Test, 3 Modellering Innhold 3.1 Lineære modeller og lineær regresjon... 3. Modell for svingetiden til en pendel... 8 3.3 Potensfunksjon som modell... 8 3.4 Eksponentialfunksjon som modell... 18 3.5 Polynomfunksjoner som modeller... 4 3.6 Andre typer modeller... 31 3.7 Matematiske modeller som grunnlag for beslutninger... 34 Grete Larsen 1
3.1 Lineære modeller og lineær regresjon 1) Funksjonsuttrykket for den rette linja som er tegnet i koordinatsystemet nedenfor er f( ) 4 X f( ) 4 f( ) 4
) Vi skal se på sammenhengen mellom sida i en regulær sekskant og omkretsen til sekskanten. La være sida i sekskanten. En modell for omkretsen i en regulær sekskant er X O 6 6 O O 4 3) Vi skal se på sammenhengen mellom sida i en likesidet trekant og omkretsen til trekanten. La være sida i trekanten. En modell for omkretsen i en likesidet trekant er X O 3 3 O O 3 3
4) Vi skal se på sammenhengen mellom sida i en rombe og omkretsen til romben. La være sida i romben. En modell for omkretsen i en rombe er 4 O X O 4 O 3 4
5) Tabellen under viser prisutviklingen på en vare fra 1990 til 005. Vi antar at prisutviklingen har vært tilnærmet lineær i perioden fra 1990 til 005. Årstall 1990 005 Pris på varen i kroner 15 500 3 000 Hvilken lineær modell beskriver prisutviklingen når er antall år etter 1990? 15500 7 500 f 7 500 f X f 15500 500 6) I koordinatsystemet nedenfor har vi tegnet grafen til funksjonen f(). Stigningstallet til grafen er - 1 X 7) En kommune har i dag 10 00 innbyggere. I følge en prognose vil innbyggertallet i kommunen øke med 150 innbyggere hvert år de neste 10 årene. Hvilken funksjon kan brukes som modell for kommunens innbyggertall i denne 10-års perioden? f( ) 1000 150 X f( ) 150 10 00 f( ) 10 350 5
8) Likningen for den rette linja som går gjennom punktene ( 3, 3) og (1,5) er X y 3 y 3 1 y 5 9) Punktene i koordinatsystemet viser antall innbyggere i en kommune år etter 1980. Hvilken modell passer best til å beskrive utviklingen i folketallet fra 1980 til 010? 6300 10 f 6300 300 f X f 6300 10 10) Petter har plantet en solsikke og antar at høydeveksten til solsikken kan beskrives med en lineær modell. Han tar tre målinger, etter, 4 og 6 uker og finner at høyden er henholdsvis 6, cm, 3,4 cm og 38,0 cm. La være antall uker etter plantingen og f høyden i cm. Hvilken modell passer best? 6 6 f 6 3 f X f 0 3 6
11) Funksjonen f 1 1,5 er en modell for høyden til et stearinlys i centimeter etter at det har brent i timer. Hvor høyt var lyset da det var nytt? X 1 cm 1,5 cm Det kan vi ikke svare på ut fra modellen 1) Funksjonen f 1 1,5 er en modell for høyden til et stearinlys i centimeter etter at det har brent i timer. Hvor mye minker lyset per time? 1 cm X 1,5 cm Det kan vi ikke svare på ut fra modellen 13) Funksjonen f 1 1,5 er en modell for høyden til et stearinlys i centimeter etter at det har brent i timer. Hvor mange timer kan lyset brenne? 1 timer 1,5 timer X 14 timer 14) Å modellere er å finne matematiske modeller eller formler som viser sammenhengen mellom ulike størrelser X Riktig Galt 15) Dersom sammenhengen mellom to ulike størrelser kan beskrives med en rett linje, sier vi at vi har en lineær matematisk modell X Riktig Galt 7
3. Modell for svingetiden til en pendel Foreslår at vi ikke har Quiz til dette avsnittet 3.3 Potensfunksjon som modell 1) Figuren viser grafen til en modell over utslippet av svoveldioksid i årene etter 1980. Hvilken potensfunksjon beskriver denne utviklingen? S 158 X 0,58 0,58 158 S 1,58 158 S 8
