Fultet fo teologi ust og desig Teologise fg Ny/utstt esme i: Diset mtemti Målfom: Bomål Dto: 4.0.06 Tid: 5 time/l. 09-4 Atll side (il. foside): 0 Atll oppgve: 0 Tilltte hjelpemidle: HÅNDHOLDT KALKULATOR SOM IKKE KAN KOMMUNISERE TRÅLØST OG SOM IKKE KAN REGNE SYMBOLSK. FORHÅNDSGODKJENT ORDBOK. Med: Kdidte må selv otollee t oppgvesettet e fullstedig. Ved evetuelle ulhete i oppgveteste sl du edegjøe fo de foutsetige du legge til gu fo løsige. Besvelse sl mees med didtumme ie v. Bu lå elle sot ulepe på iføigset. Fglig veilede: Ev Hdle Vihovde Uteidet v (fglæe): Kotollet v (e v disse): Ae læe Seso Istituttlede/ Pogmoodito Istituttledes/ Pogmooditos udesift: Emeode: DAPE 300 - ITPE300
Alle de 0 oppgvee telle lit. I oppgve med udepute vil evede og me omfttede udepute ue telle me e lette og ele udepute. Det e ie sli t lette oppgve omme føst og vselige til slutt. Bu defo ie fo mye tid på e oppgve du ie få til. Pøv istede e y oppgve. Alle sv sl egues! Dette gjøes ved t du fo esempel t med mellomegige elle gi de fome fo gumetsjo. Spesielt gjelde dette sv de det u foeligge to ltetive. Ku et sv ute oe eguelse e omlt vediløst. Oppgve ) Gitt følgede utsg: p: «Jeg jøe il.» q: «Jeg h føeot.» : «Jeg jøe il e hvis jeg h føeot.» s: «Hvis jeg ie jøe il så e h jeg ie føeot.» t: «Jeg h føeot hvis jeg jøe il.» Siv de smmestte utsgee s og t ved hjelp v utsgee p og q og logise opetoe. Hvod vil du sive uttyee hvis du u sl ue opetoee og? ) L p q og væe vilålige logise utsg. Avgjø om de to smmestte utsgee (p q) og p (q ) e evivlete. Svet sl egues. c) L m og væe hele tll. Fomule følgede fie utsg med od og vgjø om de som e se elle use: i) m ( = m) ii) m (m > ) iii) m ( = m) iv) m ( m < 00) Svee sl egues. Oppgve ) L A = { 3 7} B = { 3 4 5} og C = {3 5 6 7}. Bestem megdee i) A B ii) (A B) C
) L A B og C væe vilålige delmegde i e uiveslmegde U. Teg Vedigm og sve megdee i) ii) c) Nedefo se du et Vedigm. Bestem ved hjelp v A B C og megdeopetoe uttyet fo megde som sve til det svete omådet. Oppgve 3 L megde N væe de tulige tllee dvs. N = {0 3 }. L fusjoe f: N N væe defiet ved f() = ( mod 3) + ( mod 7). ) Fi f(0) f(4) f(0) og f(). ) Avgjø om det fies e N sli t i) f() = 9 ii) f() = 8 og estem i så fll e vedi fo. c) Fi vedimegde til f. E f e-til-e? E f på? Begu svee. Oppgve 4 Gitt mtisee ) Fo t et mtisepodut sl væe defiet stilles et estemt v til dimesjoee til mtisee som igå i podutet. Hvilet v e det? Avgjø hvile v følgede mtisepodut som e defiet og estem i så fll hvile dimesjoe de h: i) AB ii) BA 3
iii) AC iv) CA v) BC vi) CB ) Reg ut to v de defiete mtisepodutee. Oppgve 5 Gitt megde A = { 3 4 5 6 7 8 9}. ) Hvo mge uodede utvlg (ute tileleggig) på te tll vi velge f A? ) Det fies til smme åtte utvlg v type f put ) de summe v tllee i utvlget e 5. Et esempel på et slit utvlg e { 5 9}. Bestem de 7 esteede utvlgee med dee egespe. (Hit: Fi føst lle utvlgee de igå fi så lle utvlgee de igå me ie deette lle utvlgee de 3 igå me ie og osv.) c) L så væe et tll f A og l væe tll utvlg med sum li 5 de igå. (Es: Hvis tllet e med i u to v utvlgee de summe v tllee e 5 så e =.) Bestem fo lle A. d) De i tllee i A sl plssees i hve si ute i et 3x3-vdt tilsvede vdtet du se på figue: Hvis tllee