker fra (subtraherer). Alle digitale verktøy, for eksempel CAS i GeoGebra, er blitt programmert til å regne på denne måten hvis de ikke spesielt får beskjed om noe annet. 2

3 To personer skal dele 3 pizzaer. To av pizzaene er delt i 3 biter, og den siste er delt i 4 biter. Antall pizzabiter på hver blir da Samlet antall pizzabiter Her må vi altså legge sammen telleren før vi deler. Vi må gi GeoGebra beskjed om å ikke følge vanlig regnerekkefølge. Det gjør vi ved å bruke parenteser. Vi skriver det som står i telleren inne i en parentes. GeoGebra har nemlig fått beskjed om alltid å regne ut det som står inne i parenteser først. Vi skriver (3+3+4)/2 og får riktig svar. Hvis vi glemmer parentesene og skriver 3+3+4/2, gjør GeoGebra det den er programmert til og starter med å dele 4 på 2. Svaret blir 8, og vi ser at det blir feil svar. I CAS i GeoGebra får du ved kommandoknappen sjekket om du har skrevet inn uttrykket riktig. (Linje 1 og 3) For å få samme regneuttrykk i linje 2 som i linje 1, taster du likhetstegn på tastaturet. Ved kommandoknappen Ved kommandoknappen regner du ut tilnærmet verdi. regner du ut eksakt verdi. 3

4 Modul 2: Overslagsregning og hoderegning Tenk deg at du er på handletur. Du har bare 200 kroner med deg. Da kan det være greit å bruke hoderegning og regne ut en tilnærmet samlet pris på de varene du skal kjøpe. På den måten unngår du den pinlige situasjonen det er å komme til kassen og ikke ha nok penger. Overslagsregning går ut på å finne en tilnærmet riktig verdi ved hoderegning. Når vi runder av en størrelse til annen størrelse som er tilnærmet like stor, bruker vi tegnet som leses «tilnærmet lik». For eksempel er 449 kroner 450 kroner. Overslagsregning ved addisjon (legge sammen) Når du skal legge sammen tall, er det vanligvis lurt å runde det ene tallet ned og det andre opp. Da blir feilen minst mulig. Vi må likevel alltid runde av så mye at vi kan foreta regningen som hoderegning. Geir ønsker å kjøpe en bukse til 467 kroner og et par sko til 825 kroner. Han gjør et overslag Runder opp 467 kroner 825 kroner 470 kroner 820 kroner 1290 kroner Runder ned Når vi skal legge sammen tallene 470 og 820 i hodet, kan vi telle opp antall hundrere og antall tiere hver for seg og legge sammen. Vi har at og Da blir Omtrent hvor mye koster buksa? Hvis det blir for komplisert å holde styr på både antall hundre og antall tiere i hodet, kan vi runde av til hele hundre Runder opp Runder ned 4

5 Begge svarene vi får er veldig nære det riktige svaret som vi for eksempel kan finne ved å bruke et digitalt verktøy Noen ganger kan det være lurt å runde begge beløpene oppover, så er vi i hvert fall sikre på at vi har nok penger. Vi må uansett alltid runde av så mye at vi kan foreta regningen som hoderegning. Overslagsregning ved subtraksjon (trekke fra) Når du skal trekke et tall fra et annet, er det vanligvis lurt å runde begge tallene opp eller begge tallene ned. Da blir feilen minst mulig. Geir ønsker å kjøpe en bukse til 447 kroner. Han har 684 kroner i lommeboka. Geir gjør et overslag og finner ut hvor mye penger han har igjen dersom han kjøper buksa. Runder ned Runder ned Vi kan også runde begge beløpene oppover Runder opp Runder opp Vi kan også her gjøre overslag ved å runde av til hele hundre Runder opp Runder opp Her får vi større avvik fra det riktige svaret når vi runder av til hele hundre. Hvor mye penger blir det igjen? Dersom vi bruker et digitalt verktøy, får vi 5

6 Overslagsregning ved multiplikasjon (ganging) Når du skal multiplisere et tall med et annet, er det vanligvis lurt å runde det ene tallet ned og det andre opp. Petter kjøper 2,2 kg epler til 10,75 kroner per kg. Han gjør et overslag og finner ut hvor mye han må betale for eplene. Runder opp kroner 10,75 2,2 kg 11 2 kroner 22 kroner kg Runder ned I dette eksemplet rundet vi antall kilogram epler ned til 2 kg og prisen opp til 11 kroner per kg. Når vi gjør overslag må vi bruke «sunn fornuft». Dersom vi hadde rundet antall kg epler opp til 3 kg og prisen ned til 10 kr, ville vi ha fått et stort avvik fra den eksakte prisen på 23,65 kroner. Omtrent hvor mye koster eplene? Overslagsregning ved divisjon (deling) Når du skal dividere et tall med et annet, er det vanligvis lurt å runde begge tallene opp eller begge tallene ned. Eli vil kjøpe smågodt for 29 kroner. Prisen for smågodt er 5,75 kroner per hektogram. Hun gjør et overslag og finner ut hvor mange hektogram smågodt hun får Runder opp 29 kroner 30 hg 5 hg 5,75 kroner per hg 6 Runder opp Omtrent hvor mye smågodt har du råd til? 6

