Potenser og prosenter 1.9 Læreplanmål 1 1.1 Potenser 2 1.2 Potensene a 0 og a n 2 1.3 Flere regneregler for potenser 3 1.4 Tall på standardform 5 1.5 Regning med tid 7 1.6 Prosentfaktorer 9 1.7 Vekstfaktorer 11 1.8 Prosentvis endring i flere perioder 15 1.9 Symboler, formler og eksempler 18 Læreplanmål for 2P Regne med potenser og tall på standardform med positive og negative eksponenter og bruke dette i praktiske sammenhenger Regne med prosent og vekstfaktor, gjøre suksessive renteberegninger og regne praktiske oppgaver med eksponentiell vekst
1.1 Potenser Oppgave 1.10 a) 3 2 b) ( 3) 2 c) 3 3 d) ( 3) 3 3 3 = 9 3 3 = 9 3 3 3 = 27 3 3 3 = 27 Oppgave 1.11 Bruker :. a m a n = a m+n. a) 3 2 3 3 b) 2 4 2 6 c) 5 3 5 d) 10 2 10 3 10 5 e) 2 10 4 5 10 3 3 2+3 = 3 5 2 4+6 = 2 10 5 3+1 = 5 4 10 2+3+5 = 10 10 Husk at 2 5 = 10 = 10 1 10 1 10 4+3 = 10 8 Oppgave 1.12 Bruker : a m a n = am n. a) 24 105 23 b) c) 43 4 2 d) 38 3 6 e) 2 105 6 10 2 10 3 4 4 3 5 3 7 4 10 4 2 4 3 = 2 1 = 2 10 5 3 = 10 2 10 10 = 100 4 3+2 4 = 4 1 = 4 3 8+6 5 7 = 3 2 3 3 = 9 12 107 = 3 4 10 4 103 = 3000 1.2 Potensene a 0 og a n Oppgave 1.20 Bruker :. a 0 = 1 og a n = 1 a n a) 5 0 b) 2 0 c) 5 1 d) 2 4 5 0 1 2 0 1 5 1 = 1 5 1 = 1 5 2 4 = 1 2 4 = 1 2 2 2 2 = 1 16 e) 10 2 f) 10 0 g) 10 4 10 2 = 1 10 2 = 1 100 10 0 1 10 4 = 1 10 4 = 1 10 000 2
Oppgave 1.21 Bruker :. a m a n = a m+n. og am a n = am n. a) 2 3 2 4 b) 3 4 3 5 c) 3 2 d) 2 3 2 5 e) a4 a 3 3 3 2 3 2 1 a 2 a 2 3 4 = 2 1 = 1 2 3 4+5 = 3 1 = 3 3 2 ( 3) = 3 1 = 3 2 3+5 3 ( 1) = 3 0 = 1 a 4 3 ( 2) 1 = a 2 1.3 Flere regneregler og potenser Oppgave 1.30 Bruker :. ( a b )n = an b n a) ( 1 2 )3 b) ( 2 3 )3 c) ( 1 10 )3 d) ( 2 3 )4 ( 1 2 )3 = 13 2 3 = 1 1 1 2 2 2 = 1 8 ( 2 3 )3 = 23 3 3 = 2 2 2 3 3 3 = 8 27 ( 1 10 )3 = 13 = 10 3 1 1 1 = 1 10 10 10 1000 ( 2 3 )4 = 24 3 4 = 2 2 2 2 = 16 3 3 3 3 81 Oppgave 1.31 Bruker :. ( a b )n = an am bn og = a n am n. a) ( 2 3 )3 3 3 b) 25 5 2 (5 2 )3 c) ( x 2 )2 d) 3 5 ( x 3 )4 ( 2 3 )3 3 3 = 23 3 3 9 = 8 27 9. = 72 27 = 8 3 25. = 5 2 (5 2 )3 = 25 53 5 2 2 3 32 125 25 8 = 4 5 1 = 20 ( x 2 )2 = x2 2 2. = x2 4 3 5 ( x 3 )4 = 3 5 x4 3 4. = 3 5 4 x 4 = 3x 4 3
Oppgave 1.32 Bruker : (a m ) n = a m n og am a n = am n. a) (5 10 3 ) 3 b) (2 10 2 ) 1 (5 10 3 ) 3 = 5 3 10 3 3 = 125 000 000 000 = 125 10 9 = 1, 25 10 11 (2 10 2 ) 1 = 2 1 10 2 1 = 1 2 10 2 = 1 2 1 100 == 1 200 = 0, 005 c) (3 10 3 ) 2 (3 10 2 ) 1 (3 10 3 ) 2 (3 10 2 ) 1 = 3 2 10 3 2 3 1 10 2 1 = 3 2 10 6 3 1 10 2 = 3 1 10 4 = 0, 0003 d) 5 10 2 9 10 4 3 10 3 5 10 2 9 10 4 = 5 9 3 10 3 3 10 2+4 3 = 15 10 1 = 1, 5 Oppgave 1.33 Bruker :. a m a n = a m+n., a m a n = am n,. (a m ) n = a m n og a n = 1 a n a) x 7 (x 2 ) 3 b) (2x 2 ) 1 2x 3 c) (2a2 ) 2 (2a 3 ) 2 d) (x2 y 2 1 ) (x 2 ) 2 y 3 (2 2 a 1 ) 3 (2a) 4 (xy 2 ) 3 x 7 (x 2 ) 3 = x 7 x 6 = x 7+( 6) = x 1 = x (2x 2 ) 1 2x 