1 Tall og algebra. Innhold. Tall og algebra Vg1P

Transkript

1 1 Tall og algebra Innhold Kompetansemålene i læreplanen for Vg1P Tallregning... 3 Tallene våre... 3 Det matematiske språket... 4 Hoderegning med naturlige tall... 5 Overslagsregning... 9 Negative tall Å regne med negative tall Regnerekkefølgen Brøkregning. Grunnleggende forståelse Brøkregning. Samlet oversikt Formelregning Problemstillinger Likninger Løsning på problemstillinger Omforming av formler Forhold og prosentregning Forhold Prosentregning Prosentpoeng Vekstfaktor Proporsjonale og omvendt proporsjonale størrelser Proporsjonale størrelser Omvendt proporsjonale størrelser Stein Aanensen og Olav Kristensen

2 Kompetansemålene i læreplanen for Vg1P Gjøre overslag over svar, regne praktiske oppgaver, med og uten tekniske hjelpemidler, og vurdere hvor rimelige resultatene er Tolke, bearbeide, vurdere og diskutere det matematiske innholdet i skriftlige, muntlige og grafiske framstillinger Tolke og bruke formler som gjelder dagligliv, yrkesliv og programområde Regne med forhold, prosent, prosentpoeng og vekstfaktor Behandle proporsjonale og omvendt proporsjonale størrelser i praktiske sammenhenger 2

3 1.1 Tallregning Tallene våre Hulemalerier, helleristninger og leirtavler viser at mennesker som levde for mange tusen år siden brukte tall i sitt daglige liv. Arkeologer har funnet tellestreker som er ca år gamle. Blant annet er det funnet et ulvebein i Tsjekkoslovakia som viser seg å være år gammelt og som har 55 streker systematisk risset inn. Beinet er antakelig blitt brukt under opptelling av gjenstander, dager eller andre objekter, med ett hakk for hvert objekt. Vår sivilisasjon oppsto i Mesopotamia, nåværende Irak, for ca år siden. Her ble skrivekunsten oppfunnet. Menneskene som levde her utviklet kileskrift på leirtavler som de brukte for å føre regnskap over den handelen som utviklet seg mellom byene som etter hvert vokste fram. Kileskriften ble fort kjent i Egypt, men Egypterne utviklet sin egen skrifttype, hieroglyfer. Utgravinger viser at det på denne tiden var mennesker som drev med addisjon, subtraksjon, multiplikasjon og divisjon. Senere laget grekerne og romerne sine tallsystemer, men det tallsystemet vi bruker i dag, med sine ti tallsymboler, 0,1,2,3,4,5,6,7,8 og 9, har sin opprinnelse i India. I de tidligste kulturene var tallet 0 og de negative tallene ikke kjent. Det var først på 1200-tallet at matematikere begynte å innføre disse tallene. Det tok allikevel enda flere hundre år før de ble fullt ut akseptert. Matematikere diskuterte om negative tall virkelig eksisterte, og helt fram mot 1800-tallet var det matematikere som ikke ville akseptere beregninger som inneholdt negative tall. Problemet med å forstå negative tall, henger sammen med at tall ikke er en konkret ting. Det er et abstrakt matematisk begrep. Vi må knytte tall til noe konkret for å få en følelse av å forstå dem. 3

4 For oss som har vokst opp med bankvesen og termometer, er det lettere å forstå de negative tallene. Vi vet at vi kan gå i minibanken og ta ut mer penger fra banken enn vi har i innskudd. På kontoutskriften fra banken står det da et tall med minus foran, og vi skjønner at vi står i gjeld til banken. Vi vet også at når det er kuldegrader ute, så leser vi det av som negative tall på termometeret. De negative tallene blir da konkrete, og vi føler at vi forstår dem. Tall er grunnlaget for all matematikk. Det er derfor veldig viktig å ha god tallforståelse for å gjøre det bra i matematikk. Det matematiske språket For å kunne samtale om matematiske beregninger, er det utviklet et matematisk språk. Du kjenner til mange av ordene i dette språket fra grunnskolen, men det kan være nyttig å bli minnet på noen av de viktigste ordene. Når vi adderer eller legger sammen tall, får vi en sum. Tallene vi adderer, kalles ledd ledd ledd sum Når vi subtraherer eller trekker fra, får vi en differanse. Tallene som inngår i subtraksjonen, kalles ledd ledd ledd differanse Når vi multipliserer, får vi et produkt. Tallene som multipliseres, kalles faktorer faktor faktor faktor produkt Når vi dividerer, får vi en kvotient. Tallet over brøkstreken, kalles teller og tallet under brøkstreken, kalles nevner. Huskeregel: Teller på toppen, nevner nede! teller 6 2 nevner 3 kvotient 4

5 Hoderegning med naturlige tall Tallene 1,2,3 osv kalles for naturlige tall. Å kunne regne i hodet med naturlige tall, vil gjøre det mye enklere å lære seg andre deler av matematikken. Her kommer noen gode råd for hvordan du lettere kan beherske hoderegning. Du bør huske summer av og differenser mellom to små tall Du bør kunne den lille multiplikasjonstabellen veldig godt Du bør forsøke å danne deg et indre bilde av tallene Du bør forstå tallsystemet vårt Angående de første to punktene: På nettsiden finner du oppgaver hvor du kan teste deg selv. (Se lenken nedenfor.) Vi trenger alle å trene på disse ferdigheter med jevne mellomrom. Tren deg på hvor fort du klarer å løse oppgavene. Se 5

6 Ved mye trening i hoderegning, vil du kanskje danne deg et bilde av tallene. Du vil kanskje se for deg en tallstige. Du kan da senere huske tall ved å plassere dem på tallstigen din. Angående tallsystemet vårt. Når vi skriver 324, så mener vi Tenker vi på penger, så har vi altså 3 hundrelapper, 2 tikroner og 4 kronestykker. Se 6