plssees sli t summe v tllee hoisotlt vetilt og lgs egge digolee e 5 lles vdtet fo et «mgis vdt». i) Plsse de i tllee i vdtet ove sli t du få et mgis vdt. (Hit: Tllee i de fosjellige utee vil igå i ulit tll summe. Tllet i midte vil fo esempel igå i fie summe. Hvilet tll må følgelig stå de?) ii) Hvo mge fosjellige mgise 3x3-vdte e det? Oppgve 6 ) Tllet = 579 0 e gitt på desiml fom. Fi tllet på otl fom. ) Tllet = 34 8 e gitt på otl fom. Fi tllet på iæ fom hesdesiml fom og desiml fom. 4
c) Tllee c = 000 og d = 000 e gitt på iæ fom. Fi summe c + d på iæ fom ved hjelp v iæ ddisjo. Alle svee må egues ved t du vise hvile femggsmåte du h ut. Oppgve 7 ) Gitt tllee 3 4 5. i) Hvo mge pemutsjoe h tllet som føste tll? ii) Hvo mge pemutsjoe h tllet som føste tll og tllet 3 i midte? iii) Hvo mge pemutsjoe h som føste tll elle tllet 3 i midte elle tllet 5 est? ) Avgjø type til følgede ee og estem summe til hve v dem: i) 3 6 + 4 + 48 96+... + 307 ii) 0 + 3 + 6 + 9+... + 98 + 0 Oppgve 8 Gitt diffeesligige = 3 de > 0 = 3 = 5. ) Fi og 3. ) Fi ved å løse diffeesligige. c) Bestem 3 og 4 ved hjelp fomele fo som du ft i put ) og sje t svee du få stemme med de du få å du ue de oppgitte diffeesligige. Oppgve 9 Gitt A = { 3 4 5 6} og elsjoe R på A sli t R = {( ) A A A gcd( ) = }. Nå gcd( ) = e og iydes pimise. ) Sett opp R som e megde v tllp. ) Teg gfe til R. c) Fi mtise til R. d) E R i) eflesiv? ii) symmetis? iii) tsitiv? Alle svee må egues. 5
Oppgve 0 «Boee i Køigseg» e et esempel på hvod et ptis polem ovesettes til et gfpolem. Bildet ove vise elve som ee gjeom Køigseg og oee som foide elveeddee B C D og øy A med hvede. Spøsmålet som iyggee i Køigseg stilte seg på 700-tllet v om det v mulig å gå e spsetu de m pssee lle oee e og u e gg? Mtemtiee Leod Eule løste polemet i 736. E vei gjeom e gf de lle tee pssees e og u e gg e seee litt hetede «e Eule-vei». ) Teg opp gfe som epesetee polemet. L A B C og D væe pute i gfe mes oee e te mellom putee. ) Sett opp gde til hvet v putee i gfe. c) E det mulig å fie e vei gjeom gfe som esve spøsmålet iyggee i Køigseg stilte seg? Begu svet. d) Te deg t det li ygget e o til mellom A og D: Bli det å mulig elle umulig å gå e spsetu de m pssee lle oee e og u e gg? Begu svet. e) Hvis du svte j på spøsmålet ude put c) elle put d) siv i så fll opp e sli Eule-vei. E det e luet elle åpe Eule-vei? 6
Vedlegg. Logise opetoe: (ie) (og) (elle) (eslusiv elle) (implisjo) Noe evivlese f utsgslogi: p ( q ) ( p q) ( p ) p ( q ) ( p q) ( p ) ( p q) p q ( p q) p q p q p q p q q p xp( x) xp( x) xp( x) xp( x) Noe megdeidetitete: A ( B C) ( A B) ( AC) A ( B C) ( A B) ( AC) A B A B A B A B Kdilitet tllet elemete i e uio: A B A B A B A B C A B C A B AC B C A B C Fusjoe: I fusjoe f : A B ety A defiisjosmegde og B vediomåde. E fusjo f : A B e e-til-e hvis A og medføe t f ( ) f ( ). E fusjo f : A B e på hvis ( B) ( A) sli t f ( ). Mtise T De tspoete til e mtise A eteges med A og e de mtise vi få å dee og T oloee i A yttes om. Føste d i A li føste oloe i A de d i A li de oloe i T A osv. Det ety spesielt t hvis A e e m mtise så li T A e m mtise. Heltllsdivisjo (divisjoslgoitme) div og mod: L væe et heltll og d et positivt heltll. D fies etydige heltll q og med 0 d sli t dq. Opesjoee div og mod defiees ved t div d q og mod d. Støste felles diviso Støste felles diviso (getest commo diviso gcd) fo to hele tll som ie egge e 0 e det støste heltllet som gå opp i egge tllee. Miste felles multiplum Miste felles multiplum (lest commo multiple lcm) fo to positive heltll e det miste positive heltllet som egge gå opp i. 7
