Øistein Gjøvik Fugletetraeeret Nå skal vi lage et romlegeme u kanskje ikke har sett før. Det er ikke noe mystisk ve selve figuren, men en hører ikke til lant e mest rukte i unervisningen. Lag figuren før u leser viere. Bretteoppskriften står som et tillegg akerst. Den le opprinnelig funnet på aressen [1], men er neppe å opprive er lenger. Jeg har erfor tatt meg friheten til å tegne en på nytt etter este evne så lik originalen som mulig. Du kan også se en interaktiv moell av enne på nettaressen [] ersom u ønsker å sammenlikne. Når en er ferig skal en se ut som på ilet. Du vil kanskje tenke litt selv på oppgavene vi kan lage me enne figuren. Vi kan lage aktiviteter er åe kommunikasjon av matematikk, geometri i to og tre imensjoner og algera kommer inn. Se for eksempel på følgene spørsmål: Finn et matematisk navn på figuren. (Vi har rukt etegnelsen fugletetraeeret i overskriften, men ette er are et kallenavn. Hva kan forresten ette navnet komme av? Finn geometriske steer og egreper som Øistein Gjøvik, Norsk senter for matematikk i opplæringen (oisteing@stu.ntnu.no). 40 ukker opp uner og etter retting av enne figuren. Beskriv symmetriene på figuren. Finn en formel for volumet av figuren når u går ut fra at siekanten på papiret u startet me er s. Hvis u for eksempel egynte me å lage et kvarat av et A4-ark, vil et erav følgene kvaratiske arket ha en siekant som er like lang som kortsien av et A4-ark. Det er altså enne u kan kalle s. Navnsetting Ettersom figuren estår av seks sier, ser vi /005 tangenten
at vi kan kalle en et heksaeer. Denne figuren kan også kalles triangulær i-pyramie. Navnet skyles a at figuren estår av to pyramier me trekantet grunnflate. Sett sammen isse to pyramiene grunnflate mot grunnflate, og u får en triangulær i-pyramie. Betegnelsen trekantet oelpyramie (eller oel trekantpyramie) kunne også litt rukt. Vi ruker gjerne navnet fugletetraeer sien triangulær ipyramie er litt mer kronglete. Navnet fugletetraeer har sannsynligvis kommet av at figuren, når en holes me grunnflaten ABC vannrett, likner på et fuglene, og samtiig av at en tilsynelatene me litt klemming ville vært et tetraeer (et av e platonske legemene). Figuren kan også etegnes som Johnsonlegeme J1 (Se []). I et etterfølgene ruker vi okstavene som er tegnet inn på fotografiet. På aksien av figuren har vi også ett hjørne (speililet av D). Vi kommer ikke til å sette noe navn på ette, a vi i eregningene ikke enytter ette hjørnet. Geometriske egreper En kjapp opplisting av egrepene man kan finne på enne figuren: Rettvinklet trekant, høye i trekant, høye i pyramie, grunnflate, grunnlinje, rette vinkler (halvparten av rette vinkler), likeeint trekant, kvarat, rakeform, likesiet trekant, speilsymmetri, rotasjonssymmetri Prøv å finn isse! (Og fins et flere?) Vi får senere også ruk for Pytagoras og formlike trekanter, samt egenskapene til trekanter me vinkler på 0, 60 og 90 graer. Symmetrier Tenker vi fortsatt på figuren som sammensatt av to pyramier kan vi tenke oss en akse som går gjennom egge spissene i pyramiene. Dette lir a en rotasjonsakse, hvor vi kan rotere figuren 10 graer tre ganger. Vi får også tre rotasjonsakser i grunnflaten ABC, nemlig gjennom mitnormalene på siene AB, BC og AC. Her kan vi rotere 180 graer to ganger. Vi finner også speilsymmetri. Alle e likeeinte trekantene vi finner er jo speilsymmetriske. Vi kan også snakke om speilsymmetri i rommet; hele en treimensjonale figuren er speilsymmetrisk om ABC. Hvilke anre flater kan figuren være speilet om? Beregning av volumet Beregning av grunnflatens areal Vi skal nå eregne volumet av et slikt fugletetraeer. Vi innser først at figuren estår av to pyramier me trekantet grunnflate. Vi kan erfor nøye oss me å eregne volumet av en slik trekantpyramie, nemlig pyramien ABCD. Minner om at formel for volum av pyramie er V = 1 gh er g er arealet av grunnflaten ABC i pyramien og h er høyen. Treffpunktet til loelinja fra pyramietoppen D på grunnflaten g kaller vi for E. tangenten /005 41
