GeoGebra GeoGebra 1 GeoGebra er et dynamisk geometriprogram. Ved hjelp av dette programmet kan du framstille forskjellige geometriske figurer, forskjellige likninger (likningssett) og ulike funksjonsuttrykk, og du kan gjøre endringer underveis. Programmet har også andre funksjoner, men disse skal vi ikke komme nærmere inn på her. Programmet er gratis og kan lastes ned fra www. geogebra.no. Der finner du også mer utdypende opplæringsmanualer knyttet til programmet. Oppgaver som løses med dette programmet, finner du i Faktor Grunnbok og Oppgavebok, Faktor Eksamensforberedende hefte, Faktor Fordypningsheftet og på nettsidene til GeoGebra. Menylinje og de vanligste funksjonene Her gjør du de tilpasningene du trenger. Hvis ikke Oppsett vises automatisk, velger du oppsett selv fra Vis-menyen. De viktigste oppsettene er: Vis Algebrafelt Grafikkfelt Konstruksjonsforklaring Inntastingsfelt GeoGebra 82
Skjermbildet og de vanligste funksjonene Verktøylinje der aktivt verktøy er markert med blått omriss Angreknapp Algebrafelt Innstillinger for akser og rutenett Grafikkfelt Inntastingsfelt Husk at du kan alltid angre handlinger ved hjelp av Ctrl + z. (angreknappen) eller Verktøylinja Verktøylinja inneholder mange knapper. Under hver knapp vil du få fram flere verktøy hvis du trykker på den lille pilen nederst i høyre hjørne. Når du holder musepekeren over et verktøy, kommer det fram en hjelpetekst. Vi skal nå komme inn på de vanligste funksjonene som ligger under hvert verktøy på verktøylinja. Det fins mange flere verktøy enn de vi tar for oss her. Flytt Lar deg ta tak i et objekt og flytte det. GeoGebra 83
Punkt Lar deg opprette et nytt valgfritt punkt. Lar deg opprette et skjæringspunkt. Lar deg opprette et midtpunkt eller sentrum i en regulær figur. Linjer og linjestykker Lar deg opprette en linje gjennom to punkter. Lar deg opprette et linjestykke mellom to punkter. Lar deg opprette et linjestykke med gitt lengde. Lar deg opprette en stråle fra ett punkt gjennom et annet punkt. Lar deg opprette en vektor (pil) fra ett punkt til et annet punkt. Normaler, halveringsstråler og parallelle linjer GeoGebra Lar deg opprette normalen (90 ) mellom et punkt og en linje. Lar deg opprette en parallell linje gjennom et punkt. Lar deg opprette en midtnormal mellom to punkter. Lar deg halvere en vinkel. 84
Mangekanter Lar deg opprette en irregulær mangekant. Lar deg opprette en regulær mangekant. Lar deg opprette en mangekant som ikke kan forandres. Sirkler, sirkelbuer og sirkelsektorer Lar deg opprette en sirkel ved hjelp av to punkter. Lar deg opprette en sirkel med mål (radius i cm). Lar deg opprette en sirkel ved hjelp av tre punkter. Vinkler og størrelser Lar deg opprette en vinkel ved hjelp av tre punkter. Lar deg opprette en vinkel med angitt størrelse. Lar deg måle en avstand (cm). Lar deg måle et areal (cm 2 ). Lar deg måle stigningen til en funksjon. GeoGebra 85
Speiling og rotasjon Lar deg speile et objekt om en linje. Lar deg speile et objekt om et punkt. Lar deg rotere et objekt rundt et punkt. Justeringer Lar deg flytte grafikkfeltet og justere aksene ved å dra i dem. Hold musepekeren over aksen du vil justere. Da kommer det opp en dobbeltpil. Hold så venstre museknapp inne og dra aksen i ønsket retning. Husk at du kan alltid angre handlinger ved hjelp av eller Ctrl + z. (angreknappen) Konstruksjonsforklaring Velg Konstruksjonsforklaring fra Vis-menyen. GeoGebra 86
