Geometri med GeoGebra Del 1 Bli kjent med GeoGebra GeoGebra er et dynamisk geometriprogram. Det vil si at vi kan gjøre en del endringer på figurene vi tegner, uten å måtte tegne dem på nytt, figuren endres dynamisk. Dette gir oss mange muligheter til å utforske de geometriske figurene. Om vi konstruerer med passer og linjal, vil slik utforsking være mer arbeidskrevende. Når vi arbeider med GeoGebra kan vi velge å arbeide på samme måten som med passer og linjal, å konstruere figurene. Imidlertid har vi en del verktøy å hjelpe oss med som gjør at vi kan tegne vinkler og en del former uten å konstruere. Vi sier derfor at vi tegner når vi bruker GeoGebra med alle verktøyene. I det som følger her, bruker vi de tilgjengelige verktøyene og vi sier derfor at vi tegner, ikke konstruerer. Ordet GeoGebra er sammensatt av to deler: Geo som kommer fra geometri og Gebra som kommer fra algebra. GeoGebra kan også brukes til arbeid med algebra og funksjoner. Nå er det imidlertid geometri som er i fokus. I opplæringen leser du beskrivelser av hvordan noe skal gjøres og løser en eller flere oppgaver for å øve selv. Skjermbildene som vises her er fra GeoGebra 4.4. Du kan laste ned GeoGebra fra www.geogebra.no. Programmet er gratis. H. Aschehoug & Co www.lokus.no Side 1
Skjermbildet i GeoGebra Når du starter GeoGebra ser skjermbildet vanligvis slik ut: Menylinje Angreknapp Aktivt verktøy med mørkeblå kant Verktøylinje Algebrafelt Grafikkfelt Inntastingsfelt Velge oppsett Oppsett av skjermbildet Når vi bruker GeoGebra i geometri, er det som oftest smart å velge oppsettet Geometri. Da har vi de funksjonene vi trenger lett tilgjengelig, nemlig verktøylinja og grafikkfeltet. Vinduet for valg av oppsett vises på nytt om du klikker på den lille pilen i høyre kant av grafikkfeltet. H. Aschehoug & Co www.lokus.no Side 2
Verktøylinja Verktøylinja inneholder verktøyikoner utformet som knapper. Under hver knapp er det flere verktøy. Hvis vi klikker på den lille pilen i nederste høyre hjørne av en knapp, vises en liste med de verktøyene som finnes under knappen. Vi kan da velge hvilket verktøy knappen skal representere. Legg også merke til at når du holder musepekeren over et verktøy, vises en forklaring på hvordan verktøyet brukes. Tips til bruk på projektor Det kan være lurt å vise verktøytipsene til høyre på verktøylinja. Velg innstillinger, Utforming, og huk av for Vis hjelp for verktøylinja H. Aschehoug & Co www.lokus.no Side 3
Punkt og sirkler Punkt Vi kan enten plassere punkt fritt, eller vi kan plassere dem på et objekt (en linje eller en sirkel) eller der to objekt skjærer hverandre. Når vi skal tegne punkt, bruker vi hovedsakelig tre verktøy: verktøy til å avsette nytt punkt verktøy som markerer skjæring mellom to objekt, for eksempel mellom en sirkel og en linje. verktøy som markerer midtpunktet på et linjestykke eller mellom to punkt Oppgave 1 Velg og tegn et punkt. Punktet får navnet A. Hvis navnet ikke kommer opp, høyreklikk på punktet og merk vis navn. Tegn et nytt punkt, B. Velg Tegn et punkt midt mellom A og B ved å klikke først i A, deretter i B. Midtpunktet får navnet C. Sirkel Vi skal i første omgang bruke to ulike framgangsmåter for å tegne en sirkel: sirkel der vi kjenner sentrum og radien sirkel der vi kjenner sentrum og et punkt på periferien Disse verktøyene ligger under den samme knappen. H. Aschehoug & Co www.lokus.no Side 4
Oppgave 2 Tegn ved hjelp av en sirkel med sentrum i A og radius lik 2. Bruk og tegn en ny sirkel med sentrum på sirkelperiferien og med A som periferipunkt. Bruk og marker de to punktene der de to sirklene skjærer hverandre. Tegn to nye sirkler med sentrum i disse skjæringspunktene og A på sirkelperiferien. Fortsett til du har tegnet denne figuren: Lagre På filmenyen finner vi valget for å Lagre GeoGebra-filen vi har jobbet med. Den lagres med filtypen ggb, for eksempel oppgave2.ggb H. Aschehoug & Co www.lokus.no Side 5
To nyttige verktøy: «Flytt eller velg objekt» og «Flytt grafikkfeltet» Med verktøyet Flytt eller velg objekt kan vi endre plasseringen av objekt i tegneflaten. Vi bruker også dette verktøyet for å velge hvilket objekt som skal være det aktive objektet. Det kan være smart å ha dette verktøyet som det valgte verktøyet når vi ikke er i ferd med å tegne noe. Å trykke på escape-tasten (esc) er det samme som å velge dette verktøyet. Med verktøyet Flytt grafikkfelt kan vi flytte tegneflaten, og dermed flytte alt vi har tegnet. Oppgave 3 a Tegn en sirkel med radius lik 4. Bruk og plasser punktet B på sirkelperiferien. b Bruk verktøyet og flytt på sirkelen ved å dra i sirkelbuen eller sentrum. Markøren er en pil når du kan flytte sirkelen. Følger B med? c Flytt B. Hvis du har plassert B på sirkelbuen skal du nå bare kunne flytte B rundt på denne. Oppgave 4 a Avsett to punkt, A og B. Tegn en sirkel med sentrum i A og med B på sirkelperiferien. b Velg verktøyet ved å trykke esc. Prøv å flytte sirkelen ved å dra i sirkelperiferien. c Flytt punktene A og B. Hva skjer? H. Aschehoug & Co www.lokus.no Side 6