7 Hvorfor hoderegning og overslagsregning I vårt moderne samfunn er det svært sjelden at du får bruk for regning ved papir og blyant. Digitale verktøy er nå så lett tilgjengelige at det er disse vi bruker til mer kompliserte regneoperasjoner. Men overslagsregning er svært viktig for å kontrollere om det svaret vi får ved digitale verktøy, eller ved papir og blyant, virker rimelig! For eksempel ønsker du å sjekke om sluttsummen på kassalappen fra butikken eller sluttsummen på fakturaen fra rørleggeren virker rimelig. En annen fordel med hoderegning/overslagsregning er at hodet har du alltid med deg, mens andre hjelpemidler ikke alltid er like lett tilgjengelige. Utviklingen av vårt samfunn går i retning av at hoderegning blir mer og mer aktuelt. Det finnes mange smarte måter å foreta hoderegning på. Du skal trekke tallet 291 fra tallet er 300 pluss er lik 300 minus 9 Det betyr at forskjellen mellom 291 til 321 er lik 9 pluss 21 som er lik 30. 7

8 Modul 3: Brøkregning Hva er en brøk? Vi deler en pizza i 8 like store deler. Hvert pizzastykke er da lik én åttendedel av hele pizzaen. Én åttendedel kan skrives som 1: 8. Vi velger en annen skrivemåte som vi kaller brøk. 1: 8 skriver vi som 1. Deletegnet har blitt til brøkstrek, men betyr 8 fortsatt deletegn. Tallet på topp, tallet over brøkstreken, kaller vi teller fordi det «teller opp» antall pizzastykker. Tallet under brøkstreken forteller størrelsen, verdien, på pizzastykkene, og kalles for nevner. På tilsvarende måte som kroner eller euro er benevninger på pengebeløp. Hvis vi har 4 5 av en pizza, betyr det at vi har delt en pizza i fem like store stykker og tatt, telt opp, fire av disse. Hva med 7 3 da? Det må jo bety at vi har delt pizzaen i tre like store stykker og tatt sju av disse. Er det mulig? Ja, det er mulig, men da må vi ha mer enn én pizza! Nedenfor ser du at vi må ha to hele pizzaer og et stykke utenom,

9 Addisjon og subtraksjon med brøker De tre «røde» pizzastykkene på figuren som utgjør 3 8 av pizzaen og det «grønne» stykket som utgjør 1 8 av pizzaen, må til sammen utgjøre 4 åttendedeler av hele pizzaen. Det må bety at Motsatt, når vi fra fire åttendedeler trekker fra én åttendedel, så må vi sitte igjen med tre åttendedeler. Det betyr at Dette betyr at følgende regel må være riktig Når vi legger sammen eller trekker fra brøker med samme nevner, så legger vi sammen eller trekker fra tellerne og beholder nevnerne. Fra figuren ser vi videre at det grønne og de røde pizzastykkene utgjør halve pizzaen. Det må bety at 4 1. Det blir altså riktig om vi i brøken 4 4 : 4 1 deler på 4 i teller og nevner : 4 2 Motsatt blir det også riktig når vi i brøken ganger med 4 i teller og nevner Det er lov i en brøk å gange med samme tall i teller og nevner uten at brøken endrer verdi. Vi kaller det å utvide en brøk. Det er lov i en brøk å dele med samme tall i teller og nevner uten at brøken endrer verdi. Vi kaller det å forkorte en brøk. Vi kan nå legge sammen(addere) og trekke fra(subtrahere) alle slags brøker. Vi skal trekke sammen brøkene Først skriver vi tallet 3 som en brøk. Tallet 3 endrer ikke verdi om vi deler på

10 Så utvider vi alle brøkene slik at de får like nevnere Vi ganger så ut i teller og nevner i alle brøkene og får Nå har brøkene samme nevner, og kan vi trekke sammen tellerne og beholde nevneren Til slutt må vi undersøke om svaret kan skrives på en enklere måte ved å forkorte bøken Det er her ikke mulig siden ingen tall kan dele både 6 og er et primtall. 10