Høyen i g treffer viere grunnflaten AB i punktet F slik at høyen i g lir linjestykket CF. La oss etrakte figuren ovenfra slik at grunnflaten G er en likesiet trekant (hvoran vet vi at en er likesiet?), og skrive på okstavene vi har så langt. Vi regner først ut CF. Vi fikk oppgitt at siekanten på et kvaratiske arket vi egynte rettingen me var s. Ser vi på en treimensjonale figuren ser vi erme at DB = s. Pytagoras gir a AD + BD = AB s + s = AB AB = s = s Vi kan så finne høyen CF i grunnflaten g. Da vil CF ele grunnflaten AB inn i to trekanter me vinkler på 0, 60 og 90 graer (hvorfor?). En slik trekant har som kjent egenskapen at korteste sie er halvparten av en lengste. Pytagoras igjen gir a: AF + CF = AC AB CF AB + = s CF s s 4 + CF + = ( ) = s CF = s - s = s = s 1 Vi kan a finne grunnflaten i pyramien: 1 1 g AB CF s s = = ( ) Ê ˆ s = Beregning av høyen i pyramien En litt større utforring er et å finne høyen i pyramien. Her får vi ruk for å kunne forestille oss hvor h (=DE) treffer g inni figuren, altså plasseringen til punktet E. Vi kan finne toppvinkelen AEB. Vi vet at ett helt omløp er 60, og et er her tre like toppvinkler som til sammen lir 60. Hver vinkel (og en av em er AEB) lir erme 10. Ve å halvere enne vinkelen, som på figuren over, får vi en trekant EFA me vinkler på 0, 60 og 90 graer. Vi kan a finne sien EF i en slik trekant: AF + EF = AE AB EF EF + = ( ) s EF EF 1 s + EF = 4EF EF + = ( ) 1 s s 6 6 = = Dette er avstanen fra grunnlinjen AB og ut til punktet E er pyramiens høye h er oppreist. Vi trenger også sien DF og ser a på AFD. Denne trekanten er rettvinklet og likeeint, og må a ha to vinkler på 45 graer. AF + DF = AD AB DF s + = s DF s + = 1 DF = s - s = s Da kan vi finne høyen h i pyramien 4 /005 tangenten
EF + DE = FD Ê s ˆ s h 6 + = Ê ˆ s s h = - 6 s h = Sammenfatning Tilslutt finnes volumet av figuren: V = 1 Ê gh = 1 s ˆ s Ê ˆ s = 1. Dette kan vi også komme fram til på mer avanserte måter. Se referanse [4] for generelle formler for i-pyramier. Men vent nå litt Om vi snur figuren slik at ABD er grunnflaten og DC er høyen i pyramien ABDC, ser vi at vi kan regne ut volumet av en på en mye lettere måte. 1 Arealet av grunnflaten ABD er s. Høyen DC = s, erme ser vi at volumet av pyramien er 1 1 1 ( s ) s = 6 s. Vi har to slike og volumet av hele figuren lir erme 1 s. Så enkelt kan et gjøres! Kommentarer og utvielser Vi har sett at man kan komme fram til volumet av figuren på (minst) to måter, er en ene er langt enklere enn en anre. Det kan være fint for elever å se ette aspektet ve matematikk, at et fins flere nivåer av framgangsmetoer i matematikk. Klarer elevene å se en enkle metoen, eller er et mer innenfor rekkevie å gjøre e i små etapper? Det fins flere måter å rette fugletetraeeret på. Beregningene ovenfor aserer seg på rettingen som er tegnet på siste sie i artikkelen. Anre fremgangsmåter fins, for lant annet å rette figuren av ett ark i steet for tre. I oka [5, s. 18] finner vi anre muligheter for å lage mer kompliserte figurer me fugletetraeere. Man kan gjerne utføre rettingen sammen me elevene. Det er en rimelig lett og over- tangenten /005 4