3 = 2 1 x 2 2x 3 = 1 2 x2 2x 3 = 1 2 2 x2+( 3) = 1 x 1 = 1 x (2a2 ) 2 (2a 3 ) 2 (2 2 a 1 ) 3 (2a) 4 = (2 2 a 4 ) (2 2 a 6 ) (2 2 3 a 3 ) (2 4 a 4 ) = 2 2 a 4 2 2 a 6 2 6 a 3 2 4 a 4 = 2 2+2 a 4+( 6) 2 6+( 4) a 3+( 4) = 20 a 10 2 2 a 7 = 2 0 2 a 10 ( 7) = 2 2 a 3 (x2 y 2 ) 1 (x 2 ) 2 y 3 (xy 2 ) 3 = x2 1 y 2 1 x 2 2 y 3 (x 3 y 2 3 ) = x 2 y 2 x 4 y 3 x 3 y 6 = x 2+4 y 2+3 x 3 y 6 = x2 y 5 x 3 y 6 = x 2 ( 3) y 5 ( 6) = 1 4 a 3 = x 5 y 11 = 1 4 1 a 3 = 1 4a 3 4
1.4 Tall på standardform Oppgave 1.40 Skriv som hele tall eller som desimaltall a) 2,3 10 3 b) 7,1 10 2 c) 8,44 10 6 d) 2,92 10 5 2300 0, 071 8 440 000 0, 0000292 Oppgave 1.41 Skriv på standardform a) 0,000153 b) 14 300 c) 937 000 000 d) 0,00000275 1, 53 10 4 1, 43 10 4 9, 37 10 8 2, 75 10 6 Oppgave 1.42 Regn ut både med og uten lommeregner. Skriv svaret som desimaltall. a) 5 10 3 3 10 6 b) 2 10 1 5 10 1 c) 8,4 10 2 2,1 10 d) 5 10 2 9 10 4 3 3 10 3 5 10 3 3 10 6 = 5 3 10 3+( 6) = 15 10 3 = 0, 015 2 10 1 5 10 1 = 2 5 10 1+( 1) = 10 10 2 = 0, 1 8,4 10 2 8,4 2,1 10 3 = 2,1 10 2 ( 3) = 4 10 1 = 40 5 10 2 9 10 4 3 10 3 = 5 9 3 10 2+4 3 = 15 10 1 = 1, 5 Oppgave 1.43 Regn ut både med og uten lommeregner. Skriv svaret på standardform. a) 4 10 4 2 10 2 b) 8 10 6 3 10 2 c) 3,2 105 4 10 2 d) 2 107 4 10 5 1,6 10 3 (4 10 2 ) 2 4 10 4 2 10 2 = 4 2 10 4+2 = 8 10 2 8 10 6 3 10 2 = 8 3 10 6+( 2) = 24 10 4 = 2, 4 10 5 3,2 105 4 10 2 1,6 10 3 = 3,2 4 1,6 105 2 ( 3) = 8 10 6 2 107 4 10 5 (4 10 2 ) 2 = 2 107 4 10 5 4 2 10 2 2 = 2 4 16 107+5 ( 4) = 0,5 10 16 = 5 10 15 5
Oppgave 1.44 Gjør om til standardform og regn ut. a) 12 000 000 0,0000023 b) 0,00075 0,000000017 12 000 000 0,0000023 = 1,2 10 7 2,3 10 6 = 1,2 2,3 10 7+( 6) = 2,76 10 1 = 27,6 0,00075 0,000000017 = 7,5 10 4 1,7 10 8 = 7,5 1,7 10 4+( 8) = 12,75 10 12 = 1,275 10 11 = 0,0000000000001275 Du må nå spørre deg selv; Hvilket av de tre nederste svarene er mest hensiktsmessig? Gjør om til standardform og regn ut. c) 4 600 000 000 0,000002 d) 0,00045 0,0012 27 000 000 4 600 000 000 0,000002 = 4,6 109 2 10 6 = 4,6 2 109 ( 6) = 2,3 10 15 = 2 300 000 000 000 000 0,00045 0,0012 27 000 000 = 4,5 10 4 1,2 10 3 2,7 10 7 = 4,5 1,2 2,7 = 2 10 14 10 4+( 3) 7 = 0,00000000000002 Du må nå spørre deg selv; Hvilket av de to nederste svarene er mest hensiktsmessig i c) og d)? Oppgave 1.45 Jordradien er 6 400 000 m. Bruk formelen V = 4 3 π r3 og regn ut volumet av jorda i kubikkmeter. V = 4 3 π r3 = 4 3 π (6 400 000 m)3 = 4 3 π 262 144 000 000 000 000 000 m3 = 1,098066219 10 21 m 3 1, 1 10 21 m 3 6
