Transformanalyse Jan Egil Kirkebø Universitetet i Oslo janki@ifi.uio.no 17./23. september 2019 Jan Egil Kirkebø (Inst. for Inf.) IN3190/IN4190 17./23. september 2019 1 / 22
Egenfunksjoner til LTI-systemer Et filter er entydig bestemt av filterkoeffisientene {a k, b k }. Vi lar x(t) være inngangen til et system. Dersom utgangen fra systemet er y(t) = λx(t) (det vil si at systemet bare gir en kompleks skalering av inngangen) sier vi at x[n] er en egenfunksjon til systemet med egenverdi λ. Vi så i kapittel 3 at x[n] = z n er en egenfunksjon til LTI-systemer. Vi så i kapittel 4 mer spesifikt at x[n] = e jωn (z evaluert på enhetssirkelen) er en egenfunksjon til LTI-systemer. x[n] LTI λx[n] Jan Egil Kirkebø (Inst. for Inf.) IN3190/IN4190 17./23. september 2019 2 / 22
Egenfunksjoner til LTI-systemer (forts.) Vi antar at vi har et stabilt system hvor ROC til H(z) inneholder enhetssirkelen. En konsekvens av egenfunksjonegenskapen til komplekse eksponensialer er følgende: For et LTI-system hvor input er en sinusoide, så vil det for output kun være en forandring i amplitude og fase (frekvensen er den samme!). Tilsvarende: Dersom et system forandrer på frekvensen til en sinusoide så må det være ikke-lineært eller tidsvariant. Vi kaller H(e jω ) for frekvensresponsen til LTI-systemet, med magnitude og fase H ( e jω) og H ( e jω). Jan Egil Kirkebø (Inst. for Inf.) IN3190/IN4190 17./23. september 2019 3 / 22
Steady-state og transient-respons Egenfunksjonsegenskapen til LTI-systemer holder bare hvis x[n] er en kompleks eksponensiel med uendelig lengde ( < n < ). I praksis må ethvert signal ha endelig lengde. For et kausalt system (h[n] = 0, n < 0) og x[n] = e jωn u[n] så kan output skrives som en differanse av en steady-state del og en transient-respons: y[n] = y ss [n] y tr [n]. Når n får vi at lim n y[n] = H ( e jω) e jωn = y ss [n]. Vi er generelt interessert i steady-state responsen til et system. Jan Egil Kirkebø (Inst. for Inf.) IN3190/IN4190 17./23. september 2019 4 / 22
Steady-state og transient-respons for sinusoide Jan Egil Kirkebø (Inst. for Inf.) IN3190/IN4190 17./23. september 2019 5 / 22
Steady-state og transient-respons for korttidsminne Jan Egil Kirkebø (Inst. for Inf.) IN3190/IN4190 17./23. september 2019 6 / 22
Steady-state og transient-respons for langtidsminne Jan Egil Kirkebø (Inst. for Inf.) IN3190/IN4190 17./23. september 2019 7 / 22
Forvrengning Forvrengningsfritt system Output har samme form som input, dvs. y[n] = Gx[n n d ], G > 0 H ( e jω) = G og H ( e jω) = ωn d, dvs. magnituderesponsen er konstant og faseresponsen er lineær. Magnitude- og faseforvrengning Vi sier at et system gir magnitudeforvrengning hvis H(e jω G. Vi sier at et system gir faseforvrengning hvis H(e jω ) ωn d. Allpass-system Magnituderesponsen er konstant ( H ( e jω) = G) og systemet karakteriseres dermed kun av faseresponsen. Jan Egil Kirkebø (Inst. for Inf.) IN3190/IN4190 17./23. september 2019 8 / 22
Forvrengning (forts.) Jan Egil Kirkebø (Inst. for Inf.) IN3190/IN4190 17./23. september 2019 9 / 22
Faseforsinkelse og gruppeforsinkelse Faseforsinkelse Dersom fasen ikke er en lineær funksjon av frekvens ( H(e jω ) ωn d ) så kaller vi forvrengningen som oppstår for fase- eller forsinkelsesforvrengning. Det kan det være mer fornuftig å se på faseforsinkelsen enn selve fasen: Gruppeforsinkelse τ pd (ω) = H(ejω ). ω For å sjekke lineariteten til faseresponsen definerer vi gruppeforsinkelsen: τ gd (ω) = dψ(ω) dω. For å beregne den deriverte må faseresponsen være en kontinuerlig funksjon av frekvens. Jan Egil Kirkebø (Inst. for Inf.) IN3190/IN4190 17./23. september 2019 10 / 22
Frekvensselektive filtre Et frekvensselektivt filter er et filter som lar noen frekvenskomponenter passere med lite forvrengning, mens andre blir kraftig (eller helt) undertrykket. Et ideelt båndpassfilter er gitt ved: H ( e jω) { e jωn d, ω = l ω ω u 0, ellers. ω l og ω u er nedre og øvre kuttfrekvenser for passbåndet. Båndbredden til filteret er ω = ω u ω l. Siden H ( e jω) er periodisk med periode 2π radianer så har lave frekvenser verdier rundt ω = 0 og høye frekvenser har verdier rundt ω = π radianer. Jan Egil Kirkebø (Inst. for Inf.) IN3190/IN4190 17./23. september 2019 11 / 22
