UNIVERSITETET I OSLO Det matematsk-naturvtenskapelge fakultet Deleksamen MAT-INF Modellerng og beregnnger. Eksamensdag: Onsdag 7. oktober 29. Td for eksamen: 5: 7:. Oppgavesettet er på 6 sder. Vedlegg: Tllatte hjelpemdler: Formelark. Ingen. Kontroller at oppgavesettet er komplett før du begynner å besvare spørsmålene. Husk å fylle nn kanddatnummer under. Kanddatnr: De første oppgavene teller 2 poeng hver, de sste teller 3 poeng hver. Den totale poengsummen er altså 5. Det er 5 svaralternatver for hvert spørsmål, men det er bare ett av dsse som er rktg. Dersom du svarer fel eller lar være å krysse av på et spørsmål, får du null poeng. Du blr altså kke straffet med mnuspoeng for å svare fel. Lykke tl! Oppgave. tallet 9 2 6 25 7 Oppgave- og svarark Det bnære tallet 2 er det samme som det desmale Oppgave 2. Skrevet totallssystemet blr det heksadesmale tallet f4f 6 2 2 2 2 2 (Fortsettes på sde 2.)
Deleksamen MAT-INF, Onsdag 7. oktober 29. Sde 2 Oppgave 3. Desmaltallet 5.3 kan skrves på bnær form som. der sfrene gjentas uendelg mange ganger... der sfrene gjentas uendelg mange ganger. der sfrene gjentas uendelg mange ganger Oppgave 4. I åttetallssystemet blr det desmale tallet 4.25 49. 8 4. 8 5.3 8 4. 8 5. 8 Oppgave 5. 2.4 I sffersystemet med grunntall β = 4 blr det desmale tallet 2.3 4 2.33 4 2.3 4 2. 4 krever uendelg mange sffer Oppgave 6. er et rasjonalt tall + 2 2 8 + 2 Tallet + 2 + 8 5 8 8 2 Oppgave 7. En følge er defnert ved x n = e n2 for n. Hva er største nedre skranke for tallmengden gtt ved {x n n }? /2 er kke defnert e (Fortsettes på sde 3.)
Deleksamen MAT-INF, Onsdag 7. oktober 29. Sde 3 Oppgave 8. Anta at v multplserer ut parentesene uttrykket (2 x) 99. Hva blr da koeffsenten foran x 98? 99 98 99 98 Oppgave 9. f(x) = x 4? 3 + 9x + 7x 2 3 + 8x + 6x 2 x x 2 x 4 Oppgave. f(x) = x 2? x 2 + x + x 2 3 x x 2 x Hva er Taylor-polynomet av grad 2 om a = for funksjonen Hva er Taylor-polynomet av grad 2 om a = for funksjonen V mnner om at dvderte dfferenser tlfredstller relasjonene f[x, x,..., x k, x k ] = f[x,..., x k, x k ] f[x, x,..., x k ] x k x og f[x k ] = f(x k ). Oppgave. V har funksjonen f(x) = sn x og punktene x =, x = π/2 og x 2 = π. Da har den dvderte dfferansen f[x, x, x 2 ] verden 4/π 2 4/π 2 2/π 2/π Oppgave 2. V har funksjonen f(x) = x 4 og punktene x =, for =,,..., 5. Da har den dvderte dfferansen f[x, x, x 2, x 3, x 4, x 5 ] verden 24 6 2 2 (Fortsettes på sde 4.)
Deleksamen MAT-INF, Onsdag 7. oktober 29. Sde 4 Oppgave 3. V nterpolerer funksjonen f(x) = x 3 med et polynom p 2 av grad 2 punktene,, 2. Da er p 2 lk x 2 x 3 x + 3x(x ) x 3x(x ) 4x 2 3x Oppgave 4. Du skal tlnærme funksjonen f(x) = e x med et Taylorpolynom av grad n på ntervallet [, ], utvklet om a =. Det vser seg at felen er begrenset av 3x n+ (n + )!. Hva er den mnste graden n som gjør at felen blr mndre enn. for alle x ntervallet [, ]? n = n = 3 n = 4 n = 5 n = 7 Oppgave 5. har løsnngen x n = ( /2) n+ x n = ( ) n /2 x n = /2 x n = (n + )/2 x n = n Oppgave 6. Hva er løsnngen? x n = n x n = n2 n x n = (4 n )/3 x n = ( ( ) n) x n = sn(5nπ/3) Dfferenslgnngen x n+ x n = ( ) n+, x = /2 V har gtt en dfferenslgnng med ntalbetngelser, x n+2 3x n+ 4x n = 2, x =, x =. (Fortsettes på sde 5.)
Deleksamen MAT-INF, Onsdag 7. oktober 29. Sde 5 Oppgave 7. V har en følge defnert ved y n = + 2 2 + 3 2 + + n 2, n =, 2,... og en annen følge {x n } n= defnert ved dfferenslgnngen x n+ x n = (n + ) 2, x =. For n er da y n x n gtt ved (n ) 2 (n ) 3 (n )n 2 n2 n Oppgave 8. V har dfferenslgnngen x n+ x n 3 = 2, x = 2, og smulerer denne med 64-bts flyttall. For alle n over en vss grense vl da den beregnede løsnngen x n g som resultat 3 3 3 n Det blr overflow Oppgave 9. V har dfferenslgnngen x n+2 6x n+ + 2x n =, n, x = /7, x = /7 og smulerer denne med 64-bts flyttall på datamaskn. For alle n over en vss grense vl da den beregnede løsnngen x n g som resultat: /3 5 Det blr overflow 3 n (Fortsettes på sde 6.)
Deleksamen MAT-INF, Onsdag 7. oktober 29. Sde 6 Oppgave 2. V lar P n betegne påstanden n = n. Et nduksjonsbevs for at P n er sann for alle heltall n kan være som følger:. V ser lett at P er sann. 2. Anta nå at v har bevst at P,..., P k er sanne. For å fullføre nduksjonsbevset, må v vse at P k+ også er sann. Sden v antar at P k er sann vet v at k k, og v må vse at da er også V har følgende relasjoner k+ = = k+ = = k +. k = k + + k + k + = k(k + ) + k + k 2 + k + = k +. V ser dermed at om P k er sann så må også P k+ være sann. Hvlket av følgende utsagn er sant? Påstanden P n er sann, men del 2 av nduksjonsbevset er fel Påstanden P n er fel, og del 2 av nduksjonsbevset er fel Påstanden P n er fel, og del av nduksjonsbevset er fel Både påstanden P n og nduksjonsbevset er rktge Bevset er rktg, men det er kke noe nduksjonsbevs Det var det!