Eksame R, Høste 00 Del Tid: timer Hjelpemidler: Valige skrivesaker, passer, lijal med cetimetermål og vikelmåler er tillatt. Oppgave (6 poeg) a) Deriver fuksjoee ) f l f ( ) l l (l ) ) g( ) si cos f si cos cos ( si ) 4si cos b) Bestem itegralee ) d du d u d u u l u C l( ) C Itegrasjo med variabelskifte u du d du d
d der figure ) f 0 edefor viser grafe til f. 0 f( ) d c) Løs differesiallikige: y y 0 år y 0 Differesiallikige er separabel. y y 0 y y y y dy y d y dy d y C C C y C C C y C
0 C C C y d) Gitt puktee A, 0,, B,, 4 og C 5,, 0 ) Bestem AB og AC, 0, 4,, AB AB 5, 0, 0 4,, AC AC 4 ( ) 4 ) Bestem AB AC og AB AC AB AC,, 4,, 4 ( ),, 4,, AB AC e e e y z 4 ( ), 4, 4 9,0, ) Vis at ABAC ABAC AB AC 9,0, ( 9) 0 ( ) 85 AB AC AB AC
4 AB 9 AC 4 4 ABAC ABAC 85 06 AB AC 94 06 Dette viser at ABAC ABAC AB AC Vi ka også vise at dee sammehege gjelder geerelt si cos AB AC ABAC ABAC AB AC AB AC si cos AB AC AB AC
5 Oppgave (8 poeg) Vi har fuksjoe f a) Bestem arealet F avgreset av grafe til f, førsteakse og lije a der a 0. a 0 a F d a 0 Rektagelet på skisse ovefor ka deles i to områder med arealee F og F F b) Vis at F Arealet av hele rektaglet er A l b a f a aa a Vi har da at F F a F a F a a a F F a a
6 Vi skal å se på fuksjoe g, der er et aturlig tall. Et tilsvarede rektagel som det ovefor med fuksjoe g ka også deles i to områder med arealee G og G. c) Forklar at a 0 G a a G d a 0 a 0 G d) Bestem G Arealet av hele rektaglet er A l b ag a aa a Vi har da at G G a G a G a a a a a a G G a
7 Del Tid: timer Hjelpemidler: Alle hjelpemidler er tillatt, med utak av Iterett og adre verktøy som tillater kommuikasjo. Oppgave (4 poeg) a) E rekke er gitt ved S 5 Forklar at rekke er aritmetisk, og bruk dette til å vise at S Rekke er aritmetisk fordi differese d mellom aboledd, er. a a d a a S b) Vi skal å se på e ae rekke S 9 ) Fi et uttrykk for S. Fi ved regig hvor mage ledd vi mist må ha med for at S,45 Rekke er geometrisk med S k a k k.
8 S,45,45,45 0,9667 0,0 lg 0,0 lg 0,, Vi må ha med mist fire ledd. ) Vi lar å atall ledd gå mot uedelig. Bestem rekkes sum dersom de fies. E geometrisk rekke er koverget år k,. Side S k, er dee rekke koverget. a k c) Vi ser på e uedelig geometrisk rekke med variabel kvotiet S 9 ) Bestem kovergesområdet til rekke. Fi et uttrykk for S. k
9 Rekke er koverget år k,, dvs. år,. a S ( ) år, k ) Løs likigee S = 4 og S 4 4 4 4 9 S 9 4 9 9 4,5 S = Summe av rekke ka aldri bli side, her. d) Bevis formele 6 0 ved iduksjo. 6 Tri, Iduksjosgrulaget Vi skal vise at formele gjelder for. Bevis Vestre side a 6 Høyre side 6 6 Formele gjelder for.
0 Tri, Iduksjostriet Vi atar at formele gjelder for t. Det betyr at t t t t t 6 0 6 Vi må vise at formele gjelder for t. Vi må altså vise at t t t t t t t 6 0 6 Bevis t t t t t t t t t 6 0 6 t t t t t 6 t t t 6 Vi har dermed vist at formele gjelder for t. I følge iduksjosprisippet gjelder formele da for alle verdier av.
Oppgave 4 ( poeg) Du skal svare på ete alterativ I eller alterativ II. De to alterativee teller like mye ved vurderige. (Dersom besvarelse di ieholder deler av begge alterativee, vil bare det du har skrevet på alterativ I, bli vurdert.) Alterativ I De periodiske fuksjoe f er gitt ved f( ) si sicos, 0, 4 a) Teg grafe til f. Bestem periode. Vi bruker GeoGebra og teger grafe til f ved å bruke kommadoe Fuksjo [Fuksjosuttrykk, Startverdi for, Sluttverdi for ] Vi ser av grafe at fuksjoe har periode. b) Fi ullpuktee til f ved regig. Vi defierer fuksjoe i wmaima og løser likige f 0
Løsigee i itervallet 0,4 blir Nullpukter 0, 0, 0, c) Vis ved regig at f ' 4cos cos Vi bruker wmaima, deriverer og får f si cos cos cos cos cos si cos cos cos cos 4cos cos Bruk f' til å bestemme topp- og bupukter på grafe til f.