Ideelle lavpassfiltre Et ideelt lavpassfilter er gitt ved: H ( e jω) { e jωn d, ω ω = c 0, ω c < ω π. Impulsresponsen til det ideelle lavpassfilteret er h lp [n] = sin ω c(n n d ). π(n n d ) Vi ser at h lp [n] har uendelig lengde, og output fra et ideelt lavpassfilter kan derfor ikke beregnes i praksis. Vi trenger metoder for å approksimere ideelle lavpassfiltre! Jan Egil Kirkebø (Inst. for Inf.) IN3190/IN4190 17./23. september 2019 12 / 22
Båndpassfilter i praksis Jan Egil Kirkebø (Inst. for Inf.) IN3190/IN4190 17./23. september 2019 13 / 22
Ideelle frekvensselektive filtre Jan Egil Kirkebø (Inst. for Inf.) IN3190/IN4190 17./23. september 2019 14 / 22
Poler, nuller og frekvensresponsen LTI-systemer kan uttrykkes ved differenseligningen N M y[n] = a k y[n k] + b k x[n k]. Systemfunksjonen er k=1 k=0 H(z) = M k=0 b kz k M N k=1 a kz = b k=1 (1 z kz 1 ) k 0 N k=1 (1 p kz 1 ) = B(z) A(z). Hvis systemfunksjonen konvergerer på enhetssirkelen får vi Fouriertransformen ved å evaluere systemfunksjonen på enhetssirkelen: ( M H(e jω k=1 ) = b (1 z ke M ) jω ) 0 N k=1 (1 p ke jω ) = b 0e jω(n M) k=1 (ejω z k ) N. k=1 (ejω p k ) Jan Egil Kirkebø (Inst. for Inf.) IN3190/IN4190 17./23. september 2019 15 / 22
Eksempel: H(z) = 1+1.566z 1 +1.655z 2 +z 3 1 1.57z 1 +1.264z 2 0.4z 3 Jan Egil Kirkebø (Inst. for Inf.) IN3190/IN4190 17./23. september 2019 16 / 22
Magnitude- og faserespons Jan Egil Kirkebø (Inst. for Inf.) IN3190/IN4190 17./23. september 2019 17 / 22
Magnitude- og faserespons (forts. Vi ser at e jω z k = Z k Z = Q k e jθ k og e jω p k = P k Z = R k e jφ k. Q k (ω) er distansen fra kte null til z = e jω. R k (ω) er distansen fra kte pol til z = e jω. Θ k (ω) er vinkelen mellom kte null og den reelle aksen. Φ k (ω) er vinkelen mellom kte pol og den reelle aksen. Magnituderesponsen for en frekvens ω er gitt ved produktet av lengdene av vektorene fra nullene til z = e jω delt på produktet av lengden av vektorene fra polene til z = e jω. Jan Egil Kirkebø (Inst. for Inf.) IN3190/IN4190 17./23. september 2019 18 / 22
Filterdesign ved poll-/nullplassering Ved plassering av poler og nuller i Z-planet har vi: For å undertrykke en frekvenskomponent ω = ω 0 bør vi plassere en null med vinkel θ = ω 0 på enhetssirkelen. For å forsterke en frekvenskomponent ω = ω 0 bør vi plassere en pol med vinkel φ = ω 0 svært nær men innenfor enhetssirkelen. Komplekse poler og nuller bør inntreffe som kompleks-konjugerte par slik at systemet har reelle koeffisienter. Poler og nuller i origo påvirker ikke magnituderesponsen fordi de har samme distance til alle punkter på enhetssirkelen. En pol eller null på enhetssirkelen legger til (eller trekker fra) en lineær fase på ω radianer til faseresponsen. Jan Egil Kirkebø (Inst. for Inf.) IN3190/IN4190 17./23. september 2019 19 / 22
Relevante Matlab-funksjoner filter: 1-D digital filter y = filter(b,a,x) filters the input data x using a rational transfer function defined by the numerator and denominator coefficients b and a. freqz: Frequency response of digital filter [h,w] = freqz(b,a,n) returns the n-point frequency response vector h and the corresponding angular frequency vector w for the digital filter with transfer function coefficients stored in b and a. angle: Phase angle theta = angle(z) returns the phase angle in the interval [ π, π] for each element of a complex array z. The angles in theta are such that z = abs(z).*exp(i*theta). Jan Egil Kirkebø (Inst. for Inf.) IN3190/IN4190 17./23. september 2019 20 / 22
Egenskaper ved Fouriertransformasjonen Egenskap Tid Fourier ( Linearitet ax 1 [n] + bx 2 [n] ax 1 e jω ) ( + bx 2 e jω ) Tidsskift x[n k] e jkω X ( e jω) Frekvensskift e jω0n x[n] X ( e j(ω ω 0) ) 1 Modulasjon x[n] cos ω 0 n 2 X ( e j(ω+ω 0) ) + 1 2 X ( e j(ω ω 0) ) Folding x[ n] X ( e jω) Komplekskonjugering x [n] X ( e jω) Derivasjon nx[n] j dx(ejω ) dω Konvolusjon x[n] h[n] X ( e jω) H ( e jω) 1 Vindusfunksjon x[n]w[n] 2π 2π X ( e jθ) W ( e j(ω θ)) dθ Jan Egil Kirkebø (Inst. for Inf.) IN3190/IN4190 17./23. september 2019 21 / 22