siktlig moell me få rettinger. Den er også lett å lære utenat og grei å emonstrere me arket i løse lufta. Man kan unerveis føre kontinuerlig samtale me elevene om hvilke geometriegreper som ukker opp unerveis og etterpå. Ønsker man at et skal gå raskere kan tre elever gå sammen og lage hvert sitt ark, for så og sette e sammen. Bruk gjerne tre forskjellige farger, a er moellen enklere å måle på og å hole oversikten over. Den lir også mye penere a. Et forslag kan være å forlange at figurene skal ha tre farger, og ernest ele ut farget papir slik at elevene må røre seg litt for å finne to anre me anre farger på papiret. Det ligger fine muligheter for ifferensiering her. Man kan finne volumet ve symolsk formel, slik vi gjore her, eller ve å måle siekantene. Begge eler utforrer evnen til å forestille seg figurer i rommet. Figuren gir goe muligheter for å veksle mellom to- og treimensjonale synsvinkler. Eller man kan gi en oppgave om hva formelen for volumet ville litt ersom vi hae valgt kortsien av A4-arket til å være s i steet for s? Starter man me et kvaratisk ark som har 0cm som siekant vil figuren romme en trejeels liter når en er ferig (klipp av en av tuppene, tre en plastpose inni og se hvor mye vann et er plass til). Det fins også så små utgaver av fugletetraeeret at e kan li rukt som ørepynt. Klarer elevene å lage så itte små figurer? Noen lærerstuenter tok utforringen på strak arm, som ilet viser. Eller kanskje man kan ruke fugletetraeere som julepynt? Figuren har seks sier, hvoran kan vi nummerere siene for at enne skal kunne rukes som en terning? Den laner jo alri me are en sie opp. Figuren kan jo minne om terninger rukt i for eksempel rollespill. Kan vi lage en spillterning av figuren ve å 44 skrive tall på kantene eller siene? Og litt vanskeligere klarer vi å sette tall på siene på en slik måte at e to siene som vener opp etter et kast til sammen vil kunne vise tallene fra 1 til 6? Takk til Svein Halvor Halvorsen for goe innspill og kritiske kommentarer. Referanser [1] http://www.faricorigami.com [] http://mathworl.wolfram.com/triangulardipyrami.html [] http://mathworl.wolfram.com/johnsonsoli. html [4] http://mathworl.wolfram.com/dipyrami. html [5] Fuse, Tomoko; Unit origami multiimensional transformations, Japan pulications inc. (1990) (Kan estilles på http://www.amazon. co.uk/exec/oios/asin/087040856/ qi=110897760/sr=1-1/ref=sr_1 1/0-491868-6795041) Vil u ha flere figurer u kan rette av papir? Besøk www.matemania.no; på mellomtrinnet er et helt verkste viet origami. www.matemania.no et igitalt læremiel i matematikk Utviklet av Høgskolen i Bergen for Caspar Forlag AS /005 tangenten
a FUGLETETRAEDERET Kile: http://www.faricorigami.com (Tegmet på nytt på MSVisio) Dette er en forholsvis enkel moell, som u kan finne i flere øker. Den lages av tre kvaratiske ark, som alle rettes likt og settes sammen tilslutt. Brett iagonalt, så a møter c c Benytt gjerne tre ark me forskjellige farger. Hvis man ønsker å samareie, kan man gå sammen tre personer, og rette en el hver. Brett på miten, så møter, og rett ut igjen. c a c a Brett kantene inn mot miten, så og møter a og c. Brett ut igjen. Gjenta så rettingen så langt me to ark til. c a c a Sett sammen to eler på enne måten. Legg merke til at e to elene står motsatt til hveranre - et er to spisser som peker opp på ene elen, mens et kun er en spiss på en anre elen. Det er to tagger og på figuren til venstre, som skal inn i to lommer på figuren til høyre. Føy til slutt til en treje elen på tilsvarene måte som u satte sammen e to første. tangenten /005 45