11 Multiplikasjon med brøker Fire pizzastykker som hvert utgjør 1 8 av hele pizzaen utgjør til sammen av hele pizzaen fordi Det må bety at 4. Når vi ganger et helt tall med en brøk, så må 8 8 vi altså gange det hele tallet med telleren for at det skal bli riktig Siden det hele tallet også kan skrives som en brøk, får vi at Vi får riktig svar når vi ganger teller med teller og nevner med nevner. Vi ser også at hvis vi tar halvparten av et pizzastykke som utgjør én tredjedel av en hel pizza, så må vi få én sjettedel av hele pizzaen. Det må bety at følgende regnestykke må være riktig Det betyr at det også her blir riktig når vi ganger teller med teller og nevner med nevner. Regelen blir Vi multipliserer to brøker ved å multiplisere teller med teller og nevner med nevner. Hele tall dividerer vi med 1 slik at de kan oppfattes som brøker : : 2 28 Husk å forkorte svaret! Her kan vi ikke forkorte svaret

12 Divisjon med brøker Kari hadde bursdagsselskap og ville servere pizza og brus. Hun kjøpte en svær beholder som inneholdt 10 liter brus. Kari ville helle brusen over i mindre flasker slik at gjestene kunne få én flaske hver. Hun tenkte først å bruke flasker som tok to liter. Hun satte opp et regnestykke og fant at da ble det nok til 5 flasker med brus fordi 10:2 5 Det ble ikke nok til alle gjestene, så Kari tenkte derfor å bruke flasker som hver tok 1 2 liter. Hun satte opp tilsvarende regnestykke for å finne ut hvor mange flasker det nå ble 1 10 : 2 Her fikk Kari et problem. Hvordan dele på en brøk? Nå måtte Kari bruke sunn fornuft. Det er klart at 20 flasker som hver inneholder 1 2 liter til sammen må bli lik 10 liter. Svaret på regnestykket er altså 20. Men Kari ga seg ikke. Det må da være mulig å regne seg fram til riktig svar, tenkte hun! Kari fant ut at hvis hun snudde brøken hun skulle dele med, på hodet, og samtidig gjorde deling om til ganging, så fikk hun riktig svar Regelen blir Brøken snus opp ned : 1 2 : Deletegn blir til gangetegn Å dividere med en brøk er det samme som å multiplisere med den omvendte brøken :

13 Modul 4: Koordinatsystemet Et koordinatsystem består av to rette linjer, også kalt akser, som står vinkelrett på hverandre i et plan. Det er vanlig å kalle de to linjene(aksene) for x - aksen og y - aksen. Et annet vanlig navn på x - aksen er førsteaksen. y - aksen kalles også for andreaksen. Vi avsetter en tallinje langs hver av de to aksene. Skjæringspunktet mellom aksene kalles origo. Hvert punkt i planet har sin egen adresse eller sine egne koordinater. Punktet B har for eksempel koordinatene 4,3. Førstekoordinaten, eller x - koordinaten, som her er 4, forteller hvor vi treffer x - aksen hvis vi trekker en linje fra punktet vinkelrett på denne aksen. Vi havner i x 4. Andrekoordinaten, eller y - koordinaten, som her er 3, forteller hvor vi treffer y - aksen hvis vi trekker en linje vinkelrett på denne aksen. Vi havner i y 3. Sjekk om det samme gjelder for de andre punktene som er markert. Bruk av koordinatsystemet Koordinatsystemet kan blant annet brukes til å gi et «bilde» av sammenhenger mellom størrelser, en grafisk fremstilling. Hanne jobber deltid som telefonselger og har en timelønn på 125 kroner. Lønnen avhenger av hvor mange timer hun jobber. Jobber hun 10 timer, vil lønnen være 1250 kroner. Jobber hun 5 timer, vil lønnen være 625 kroner osv. Vi kan regne ut flere lønnsverdier og samle resultatene i en tabell 13

14 Tabellen viser noen resultater, men vi kan få en mye bedre oversikt over sammenhengen mellom antall timer og lønn ved å lage en grafisk framstilling i et koordinatsystem. Av tabellen ser vi at 8 timers arbeid gir en lønn på 1000 kroner. Vi illustrerer denne sammenhengen ved å plotte punktet 8, 1000 i koordinatsystemet. Når vi går fra punktet 8,1000 og «vinkelrett» ned på x - aksen, kommer vi til tallet 8, som viser at antall arbeidstimer er 8. Når vi går fra punktet og «vinkelrett» bort på y - aksen, kommer vi til tallet 1000, som viser at lønnen er 1000 kroner når antall arbeidstimer er 8. Vi gjør tilsvarende med de andre lønnsverdiene fra tabellen, og alle punktene blir til den blå linjen som «billedlig», eller grafisk, viser sammenhengen mellom antall arbeidstimer og lønn. Vi kan for eksempel starte i tallet 12 på x - aksen, gå «vinkelrett» opp fra x - aksen til vi treffer den blå linjen, gå derfra «vinkelrett» bort på y - aksen og komme til tallet Det viser at lønnen er 1500 kroner når antall arbeistimer er 12. Motsatt kan vi for eksempel starte i tallet 2500 på y - aksen, gå «vinkelrett» ut fra y - aksen til vi treffer den blå linjen, gå «vinkelrett» ned på x - aksen og kommet til tallet 20 på x - aksen. Det viser at når lønnen er 2500 kroner, så er antall arbeidstimer