7 Addisjon og subtraksjon som hoderegning Når vi skal legge sammen tallene 24 og 12, så kan vi telle opp tierne og enerne hver for seg og legge sammen. Vi har at Da blir og Dette er en måte å gjøre det. Hvis du har andre måter, så er det kjempeflott. Som du skjønner, krever metoden at du underveis husker tall. Teknikken er da å plassere tallene på tallstigen. Vi ser på noen flere eksempler I det siste eksemplet foretrekker du kanskje å dele i tre, å telle antall hundre for seg selv Ulempen er at du da får ekstra mye å huske i hodet underveis. Du må finne din metode På nettsiden finner du oppgaver hvor du kan trene på disse ferdighetene. 7

8 Multiplikasjon av to tall som hoderegning Vi forklarer først hva vi mener med et tallsiffer. Tallet 34 består av to tallsifre. Det ene sifferet er 3, og det andre sifferet er 4. Tallet 3345 inneholder fire sifre, mens tallet 5 bare inneholder ett siffer. Vi ser så på multiplikasjon av to tall hvor det ene tallet har ett siffer og det andre tallet har to sifre. Splitt det tosifrede tallet i tiere og enere. Eksempel Når begge tallene består av to sifre kan du splitte det ene tosifrede tallet i tiere og enere. Spesielt gunstig hvis det ene tallet er nær en hel tier. Eksempel Du kan også benytte deg av oppdeling i faktorer. Eksempel Det finnes flere gode teknikker som du kan bruke i mer avansert hoderegning. Du kan søke på hoderegning på nettet og finne masse stoff. 8

9 Overslagsregning I dagliglivet bruker vi ofte overslagsregning. Tenk deg at du er på en butikk og skal kjøpe flere ting. Du har kun 200 kr med deg. Da kan det være greit å regne ut en tilnærmet samlet pris på de varene du skal kjøpe. På den måten unngår du den pinlige situasjonen det er å komme til kassen og ikke ha nok penger. Når vi runder av en størrelse til annen størrelse som er tilnærmet like stor, bruker vi tegnet, som leses tilnærmet lik. Eksempel: 449 kr 450 kr. Vi vil nå vise deg noen metoder når du skal bruke overslagsregning. Overslagsregning ved addisjon Når du skal legge sammen tall, er det vanligvis lurt å runde det ene tallet ned og det andre opp. Eksempel Nora ønsker å kjøpe en bukse til 447 kr og et par sko til 892 kr. Hun gjør et overslag 447 kr 892 kr 450 kr 900 kr 1350 kr I dette eksemplet rundet vi opp begge beløpene. Vi kunne ha funnet et mer nøyaktig svar ved å gjøre slik 450 kr 890 kr 1340 kr Strengt tatt burde vi ha rundet det ene tallet opp og det andre tallet ned, men her er det rom for vurdering. Ofte kan det være lurt å runde begge beløpene oppover, så er vi i hvert fall sikre på at vi har nok penger. Er det snakk om mindre beløp, for eksempel 47 kr og 92 kr bør vi runde av til nærmeste tier. 9

10 Overslagsregning ved subtraksjon Når du skal trekke et tall fra et annet er det vanligvis lurt å runde begge tallene opp eller begge tallene ned. Eksempel Nora ønsker å kjøpe en bukse til 447 kr. Hun har 624 kroner i lommeboka. Nora gjør et overslag og finner ut hvor mye penger hun har igjen dersom hun kjøper buksa. 624 kr 447 kr 620 kr 440 kr 180 kr I dette eksemplet rundet vi begge beløpene nedover. Vi kunne også ha rundet begge beløpene oppover og funnet 630 kr 450 kr 180 kr Overslagsregning ved multiplikasjon Når du skal multiplisere et tall med et annet er det vanligvis lurt å runde det ene tallet ned og det andre opp. Eksempel Nora kjøper 2,2 kg epler til 10,75 kr per kg. Hun gjør et overslag og finner ut hvor mye hun må betale for eplene. kr 10,75 2,2 kg 11 2 kr 22 kr kg I dette eksemplet rundet vi antall kg epler ned til 2 kg og prisen opp til 11 kr per kg. Når vi gjør overslag må vi bruke sunn fornuft. Dersom vi hadde rundet antall kg epler opp til 3 kg og prisen ned til 10 kr, ville vi ha fått et stort avvik fra den eksakte prisen på 23,65 kr. 10

11 Overslagsregning ved divisjon Når du skal dividere et tall med et annet er det vanligvis lurt å runde begge tallene opp eller begge tallene ned. Eksempel Nora vil kjøpe smågodt for 29 kr. Prisen for smågodt er 5,75 kr per hg. Hun gjør et overslag og finner ut hvor mange hg smågodt hun får 29 kr 30 hg 5 hg 5,75 kr per hg 6 11

12 Negative tall Vi nevnte i innledningen til dette kapittelet at det tok lang tid før vi de negative tallene ble akseptert. Når vi legger sammen to naturlige tall, får vi alltid et nytt naturlig tall, og når vi trekker et mindre tall fra et større tall, får vi også et naturlig tall. De fleste regnstykker var slik i gamle dager. Man kunne jo ikke trekke fra mer enn man hadde. Hvis du bare har fire geiter, så kan du ikke selge(trekke fra) mer enn fire. I våre dager kan vi som sagt knytte negative tall til gjeld eller minusgrader på termometeret. Vi tenker oss de negative tallene som de motsatte tallene av de positive, og vi setter et minustegn som fortegn foran de positive tallene for å få de tilsvarende negative. De naturlige tallene sammen med null og de tilsvarende negative tallene, kaller vi for hele tall, og vi tenker dem plassert på en tallinje. Se Se 12

13 Å regne med negative tall Når vi bare har naturlige tall, kan vi oppfatte addisjon som at vi flytter oss til høyre på tallinjen og subtraksjon som at vi flytter oss til venstre på tallinjen. Dette gjelder også om vi trekker fra eller legger til et positivt tall til et negativt tall. Se illustrasjon nedenfor Hvordan blir det når vi trekker fra eller legger til et negativt tall? Vi ser på noen eksempler. Eksempel 1 Vi skal legge sammen en gjeld på 3 kr og en gjeld på 4 kr. Vi skjønner da at vi får en gjeld på 7 kr. Hvis vi lar gjeld være det samme som negativ kapital, blir regnestykket vårt slik Å legge til 4 er altså det samme som å trekke fra 4. Plusstegnet foran 4 er et regnetegn, mens minustegnet i 4 er negativt. Regnetegn Fortegn Vi kan også lese regnestykket slik: Minus 3 pluss minus 4 er lik minus 7. er et fortegn som forteller at tallet 13