1.5 Regning med tid Oppgave 1.50 Regn om til sekunder a) 23 min 12 s b) 2 h 45 min 30 s c) 3 døgn 14 h 32 min 10 s 23 min 12 s = 23 60 s + 12 s = 1380 s + 12 s = 1392 sekunder 2 h 45 min 30 s = 2 3600 + 45 60 + 30 = 7200 + 2700 + 30 = 9930 sekunder 3 døgn 14 h 32 min 10 s = 3 24 3600 + 14 3600 + 32 60 + 10 = 259 200 + 50 400 + 1920 + 10 = 311 530 sekunder Oppgave 1.51 Regn om til timer, minutter og sekunder a) 3250 s b) 14 440 s c) 75 245 s 3250 s = 23 60 s + 12 s = 1380 s + 12 s = 1392 sekunder 14 440 s = 2 3600 + 45 60 + 30 = 7200 + 2700 + 30 = 9930 sekunder 75 245 s = 3 24 3600 + 14 3600 + 32 60 + 10 = 259 200 + 50 400 + 1920 + 10 = 311 530 sekunder Oppgave 1.52 Hvor mange år er du når du er 1 000 000 000 s gammel? Vi har at ett år er omtrent 365,2422 dager. I én dag er det 24 60 60 sekunder som er 86 400 sekunder. I ett år blir det 365,2422 86400 sekunder som er 31556926,08 sekunder. 1 000 000 000 31 556 926,08 = 31,68876454 år eller 31 år og 251 dager. Oppgave 1.53 a) Håkon dro hjemmefra kl. 19.42 og var borte i 2 timer og 45 minutter. Når kom Håkon hjem? Vi tar utgangspunkt i klokken 19.42 og legger til 2 timer og får da 21.42. Vet da at vi skal legg til ytterligere 45 minutter. Finner først ut at det fra 21.42 til 22.00 er 18 minutter. Det betyr at Håkon kommer hjem 22. 00 + (45 18 minutter) = 22. 27 7
b) Kristin var borte i 3 timer og 25 minutter og kom hjem kl. 22.12. Når dro hun hjemmefra? Vi tar utgangspunkt i klokken 22.12 og trekker fra 3 timer og får da 19.12. Vet da at vi skal trekke fra ytterligere 25 minutter. Finner først ut at det fra 19.12 til 19.00 er 12 minutter. Det betyr at Kristin dro hjemmefra 19. 00 (25 12 minutter) = 18. 47 c) Anne dro hjemmefra kl. 21.48 og kom hjem på natta kl. 01.12. Hvor lenge var hun borte? Vi tar utgangspunkt i klokken 21.48 og legger til 4 timer og får da 01.48. Vi ser at denne tiden er for litt for lang. Tar da 48 minutter 12 minutter = 36 minutter. Tiden er altså 36 minutter for lang. Vi tar 60 minutter 36 minutter = 24 minutter. Som gir oss at Anne var borte i 3 timer og 24 minutter. Oppgave 1.54 a) Petter startet i et skirenn kl. 11.46.45 og kom i mål kl. 14.11.57. Hvor lang tid brukte han? Vi ser på de to klokkeslettene 11.46.45 og 14.11.57. Ser først på sekundene. 57 45 = 12 Fint at svaret her blir positivt. Vi har nå hvor mange sekunder svaret skal inneholde. Vi ser nå bort ifra sekundene og tar da utgangspunkt i klokken 11.46 og legger til 3 timer og får da 14.46. Vi ser at denne tiden er for lang. Tar da 46 minutter 11 minutter = 35 minutter. Tiden er altså 35 minutter for lang. 60 minutter (én time) 35 minutter = 25 minutter. Det betyr at svaret er 2 timer 25 minutter 12 sekunder. b) Markus startet kl. 11.51.15 og kom i mål kl. 14.16.03. Vi ser på de to klokkeslettene 11.51.15 og 14.16.03. Ser først på sekundene. 03 15 = 12 Her ble svaret negativt. Det betyr at vi må låne ett minutt (60 sekunder). 