15 Modul 5: Forhold Forholdet mellom to tall er svaret vi får når vi deler tallene på hverandre. Hvis vi kaller tallene for a og b, så er forholdet mellom a og b lik brøken a b. Som du ser av definisjonen ovenfor, er forhold i matematikken noe ganske annet enn forholdet til vennene dine. Forholdet mellom tallene 5 og 10 er Forholdet mellom tallene 10 og 5 er Vi støter ofte på forhold i matematikken. Vi skal gi noen eksempler på dette, og også se på hvordan vi kan regne med forhold. Vi skal blande saft og vann. På saftflasken står det oppgitt at blandingsforholdet er 1: 5. Det vil si at for hver del saft skal vi ha 5 deler vann. Til for eksempel 3 liter ren saft trenger vi liter vann. Det gir 3 liter pluss 15 liter som er 18 liter «saft og vann». Til 10 liter vann trenger vi 10 2 liter ren saft. Det gir 10 liter pluss 2 liter som er 12 5 liter «saft og vann». Men hvor mye ren saft trenger vi for å lage 21 liter «saft og vann»? Vi må tenke oss at saftblandingen består av 6 deler hvorav 1 del er ren saft, og 5 deler er vann. Hver del består av 21 3,5 liter. Ren saft utgjør 1 del av blandingen, og da trenger vi altså 3,5 liter 6 ren saft. 15

16 Anders blander gul og blå maling i forholdet 3:2 for å få grønn maling. Han får til sammen 20 liter grønn maling. Hvor mye gul maling og hvor mye blå maling har han brukt? 3 deler gul maling pluss 2 deler blå maling gir 5 deler. Disse 5 delene tilsvarer 20 liter. Hver del tilsvarer da 20 liter 4 liter 5 Det er 3 deler gul maling som tilsvarer 4 liter 3 12 liter. Det er 2 deler blå maling som tilsvarer 4 liter 2 8 liter. Han har brukt 12 liter gul maling og 8 liter blå maling. 16

17 Et kart har målestokken Det betyr at forholdet mellom avstander på kartet og i terrenget er 1: Det vil si at 1 cm på kartet svarer til cm i terrenget. Når vi går fra kartet til terrenget, må vi multiplisere med Husk at terrenget er større enn kartet. 5,5 cm på kartet svarer til 5,5 cm cm m 27,5 km i terrenget. Når vi går fra terrenget til kartet, må vi dividere med Husk at kartet er mindre enn terrenget. 25 km i terrenget svarer til 5 25 km m cm 5 cm på kartet Hva betyr det at et kart har målestokk 1: ? 17

18 Valutakurser viser forholdet mellom verdien på ulike valuta. Tabellen nedenfor viser verdien av ulike utenlandske valuta gitt i norske kroner Vi ser at 1 USD (amerikansk dollar) koster 5,72 norske kroner, NOK. Da vil 20 USD koste 20 5,72 NOK 114,4 NOK. 100 DKK (danske kroner) koster 97,4 NOK. Det vil si at 1 DKK koster 97,4 NOK 0,974 NOK DKK vil da koste 20 0,974 NOK 19,48 NOK. Vi går altså «veien om 1». Valutakurser viser forholdet mellom verdien på ulike valuta. Når vi skal gå motsatt vei, må vi dividere på «prisen for 1». For 80 NOK får vi 80 USD 13,99 USD. 5,72 80 For 80 NOK får vi DKK 82,14 DKK. 0,974 Dette er helt tilsvarende regningsmåte som ved kjøp av for eksempel epler. Hvis prisen for én kg epler er 14 kroner, så må vi for 4 kg epler betale 14 4 kroner 56 kroner. Tilsvarende får vi for 49 kroner 49 kg 3,5 kg epler 14 18

19 Vi ser en person avbildet ved siden av en mur som vi fra før av kjenner høyden til. Kan vi da beregne høyden til personen ut fra bildet? Vi vet at muren i virkeligheten er 3,85 m høy. Vi måler så høyden til muren på bildet og finner at den er 7 cm. Da kan vi regne ut forholdet mellom virkelige høyder og høyder på bildet til 385 cm 55 7 cm. Vi måler så høyden til personen på bildet til 3 cm. Personens høyde er i virkeligheten lik 3 cm cm 19