14 Eksempel 2 En dag er temperaturen i Mandal 7 C. Samme dag er temperaturen 3 C i Oslo. Hvor stor temperaturforskjell er det mellom Mandal og Oslo? Vi ser nok at temperaturforskjellen er 10 C, men skal vi vise det ved regning blir det slik Å trekke fra 3 er altså det samme som å legge til 3. Du blir kanskje litt forvirret over at vi har samme tegnet for fortegnet negativ og regneoperasjonen minus. Vi kan også her lese regnestykket slik Pluss 7 minus minus 3 er lik pluss 10. For at regning med negative tall skal ha mening for oss, må altså følgende regler gjelde når vi adderer og subtraherer negative tall To like tegn foran et tall erstatter vi med pluss og to ulike tegn foran et tall erstatter vi med minus. På tallinjen kan vi da illustrere dette slik Vi får tilsvarende regler når vi multipliserer eller dividerer med negative tall. Dette er fordi multiplikasjon egentlig er gjentatte addisjoner. 14

15 Eksempel For å få samme svar når vi multipliserer direkte, må vi ha følgende regler Når vi multipliserer eller dividerer to tall med like fortegn, blir svaret positivt. Når vi multipliserer eller dividerer to tall med ulike fortegn, blir svaret negativt. Eksempel 42 8 og og og og

16 Regnerekkefølgen Tenk deg følgende regneoppgave Som du husker fra grunnskolen, skal multiplikasjon og divisjon utføres før addisjon og subtraksjon. Det betyr at den riktige måten å regne på er slik Det er ingen selvfølge at vi skal regne slik. Det kan jo være like naturlig å begynne med å legge sammen 5 og 3, og så multiplisere svaret med 4. Problemet er at hvis ikke alle regner på samme måten, vil det skape forviklinger. Det har derfor blitt bestemt at vi alle skal følge de samme matematiske regnereglene. Vi skal multiplisere og dividere før vi adderer og subtraherer. Vi sier at multiplikasjon og divisjon har høyere prioritet enn addisjon og subtraksjon. Denne regelen ligger innebygget i de fleste digitale verktøy. Det finns allikevel noen svært enkle kalkulatormodeller som ikke følger disse reglene, så vær litt påpasselig når du bruker slike. 16

17 Parenteser Det hender likevel at vi må regne annerledes. Det skal for eksempel dannes 4 elevgrupper som hver skal bestå av 2 jenter og 3 gutter. For å finne samlet antall elever i gruppene, kan vi addere 2 og 3 og så multiplisere svaret med 4. Da innfører vi parenteser som forteller at vi skal begynne med å regne ut det som står inne i parentesene Når vi regner med brøker, hender det at vi unnlater å skrive parenteser når vi strengt tatt skulle gjort det. Du vil oppleve å se regnestykker på formen Her må vi først regne ut det som står i telleren i brøken, og derfor burde vi ha skrevet oppgaven med parenteser i telleren Det er ikke vanlig å skrive disse parentesene, så her må du være spesielt oppmerksom. Regningen går slik Vi må være spesielt oppmerksomme på å sette riktige parenteser når vi bruker et digitalt verktøy til å regne ut uttrykk som vist ovenfor. I mange slike verktøy skriver vi inn uttrykket på en linje, og vi må da skrive uttrykket ovenfor slik / 5 Potenser 4 Det hender også at det inngår potenser i en regneoppgave. Som du husker fra grunnskolen, er 3 et eksempel på en potens. Vi kan regne ut potensen, og får ganger 4 Å skrive et tall som 3 er altså bare en annen måte å skrive tallet 81 på. Potenser har samme prioritet som multiplikasjon, siden de jo er gjentatte multiplikasjoner. Det er likevel lurt å begynne med å regne ut potensene. 17

18 Vi kan nå sette opp en oversikt over regnerekkefølgen Regnerekkefølge 1. Regn ut det som står inne i parentesene 2. Regn ut potensene 3. Multipliser og divider 4. Utfør addisjonene og subtraksjonene Vi viser noen eksempler på regneoppgaver hvor vi følger disse reglene. Her kan du først bruke hoderegning og se om du klarer å komme fram til svaret. Deretter bruker du et digitalt verktøy, og ser om du da også får samme resultat

19 Brøkregning. Grunnleggende forståelse Se Fra langt tilbake i tiden har mennesker hatt behov for å dele ting. De eldste kjente tegn for det vi kaller brøker, stammer fra Egypt. Omkring 1500 f.kr. hadde Egypterne symboler for en halvpart, en tredjepart osv, altså bare for brøker med 1 i teller. Symbolet for en tredel, så hos de gamle egypterne tilnærmet slik ut. Det sier seg selv at med slike symboler var det ikke særlig lett å regne med brøker, spesielt når de ikke hadde symboler for brøker med andre tall enn 1 i teller. Det var først i middelalderen at brøkstrek ble innført, og da var grunnlaget lagt for at brøkregningen kunne utvikle seg til den form vi kjenner i dag. Innføring av brøkstreken er et eksempel på betydningen av det matematiske språk. Gode begreper, og symboler for disse, er helt avgjørende for utvikling av matematikk, og for at vi kan bruke matematikken til nytte for oss. Brøker har også fått navnet rasjonale tall. Det kommer av ordet rasjon som betyr brøkdel. 19