Konstruksjonsforklaringsfeltet vil vise seg. Juster feltet i bredde slik at alt vises. Trykk på eksporter-knappen under Konstruksjonsforklaring. Skriv inn «Tittel» og «Laget av» og trykk på Eksporter. Konstruksjonsforklaringen vil nå være tilgjengelig fra Utskrifts-menyen, se Utskrift. Velg «konstruksjonsforklaring» først etter at du er ferdig med konstruksjonen. GeoGebra 87
Utskrift Velg Forhåndsvis utskrift fra Fil-menyen. Her velger du hva som skal skrives ut (Algebrafelt, Grafikkfelt, Konstruksjonsforklaring osv.) Her velger du stående eller liggende papirretning. Her justerer du størrelsen på det du skal skrive ut. Husk at du kan angre handlinger ved hjelp av eller Ctrl + z. Egne notater: (angreknappen) Se side 87 om hvordan du eksporterer konstruksjonsforklaringen slik at den vises i forhåndsvisningen for utskrift! GeoGebra 88
GeoGebra 2 Lineære funksjoner Velg Vis på Menylinja og huk av for Algebrafelt og Grafikkfelt 1. Trykk på pila ved siden av Grafikkfelt 1 og merk av for Akser og Rutenett. Eksempel Vis funksjonen y =3x -- 2 i et koordinatsystem. NB! Bruk punktum (.) og ikke komma (,) om du skal skrive desimaltall. Løsning Skriv inn funksjonsuttrykket «y=3x 2» i inntastingsfeltet. Du kan også skrive inn «f(x)=3x 2». Trykk Enter (linjeskift) og funksjonen vises. Resultat Bruk -verktøyet for å justere grafikkfeltet og aksene. Velg til slutt om du vil lagre eller skrive ut via Fil på Menylinja. GeoGebra 89
To lineære funksjoner og merking av koordinatene til skjæringspunktet Velg Vis på Menylinja og huk av for Algebrafelt og Grafikkfelt 1. Trykk på pila ved siden av Grafikkfelt 1 og merk av for Akser og Rutenett. Eksempel Vis funksjonene f ðxþ =3x -- 2 og gðxþ =--x + 6 i et koordinatsystem, og finn koordinatene for skjæringspunktet mellom de to grafene. Løsning Skriv inn funksjonsuttrykket «f(x)=3x 2» i inntastingsfeltet. Trykk Enter (linjeskift). Skriv deretter inn «g(x)= x+6» og trykk Enter (linjeskift). Velg så Skjæring mellom to objekt. Punkt A: Skjæringpunkt mellom g.f Klikk på skjæringspunktet mellom de to grafene. Merk at skjæringspunktet A får koordinatene (2, 4) i algebrafeltet. Velg så Vektor mellom to punkt. GeoGebra 90
Opprett en vektor fra A (skjæringspunktet) til andreaksen. Den skal treffe andreaksen i 4. Opprett så en vektor fra A (skjæringspunktet) til førsteaksen. Den skal treffe førsteaksen i 2. Velg deretter ABC-verktøyet fra menyen og skriv inn teksten: «De to grafene skjærer hverandre i punkt A. Punkt A har koordinatene (2, 4).» Resultat Bruk -verktøyet for å justere grafikkfeltet og aksene. Velg til slutt om du vil lagre eller skrive ut via Fil på Menylinja. Egne notater: GeoGebra 91