) Per kjøper aksjer til en verdi av10 000 kroner Figuren viser en modell over verdien av aksjene etter 10 år som en funksjon av vekstfaktoren. Hva er funksjonsuttrykket til denne modellen? A 10000 10 A 10000 1,05 A 10000 X 10 9
3) Per kjøper aksjer til en verdi av10 000 kroner Figuren viser en modell over verdien av aksjene etter 10 år som en funksjon av vekstfaktoren. Hva er den årlige verdiøkningen i prosent dersom aksjene er verd 1000 kroner etter 10 år? X % 1,0 % 0, % 10
4) Per kjøper aksjer til en verdi av10 000 kroner Figuren viser en modell over verdien av aksjene etter 10 år som en funksjon av vekstfaktoren. Hva er det årlige verdifallet i prosent dersom aksjene er verd 000 kroner etter 10 år? 1,5% X 15% 0,85% 11
5) Per kjøper aksjer til en verdi av10 000 kroner Figuren viser en modell over verdien av aksjene etter 10 år som en funksjon av vekstfaktoren. Hva er aksjene verd etter 10 år dersom verdiøkningen er på 10 % per år? ca. 11 000 kroner X ca. 6 000 kroner ca. 8 000 kroner 1
6) Figuren under viser en modell over svingetiden til en pendel når lengden på snora er meter. Modellen kan skrives på formen 1,5,0 f f,0 0,5 f,0 X 0,5 7) Figuren under viser en modell over svingetiden til en pendel når lengden på snora er meter. Modellen viser at når lengden på snora er 4 meter, er svingetida 1 sekund sekund X 4 sekund 13
8) Figuren under viser en modell over svingetiden til en pendel når lengden på snora er meter. Modellen viser at når svingetida er sekunder, er lengden på snora X 1 meter meter 4 meter 9) Figuren under viser en modell over prisen hver elev må betale for en busstur som funksjon av antall elever, som er med på turen. Modellen kan skrives på formen f 3000 1,5 0,5 3000 f f 3000 X 1 14
10) Figuren under viser en modell over prisen hver elev må betale for en busstur avhengig av hvor mange elever som er med på turen. Hvis 15 elever er med på turen, blir prisen per elev 300 kroner X 00 kroner 100 kroner 11) Figuren under viser en modell over prisen hver elev må betale for en busstur avhengig av hvor mange elever som er med på turen. For at prisen per elev skal bli under 150 kroner, må det bli med 0 elever X minst 0 elever maks 0 elever 15
1) En potensfunksjon er gitt på formen b f a. I funksjonsuttrykket til f er b 0 X 0 b 1 b 1 13) En potensfunksjon er gitt på formen b f a. I funksjonsuttrykket til f er b 0 0 b 1 X b 1 14) En potensfunksjon er gitt på formen b f a. I funksjonsuttrykket til f er b 1 0 b 1 X b 0 16
15) Verdien til en bil som kostet 400 000kroner som ny, er etter n år gitt ved n p 400 000 1 kroner der p er det årlige verditapet i prosent og n alderen på bilen. En 100 potensfunksjon egner seg godt til å undersøke X hvor stort verditapet per år er bilens verdi etter n år 17
3.4 Eksponentialfunksjon som modell 1) Når et beløp vokser eller avtar eksponentielt, vokser eller avtar det alltid X Med like mange prosent i hver periode Med samme beløp i hver periode Veldig lite ) Gitt funksjonen f ( ) 0 000 1,03 f(0) 0 1,03 X 0 000 3) Modellen under viser verdien av en leilighet i millioner kroner år etter 003. Modellen kan skrives på formen f 1,10 f,16 X f 1,08 18
4) Modellen under viser verdien av en leilighet i millioner kroner år etter 003. I følge denne modellen er verdien av leiligheten i 008 ca 3,7 millioner X,9 millioner 3,1 millioner 5) Modellen under viser verdien av en leilighet i millioner kroner år etter 003. I følge denne modellen passerer verdien på leiligheten 3 millioner i 005 007 X 009 19