20 Hva er en brøk? La oss ta utgangspunkt i en hel pizza. Er du skikkelig sulten, kan du kanskje spise en kvart pizza eller kanskje en tredjedels pizza. En kvart og en tredjedel er eksempler på brøker og vi skriver disse som henholdsvis 1 4 og 1 3. Hvilken brøkdel gir mest pizza? Se figuren nedenfor. Brøkene uttrykker hvor stor del (eller brøkdel) du for eksempel tar av en hel pizza. Egentlig burde vi si brøkdel istedenfor brøk. For å forstå regneregler for brøk, må vi selvfølgelig forstå hva en brøk er. Hvor kommer ordene teller og nevner fra? I brøken a b kaller vi a teller og b nevner. Du har kanskje aldri fått forklaring på hvorfor vi bruker disse begrepene. La oss regne ut 1 1. Da får vi Vi teller opp antall tredjedeler og får altså 2 tredjedeler. Tallet over brøkstreken, er i dette tilfellet antall tredjedeler. Når du skriver 2 kilogram eller 2 meter, er kilogram og meter benevninger eller nevnere. På samme måte har 2 tredjedeler benevning eller nevner tredjedeler. Vi kan også si at brøkdelen 2 3 er nevnt med 3. Å trekke sammen brøker med samme nevner Når vi for eksempel legger sammen 3 m + 2 m + 4 m, altså størrelser med samme benevning, trenger vi ikke å foreta oss noe før vi legger sammen. Vi får enkelt og greit 9 m. På samme måte kan vi trekke sammen direkte til

21 Å trekke sammen brøker med forskjellig nevner Utviding av brøker Hvis vi skal legge sammen 3 cm + 2 m + 4 dm, må vi først finne en felles benevning (eller nevner). Deretter kan vi legge sammen. Vi må tenke på samme måte når vi legger sammen 3 halve + 2 tredjedeler + 1 femdel. Vi må først finne en felles nevner. Hva må vi gjøre for å regne ut 3 2 1? Vi velger å la fellesnevner for 2, 3 og 5 være det minste tallet som disse tallene går opp i, altså Hver av brøkene skal altså skrives med nevner 30, men skal fortsatt ha samme verdi. Vi får at Vi skjønner at en brøk ikke endrer verdi når vi multipliserer med samme tall i teller og nevner. Vi kaller denne handlingen å utvide en brøk. Ellers i dagligtale er å utvide det samme som å gjøre større. Men i brøkregning har ordet utvide en annen betydning. Vi burde kopiere den engelske språkbruken nemlig rename. Vi gir brøken et annet navn, men den er like mye verd. Videre er og Da får vi at En brøk der teller er større en nevner, kaller vi en uekte brøk. En uekte brøk kan gjøres om til et blandet tall. Vi får at 2 som betyr Det er viktig at du ikke mekaniserer brøkregningen din. Kanskje du tidligere har gjort om det blandede tallet til uekte brøk uten å være bevisst at et blandet tall er et helt tall pluss en brøk. 21

22 Forkorting av brøker Vi har at 6 6 : : 6 5 Vi skjønner at vi kan dividere med samme tall i teller og nevner uten at brøken endrer verdi. Vi kaller denne handlingen å forkorte en brøk. Ellers i dagligtale er å forkorte det samme som å gjøre kortere eller mindre. Men i brøkregning har ordet forkorte en annen betydning. Vi burde kopiere den engelske språkbruken nemlig simplify. Vi forenkler brøken, men den er like mye verd. Multiplikasjon med brøker Hvilket regnestykke kan du sette opp dersom du blir bedt om å finne det dobbelte av 25? Jo, du kan sette opp regnestykket 2 25 Hvilket regnestykke kan du sette opp dersom du blir bedt om å finne halvparten av en tredjedel? Da kan du sette opp regnestykket Du kan se for deg en tredjedels pizza som du tar halvparten av. Som figuren viser, får du bare sjetteparten av hele pizzaen. Vi har altså at Eksempel En arving fikk en tredjedel av en fjerdedel av en arv. Hvor stor brøkdel av arven gikk til denne arvingen? Løsning Arvingen fikk Eksempel På en skole har to tredjedeler av elevene i Vg1 valgt 1P. To femdeler av disse elevene har dannet en leksegruppe for 1P og kommer sammen en ettermiddag i uka for å arbeide med matematikkoppgaver. Hvor stor brøkdel av alle elevene i Vg1 er med i denne leksegruppa? Løsning Brøkdel som er med i leksegruppa

23 En brøkdel av en brøkdel fører altså til multiplikasjon av brøker. Divisjon med brøker Vi har 6 liter maling, og skal fordele malingen i tolitersbokser. Hvor mange bokser trenger vi? Vi trenger 6 : 2 3 bokser. Men hva hvis vi skal fordele malingen i halvlitersbokser, hvor mange bokser trenger vi da? Vi skjønner at svaret må bli 12 bokser. Hvis vi skal regne på samme måte som ovenfor, så er altså 1 6 : 12 2 Å dividere på 1 2 er altså det samme som å multiplisere med 2. Vi kan skrive regnestykket : : Vi ser altså at når vi skal dividere på en brøk, må vi multiplisere med den omvendte brøken for å få riktig resultat. Vi kunne også ha regnet på denne måten : Vi ser at den regelen vi innførte gir samme resultat som ved å bruke de andre brøkreglene våre. 23

24 Brøkregning. Samlet oversikt Å utvide og forkorte brøker Å utvide en brøk vil si å multiplisere med samme tall i teller og nevner. Å forkorte en brøk vil si å dividere på samme tall i teller og nevner. Eksempel Vi utvider brøken 3 slik at vi får 35 i nevner Vi forkorter brøken : : 12 3 ved å dividere med 12 i teller og nevner. Vi kan også faktorisere teller og nevner og stryke faktor mot faktor Den kanskje mest vanlige måten å vise en forkortning på, er Her viser vi hva som blir igjen etter at vi har delt med 12 i teller og nevner. Utfordring! Faktoriser alle naturlige tall opp til 25. Faktoriser alle naturlige tall opp til 50. Faktoriser alle naturlige tall opp til