Kvadratisk funksjon Velg Vis på Menylinja og huk av for Algebrafelt og Grafikkfelt 1. Trykk på pila ved siden av Grafikkfelt 1 og merk av for Akser og Rutenett. Eksempel Vis funksjonen fðxþ = 1 2 x2 -- 4 i et koordinatsystem. GeoGebra bruker ^ som regnetegn for potens. Husk punktum og ikke komma ved desimaltall! Løsning Skriv inn «f(x)=0.5x^2 4» i inntastningsfeltet og trykk Enter (linjeskift). Resultat GeoGebra Bruk -verktøyet for å justere grafikkfeltet og aksene. Velg til slutt om du vil lagre eller skrive ut via Fil på Menylinja. 92
Rasjonal funksjon (brøkfunksjon) Velg Vis på Menylinja og huk av for Algebrafelt og Grafikkfelt 1. Trykk på pila ved siden av Grafikkfelt 1 og merk av for Akser og Rutenett. Eksempel a) Vis funksjonen y = 5000 i et koordinatsystem. Bruk x-verdier x mellom 1 og 20. b) Merk av verdien av y når x er 10. Løsning Skriv inn «Funksjon[5000/x,1,20]» i inntastningsfeltet og trykk Enter (linjeskift). Bruk -verktøyet for å justere grafikkfeltet og aksene. Hold musepekeren over andreaksen slik at to piler vises. Dra så aksen nedover slik at den viser verdier fra 0 til 5000. Gjør det samme med førsteaksen, men velg nå verdier fra 0 til 20. Legg merke til at bare x- verdier fra 1 til 20 vises. Sett inn tre nye punkter: A (10, 0), B (10, 500), C (0, 500). Opprett deretter vektorer fra A til B og fra B til C. GeoGebra 93
Velg så ABC-verktøyet fra menyen og skriv inn teksten: «Leser av grafen og finner y = 500 når x = 10» Resultat Bruk -verktøyet for å justere grafikkfeltet og aksene. Velg til slutt om du vil lagre eller skrive ut via Fil på Menylinja. Egne notater: GeoGebra 94
GeoGebra 3 Likninger Velg Vis på Menylinja og huk av for Algebrafelt og Grafikkfelt 1. Trykk på pila ved siden av Grafikkfelt 1 og merk av for Akser og Rutenett. Eksempel Løs likningen 2x --3 = 2 + x grafisk. Løsning Når vi skal løse likninger grafisk, skriver vi inn det som står til venstre for likhetstegnet og det som står til høyre, hver for seg. Skriv inn «2x 3» i inntastningsfeltet og trykk Enter (linjeskift). Skriv inn «2+x» i inntastningsfeltet og trykk Enter (linjeskift). Marker skjæringspunktet mellom grafene. GeoGebra 95
Trekk en vektor fra punktet til førsteaksen. Velg så ABC-verktøyet fra menyen og skriv inn denne teksten: «Linjene skjærer hverandre i et punkt som har førstekoordinaten x = 5. Løsningen på likningen er derfor x = 5.» Resultat GeoGebra Bruk -verktøyet for å justere grafikkfeltet og aksene. Velg til slutt om du vil lagre eller skrive ut via Fil på Menylinja. 96
Likninger med to ukjente Velg Vis på Menylinja og huk av for Algebrafelt og Grafikkfelt 1. Trykk på pila ved siden av Grafikkfelt 1 og merk av for Akser og Rutenett. Eksempel Løs likningssettet grafisk y =--2x --3x =--y -- 5 Husk punktum, ikke komma, om du skriver desimaltall! Løsning Skriv inn «y= 2x» i inntastningsfeltet og trykk Enter (Linjeskift). Skriv inn «3x= y 5» i inntastningsfeltet og trykk Enter (Linjeskift). Bruk -verktøyet for å justere grafikkfeltet og aksene. Marker skjæringspunktet mellom grafene. GeoGebra 97
Trekk en vektor fra punktet til førsteaksen. Trekk deretter en vektor fra punktet til andreaksen. Velg så ABC-verktøyet fra menyen og skriv inn denne teksten: «Linjene skjærer hverandre i punktet (1, 2). Løsningen på likningssettet er derfor x =1ogy = 2.» Resultat GeoGebra Bruk -verktøyet for å justere grafikkfeltet og aksene. Velg til slutt om du vil lagre eller skrive ut via Fil på Menylinja. 98