60 12 = 48. Vi ser nå bort ifra sekundene og tar da utgangspunkt i klokken 11.51 og legger til 3 timer og får da 14.51. (Husk at vi allerede har lånt ett minutt fra kl. 14.16 slik at det ikke er 16, men 15 vi nå trekker ifra.) Vi ser at denne tiden er for lang. Tar da 51 minutter 15 minutter = 36 minutter. Tiden er altså 36 minutter for lang. 60 minutter (én time) 36 minutter = 24 minutter. Det betyr at svaret er 2 timer 24 minutter 48 sekunder. c) Tobias gikk i mål kl. 14.19.12 og hadde brukt 2.15.27. Når startet Tobias? Vi trekker først fra 27 sekunder til tiden 14.19.12 og får 14.18.45 Så trekker vi fra 15 minutter på tiden 14.18.45 og får 14.03.45 Til slutt trekker vi fra 2 timer på tiden 14.03.45 og får 12.03.45 Tobias startet klokken 12.03.45. 8
1.6 Prosentfaktorer Oppgave 1.60 Finn prosentfaktoren til a) 5 % b) 27 % c) 125 % d) 4,5 % e) 1, 75 % f) 123,2 % 5 27 5 5 5 5 = 0, 05 = 0, 27 = 1, 25 = 0, 045 = 0, 0175 = 1, 232 100 100 100 100 100 100 Oppgave 1.61 Finn prosenten når prosentfaktoren er a) 0,02 b) 0,13 c) 1,50 d) 0,017 e) 0,225 f) 1,07 0,02 100% 0,13 100% 1,50 100% 0,017 100% 0,225 100% 1, 07 100 = 2 % = 13 % = 150 % = 1, 7 % = 22, 5 % = 107 % Oppgave 1.62 Vi betaler 25 % merverdiavgift for varer som ikke er matvarer. Finn merverdiavgiften for slike varer når prisen uten merverdiavgift er a) 400 kr b) 3300 kr c) 22 600 kr 25 % av 400 kr = 0,25 400 = 100 kroner 25 % av 3300 kr = 0,25 3300 = 825 kroner 25 % av 22 600 kr = 0,25 22 600 = 5650 kroner Oppgave 1.63 Anne har tre kontoer i banken. På kontoene står det 2500 kr, 37 800 kr og 178 000 kr. Hun får 2,4 % rente per år på alle kontoene. Bruk prosentfaktoren til å regne ut hvor mange kroner hun får i rente på hver av disse kontoene på ett år. Konto med 2500 kr : Konto med 37 800 kr : Konto med 178 000 kr : 2,4 % av 2500 kr = 0,024 2500 = 60 kr 2,4 % av 37 800 kr = 0,024 37 800 = 907, 20 kr 2,4 % av 178 000 kr = 0,024 178 000 = 4272 kr 9
Oppgave 1.64 Thea kjøper en moped som koster 18 000 kroner. Hun får 2700 kroner i avslag. Hvor mange prosent avslag får hun? Vi finner prosentfaktoren: Prosentdelen av tallet Tallet vi regner prosenten av = Finner prosenten når vi kjenner prosentfaktoren: 0,15 100 % = 15 % Thea får 15 % avslag. Avslaget i kroner = 2700 = 0,15 Det mopede koster før avslaget 18 000 Oppgave 1.65 Anders setter 12 000 kr i banken. Etter ett år har han fått 300 kr i rente. Hvor mange prosent rente fikk han? Prosentfaktoren Tallet vi regner prosenten av = Prosentdelen av tallet det betyr at Prosentfaktoren = Prosentdelen av tallet Tallet vi regner prosenten av = Rentene Anders fikk Pengene Anders har i banken = Prosenten = Prosentfaktoren 100 % = 0,025 100 % = 2,5 % Anders fikk 2,5 % rente. 300 kr = 0,025 12 000 kr Oppgave 1.66 a) Thea skal kjøpe moped. Hun ser på en som koster 24 000 kr. Hun kan få 1080 kr i avslag i prisen. a) Hvor mange prosent avslag kan hun få? Prosentfaktoren Tallet vi regner prosenten av = Prosentdelen av tallet det betyr at Prosentfaktoren = Prosentdelen av tallet Tallet vi regner prosenten av = Avslaget Thea kan få Det mopeden koster Prosenten = Prosentfaktoren 100 % = 0,045 100 % = 4,5 % Thea kan få 4,5 % avslag. 