25 Addisjon og subtraksjon av brøker Vi adderer og subtraherer brøker (trekker sammen brøker) etter følgende oppskrift: Vi utvider brøkene slik at alle får samme nevner. Vi summerer eller subtraherer tellerne og lar nevneren stå. Til slutt må vi forkorte svaret. Husk å dividere hele tall med 1 slik at de kan oppfattes som brøker Husk å gjøre blanda tall om til uekte brøker Eksempel

26 Multiplikasjon med brøker Vi multipliserer to brøker ved å multiplisere teller med teller og nevner med nevner. Hele tall dividerer vi med 1 slik at de kan oppfattes som brøker. Eksempel Her kan vi ikke forkorte svaret. Eksempel Her kan vi heller ikke forkorte svaret. Divisjon av brøker Å dividere med en brøk er det samme som å multiplisere med den omvente brøken. Eksempel :

27 1.2 Formelregning Problemstillinger Fra ungdomsskolen husker du kanskje at oppskriften for å regne ut arealet til et rektangel er gitt ved formelen A gh. Kanskje var det brukt andre bokstaver i den formelen du husker, men vi velger å bruke bokstaven g for grunnlinje og bokstaven h for høyden. Poenget er at for å regne ut flateinnholdet eller arealet, A, til figuren til høyre, så må du multiplisere grunnlinjen med høyden. g h Eksempel Vi skal regne ut arealet til en fotballbane hvor sidelengdene er 68 m og 105 m. En fotballbane er rektangelformet. Vi lar den lengste siden være grunnlinjen, og den korteste siden være høyden. Vi kan da regne ut arealet, A A g h 105 m68 m 7140 m 2 Vi ser at bokstavene bare er erstatninger for størrelser, og at en formel er en oppskrift for hvordan vi skal regne ut en størrelse. Når vi kjenner grunnlinjen og høyden, kan vi regne ut arealet. Men hvis vi kjenner arealet og grunnlinjen, kan vi da bruke samme formelen og regne ut høyden? Før vi svarer tar vi et nytt eksempel. 27

28 Eksempel Vi er på ferie i USA og opplever en varm sommerdag at temperaturen er på 86 grader fahrenheit. Denne temperaturen sier oss ingenting, og vi ønsker å vite hva dette vil si i grader celsius. Vi finner i en reisehåndbok at sammenhengen mellom temperatur målt i grader fahrenheit og grader celsius er gitt ved formelen 9 F C 32 5 Her står C for temperaturen målt i celsiusgrader og F for temperaturen målt i fahrenheitgrader. En temperatur på 25 celsiusgrader vil i fahrenheitgrader være 9 9 F Men vårt problem var å finne temperaturen i celsiusgrader. Vi kan sette inn 86 grader fahrenheit i formen og får da C Her kan vi ikke bare regne rett fram og finne C. Vi må løse en likning for å finne C. Vi trenger da et lite kurs i å løse likninger. 28

29 Likninger En likning består av et likhetstegn og et uttrykk på hver side av likhetstegnet. Uttrykkene på hver side av likhetstegnet er like. En likning inneholder vanligvis en ukjent størrelse, ofte kalt x. Å løse en likning går ut på å finne ut hvilken verdi x må ha for at uttrykkene på hver side av likhetstegnet skal være like. Vi ser på likningen 9 x 4 Her kan vi prøve oss fram, og vi ser direkte at x må være lik 5 for at uttrykkene på hver side av likhetstegnet skal være like. Vi ser videre på likningen 2x 3 9 Her er det ikke fullt så enkelt å løse likningen direkte. Vi trenger da en framgangsmåte. Vi ser igjen på likningen 9 x 4 Vi fant ut at her må x være lik 5 for å ha likhet. Likningen er altså 9 9. En likning er egentlig bare to tall som er like. Hvis vi til to tall som er like, adderer det samme tallet, så vil vi jo summene fortsatt være to like tall Hvis vi til to tall som er like, subtraherer det samme tallet, så vil vi jo differensene fortsatt være to like tall Hvis vi med to tall som er like, multipliserer dem med det samme tallet, så vil jo produktene fortsatt være to like tall

30 Hvis vi med to tall som er like, dividerer dem med det samme tallet, så vil jo kvotientene fortsatt være to like tall. Disse reglene må gjelde for alle likninger Vi ser igjen på likningen 2x 3 9 Vi kan legge til tallet 3 på begge sider av likhetstegnet og fortsatt ha likhet 2x Vi vet at 3 3 0, og likningen vår blir da 2x 9 3 Resultatet av det vi har gjort er at tallet 3 er flyttet over fra venstre side av likhetstegnet til høyre side, men fortegnet er skiftet fra minus til pluss. Vår likning blir da 2x 12 Vi kan dividere med tallet 2 på begge sider av likhetstegnet og fortsatt ha likhet 6 2 x Etter å ha forkortet brøkene får vi x 6 Vi ser at vi har løst likningen. 30

31 Vi kan da oppsummere hva vi har lov til å gjøre i en likning: Vi kan flytte ledd fra den ene siden av likhetstegnet til den andre siden forutsatt at vi skifter fortegn. Vi kan multiplisere og dividere med samme tall på begge sider av likhetstegnet. Som vi så ovenfor, fikk vi løst likningen ved å bruke overflyttingsregelen og så dividere med samme tall på begge sider av likhetstenet. Vi kan samle opp de regler som vi har sett at gjelder for likninger, sammen med de regneregler som gjelder for tall, og slik få en framgangsmåte vi kan følge for å løse likninger. Framgangsmåten for å løse en likning blir: 1. Hvis likningen inneholder parenteser, må vi først gange ut disse. 2. Hvis likningen inneholder brøker, må vi gange med fellesnevneren på begge sider av likhetstegnet. 3. Vi flytter så over ledd slik at alle ledd som inneholder x kommer på venstre side, og alle ledd som bare består av tall kommer på høyre side. 4. Vi trekker sammen leddene. 5. Til slutt dividerer vi med tallet foran x på begge sider. Hvis likningen ikke inneholder parenteser eller brøker, starter vi med punkt 3. Eksempel 2x 4 4x 8 2x 4x 8 4 Vi flytter 4 til høyresiden og 4 x til venstresiden.vi husker å skifte fortegn. 2x 12 Vi trekker sammen. 2 x Vi dividerer med 2 på begge sider av likhetstegnet og forkorter. x 6 Vi har fått løsningen. 31