Egne notater: GeoGebra 99
GeoGebra 4 Geometri: punkter, sirkler og linjer Velg Vis på Menylinja og huk av for Algebrafelt og Grafikkfelt 1. Trykk på pila ved siden av Grafikkfelt 1 og velg bort markeringen på Akser og Rutenett. Eksempel a) Lag en sirkel med radius 5cm og kall sentrum for S. b) Lag to punkter AB på sirkelbuen og trekk linjestykket AB. c) Lag en parallell til AB gjennom S. Kall skjæringspunktene med sirkelbuen for P og Q. d) Lag en sirkel med sentrum P og radius PA. e) Lag en sirkel med sentrum Q og radius QA. Løsning Opprett en sirkel med radius lik 5 cm. Høyreklikk på sentrum (A) og velg Gi nytt navn. Kall sentrum for S. Opprett punktene A og B på sirkelbuen. GeoGebra Opprett linjestykket AB. 100
Opprett en parallell linje til AB gjennom S. Kall skjæringspunktene med sirkelbuen for P og Q. Opprett en sirkel med sentrum i P og radius PA. Opprett en sirkel med sentrum i Q og radius QB. Resultat Velg til slutt om du vil lagre eller skrive ut via Fil på Menylinja. GeoGebra 101
Geometri: vinkler og normaler Velg Vis på Menylinja og huk av for Algebrafelt og Grafikkfelt 1. Trykk på pila ved siden av Grafikkfelt 1 og velg bort markeringen på Akser og Rutenett. Eksempel a) Lag en vinkel på 60 der toppunktet heter B og vinkelbeina går gjennom punktene A og A'. b) Lag linjestykket AA'. c) Lag midtnormalen til AA' og kall skjæringspunktet med linjestykket AA' for C. (Midtnormalen blir halveringsstrålen til vinkelen.) d) Nedfell normalen fra C til begge vinkelbeina. Kall skjæringspunktene for D og E. Løsning Opprett en vinkel på 60. Toppunktet får navnet B, og vinkelbeina går gjennom punktene A og A', som ligger like langt fra B. Opprett linjestykket AA'. Opprett midtnormalen til AA'. GeoGebra Egne notater: 102
Marker skjæringspunktet mellom midtnormalen og linjestykket AA'. Kall skjæringspunktet for C. Nedfell normalene fra C til BA og BA'. Kall skjæringspunktene for D og E. Resultat Velg til slutt om du vil lagre eller skrive ut via Fil på Menylinja. GeoGebra 103
Geometri: mangekanter Velg Vis på Menylinja og huk av for Algebrafelt og Grafikkfelt 1. Trykk på pila ved siden av Grafikkfelt 1 og velg bort markeringen på Akser og Rutenett. Eksempel a) Lag en regulær trekant med sider 3 cm. b) Lag en regulær firkant med sider 3 cm. c) Lag en regulær femkant med sider 3 cm. Løsning Opprett en regulær mangekant ved hjelp av to punkter. Velg 3 hjørner for trekanten. Gjør tilsvarende for firkant og femkant. GeoGebra Du kan også starte med et linjestykke på 3 cm! Juster sidene ved å dra i ett av hjørnene slik at sidene blir 3 cm. Sidens lengde vises i algebrafeltet. 104
Resultat Velg til slutt om du vil lagre eller skrive ut via Fil på Menylinja. Egne notater: GeoGebra 105
Geometri: lengde, omkrets og areal Velg Vis på Menylinja og huk av for Algebrafelt og Grafikkfelt 1. Trykk på pila ved siden av Grafikkfelt 1 og velg bort markeringen på Akser og Rutenett. Eksempel a) Lag et linjestykke AB på 5cm. b) Lag et kvadrat ABCD på linjestykket AB. c) Tegn inn de to diagonalene i kvadratet og kall skjæringspunktet for S. d) Lag en sirkel med sentrum S og radius SA. e) Finn ved hjelp av måling: Diagonalens lengde, sirkelens omkrets, kvadratets areal og sirkelens areal. Løsning Opprett et linjestykke med lengde 5 cm. Opprett et kvadrat på linjestykket AB. GeoGebra 106