1080 kr = = 0,045 24 000 kr b) Thea ser på en annen moped. Hun kan få 5 % avslag på prisen. Det svarer til 1650 kr. Hvor mye koster denne mopeden uten avslag? Finner prosentfaktoren til 5 % : Prosentfaktoren = Prosenten 100 % = 5 % 100 % = 0,05 Prosentfaktoren Tallet vi regner prosenten av = Prosentdelen av tallet vi gjør om formelen 10
Tallet vi regner prosenten av = det betyr at Det mopeden koster uten avslag = Mopeden koster 33 000 kr uten avslag. Prosentdelen av tallet Prosentfaktoren Avslaget Thea kan få Prosentfaktoren = 1650 kr 0,05 = 33 000 kr Oppgave 1.67 For transport er merverdiavgiften 8 %. (Denne ble endret til 12 % i 2018) Hva koster en reise uten merverdiavgift når merverdiavgiften er 600 kr? Hva blir prisen med merverdiavgift? 8 % tilsvarer en prosentfaktor på 0,08. 8 % 100 % = 0,08 Det reisen koster uten merverdiavgift = Merverdiavgiften Prosentfaktoren Reisen koster med merverdiavgift 7500 kr + 600 kr = 8100 kr 600 kr = = 7500 kr 0,08 1.7 Vekstfaktorer Oppgave 1.70 Finn vekstfaktoren når en pris blir satt opp a) 15 % 15 % tilsvarer en prosentfaktor på 0,15.. Vekstfaktoren = 1 + Prosentfaktoren. Vekstfaktoren når prisen er satt opp 15 % = 1 + 0,15 = 1, 15 b) 5 % 5 % tilsvarer en prosentfaktor på 0,05.. Vekstfaktoren = 1 + Prosentfaktoren. Vekstfaktoren når prisen er satt opp 5 % = 1 + 0,05 = 1, 05 c) 7,5 % 7,5 % tilsvarer en prosentfaktor på 0,075.. Vekstfaktoren = 1 + Prosentfaktoren. Vekstfaktoren når prisen er satt opp 7,5 % = 1 + 0,075 = 1, 075 11
Oppgave 1.71 Finn prosenten når vekstfaktoren er a) 1,45 Når vi har en vekstfaktor > 1 har vi en økning (noe går opp). Prosentfaktoren = Vekstfaktoren 1. Prosentfaktoren når Vekstfaktoren er 1,45 blir da 1,45 1 = 0,45. Prosenten = Prosentfaktoren 100 %. 0,45 100 % = 45 % opp b) 1,025 Når vi har en vekstfaktor > 1 har vi en økning (noe går opp). Prosentfaktoren = Vekstfaktoren 1. Prosentfaktoren når Vekstfaktoren er 1,025 blir da 1,025 1 = 0,025. Prosenten = Prosentfaktoren 100 %. 0,025 100 % = 2, 5 % opp c) 1,375 Når vi har en vekstfaktor > 1 har vi en økning (noe går opp). Prosentfaktoren = Vekstfaktoren 1. Prosentfaktoren når Vekstfaktoren er 1,375 blir da 1,375 1 = 0,375. Prosenten = Prosentfaktoren 100 %. 0,375 100 % = 37, 5 % opp Oppgave 1.72 Finn vekstfaktoren når en størrelse minker med a) 25 % 25 % tilsvarer en prosentfaktor på 0,25.. Vekstfaktoren = 1 Prosentfaktoren. Vekstfaktoren når en størrelse minker med 25 % = 1 0,25 = 0, 75 b) 7 % 7 % tilsvarer en prosentfaktor på 0,07.. Vekstfaktoren = 1 Prosentfaktoren. Vekstfaktoren når en størrelse minker med 7 % = 1 0,07 = 0, 93 c) 2, 5 % 2,5 % tilsvarer en prosentfaktor på 0,025.. Vekstfaktoren = 1 Prosentfaktoren. Vekstfaktoren når en størrelse minker med 2,5 % = 1 0,025 = 0, 975 12