32 Hvis likninger inneholder brøker, starter vi med punkt 2 ovenfor. Eksempel 22 x x x 2 2x Minste felles nevner er 2 x x x 1 2x 2 2x Vi må multiplisere hvert ledd med fellesnevneren. 4 8x 3x1 Etter forkortingen er alle brøker borte. 8x 3x 1 4 Vi flytter over og trekker sammen. 5x 5 5 x x 1 Vi dividerer med tallet foran x og forkorter. Når likningen også inneholder parentesuttrykk, starter vi med punkt 1 ovenfor. Eksempel 1 2 x ( 2x 6) x x x x x x 12 Vi multipliserer først ut parentesen. Multipliser med fellesnevneren 6. 32

33 Løsning på problemstillinger Vi kan nå gå tilbake til de problemene vi startet med. Eksempel 2 La arealet av et rektangel være 100 m. La videre grunnlinjen være 25 m. Vi kan da finne høyden ved å løse likningen Høyden er 4 m. A gh h 25h h h 4 Eksempel La temperaturen være 86 grader fahrenheit. For å finne temperaturen i celsiusgrader, løser vi likningen 9 86 C C C C C C 30 Temperaturen er 30 grader Celsius. 33

34 Omforming av formler Vi kan også gjøre om på formler. Vi bruker da samme fremgangsmåte som ved likninger. Formelen for areal av et rektangel er gitt ved A g h Siden vi har å gjøre med en likning, kan vi bruke reglene for løsing av likninger. Bokstavene står jo for tall. Et uttrykk for høyden av rektanglet vil da bli A g h A gh A g h g g A h g h A g Vi har nå funnet en formel for høyden i et rektangel. Denne kan vi bruke hver gang arealet og grunnlinja i et rektangel er oppgitt. Vi kan sjekke om det stemmer med vårt eksempel ovenfor hvor arealet til et rektangel skulle være m og grunnlinja 25 m. Vi får A 100 m h 4 m g 25 m 2 Dette var det samme som vi fikk ovenfor. 34

35 1.3 Forhold og prosentregning Forhold Med forholdet mellom to tall a og b, mener vi brøken a b. Som du ser av definisjonen ovenfor, er forhold i matematikken noe ganske annet enn forholdet til vennene dine. Forholdet mellom tallene 5 og 10 er Forholdet mellom tallene 10 og 5 er Vi støter ofte på forhold i matematikken. Vi skal gi noen eksempler på dette, og også se på hvordan vi kan regne med forhold. Eksempel målestokk på kart 1 Et kart har målestokken Forholdet mellom avstander på kartet og i terrenget er 1: Dette betyr at 1 cm på kartet svarer til cm i virkeligheten. Vi går altså veien om 1. Når vi går fra kartet til terrenget, må vi multiplisere med fordi terrenget jo er større enn kartet. 5,5 cm på kartet svarer til 5,5 cm cm m 27,5 km i terrenget Når vi går fra terrenget til kartet, så må vi dividere med fordi kartet er mindre enn terrenget. 25 km i terrenget svarer til 25 km m cm cm på kartet. 35

36 Eksempel målestokk på hustegning En hustegning har målestokken Det betyr at 1 cm på tegningen svarer til 100 cm i virkeligheten. Vi går også her veien om 1. Når vi går fra tegningen til virkelige mål eller motsatt, så må vi enten multiplisere eller dividere med ,5 cm på tegningen svarer til 5, 5 cm cm 5, 5 m i virkeligheten. 8 m i virkeligheten svarer til 8 m 0, 08 m 8 cm på tegningen. 100 Vi minner om reglene for omgjøring av måleenheter. Lengde måles i meter, m. En tidel av en meter heter desimeter, dm. En hundredel av en meter heter centimeter, cm og en tusendel av en meter heter millimeter, mm. En kilometer, km, er det samme som tusen meter. 1 m = 10 dm = 100 cm = 1000 mm 1 km = 1000 m 36

37 Se Se 37

38 Se Eksempel valuta Valutakurser angir forholdet mellom verdien av norske kroner, NOK, og utenlandsk valuta. Noen valutakurser Valuta 100 DKK 1 EUR 1 GBP 100 SEK 1 USD Verdi i NOK ( ) 121,54 9,06 9,65 84,10 7,01 1 USD (amerikansk dollar) koster 7,01 norske kroner. Da vil 20 USD koste 207,01 NOK 140,20 NOK 100 DKK(danske kroner) koster 121,54 NOK. Det vil si at 1 DKK koster 1,2154 NOK. 20 DKK vil da koste 201, 2154 NOK 24, 31 NOK Vi går også her veien om 1. 38

39 Når vi skal gå motsatt vei, må vi dividere på prisen for 1. For 80 NOK får vi 80 USD 11, 41 USD 7, For 80 NOK får vi DKK 65, 82 DKK 1, 2154 Dette er helt tilsvarende regningsmåte som ved kjøp av for eksempel epler. Hvis prisen for en kg epler er 14 kr, så må vi for 4 kg epler betale 144 kr 56 kr. Tilsvarende får vi for 49 kr 49 kg 3,5 kg epler. 14 Eksempel saft og vann Vi skal blande saft og vann. På saftflasken står det oppgitt at blandingsforholdet er 1:5. Det vil si at for hver del saft skal vi ha 5 deler vann. Vi kan da spørre oss hvor mye ren saft vi trenger for å lage 36 liter saftblanding. Vi må da tenke oss at saftblanding består av 6 deler hvorav 1 del er ren saft. Vi trenger da 36:6 som er lik 6 liter ren saftblanding. 39