6) Modellen under viser verdien av en leilighet i millioner kroner år etter 003. I følge denne modellen var verdien på leiligheten i 003 X millioner,16 millioner 3 millioner 7) Modellen under viser verdien av en leilighet i millioner kroner år etter 003. I følge denne modellen er den årlige verdiøkningen,16 % X 8% 16 % 8) Tor setter 10 000 kroner i banken og lar pengene stå urørt i 5 år. Renten er 4,5 % per år. Hvilket uttrykk kan vi bruke som modell for hvor mye han har i banken etter 5 år? f f 10000 4,5 10000 5 100 10000 5 10000 4,5 100 5 X f 10000 1,045 0
9) En bil koster 345 000 kroner. Anta at bilens verdi avtar med 18 % per år. Hvilket uttrykk kan vi bruke som modell for bilens verdi etter fire år? 4 f 345000 1,18 4 f 345000 0,18 4 X f 345000 0,8 10) Erik har penger i banken. Han påstår at han kan bruke funksjonen f ( ) 5000 1,05 som modell for hvor mye penger han har i banken etter år. Hvilken rentefot regner han med? 1,05% X,5% 5,5% 11) En eksponentialfunksjon er gitt på formen f a b. I funksjonsuttrykket til f er X a b 1
1) Punktene i koordinatsystemet viser verdien til en bil år etter at den var ny. Hvilken modell passer best til å beskriveutviklingen til verdien til bilen? f 300 000 1,001 X f 300 000 0,85 300 000 50 000 f
13) Punktene i grafen angir befolkningen i Norge fra 1900 til 010 i millioner. Grafen viser en modell av denne utviklingen basert på befolkningstallene. Hvilket uttrykk kan være funksjonsuttrykket til grafen? X f, 1,007 3, f,, 0,0 40 f 0,00004 0,0, 14) Funksjonen f 3,0 1,08 er en modell for utviklingen av verdien på en leilighet i millioner år etter 008. Hva var verdien på leiligheten i 009 ifølge modellen? 3,0 millioner X 3,4 millioner 4,0 millioner 15) Funksjonen f 3,0 1,08 er en modell for utviklingen av verdien på en leilighet i millioner år etter 008. Hva var verdien på leiligheten i 008 ifølge modellen? X 3,0 millioner 3,4 millioner 4,0 millioner 3
3.5 Polynomfunksjoner som modeller 1) Grafen viser en modell for et ballkast. -aksen viser tida fra ballen ble kastet og y -aksen viser ballens høyde over bakken. Uttrykket for modellen er h 4,9 1,1 1,8 h 4,9 1,1 1,8 X h 4,9 1,1 18 ) Grafen viser en modell for et ballkast. -aksen viser tida fra ballen ble kastet og y -aksen viser ballens høyde over bakken. Hvor langt er kastet? 3 meter 1 meter X Det kan vi ikke svare på ut fra modellen 4
3) Grafen viser en modell for et ballkast. -aksen viser tida fra ballen ble kastet og y -aksen viser ballens høyde over bakken. Hvor høyt er kastet? 3 meter X 1 meter Det kan vi ikke svare på ut fra modellen 4) Grafen viser en modell for et ballkast. -aksen viser tida fra ballen ble kastet og y -aksen viser ballens høyde over bakken. Hvor lenge er ballen i lufta? 1,5 sekund X 3 sekund 1 sekund 5
5) Vi skal se på sammenhengen mellom sida i en likesidet trekant og arealet til trekanten. La være sida i trekanten. En modell for arealet til en likesidet trekant er 1 A 3 3 4 A 3 4 X A 6) Vi skal se på sammenhengen mellom sida i en sekskant og arealet til sekskanten. La være sida i sekskanten. En modell for arealet til en sekskant er 3 A 7 3 A 3 3 A X 6
7) Vi skal se på sammenhengen mellom sida i en rombe og arealet til romben. La være sida i romben. En modell for arealet til en rombe er A 3 A X ingen av delene 7