Oppgave 1.73 Finn prosenten når vekstfaktoren er a) 0,85 Når vi har en vekstfaktor < 1 har vi en nedgang (noe blir redusert). Prosentfaktoren = 1 Vekstfaktoren. Prosentfaktoren når Vekstfaktoren er 0,85 blir da 1 0,85 = 0,15. Prosenten = Prosentfaktoren 100 %. 0,15 100 % = 15 % ned b) 0,98 Når vi har en vekstfaktor < 1 har vi en nedgang (noe blir redusert). Prosentfaktoren = 1 Vekstfaktoren. Prosentfaktoren når Vekstfaktoren er 0,98 blir da 1 0,98 = 0,02. Prosenten = Prosentfaktoren 100 %. 0,02 100 % = 2 % ned c) 0,875 Når vi har en vekstfaktor < 1 har vi en nedgang (noe blir redusert). Prosentfaktoren = 1 Vekstfaktoren. Prosentfaktoren når Vekstfaktoren er 0,875 blir da 1 0,875 = 0,125. Prosenten = Prosentfaktoren 100 %. 0,125 100 % = 12, 5 % ned Oppgave 1.74 Anne har tre kontoer i banken. På kontoene står det 2500 kr, 37 800 kr og 178 000 kr. Hun får 2,4 % rente på alle kontoene. a) Bruk vekstfaktor til å regne ut hvor mange kroner hun har på hver av de tre kontoene etter ett år. Konto med 2500 kr :. Vekstfaktoren = 1 + Prosentfaktoren. Prosentfaktoren til 2,4 % er 0,024 Vekstfaktoren til en økning på 2,4 % 1 + 0,024 = 1,024 Antall kroner Anne har på kontoen etter et år blir da : 2500 kr 1,024 = 2560 kr Konto med 37 800 kr :. Vekstfaktoren = 1 + Prosentfaktoren. Prosentfaktoren til 2,4 % er 0,024 Vekstfaktoren til en økning på 2,4 % 1 + 0,024 = 1,024 Antall kroner Anne har på kontoen etter et år blir da : 37 800 kr 1,024 = 38707, 20 kr Konto med 178 000 kr :. Vekstfaktoren = 1 + Prosentfaktoren. Prosentfaktoren til 2,4 % er 0,024 Vekstfaktoren til en økning på 2,4 % 1 + 0,024 = 1,024 Antall kroner Anne har på kontoen etter et år blir da : 178 000 kr 1,024 = 182 272 kr 13
b) Hvor mye penger har hun i banken etter ett år? b) Regn oppgaven på to måter. Metode 1 : Metode 2 : Bankinnskudd Vekstfaktor Beløp i slutten av året Totalt bankinnskudd : 2500 kr + 37 800 kr + 178 000 kr = 218 300 kr 2500 kr 1,024 2 560,00 kr Vekstfaktor for 2,4 % er 1,024 37 800 kr 1,024 38 707,20 kr Beløp i slutten av året : 178 000 kr 1,024 182 272,00 kr Totalt beløp i banken 223 539,20 kr Totalt bankinnskudd Vekstfaktor 218 300 1,024 = 223 539,20 kr Oppgave 1.75 Martin har 12 000 kr i banken. Det første året fikk han 2,5 % rente og det andre året 3,5 %. a) Hvor mye penger har Martin i banken etter to år? 2,5 % tilsvarer en vekstfaktor på 1,025. 12 000 kr 1,025 = 12 300 kr Martin har 12 300 kr i banken etter det første året. 3,5 % tilsvarer en vekstfaktor på 1,035. 12 300 kr 1,035 = 12 730,50 kr. Etter det andre året har Martin 12 730, 50 kr i banken.... eller vi kan skrive : 12 000 kr 1,025 1,035 = 12 730,50 kr b) Hvor mange prosent har beløpet vokst i løpet av disse to årene? 