40 Eksempel Vi bruker likning Noen ganger er det lurt å sette opp en likning. Hvis vi for eksempel ser en person avbildet ved siden av en bygning som vi fra før av kjenner høyden til, kan vi beregne høyden til personen ved å måle høyden til bygningen på bildet. La oss si at personen på bildet er 3 cm høy, og bygningen på bildet er 7 cm. Vi vet at bygningen i virkeligheten er 3,80 m høy. Da kan vi kalle den virkelige høyden til personen for x, og sette opp likningen x x x 163 Personen er i virkeligheten 1 m og 63 cm høy. Eksempel Beregne avstander Vi vil beregne avstanden bort til en bygning som vi fra før av kjenne høyden til. La oss si at denne bygningen er 6 m høy. Vi holder en blyant loddrett mellom tommelfinger og pekefinger. Samtidig holder vi armen strak ut. Vi holder blyanten slik at når vi sikter langs bunnen av blyanten og langs toppen av den, ser vi henholdsvis bunnen og toppen av bygningen. Vi måler blyanten til 12 cm og armen til 60 cm. Vi kaller avstanden til bygningen for x. Vi kan da sette opp en likning og finne x. x x x cm 12 cm x 6 m Dette betyr at avstanden er 30 m. 40

41 Eksempel Måle høyde Et tre står på en horisontal slette. Vi skal finne ut hvor høyt treet er uten å felle det. Utstyr: Sol Metermål Vi setter en pinne ned i bakken litt bortenfor treet og måler avstanden skyggen kaster ved pinnen og ved treet. Se figuren nedenfor. Forholdet mellom høyden til treet og høyden til pinnen må være lik forholdet mellom skyggene. Vi setter høyden av treet lik x og får x 15 1, 0 1, 2 x 12, 51, 0 x 12, 5 Treet er 12,5 meter høyt. 41

42 Prosentregning Prosent betyr hundredel. 1 1 % 1 hundredel 100 Alle tall kan skrives som prosent. Dette er fordi alle tall kan skrives som en brøk med 1 i nevneren. Vi kan da utvide brøken slik at vi får 100 i nevner. Eksempel 1 Å skrive tall som prosent % , ,34 34 % , , % Eksempel 2 Å skrive prosent som tall % 0, ,23 1,23 % 0, Eksempel 3 Å finne prosentandel Niels Henrik og Mary Ann skal dele en pizza. Pizzaen er delt i 5 like store stykker. Niels Henrik spiser 3 pizzastykker og Mary Ann spiser 2. Hvor mange prosent av pizzaen spiser Niels Henrik? Løsning Niels Henrik sin andel er 3 0,6 60 % 5. Vi regner altså brøken om til desimaltall og finner prosenttallet som i Eksempel 1. 42

43 Eksempel 4 Å finne endring i prosent Pettersen selger moreller. Et år øker han prisen på en kurv moreller fra 35 kr til 40 kr. Hva er prisøkningen i prosent? Løsning Vi finner forholdet mellom prisøkning og gammel pris. Dette forholdstallet gjør vi om til prosent 5 0,143 14,3 % 35 Eksempel 5 Å beregne skattetrekk Linda har sommerjobb og tjener så mye at arbeidsgiveren må trekke 15 % av lønna i skatt. Hvor mye må Linda betale i skatt når hun tjener 3000 kr? Løsning Vi går veien om 1. 1 % av lønnen blir 30 kr kr kr 30 kr. 15 % blir da 100 Linda må betale 450 kr i skatt. Eksempel 6 Å finne salgspris Et par sko koster 540 kr. Det er salg, og skoene settes ned med 40 %. Hva blir salgsprisen på skoene? Løsning 540 kr Vi går veien om 1. 1 % av prisen blir 5, 40 kr. 40 % blir da 5,40 kr kr 100. Salgsprisen blir da 540 kr 216 kr 324 kr 43

44 Eksempel 7 Å regne ut opprinnelig pris Et par jeans selges med 30 % rabatt til 420 kr. Hva var den opprinnelige prisen? Løsning 30 % rabatt betyr at 420 kr svarer til 100 % 30 % 70 % av den opprinnelige prisen. Vi går veien om 1. 1 % av prisen blir 100 % blir da 6 kr kr. 420 kr 6 kr. 70 Den opprinnelige prisen var 600 kr. Prosentpoeng Gjennom media blir vi ofte informert om oppslutningen til politiske partier. Det foretas en meningsmåling, og vi får for eksempel høre at arbeiderpartiet øker oppslutningen fra 30 % til 33 %. Vi sier da at arbeiderpartiet har gått fram 3 prosentpoeng. Men dette betyr ikke at oppslutningen om arbeiderpartiet har økt med 3 %. 3 Økningen i prosent er nemlig 0,1 10 % 30. Det er ikke alle journalister som har fått med seg denne forskjellen, så her må du passe på. Undersøk om du kan finne tekster i media om prosentpoeng! 44

45 Vekstfaktor Eksempel 1 Vi tar for oss en vare som koster kroner. Hva koster varen når prisen økes med 25 %? Løsning Til nå har vi funnet ny pris på følgende måte: Vi beregner prisøkningen ved først å dele på 100 for å finne hva 1 % utgjør, og så multipliserer vi med 25 for å finne hva 25 % utgjør. Så legger vi prisøkningen til gammel pris og finner ny pris. Regnestykket blir 25 Ny pris 1 500kr 1 500kr kr 100 I stedet for å regne som beskrevet ovenfor, kan vi regne slik: Ny pris , , Dette blir mye enklere. Vi multipliserer bare med 1,25. Tallet 1,25 kalles vekstfaktoren. Du ser at du finner ny pris ved å multiplisere med vekstfaktoren. 45

46 Eksempel 2 Vi tar igjen for oss en vare som koster kroner. Hva må du betale for varen når du får et avslag på 25 %? Løsning Vi følger samme framgangsmåte som i Eksempel Ny pris , , Ny pris blir kroner Tallet 0,75 kalles også i dette tilfellet for vekstfaktoren selv om prisen ikke vokser, men avtar. Vi kan kalle det negativ vekst. Du ser igjen at du finner ny pris ved å multiplisere med vekstfaktoren. Dette fører til at prosentregningen blir mye enklere. Du finner alltid ny pris ved å multiplisere med vekstfaktoren. Oppskriften for å finne vekstfaktoren, finner du i regnestykkene i eksemplene. Du tar prosenttallet og dividerer på 100. Så legger du dette tallet til tallet 1 hvis det er økning og du trekker tallet fra 1 hvis det er reduksjon. Konklusjon p Når du skal øke et tall med p %, blir vekstfaktoren p Når du skal redusere et tall med p %, blir vekstfaktoren I begge tilfeller må du multiplisere med vekstfaktoren for å finne den nye verdien. 46