Tegn inn de to diagonalene til kvadratet, merk skjæringspunktet og kall det for S. Opprett en sirkel med sentrum S og periferipunkt A. Mål deretter ved hjelp av måleverktøyet: Lengden til diagonalen Omkretsen til sirkelen Arealet av kvadratet Arealet av sirkelen GeoGebra 107
Resultat Velg til slutt om du vil lagre eller skrive ut via Fil på Menylinja. Egne notater: GeoGebra 108
Geometri: sammensatte figurer Velg Vis på Menylinja og huk av for Algebrafelt og Grafikkfelt 1. Trykk på pila ved siden av Grafikkfelt 1 og velg bort markeringen på Akser og Rutenett. Eksempel a) Lag et kvadrat ABCD med sider 4 cm. b) Lag en halvsirkel på linjestykket CD. c) Lag en likebeint trekant med høyde 4 cm på BC. d) Lag en rettvinklet trekant hvor ADG =90 og AG = 2 cm. e) Lag en trekant ABH på linjestykket AB hvor BAH =60 og ABH =30. Løsning Opprett et linjestykke med lengde 4 cm. Lag så et kvadrat på linjestykket. Opprett en halvsirkel på linjestykket CD. GeoGebra 109
Opprett midtnormalen til CB og avsett et linjestykke EF = 4 cm på midtnormalen. Opprett den likebeinte trekanten BFC. Opprett en stråle fra C gjennom D. GeoGebra Opprett deretter et linjestykke DG = 2 cm på strålen fra C gjennom D. 110
Opprett den rettvinklede trekanten ADG. Opprett vinkel A =60 og B =30. Start med vinkelbeinet, så toppunktet. Opprett en stråle fra B til A' og fra A til B'. Opprett deretter trekanten AHB. GeoGebra 111
Resultat Velg til slutt om du vil lagre eller skrive ut via Fil på Menylinja. Egne notater: GeoGebra 112
Geometri: speiling og rotasjon Velg Vis på Menylinja og huk av for Algebrafelt og Grafikkfelt 1. Trykk på pila ved siden av Grafikkfelt 1 og velg bort markeringen på Akser og Rutenett. Eksempel a) Lag en trekant ABC og et linjestykke DE. Speil trekanten om linjestykket. b) Lag en trekant FGH og et punkt I. Roter trekanten 150 om punktet. Løsning Opprett en trekant ABC og et linjestykke DE. Speil trekanten om linjestykket. Punktmarkeringen A, B og C kommer opp automatisk. GeoGebra 113
Opprett en trekant FGH og et punkt I. Roter trekanten 150 om I. Resultat GeoGebra Velg til slutt om du vil lagre eller skrive ut via Fil på Menylinja. 114
Geometri: perspektivtegning Velg Vis på Menylinja og huk av for Algebrafelt og Grafikkfelt 1. Trykk på pila ved siden av Grafikkfelt 1 og velg bort markeringen på Akser og Rutenett. Eksempel Tegn et rett firkantet prisme med ett forsvinningspunkt. Løsning Opprett et rektangel ABCD og et forsvinningspunkt P. Opprett stråler fra rektangelets hjørner gjennom P. Opprett et punkt E på strålen fra A. Opprett en parallell linje til AD gjennom E. GeoGebra 115
Kall skjæringspunktet med DP for F. Opprett en parallell linje til CD gjennom F. Kall skjæringspunktet med CP for G. Opprett en parallell linje til AB gjennom E. Kall skjæringspunktet med BP for H. Opprett flatene (mangekantene) ABHE, EHGF, ADFE, CGFD og BCGH i prismet. GeoGebra 116
Resultat Velg til slutt om du vil lagre eller skrive ut via Fil på Menylinja. Egne notater: GeoGebra 117