20 Modul 6: Proporsjonalitet Hanne jobber deltid som telefonselger og hver uke noterer hun ned i en tabell antall timer hun jobber og den lønnen hun får. I tabellen har Hanne også en ekstra rad hvor hun hver uke noterer forholdet mellom lønn og antall timer. Hun finner forholdet ved å dividere(dele) lønnen med antall timer hun jobber den uken. Hanne finner at forholdet mellom lønn og antall timer hver uke er det samme. Forholdet er hele tiden lik 125. Vi sier at to størrelser er proporsjonale når forholdet mellom dem alltid er det samme. Det vil si at lønnen og antall arbeidstimer er proporsjonale størrelser. Vi kan også si at lønnen er proporsjonal med antall arbeidstimer. Det konstante forholdet kaller vi for proporsjonalitetskonstanten. I vårt eksempel har proporsjonalitetskonstanten benevningen kroner per time, kr, og proporsjonalitetskonstanten h kr 125 svarer til timelønnen. At lønnen er proporsjonal med antall arbeidstimer, betyr at h timelønnen er konstant. Vi kan også skrive at Lønnen 125 Antall timer 20

21 Grafisk kan vi framstille sammenhengen mellom lønn og timer som en rett linje gjennom origo. Den rette linja har stigningstall 125. Det vil si at når x - verdien øker med én enhet, øker y - verdien med 125 enheter. Dette er markert med rødt i koordinatsystemet nedenfor. Du kan ellers se at grafen gir de samme sammenhengene som du kan lese fra tabellen. 21

22 Modul 7: Omvendt proporsjonalitet En vennegjeng skal følge fotballaget sitt på bortekamp. De må leie en buss, og busselskapet skal ha kroner for å kjøre dem. Hvor mye hver enkelt må betale avhenger av hvor mange som blir med. Det må uansett være slik antall deltakere multiplisert(ganget) med prisen hver enkelt må betale blir kroner. Vi kan lage en tabell som viser sammenhengen. Hvis det bare er 5 deltakere med på turen, så må hver deltager betale kroner. Hvis derimot bussen er fylt opp med 50 deltakere, så blir prisen bare 200 kroner per deltaker. Den siste linjen i tabellen viser at uansett hvor mange deltakere som er med, så er antall deltakere multiplisert med (ganget med) pris per deltaker lik kroner. To størrelser er omvendt proporsjonale hvis produktet av dem alltid er det samme. Antall deltakere og prisen per deltaker er omvendt proporsjonale størrelser. 22

23 Modul 8: Likninger Kjenner du igjen denne type oppgaver fra barneskolen? Sett inn riktig tall i rutene nedenfor Når du fant ut hvilket tall som skulle stå i den tomme ruten, løste du egentlig en likning. En likning består av et likhetstegn og et uttrykk på hver side av likhetstegnet. En likning inneholder vanligvis en ukjent størrelse, ofte kalt x. Et eksempel på en likning er 2 x 5 Å løse en likning går ut på å finne ut hvilken verdi x må ha, for at uttrykkene på hver side av likhetstegnet skal være like. Altså det samme som du gjorde da du fant ut hvilket tall som skulle stå i den tomme ruten i oppgavene ovenfor. I likningen ovenfor ser du at om vi bytter ut x med tallet 3, blir uttrykkene på hver side av likhetstegnet like. 2 x Da står det tallet 5 på begge sider av likhetstegnet. I de fleste likninger er det ikke så lett å se hvilket tall x må være. Se for eksempel på likningen 2x 3 x 7 Det må jo være opplagt at om vi legger til eller trekker fra samme tall på begge sider av likhetstegnet, har uttrykkene på hver side fortsatt lik verdi. Husk at x står for et tall. Vi trekker fra tallet 3 på begge sider av likhetstegnet 2x 3 3 x

24 3 3 er lik null, og kan fjernes fra venstresiden. 7 3 på høyresiden kan erstattes med tallet 4. Likningen blir nå 2x x 4 Vi trekker så fra tallet x på begge sider av likhetstegnet 2x x x x 4 På høyresiden er x x lik null og kan fjernes. På venstresiden kan 2x x erstattes med x. Likningen blir nå x 4 Da har vi jo funnet ut hva x må være, og vi har løst likningen! Vi kan sjekke om løsningen er riktig. Da bytter vi ut x med tallet 4 i den opprinnelige likningen 2x 3 x Vi ser at når x 4, så er både venstresiden og høyresiden lik tallet 11, altså like store. Løsningen er riktig. Noen ganger er vi ikke så heldige å få løsningen så enkelt som ovenfor. Vi kan for eksempel få 3x 12 Hvis to uttrykk er like, må de fortsatt være like om vi deler begge på det samme tallet. Vi deler på 3 på begge sider av likhetstegnet 3 x delt på 3 er lik 1, og venstresiden blir da lik 1x som er det samme som x. 12 delt på 3 er lik 4, og likningen blir Vi har funnet løsningen! Vi tar med et eksempel til. x