Ut fra grafe til f ser vi at grafe til f har toppukter for,047 7,0 (Her går de deriverte fra å være positiv (grafe til f stiger) til å bli egativ (grafe til f syker).) Ut fra grafe til f ser vi tilsvarede at grafe til f har bupukter for 5,6,5 (Her går de deriverte fra å være egativ (grafe til f syker) til å bli positiv (grafe til f stiger).) Vi bruker wmaima og fier adrekoordiate til disse puktee Toppuktee er,047,,598 og 7,0,,598. Bupuktee er 5,6,,598 og,5,,598.
4 d) Fi f'' ved regig. Bruk f'' f i itervallet 0, til å bestemme evetuelle vedepukter på grafe til Vi bruker wmaima og deriverer f to gager 8cos si si f. Grafe til f har vedepukter år f 0 Vi teger grafe til f i GeoGebra og fier ullpuktee ved å velge Skjærig mellom to objekter Ut fra grafe til f ser vi at grafe til f har vedepukter for,8 4,460
5 Vi bruker wmaima for å fie adrekoordiate til disse puktee Vedepuktee er,8,,45,,0 og 4,460,,45. e) Bestem ved regig arealet av det flatestykket som er avgreset av grafe til f, førsteakse og lijee 0 og 0 A f d Vi bruker wmaima og fier dette itegralet Arealet er 4.
6 Alterativ II Vi har teget grafe til f cos og e taget til dee i puktet P a, f a. Skjærigspuktee mellom tagete og koordiataksee er A og B. Se skisse til høyre. a) Vis at likige for tagete er y sia asia cosa Vi fier likige for tagete ved å bruke ettpuktsformele y y f ( ) a y f a cosa f sia y cosa si a( a) y (si a) asia cosa b) Bestem koordiatee til puktee A og B. Vis at arealet av OAB er si cos cos a F OAB a a a a sia I puktet A er y 0. I puktet B er 0. Vi defierer y i wmaima, og løser først likige y 0 for å fie koordiatee til A
7 Puktet A har koordiatee asia cosa cosa,0 a,0 sia sia. Vi reger så ut y0 for å fie koordiatee til B Puktet B har koordiatee 0, asia cosa. Arealet av trekate er F OAB OBOA cosa asia cosaa sia c) Forklar at arealet T av det fargelagte området på skisse til høyre ka skrives T a F OAB Vi fier først skjærigspuktet mellom grafe til f og - akse ved å løse likige f 0 år, 0 0, f cos 0 OAB OAB OAB 0 0 T a F f d F F cos d si 0 F OAB si si0 F OAB
8 d) Teg grafe til T år a, 5 Vi teger grafe i GeoGebra e) Bestem T med tilhørede verdi av a. Fi ut hva som skjer med arealet av det fargelagte mi området år a Vi fier bupuktet på grafe til T, ved å tege grafe til T og fie ullpuktet til de deriverte ved å bruke Skjærig mellom to objekter. Se edefor. Tmi 0,
9 De tilhørede verdie av a er 0,86. cosa lim T a lim asia cosaa sia a a cos si cos si 0 0 4 0, 8 Oppgave 5 (0 poeg) I 008 var ivadrige til Norge,4 % av folketallet y, mes utvadrige var 0,5 % av y. Dette året ble det født 60 000, mes atall døde var 4 000. Vi atar at disse dataee for befolkigsedrige holder seg kostat oe år. Vi lar ibyggertallet i Norge være begyelse av 009, yt, der t er atall år etter. jauar 009. Det vil si at y er folketallet i begyelse av 00, og så videre. y 0 er folketallet i a) Forklar at befolkigsedrige ka beskrives ved differesiallikige y 0,009 y8000 Ivadrige er,4 % av folketallet y. Utvadrige er 0,5 % av folketallet y.,4% 0,5% 0,04 0,005 0,009 Atall fødte mius atall døde gir 60000 4000 8000 Da ka befolkigsedrige beskrives ved differesiallikige y 0,009 y 8 000
0 b) Bestem folketallet det året befolkige vokser med 7 000. y 7000 7 000 0,009 y 8 000 7 000 8 000 y 0,009 y 6000000 Folketallet er 6 millioer det året befolkige vokser med 7 000. c) Fi de geerelle løsige av differesiallikige ved regig. y 0,009 y8000 y 0,009y 8000 ye 0,009y e 8000e 0,009 0,009 0,009 De geerelle løsige er y e 8000e 0,009 0,009 0,009 0,009 y e 8000e d 8000 0,009 0,009 0,009 y e e C 0,009 0,009 y e 000000 e C C y 000000 e y 000000 Ce 0,009 0,009 y 000000 Ce 0,009
d) Folketallet i Norge. jauar 009 var 4 800 000. Bestem kostate i løsige av differesiallikige. y0 4800000 4800000 000000 Ce C 4800000 000000 C 6800000 0,0090 e) Ifølge modelle ovefor, hvor lag tid vil det ta før ibyggertallet i Norge er 6 000 000? Vi får da likige y 000000 6800000e 6000000 000000 6800000e 0,009 0,009 Vi løser dee likige i wmaima og får Det vil ta ca. 8 år før ibyggertallet i Norge er 6 000 000.