1 Oppsummering om hva som kreves ved bruk av digitale verktøy Graftegner Det skal gå klart fram av den grafiske framstillingen hvilken skala og hvilken enhet som er brukt, på hver av aksene. Det er en fordel at funksjonsutrykket som er tastet inn i graftegneren framkommer på figuren. Det er ikke nødvendig å oppgi verken verditabell eller framgangsmåte (hvordan det er gått fram for å tegne grafen). Det må forklares hvilke kommandoer som er brukt: Skjæring mellom to objekt, Ekstremalpunkt, Nullpunkt, NullpunktIntervall, Stigning, osv. Aktuelle punkter bør framkomme med koordinater på figuren. CAS Oppgavene skal løses algebraisk, det vil si ved hjelp av likninger og kommandoer i et CAS-verktøy. Elevene må selv begrunne og stille opp en riktig likning. Deretter kan CAS brukes direkte. Det er ikke nødvendig å forklare overgangene i hver rad. Regneark Det skal i størst grad brukes formler, slik at løsningen blir dynamisk, det vil si at løsningen endres hvis tallene i en oppgave endres. Regnearkutskriften skal ha med rad- og kolonneoverskrifter. Det skal være med formelutskrift eller tekstboks med formler som er brukt. Det er det faglige innholdet som primært skal vurderes. Men presentasjonen av løsningen skal også vurderes (kommunikasjonskompetanse). Fra Eksamensveiledningen 2015
2 Generelt for GeoGebra Nyttige tips Ctrl + d: I algebravinduet: Skifter mellom Definisjon, Kommando og Verdi. I regnearket: Skifter mellom å vise tall og å vise formler. Ny oppgave i CAS i GeoGebra Start med Ny GeoGebrafil. Navn på objekter du skal bruke, for eksempel a, kan allerede ha en tilordnet verdi. Mellom bokstaver Mellomrom eller gangetegn mellom a og x, a x (a*x), ellers tolker GeoGebra ax som en variabel. Innlegging av uttrykk i CAS f(x):=, a:= Her er altså : sentral I inntastingsveltet i grafikkvinduet er : ikke nødvendig, men kan brukes. Parentestyper Parentesene må brukes på riktig måte: ( ) [ ] { } CAS Enter: Alt + Enter: Mellomromtast: Regner ut inntastet uttrykk Kontrollerer inntasting (I stedet for å bruke verktøyknappen «Bruk inntasting») Du får resultatet i raden ovenfor = Du får inntastingen i raden ovenfor. $3 Setter inn resultatet fra rad 3
3 Innhold i besvarelsen Noen formuleringer som kan brukes (Fra Eksempeloppgaver) Jeg tegner grafen til h i GeoGebra. Jeg tegner grafen til h i GeoGebra for 0 x 10. Jeg bruker kommandoen Ekstremalpunkt for å finne toppunktet. Jeg finner skjæringspunktene mellom grafene ved å bruke kommandoen Skjæring mellom to objekt. Jeg tegner en linje gjennom de to punktene ved å bruke kommandoen Linje gjennom to punkt. Av figuren ser jeg at stigningstallet er 5. Jeg brukte kommandoen Stigning. Svar Gi svaret med litt tekst. NB! Ved grafisk løsning: Det er ikke nok å tegne figur, svar med litt tekst. Noen eksempler på bruk av GeoGebra til eksamen Eksempel Bruk CAS til å drøfte antall løsninger på andregradslikningen 2 ax 2( a 2) x a 0, a. Vi skriver likningen i CAS i GeoGebra: Vi ser at det er én løsning når a = 1 to løsninger når a > 1 ingen løsning når a < 1
4 Eksempel Løs ulikheten 2 2x 3x 2 2x 1. Vi skriver ulikheten inn i CAS i GeoGebra: Vi ser at løsningen på ulikheten er L 1, 3 2 L 1, 1,5 Eksamen R1 Våren 2014
5 Løsning: a Vi bruker Sannsynlighetskalkulatoren i GeoGebra. Dette er en hypergeometrisk situasjon. Vi legger inn 28 for populasjon og 12 for n, som er antall gutter. Vi legger inn 5 for utvalg, som er antall elever som trekkes ut. Sannsynligheten er 0,222 for at akkurat én gutt blir med. Vi løser likningen med CAS i GeoGebra. Fordi antall gutter er et naturlig tall, er den oppgitte sannsynligheten for 2 gutter. Det blir med 2 gutter.