25 2x 4 4x 8 2x 4 4x 4 4x 8 4x 4 Vi trekker fra 4x og legger til 4 på begge sider. 2x 12 Vi trekker sammen. 2 x Vi dividerer med 2 på begge sider av likhetstegnet og forkorter. x 6 Vi har funnet løsningen. Noen likninger inneholder brøker. Hvis to uttrykk er like, så må de fortsatt være like om vi ganger begge med det samme tallet. 2 x 6 3 x x 1 4 Minste felles nevner er x Vi multipliserer hvert ledd med fellesnevneren. 2x 24 3x 1 Etter forkortingen er alle brøker borte. 2x 24 3x 24 3x 1 3x 24 Vi legger til 3 x og 24 på begge sider av likhetstegnet. 2x 3x 1 24 Vi har nå fått alle ledd som ineholder x på venstre side. 5x 25 Vi trekker sammen. 5x Vi dividerer med tallet foran x og forkorter. x 5 Vi har funnet løsningen. 25

26 Noen likninger inneholder også parentesuttrykk. Da starter vi med å gange ut disse. 2 x 4 6 2x 8 6 2x 6 8 2x 2 2x x 1 x x x 2 3x 12 4x 3x x 14 x 2 I CAS i GeoGebra kan du løse likninger ved å bruke kommandoknappen som gir eksakt løsning, eller kommandoknappen som gir tilnærmet løsning. Framgangsmåten for å løse en likning 1. Hvis likningen inneholder parenteser, må vi først gange ut disse. 2. Hvis likningen inneholder brøker, må vi gange med fellesnevneren på begge sider av likhetstegnet. 3. Vi legger til eller trekker fra samme tallet på begge sider av likhetstegnet slik at vi får samlet alle ledd som inneholder x på venstre side, og alle ledd som bare består av tall på høyre side av likhetstegnet. 4. Vi trekker sammen leddene. 5. Til slutt dividerer vi med tallet foran x på begge sider. 26

27 Potenslikninger Vi må helt til slutt ta med en spesiell situasjon som kan inntreffe. Det hender at den ukjente er «opphøyd i andre potens». I stedet for x står det 2 x, «x i andre potens» eller bare «x i andre». Når et tall er «opphøyd i andre potens», betyr det bare at tallet skal ganges med seg selv osv. Når likningen inneholder den ukjente. Du finner da hva 2 x i stedet for x, løser du likningen som vist ovenfor, men nå med 2 x er lik. 2 x som 2 4x x x 36 4 x 4 x Det gjenstår nå å finne ut hva x er lik. Tallet x er det tallet som ganget med seg selv er lik 9. Da kan x være lik tallet 3 fordi, som vi ser ovenfor, så er selv er lik 9. Vi har at Løsningen på likningen blir derfor at Men også tallet 3 ganget med seg x 3 eller x 3 Det positive tallet som opphøyd i andre er lik 9 kalles for kvadratroten til 9. Kvadratroten til 9 er lik 3, og vi skriver 9 3. I CAS i GeoGebra 27

28 Modul 9: Formelregning Oppskriften for å regne ut arealet av et rektangel er gitt ved formelen A g h Du må altså multiplisere lengden av grunnlinjen, g, med lengden av høyden, h for å regne ut arealet. Vi skal regne ut arealet av en fotballbane hvor sidelengdene er 68 m og 105 m. En fotballbane har form som et rektangel. Vi lar den lengste siden være grunnlinjen, og den korteste siden være høyden. Vi får at A g h 105 m 68 m 7140 m 2 Sør Arena, Kristiansand 2 La arealet av et rektangel være 100 m. La grunnlinjen være 25 m. Vi ønsker å finne ut hvor stor høyden er. Vi setter inn det som er kjent i formelen for arealet til et rektangel, og ser at vi får en likning hvor høyden er den ukjente. Vi må løse denne likningen Høyden er 4 m. A g h h 25h h h 4 28

29 Formelen for arealet til et rektangel gir oss oppskriften for å finne arealet når grunnlinjen og høyden er kjent. Vi så ovenfor hvordan vi kan finne høyden når arealet og grunnlinjen er kjent ved å sette inn i formelen og løse en likning. Men vi kan også behandle formelen som en likning og finne en formel for høyden. A g h g h A Vi kan bytte om på venstre og høyre side. g h A g g Vi kan dele med g på begge sider. Husk at g står for et tall. A h g Vi har en formel for høyden. Formelen for arealet til et kvadrat er gitt ved A s 2 hvor s står for lengden av sidene i kvadratet. Hvor lang er siden i et kvadrat med areal lik 27 m 2? Vi bruker formelen for arealet A s s s 2 27 Sidelengden i et kvadrat s = 27 5,2 kan ikke være negativ. Sidelengden i kvadratet er 5,2 m. 29