8 Fomel gcd() og lcm(): Hvis ) gcd( e støste felles diviso fo og og ) ( lcm e miste felles multiplum fo og så e ) ( ) gcd( lcm Moduloegig: L m væe et positivt heltll. To heltll og lles oguete modulo m hvis m gå opp i og det eteges med ) (mod m. ) ) m (mod hvis og e hvis m mod = m mod ) ) m (mod og ) m (mod d c så e ) m d (mod c og ) m (mod d c. Tvesum L væe et positivt heltll. Tvesumme til e oguet med modulo 9. Summe v ee: Geometis ee: 0 Aitmetis ee: L væe føste ledd siste ledd og d diffeese mellom to og to ledd. Atll ledd e gitt ved d og summe e li ) ( Biomiloeffisiete:! ) ( ) ( )!!(! 0 Biomilteoemet: 0 0 ) ( 0 Atll fosjellige utvlg på stye f e smlig på stye: Odet ute tileleggig: ) ( ) ( Uodet ute tileleggig: Odet med tileleggig: Uodet med tileleggig: Det geeelle «pigeohole»-pisippet: Hvis N ojete sl plssees i ose må mist
N é os ieholde mist ojete. Diffeesligige: De geeelle lieæe homogee diffeesligige v ode med ostte oeffisiete e på fome c c de c og c e ostte. Ligiges teistise polyom e gitt ved: c c. Hvis det teistise polyomet h to fosjellige eelle løsige og li geeell løsig li de og e vilålige ostte. Hvis sttetigelsee 0 og e gitt fie e og ved å løse et ligigssystem. Hvis det teistise polyomet h u é løsig 0 li geeell løsig li 0 0 de og e vilålige ostte. Hvis sttetigelsee 0 og e gitt fie e og ved å løse et ligigssystem. Relsjoe: E elsjo R på e megde A e e delmegde v podutmegde A A. L R væe e elsjo på e megde A.. R e eflesiv hvis ( ) R fo lle A R e symmetis hvis ( ) R så e ( ) R. R e tisymmetis hvis og ( ) R så e ( ) R. R e tsitiv hvis ( ) R og ( c) R så e( c) R. E ptisjo E smlig delmegde A A A 3... A A A3... A A og A i A j Ø fo lle i j. Evivleselsjoe A v e megde A utgjø e ptisjo v A hvis E elsjo R på e megde A e e evivleselsjo hvis de e eflesiv symmetis og tsitiv. Evivleslsse Hvis R e e evivleselsjo på e megde A og A så e evivleslsse [] til defiet ved [ ] { A ( ) R}. Elle med od: [] e li megde v de A som e eltet til. Evivleslssee til e elsjo utgjø e ptisjo v A. 9
Delvis- elle ptiell odig E elsjo R på e megde A e e delvis odig hvis de e eflesiv tisymmetis og tsitiv. Hvis dette e oppfylt sie vi t A e e delvis odet megde (med hesy på R ). Et elemet A e et msimlt elemet hvis det ie fies oe A ( ) sli t ) R (. Det ety t det e ie oe elemet som omme «ette» i odige. Tilsvede e et elemet A et miimlt elemet hvis det ie fies oe A ( ) sli t ( ) R. Gfteoi: Gde til et put. L væe et put (eg: vetex) i e uettet gf. Gde gd () til e tllet te yttet til putet. Gd-t-setige: L G væe e uettet gf med edelig mge te. D vil summe v gdee til putee i G væe doelt så sto som tllet te. Eules setig: E smmehegede uettet gf med mist to pute h e luet Eule-vei (e Eule-syel) hvis og e hvis lle putee i gfe h ptllsgd. E smmehegede uettet gf h e åpe (ie-luet) Eule-vei hvis og e hvis øytig to pute i gfe h oddetllsgd. 0