6 Eksempelsett R1 2014 Vi foretar de nødvendige utregningene i CAS-vinduet i GeoGebra.
7 I rad 2 ser vi verdiene av q og p. I rad 3 regner Sum-kommandoen ut gjennomsnittet av disse verdiene. x-koordinaten til midtpunktet mellom p og q er derfor b. 3a Av rad 4 ser vi at x-koordinaten til vendepunktet er b, altså den samme. 3a Alternativ løsning? Vi foretar nødvendige utregninger i CAS-vinduet i GeoGebra. Av rad 2 ser vi at summen av de to nullpunktene er x-koordinaten til midtpunktet mellom p og q er da 2b. 3a b. 3a Av rad 6 ser vi at x-koordinaten til vendepunktet er b, altså den samme. 3a
Eksempel fra Udir 8
9 Eksempelsett S1 2014 Del 2 Oppgave 6 Vi foretar utregningene i CAS-vinduet i GeoGebra. Fig. 2 Av figur 2 ser vi at 2 a og 9 8 b. 3
10 S2 Eksempeloppgave 2014 Løsning Oppgave 3 a Kostnadene per enhet i kroner: E( x) 0.15x 7 2000 x x 10,300. Totalkostnadene i kroner: 2000 2 K( x) x E( x) x0.15x 7 0.15x 7x 2000. Siden vi selger alt som x produseres til prisen 55 kroner per enhet, så er inntekten i kroner gitt ved: I( x) 55x. b Overskuddet i kroner er gitt ved: O(x) = I(x) K(x)
11 Grafisk løsning: Vi skriver inn funksjonene I og K i GeoGebra, deretter skriver vi inn funksjonen O(x) = I(x) K(x). Vi fant nullpunktene til O med kommandoen NullpunktIntervall og toppunktet på grafen til O med kommandoen Ekstremalpunkt. Vi ser at vi vi har overskudd for en produksjon der x 50, 270. Det største overskuddet har vi for x 160. En produksjon på 160 enheter per dag gir altså størst overskudd.
12 Løsning med CAS: Vi legger inn funksjonene K og I i CAS i GeoGebra. Vi ser av rad 5 at det er overskudd for en produksjon når x 50, 270. Vi ser av radene 6, 7 og 8 at den deriverte skifter fortegn fra pluss til minus for x = 160. Overskuddet er derfor størst ved en produksjon på 160 enheter. Kommentar For de kursene der den andrederiverte er gjennomgått, kan andrederiverttesten erstatte radene 7 og 8.
13 Eksempler presentert på sensorskoleringen våren 2014 Eksempel 1
Eksempel 2 14
15 Eksempel (1T/S1/R1) Koordinatene til de to punktene er ( 2, 3) og (2, 3). Eksempel (R1/S1)
, 16
Eksempel R1 17
18 S1/R1 Del 1 Uten hjelpemidler I oppgavene får du bruk for tilnærmingsverdiene i tabellen. x lg x 0,40 0,40 2 0,30 3 0,48 5 0,70 8 0,90 Oppgave En bil ble kjøpt for 400 000 kroner. Verdien av bilen avtar med 20 % per år. a b Hva er vekstfaktoren? Hvor lang tid går det til verdien av bilen er 40 % av innkjøpsprisen? Løsning: a En nedgang på 20 % per år svarer til en vekstfaktor på 0,80. b Det tar ca. 4 år til verdien av bilen er 40 % av innkjøpsprisen.
19 Oppgave I Joars hjemmebakeri etterspørres Randis bollekaker per uke gitt ved E er antall solgte bollekaker når prisen er p kroner. a Hva er etterspørselen når prisen er 8 kr? b Hva er etterspørselen når prisen er 15 kr? c En uke ble det solgt 150 bollekaker. Hva var prisen denne uka? d Finn en formel for p uttrykt ved E. Løsning: a Etterspørselen er 155 bollekaker. b Etterspørselen er 141 bollekaker. c d Prisen var da 10 kr. En formel for p er.
20 Regneark Eksempler fra Udir
Løsning 21