2,5 % tilsvarer en vekstfaktor på 1,025. 3,5 % tilsvarer en vekstfaktor på 1,035. Vi multipliserer disse to vekstfaktorene og får den totale Vekstfaktoren : 1,025 1,035 = 1,060875 Finner så Prosentfaktoren og deretter Prosenten.... Prosentfaktoren = Vekstfaktoren 1. Prosentfaktoren = 1,060875 1 = 0,060875. Prosenten = Prosentfaktoren 100 %. Prosenten = 0,060875 100 % = 6,0875 % Beløpet har vokst 6,0875 % i løpet av de to årene. 14
Oppgave 1.76 Forretningen «Smekker» har tre vinterjakker som koster 1500 kr, 2000 kr og 2800 kr. a) I mars blir prisen satt ned med 20 %. Hva blir prisen på jakkene i mars? Jakke til 1500 kr : Jakke til 2000 kr : Jakke til 2800 kr : Vekstfaktor til 20 % = 0,80 Ny pris = 1500 kr 0,80 = 1200 kr Vekstfaktor til 20 % = 0,80 Ny pris = 2000 kr 0,80 = 1600 kr Vekstfaktor til 20 % = 0,80 Ny pris = 2800 kr 0,80 = 2240 kr b) I april blir prisen satt ned med ytterligere 30 %. Hva blir prisen på jakkene i april? Jakke til 1200 kr : Jakke til 1600 kr : Jakke til 2240 kr : Vekstfaktor til 30 % = 0,70 Ny pris = 1200 kr 0,70 = 840 kr Vekstfaktor til 30 % = 0,70 Ny pris = 1600 kr 0,70 = 1120 kr Vekstfaktor til 30 % = 0,70 Ny pris = 2240 kr 0,70 = 1568 kr 1.8 Prosentvis endring i flere perioder Oppgave 1.80 En student sparer 5000 kr av studielånet sitt. Hun setter pengene i en bank som gir henne 4 % rente per år. Hvor mye har studenten i banken etter a) 3 år b) 5 år c) 7 år Vekstfaktoren (k) til 4 % = 1,04 x = 3, B 0 = 5000, k = 1,04 B(3) = 5000 1,04 3 = 5624, 32 kr Vekstfaktoren (k) til 4 % = 1,04 x = 5, B 0 = 5000, k = 1,04 B(5) = 5000 1,04 5 = 6083, 26 kr Vekstfaktoren (k) til 4 % = 1,04 x = 7, B 0 = 5000, k = 1,04 B(7) = 5000 1,04 7 = 6579, 66 kr 15
Oppgave 1.81 I en kommune sank innbyggertallet 1,3 % per år fra 2008 til 2014. I 2008 var innbyggertallet 35 430. a) Hva var innbyggertallet i 2014? Vekstfaktoren (k) til 1,3 % = 0,987 x = 6, B 0 = 35 430, k = 0,987 B(6) = 35 430 0,987 6 = 32 755 Innbyggertallet i 2014 var 32 755. Tenk deg at innbyggertallet fortsetter å synke etter 2014 på den samme måten. b) Finn et uttrykk for antallet innbyggere t år etter 2008. B(t) = B 0 k t B(t) = 35 430 0,987 t c) Når vil innbyggertallet komme ned i 30 000 ifølge denne modellen? B(t) = B 0 k t 30 000 = 35 430 0,987 t 30 000 35 430 = 0,987t 0,84674 = 0,987 t log 0,84674 = log 0,987 t log 0,84674 = t log 0,987 t = log 0,84674 log 0,987 = 12,71 12,71 år etter 2008 vil innbyggertallet være 30 000. Nærmere bestemt 259 dager inn i år 2020. Hvis du ikke bruker logaritmer (log) må du prøve deg frem til riktig svar. Oppgave 1.82 Et brød kostet 1,50 kr i 1970. Etter 1970 steg brødprisen 10 % per år frem til 1992. Etter 1992 var økningen 3 % per år. a) Hva kostet etter dette et brød i 1980 og 1992. 1980 : 1992 : Vekstfaktoren (k) til 10 % = 1,10. (Fra 1970 til 1980) x = 10, B 0 = 1,50, k = 1,10 B(10) = 1,50 1,10 10 = 3, 89 kr Vekstfaktoren (k) til 10 % = 1,10. (Fra 1970 til 1992) x = 22, B 0 = 1,50, k = 1,10 B(22) = 1,50 1,10 22 = 12, 21 kr b) Hva var brødprisen i år 2000 og i 2013? 2000 : 2013 : 16