47 Eksempel 3 En vare kostet kroner. Prisen blir satt ned med 15 %. Hva koster varen etter prisavslaget? Løsning Vekstfaktoren blir , Ny pris blir kr 0, kr Ved bruk av vekstfaktor kan du raskt finne ny pris når det skjer flere prosentvise endringer etter hverandre. Eksempel 4 En vare som kostet 500 kroner blir først satt opp med 12 %, for så å bli satt ned med 20 %. Finn ny pris. Løsning Pris etter prisøkning blir 500 kr 1, kr Pris etter prisreduksjon blir 500 kr1,12 0, kr1,12 0, kr Eksempel 5 Et beløp på kroner står i banken til en fast rente på 3 % per år. Hvor mye har beløpet vokst til dersom det står 8 år i banken? Løsning Beløpet etter 8 år kr 1,03 1,03 1,03 1,03 1,03 1,03 1,03 1, kr 1, kr 47

48 I det digitale verktøyet du bruker, er det en egen tast for å opphøye et tall i en høyere potens enn to. Hvis du bruker tastaturet på datamaskinen, skriver du vanligvis 1.03^8. Legg merke til at de fleste digitale verktøy har punktum som desimalskilletegn. Eksempel 6 En vare blir satt ned med 15 % og den nye prisen blir 1700 kroner. Hva kostet varen før prisavslaget? Løsning Vekstfaktoren blir , Vi kaller gammel pris for x, og setter opp en likning x 0, x 0, 85 0, 85 Varen kostet 2000 kroner før prisen ble satt ned , 85 x 2000 Denne oppgaven kunne du også løst ved å gå veien om 1, slik vi gjorde helt i starten av avsnittet om prosentregning. 48

49 1.4 Proporsjonale og omvendt proporsjonale størrelser Proporsjonale størrelser Hanne jobber deltid som telefonselger og har en timelønn på 125 kr. Lønnen avhenger av hvor mange timer hun har jobbet. Jobber hun 10 timer, vil lønnen være 1250 kr. Jobber hun 5 timer, vil lønnen være 625 kr. Forholdet mellom lønn og antall timer hun jobber vil alltid være det samme, og dette forholdstallet vil være det samme som timelønnen. Dette er et eksempel på proporsjonale størrelser. To størrelser, x og y, er proporsjonale hvis forholdet mellom dem alltid er det samme. Med det menes at y k hvor k er et konstant tall. x Dette er det samme som å skrive at y k x. Vi sier y er proporsjonal med x. I vårt tilfelle blir y125 x Vi kan illustrere vårt eksempel med en tabell. Første rad i tabellen viser antall arbeidstimer. Neste rad viser hva Hanne vil tjene med dette timetallet og siste rad viser lønnen delt på arbeidstimer. Vi ser at vi får samme tall i hele rad tre, og dette svarer til at forholdet mellom lønn og arbeidstimer er konstant, og denne konstanten svarer til timelønnen. Lønnen er proporsjonal med antall arbeidstimer. Antall arbeidstimer, x Lønn, y y x

50 Vi kan også illustrere sammenhengen grafisk. Vi avsetter da noen sammenhørende verdier for x og y som punkter i et koordinatsystem slik som figuren nedenfor viser. Legg merke til hva som avsettes på x-aksen og hva som avsettes på y-aksen og hvordan vi skriver punkter med to koordinater, en x- koordinat og en y-koordinat. Vi trekker så en linje gjennom punktene, og vi har tegnet grafen til y125 x. Vi kan bruke denne grafen til å finne ut hvor mange timer vi må jobbe for å oppnå en bestemt inntekt. Du kan lese av grafen, slik pilene viser, at for å oppnå en lønn på 2500 kr må du jobbe 20 timer. Vi kan lese av grafen motsatt vei og finne ut at en arbeidsinnsats på 12 timer gir en lønn på 1500 kr. Grafen til to størrelser som er proporsjonale vil alltid være en rett linje som går gjennom origo, punktet (0,0). Mange av de eksemplene vi så på da vi jobbet med forhold i forrige delkapittel, er egentlig eksempler på proporsjonale størrelser. Dette vil du se når du nå skal jobbe med oppgaver. 50

51 Omvendt proporsjonale størrelser Noen ganger er det slik at produktet av to variable størrelser er konstant. En vennegjeng skal følge fotballaget sitt på bortekamp. De må leie en buss, og busselskapet skal ha kr for å kjøre dem. Hvor mye hver enkelt må betale avhenger av hvor mange som blir med. Det må uansett være slik antall deltakere multiplisert med prisen hver enkelt må betale blir kr. Antall deltakere og prisen per deltaker er omvendt proporsjonale størrelser. Hvis antall deltakere fordobles, vil prisen halveres. Vi kan lage en tabell som viser sammenhengen. Antall deltakere, x Pris per deltaker, y x y Vi kan la x bety antall deltakere og la y være prisen hver deltaker må betale. Vi har da denne sammenhengen: yx Vi kan dividere med x på begge sider av likhetstegnet og får denne sammenhengen: y x 51

52 Vi kan tegne grafen til y med et digitalt hjelpemiddel. Se grafen til høyre. Vi kan lese av grafen, se røde piler, at prisen per deltaker blir 1000 kr hvis det er 10 deltakere, og at prisen per deltaker er 500 kr hvis det er 20 deltakere. To størrelser, x og y, er omvendt proporsjonale hvis produktet av dem alltid er det samme. Med det menes at y x k hvor k er et konstant tall Vi kan også skrive y k x I vårt tilfelle blir funksjonen y x 52