4 8) Formelen V r er en modell for overflata til ei kule med radius r. Figuren viser grafen til 3 modellen. Hva er volumet hvis radius er, i følge denne modellen? 40 X 45 50 9) Formelen O 4 r er en modell for overflata til ei kule med radius r. Hvilken graf viser denne modellen? X den røde den blå ingen av dem 8
4 10) Formelen V r er en modell for overflata til ei kule med radius r. Hvilken graf viser denne 3 modellen? den røde X den blå den grønne 11) Formelen O 4 r er en modell for overflata i til ei kule med radius r. Figuren viser grafen til denne modellen. Hva er radius i ei kule som har en overflate på 50 cm 1,8 cm X cm cm 9
1) I en trekant er summen av grunnlinja og høyden lik 1. Vi setter høyden lik. En modell for arealet til trekanten er X A 6 A 6 A 1 13) Hvilken av funksjonene nedenfor er en tredjegradsfunksjon? f( ) 3 3 X f ( ) 3 3 3 f( ) 3 14) I en sylinder er summen av radius og høyde lik. Vi setter høyden lik h. En modell for volumet til sylinderen er X V h h 4h 4h V h 3 h 4h 4h V h h h 15) Funksjonen 3 f 0,003 0,1 0, 1,0 er en modell for temperaturen i celsiusgrader timer etter midnatt et døgn i oktober. Hva var temperaturen ved midnatt? 0,003 C 0, C X 1,0 C 30
3.6 Andre typer modeller 1) Gitt en liste med tall:, 3, 5, 7, 11, 13. Hva blir det neste tallet i lista? 15 X 17 19 ) Gitt en liste med tall:,4,6,8,.... Hva blir det neste tallet i lista? X 10 1 14 3) Gitt en liste med tall: 1, 4, 9, 16, 5, 36,. Hva blir det neste tallet i lista? 47 X 49 51 4) Gitt en liste med tall:, 3, 5, 7, 11, 13. Hva er mønsteret? Lista består av alle oddetallene X Lista består av alle primtallene Du legger til og 4 annenhver gang 5) Gitt en liste med tall:,4,6,8,.... Hva er mønsteret? X Lista består av alle partallene. Tallene i lista er summen av de to tallene foran. Tallene i lista er summen av de to tallene foran minus. 31
6) Gitt en liste med tall: 1, 4, 9, 16, 5,. Hva er mønsteret? Tallene i lista er tallet foran pluss 11 X Lista består av alle kvadrattallene Tallene i lista er summen av de to tallene foran 7) Gitt en liste med tall: 1,, 3, 4, 3 4 5 3 5. Hva blir det neste tallet i lista? X 5 6 7 8 8) Gitt en liste med tall: 1,, 3, 4, 3 4 5 n 1 n n n 1 n X n 1. Hva blir formelen for tall nummer n i lista? 9) Gitt en liste med tall: 5, 10, 15, 0,. Hva blir formelen for tall nummer n i lista? X 5n 5 n 5 n 1 10) Gitt en liste med tall: 1, 3, 6, 10,. Hva blir det neste tallet i lista? 14 X 15 16 3
11) Gitt en liste med tall: 1, 3, 6, 10,. Hva er mønsteret? Først to partall så to oddetall og så videre. Du legger alltid til to mer enn forrige gang X Tall nummer n er lik tallet foran pluss n Tall nummer n er lik tallet foran pluss n 1 1) Gitt en liste med tall:, 4, 8, 3 9 7 1 54 X 16 81 10 81. Hva blir det neste tallet i lista? 13) Gitt en liste med tall:, 4, 8, 3 9 7 n 3 n n 3n n. Hva er formelen for tall nummer n i lista? X 3 n 14) Figuren viser de 5 første trekanttallene. Hva blir det neste tallet? 0 X 1 33
15) Figuren viser et kvadrat med sidekant 1. Inni dette kvadratet er det et nytt kvadrat slik at alle hjørnene i det nye kvadratet ligger midt på hver av de fire sidene i det første kvadratet. Inni det andre kvadratet ligger det et tredje kvadrat etter samme prinsipp osv. Se figuren. Hva blir arealet til det fjerde(det blå på figuren) kvadratet? 1 4 X 1 8 1 16 3.7 Matematiske modeller som grunnlag for beslutninger Foreslår at vi ikke har Quiz til dette avsnittet 34