Slette og angre Når vi tar i bruk et nytt verktøy med mange muligheter må vi regne med at vi ikke alltid lykkes i første forsøk. Det er derfor viktig å kunne angre og slette når vi har gjort noe feil. I GeoGebra kan du angre med Ctrl + Z. Alternativt kan du bruke knapp for å angre. Den finner du helt til høyre på verktøylinja. For å slette et objekt, velger du objektet med og trykker Delete. Hvis du sletter en sirkel, slettes bare sirkelen og ikke de punktene som bestemmer sirkelen. Når du sletter et objekt, vil alle andre objektene som er avhengige av det objektet du sletter også forsvinne. Oppgave 5 Tegn figuren nedenfor. Slett sirkelen med sentrum i G. Slett deretter sirkelen med sentrum i C. Hvor mye forsvinner? Slett nå sirkelen med sentrum i A. Kan du forklare hva som skjer? H. Aschehoug & Co www.lokus.no Side 7
Linjer I GeoGebra kan du tegne en linje et linjestykke en stråle Alle disse verktøyene ligger under den samme knappen. Oppgave 6 a Avsett to punkt A og B. Tegn én linje som går gjennom de to punktene. b Velg verktøyet og flytt på linja ved å dra i streken, ikke ett av de to punktene. Hvordan beveger den seg? c Flytt på punktet A. Hva skjer nå med linja? Flytt punkt B. Hva skjer med linja? Oppgave 7 a Avsett tre punkt A, B og C som ikke ligger på samme linje. Tegn en stråle fra A gjennom B og en stråle fra A gjennom C. Tegn et linjestykke mellom B og C. H. Aschehoug & Co www.lokus.no Side 8
b Bruk og se hva som skjer når du drar i linjene. Ikke dra i et punkt som er markert på linjene, bare i selve streken som markerer linja. Prøv med alle tre linjene. c Nå flytter du på punktene og observerer hvordan figuren endrer seg. Prøv med alle tre punktene. Oppgave 8 a Tegn et linjestykke AB som har lengde 8. Et lite stykke over plasserer du et nytt linjestykke CD som har lengde 5. Tegn linjestykket AC og BD. Hva slags figur har du nå fått? b Bruk og prøv å flytte på de fire linjestykkene ved å dra i selve linjene. c Prøv å flytte på hvert av de fire punktene og observer hva som skjer. Når du har eksperimentert litt med flytting, kan du da si at du fremdeles har en figur som oppfyller kravene du startet opp med? Forklar. Måle vinkler Vi tegner vinkler ved å tegne to stråler eller to linjestykker som starter i samme punkt. Dersom vi tegner to linjer som skjærer hverandre vil vi få flere vinkler. Måle og markere størrelsen av en vinkel GeoGebra har et verktøy som vi bruker når vi vil måle og markere vinkler. Verktøyet heter Vinkel. H. Aschehoug & Co www.lokus.no Side 9
Vinkelen mellom to linjestykker 1 Tegn en vinkel ved å tegne to linjestykker med Begge skal starte i det punktet som blir vinkelens toppunkt. 2 Velg verktøyet Vinkel. 3 Klikk på vinkelbeina, rekkefølgen skal være mot klokka. Oppgave 9 a Tegn to linjestykker slik at de danner en vinkel med toppunkt i enden av de to linjestykkene. Mål vinkelen mellom dem. b Bruk verktøyet og flytt på linjestykkenes endepunkt. Prøv med alle tre punktene. Følg med på hvordan vinkelen endres. Kan du lage en vinkel som er 90? En som er 120? 180? 275? 354? Vinkler som dannes av to linjer som skjærer hverandre Når vi skal måle en av vinklene som dannes av to linjer som skjærer hverandre, må vi bruke tre punkt (et i toppunktet og et på hvert vinkelbein) for å markere hvilken vinkel vi skal måle. 1 Tegn to linjer som skjærer hverandre ved hjelp av 2 Marker skjæringspunktet mellom linjene med Dette blir vinklenes toppunkt. H. Aschehoug & Co www.lokus.no Side 10
3 Mål vinkelen ved å klikke i et avsatt punkt på første vinkelbein, deretter toppunktet og til slutt i et avsatt punkt på andre vinkelbein. Rekkefølgen på vinkelbeina skal være mot klokka. Oppgave 10 a Tegn to linjer som krysser hverandre. Marker punktet der de to linjene skjærer hverandre. Mål alle fire vinklene som dannes av de to linjene. b Endre vinklene ved å flytte på punktene som linjene går gjennom. Kan du se noen sammenheng mellom størrelsen på vinklene? Oppgave 3.4 i Nummer 8. H. Aschehoug & Co www.lokus.no Side 11
Oppgave 3.8 i Nummer 8. H. Aschehoug & Co www.lokus.no Side 12