Geometri: konstruksjon Velg Vis på Menylinja og huk av for Algebrafelt og Grafikkfelt 1. Trykk på pila ved siden av Grafikkfelt 1 og velg bort markeringen på Akser og Rutenett. Eksempel 1 Lag en trekant ABC der AB = 7,5 cm, A =90 og B = 22,5. Løsning C Hjelpefigur A 22,5 7,5 cm B Nr. Forklaring Verktøy Ikon 1. Opprettet et linjestykke AB = 7,5 cm Linjestykke med bestemt lengde 2. Opprettet 90 i A Vinkel med fast størrelse 3. Opprettet 22,5 i B Vinkel med fast størrelse 4. 5. 6. Opprettet en stråle fra A gjennom B' Opprettet en stråle fra B gjennom A' Opprettet skjæringspunkt mellom strålene Stråle gjennom to punkter Stråle gjennom to punkter Skjæring mellom to objekter GeoGebra 7. Opprettet trekanten ABC Mangekant 118
Resultat Velg til slutt om du vil lagre eller skrive ut via Fil på Menylinja. Egne notater: GeoGebra 119
Eksempel 2 Lag en firkant ABCD der AB = 5 cm, BAC =60, B =90 og CAD = ACD =45. Finn arealet av firkanten. Løsning Hjelpefigur D 45 45 60 A 5 cm C B Nr. Forklaring Verktøy Ikon 1. Opprettet linjestykket AB =5cm Linjestykke med bestemt lengde 2. Opprettet BAC =60 Vinkel med fast størrelse 3. Opprettet 90 i B Vinkel med fast størrelse GeoGebra 4. 5. 6. 7. 8. 9. Opprettet en stråle fra A gjennom B' Opprettet en stråle fra B gjennom A' Opprettet skjæringspunktet C mellom strålene Opprettet CAD og ACD =45 Opprettet en stråle fra A gjennom C' og fra C gjennom A' 1 Opprettet skjæringspunktet D mellom strålene Stråle gjennom to punkter Stråle gjennom to punkter Skjæring mellom to objekter Vinkel med fast størrelse Stråle gjennom to punkter Skjæring mellom to objekter 10. Opprettet firkanten ABCD Mangekant 11. Fant arealet av firkanten ABCD: 46,65 cm 2 Areal 120
Resultat Velg til slutt om du vil lagre eller skrive ut via Fil på Menylinja. Egne notater: GeoGebra 121
Eksempel 3 LagenfirkantABCD der AB =9cm, ABE =30, DCE =45, DE = AD, diagonalene skjærer hverandre i punktet E og avstanden fra E til AB =3cm. Løsning Hjelpefigur D 45 E C A 3 cm 30 9 cm B Nr. Forklaring Verktøy Ikon 1. Opprettet linjestykket AB =9cm Linjestykke med bestemt lengde 2. Opprettet ABE =30 Vinkel med fast størrelse 3. Opprettet en stråle fra B gjennom A' (firkantens ene diagonal) Stråle gjennom to punkter GeoGebra 4. 5. 6. 7. 8. Opprettet en normal til AB og kalte den P Opprettet et punkt P 1 på 3 cm opp på normalen fra P Opprettet en parallell linje gjennom P 1 Opprettet skjæringspunktet E mellom den parallelle linjen og ABEs høyre vinkelbein Opprettet en stråle fra A gjennom E (firkantens andre diagonal) Midtnormal Linjestykke med bestemt lengde Parallell linje Skjæring mellom to objekter Stråle gjennom to punkter 9. Halverte linjestykket AE Midtnormal 122
Nr. Forklaring Verktøy Ikon 10. 11. Fant D i skjæringspunktet mellom midtnormalen og ABEs høyre vinkelbein Opprettet et punkt C på strålen fra A gjennom E Skjæring mellom to objekter Nytt punkt 12. Opprettet ECD =45 i C Vinkel med fast størrelse 13. 14. Opprettet en stråle fra C gjennom E' Justerte strålen (ECDs høyre vinkelbein) slik at den går gjennom D Stråle gjennom to punkter Flytt 15. Opprettet firkanten ABCD Mangekant Resultat Velg til slutt om du vil lagre eller skrive ut via Fil på Menylinja. GeoGebra 123