30 I USA måles temperaturer i grader fahrenheit. Sammenhengen mellom temperatur målt i grader fahrenheit og grader celsius er gitt ved formelen 9 F C 32 5 Her står C for temperaturen målt i celsiusgrader og F for temperaturen målt i fahrenheitgrader. En temperatur på 28 C vil da i fahrenheitgrader være 28 C er det samme som 82,4 F. 9 F , ,4 5 La temperaturen være 86 grader fahrenheit. Hva tilsvarer det i grader celsius? Vi setter inn det som er kjent i formelen for sammenhengen mellom temperatur målt i grader fahrenheit og grader celsius, og vi får en likning hvor grader Celsius er den ukjente. For å finne temperaturen i celsiusgrader, løser vi likningen Temperaturen er 30 grader celsius. Ved CAS i GeoGebra 9 86 C C C 160 9C C C 30 30

31 Modul 10: Prosentregning Prosent betyr hundredel 1 1 % 0, Alle tall kan skrives som «prosent». Dette er fordi alle tall kan skrives som en brøk med 1 i nevneren. Vi kan så utvide brøken slik at vi får 100 i nevner. Prisene er satt ned med Å skrive tall som «prosent». Noen eksempler % , ,34 34 % , , % Å skrive prosent som tall. Noen eksempler % 0, ,23 1,23 % 0, % 0,

32 Hva utgjør prosentandelen 1 Å beregne skattetrekk Linda har sommerjobb og tjener så mye at arbeidsgiveren må trekke 15 % av lønna i skatt. Hvor mye må Linda betale i skatt når hun tjener 3000 kroner? Løsning Vi går «veien om 1». 100 % av lønna utgjør kr 1% av lønna blir da 3000 kr 30 kr % blir da 30kr kr Vi regner gjerne slik: kr kr 100 Linda må betale 450 kroner i skatt. I GeoGebra 2 Å finne salgspris Et par sko koster 540 kroner. Skoene settes ned med 40%. Hva blir salgsprisen på skoene? Løsning Vi går «veien om 1». 1% av prisen blir 540 kr 100 5,40 kr 40% blir da 5,40 kr kr Ofte regner vi slik: 54 0 kr kr 32

33 Salgsprisen blir da 540 kr 216 kr 324 kr. Ved GeoGebra 3 I en klasse er det 15 elever. 40 % av elevene kan regne med å bli trukket ut til eksamen i matematikk. Hvor mange elever kan regne med å bli trukket ut? Løsning Antall elever som kan regne med å bli trukket ut er elever kan regne med å bli trukket ut. 6 33

34 Å finne opprinnelig verdi 1 En dongerijakke selges med 30% rabatt. Prisen etter at rabatten er trukket fra, er 420 kroner. Hva var den opprinnelige prisen? Løsning 30% rabatt betyr at 420 kroner svarer til 100% 30% 70% av den opprinnelige prisen. Vi går «veien om 1». 1% av prisen blir 420kr 6 kr % blir da 6 kr kr Den opprinnelige prisen var 600 kroner. 34

35 2 I en matematikklasse ble seks elever trukket ut til eksamen. Disse seks elevene utgjorde 40 % av elevene i klassen. Hvor mange elever var det i klassen? Løsning Siden 40 % av elevene utgjør 6 elever, så må 1 % utgjøre 6 elever 0,15 elever % blir da 0, elever. Det var 15 elever i klassen. Hvor mange prosent? Når vi skal finne hvor mange prosent én størrelse utgjør av en annen størrelse, er det ofte enklest å sette opp forholdet mellom størrelsene som en brøk. Da kan vi videre skrive brøken som et desimaltall og omgjøre desimaltallet til et prosenttall som vi viste innledningsvis. 1 Niels Henrik og Mary Ann skal dele en pizza. Pizzaen er delt i fem like store stykker. Niels Henrik spiser tre pizzastykker og Mary Ann spiser to. Hvor mange prosent av pizzaen spiser Niels Henrik? Løsning Niels Henrik sin andel er ,6 60 % Vi regner altså brøken om til desimaltall og finner prosenttallet 2 Pettersen selger moreller. Et år øker han prisen på en kurv moreller fra 35 kroner til 40 kroner. Hvor mange prosent øker prisen med? Løsning Vi finner forholdet mellom prisøkning og gammel pris. Dette forholdstallet gjør vi om til prosent ,143 14,3 % 35 35

36 Modul 11: Vekstfaktor Prisøkning En vare koster kroner. Hva vil varen koste dersom prisen øker med 25 %? Løsning Til nå har vi funnet ny pris på følgende måte: Vi beregner prisøkningen ved først å dele prisen på 100 for å finne hva 1 % utgjør, og så multipliserer vi med 25 for å finne hva 25 % utgjør. Så legger vi prisøkningen til gammel pris og finner ny pris. Regnestykket blir Ny pris kroner 25 kroner kroner 100 I stedet for å regne som beskrevet ovenfor, kan vi regne slik: Ny pris , , Dette blir mye enklere. Vi multipliserer gammel pris med 1,25 og finner ny pris. Tallet 1,25 kalles vekstfaktoren. Du finner ny pris ved å multiplisere gammel pris med vekstfaktoren. Ny pris Gammel pris Vekstfaktor Avslag i pris En vare koster kroner. Hva må du betale for varen når du får et avslag på 25 %? Løsning Vi følger samme framgangsmåte som i Ny pris , ,