Vekstfaktoren (k) til 10 % = 1,10. (Fra 1970 til 1992) Vekstfaktoren (k) til 03 % = 1,03. (Fra 1992 til 2000) 1970 til 1992: x = 10, B 0 = 1,50, k = 1,10 B(22) = 1,50 1,10 22 = 12,21 kr 1992 til 2000: x = 8, B 0 = 12,21, k = 1,03 B(8) = 12,21 1,03 8 = 15, 47 kr Vekstfaktoren (k) til 10 % = 1,10. (Fra 1970 til 1992) Vekstfaktoren (k) til 03 % = 1,03. (Fra 1992 til 2013) 1970 til 1992: x = 10, B 0 = 1,50, k = 1,10 B(22) = 1,50 1,10 22 = 12,21 kr 1992 til 2013: x = 21, B 0 = 12,21, k = 1,03 B(21) = 12,21 1,03 21 = 22, 71 kr c) Hvor mange prosent steg brødprisen fra 1970 til 2013? I 1970 kostet brødet 1,50 kr og i 2013 kostet brødet 22,71 kr. Pris 2013 Finner ut hvor mange ganger brødet har steget i pris: = 22,71 = 15,14. Pris 1970 1,50 Her skulle man tro at dette gir oss 1514 % stigning, men vi må huske på at en dobling av brødets pris er 100 %. Altså 2,00 er 100 %, 3,00 er 200%, 4,00 er 300% osv. Det betyr at 15,14 er 1414 %. Brødprisen har steget med 1414 % fra 1970 til 2013. Oppgave 1.83 En familie kjøpte ny bil i 2009 for 280 000 kr. Verdien av bilen går ned med 13 % per år. a) Hva kan familien regne med å få solgt bilen for i 2018? Vekstfaktoren (k) til 13 % = 0,87 x = 9, B 0 = 280 000, k = 0,87 B(9) = 280 000 0,87 9 = 79 952 kr Familien kjøpte en tilsvarende ny bil i 2014. Utsalgsprisen hadde gått opp med 4 % per år fra 2009. b) Hvor mye må familien betale for den nye modellen når de leverer den gamle bilen i bytte? b) Rund av svaret til nærmeste 100 kr. Vekstfaktoren (k) til 4 % = 1,04 x = 5, B 0 = 280 000, k = 1,04 B(5) = 280 000 1,04 5 = 340 662 kr Innbytte av gammel bil Gammel bil: x = 5, B 0 = 280 000, k = 0,87, B(5) = 280 000 0,87 5 139 558 kr = 340 662 139 558 = 201 104 201 100 kr 17
Symboler, formler og eksempler Regneregler potenser Generell formel Eksempler Utvidede eksempler a 0 = 1 (a 0) 10 0 = 1 ( 6) 0 = 1 a n = 1 a n 2 3 = 1 2 3 = 1 8 = 0,125 5 10 2 = 5 a m a n = a m + n 3 2 3 3 = 3 2 + 3 = 3 5 = 243 1 10 2 = 5 100 = 0,05 a m n = am an 4 4 4 2 = 44 2 = 4 2 = 16 (a b) n = a n b n (2 3) 2 = 2 2 3 2 = 4 9 = 36 ( a b ) n = an 3 b n (4 2 ) = 43 2 3 = 23 = 8 ( x 2 3 ) = x2 3 2 = x2 9 (a m ) n = a m n (2 2 ) 3 = 2 2 3 = 2 6 = 64 (2 2 ) 3 = 2 2 3 = 2 6 = 1 64 Flere regneregler for potenser n 1 a n = (1 a ) 5 1 3 5 = (1 3 ) = 1 243 a 1 2 = a 4 1 2 = 4 = 2 4 1 2 = 1 4 1 2 = 1 4 = 1 2 a 1 n n = a 1 = an a n ( a n b ) = ( b n a ) 8 1 3 3 = 8 1 3 2 = 32 = 9 ( 2 3 4 ) = ( 4 3 2 ) = 2 2 2 2 = 8 = 43 2 3 = 23 = 8 a mn 2 34 = 2 81 3 4 = 3 3 3 3 = 81 2 n + 2 n = 2 n+1 2 3 + 2 3 = 2 3+1 = 2 4 = 16 Gjelder bare for 2 som grunntall 18