37 Ny pris blir kroner Tallet 0,75 kalles også i dette tilfelle for vekstfaktoren selv om prisen ikke vokser, men avtar. Vi sier at vi har negativ vekst. Du ser igjen at du finner ny pris ved å multiplisere med vekstfaktoren. Du finner ny pris ved å multiplisere gammel pris med vekstfaktoren. Ny pris Gammel pris Vekstfaktor Dette fører til at prosentregningen blir mye enklere. Konklusjon p Når du skal øke et tall med p %, blir vekstfaktoren p Når du skal redusere et tall med p %, blir vekstfaktoren I begge tilfeller må du multiplisere gammel verdi med vekstfaktoren for å finne ny verdi. 37

38 Ved bruk av vekstfaktor kan du raskt finne ny pris når det skjer flere prosentvise endringer etter hverandre. En vare som koster 500 kroner blir først satt opp med 12 %, for så å bli satt ned med 20 %. Finn ny pris. Løsning Etter prisøkningen blir prisen 500 kroner 1, kroner Hva er vekstfaktoren her? Etter at prisen så blir satt ned igjen vil varen koste 500 kroner 1,12 0, kroner 1,12 0, kroner Et beløp på kroner står i banken til en fast rente på 3 % per år. Hvor mye har beløpet vokst til dersom det står 8 år i banken? Løsning Beløpet etter 8 år kroner 1,03 1,03 1,03 1,03 1,03 1,03 1,03 1, kroner 1, kroner Ved CAS i GeoGebra 38

39 Modul 12: Prosentpoeng På en meningsmåling økte et politisk parti sin oppslutning fra 30 % i oktober til 33 % i november. Men dette betyr ikke at oppslutningen om partiet har økt med 3 %, selv om 33% 30% 3%! Hvis for eksempel antall elever i en skoleklasse økes på samme måten, fra 30 elever til 33 elever, så er jo ikke økningen på 3 %. Da er økningen på 10 %. 1 %, eller 1 hundredel, av 30 elever er 0,3 elever, og 10 % er da lik 0,3 elever 10 3 elever Vi kan også regne slik: Økningen i forhold til opprinnelig verdi er lik 0,1 10 % Det samme må gjelde for den økte prosentvise oppslutningen for det politiske partiet. Vi sier at partiet har gått fram 3 prosentpoeng på meningsmålingen, fra 30 prosentpoeng til 33 prosentpoeng. Økningen i forhold til opprinnelig verdi er da lik 3 prosentpoeng 0,1 10 % 30 prosentpoeng. 39

40 Tekst og eksempler Stein Aanensen og Olav Kristensen Bildeliste Melk Foto: Frode Hansen/VG/Scanpix Brød Foto: Trond Solberg/VG/Scanpix Tankefull kvinne Berit Roald, NTB Scanpix To ungdommer spiser pizza Mirko Iannace, Pixtal, NTB Scanpix Pinlig situasjon Berit Roald, NTB Scanpix Dongeribukse Foto: Nina Ruud/VG/Scanpix Penger Foto: Kerstin Mertens/Samfoto/Scanpix Veie epler Maskot, NTB Scanpix Smågodt Foto: Science Photo Library/Scanpix Frustrert elev DPA, NTB Scanpix Magiker sager en dame i to Bernd Vogel, Corbis, NTB Scanpix Vannflasker Science Photo Library, NTB Scanpix 40

41 Kjærester Sara Johannessen, NTB Scanpix Fargeprøver og malingsspann Pixtal, NTB Scanpix Kart Foto: Espen Sjølingstad Hoen/VG/Scanpix Valuta Foto: Henrik Montgomery/Scanpix Sweden Fengselsmurer Dan Petter Neergaard, Aftenposten, NTB Scanpix Arbeid på bærbar pc Corbis, NTB Scanpix Buss Morten Holm, NTB Scanpix Balansert vektstang med pære og eple Matthias Kulka, Corbis, NTB Scanpix Sør Arena Foto: Vegard Grøtt/Scanpix Termometer Rafael Ben-Ari, AGE fotostock, NTB Scanpix Sko Foto: James Veysey/Camera Press/Scanpix Dongerijakke Foto: Werner Juvik/VG/Scanpix Pizza Margherita Magnar Kirknes, VG, NTB Scanpix 41

42 Salg Foto: Ingar Storfjell/Aftenposten/Scanpix Kvinne i klesbutikk Shannon Fagan, Image Source, NTB Scanpix Vareutvalget i sportsbutikker Ingar Storfjell, Aftenposten, NTB scanpix Politiske partier - kommunevalg 2011 Hege Røyert 42