Flervlgsoppgver 1. En induktor L og en motstnd R er forbundet til en spenningskilde E som vist i figuren. Bryteren S 1 lukkes og forblir lukket slik t konstnt strøm går gjennom L og R. Så åpnes bryter S 1 smtidig som bryter S 2 lukkes. Etter dette vil (bsoluttverdien v tidsrten for strømmen) di(t) A. forbli konstnt B. øke med tid C. vt med tid D. øke først for så å vt E. ikke nok informsjon til å vgjøre Løsning: Etter bryter S 2 er lukk er V R + V L = ir + L di = 0, som hr løsning i(t) = i 0 exp{ t/τ} med tidskonstnt τ = L/R. Strømmen vtr fr i 0 til null med rte di(t) = ( 1/τ) i 0 exp{ t/τ}. di(t) vtr med tid. 2. En konstnt strøm går igjennom en spole (induktor). Hvis strømmen dobles mens induktnsen beholdes konstnt, vil energien i spolen A. øke med en fktor 4 B. øke med en fktor 2 C. øke med en fktor 2 D. forbli uendr E. øke med en fktor som er vhengig v geometrien til spolen Løsning: Energien i en spole er U = 1 2 LI2. 3. Ved tidspunktet t = 0 kobles en likespenningskilde V 0 til en seriekobling v en resistns R = 1.00 mω og en induktns L = 1.00 µh. Ved hvilket tidspunkt hr strømmen nådd 80 % v sin mksimle verdi V 0 /R? A. 4.6 ms B. 0.22 ms C. 2.3 ms D. 1.6 ms E. 0.90 ms Løsning: Seriekobling: V 0 = RI0V L = RI + LdI/ gir differensilligningen di I V 0 /R = L/R I(t) = V 0 R [ 1 e t τ med tidskonstnt τ = L/R = (1.00 10 6 )/(1.00 10 3 )s = 1.00 10 3 s. Når exp{ t/τ} = 0.20 er 80 % v mksverdi nådd, og t = τ ln(0.20) = 1.6 ms. ] 4. I kretsen i figuren hr spenningskilden null indre resistns, spolene (induktorene) hr null resistns og kondenstorene er ideelle (uendelig resistns). Hv er spenningen (potensilforskjellen) over 70.0 µfkondenstoren når bryteren hr vært lukket svært lenge? A. 66.6 V B. 133 V C. 33.3 V D. 100 V E. 0.00 V
Løsning: Etter lng tid er I = 0 og derfor ingen spenningsfll over en spole (dvs. som en kortslutning). En kondenstor er fullt oppldet og det går ingen strøm (dvs. som en åpen krets). Kretsen er d ekvivlent med en seriekobling v 50.0 Ω og 25.0 Ω-motstnden. Strømmen blir I = V 0 /(ΣR) = 200.0 V/75.0 Ω = 2.667 A. Spenningen over 70.0 µf-kondenstoren er lik spenningen over 50 Ω-motstnden, dvs. 2.667 A 50 Ω = 133.3 V. 5. En induktor L og en motstnd R er forbundet til en spenningskilde E som vist i figuren. Bryteren S 1 er i utgnspunktet åpen. Når bryteren lukkes går det strøm i kretsen. Etter veldig lng tid er strømmen i A. proporsjonl med RL B. proporsjonl med R/L C. proporsjonl med R D. proporsjonl med 1/R E. proporsjonl med 1/(RL) Løsning: Når strømmen er konstnt er det ingen motspenning i induktoren og I E/R. 6. I figuren i oppgve 5, hv blir fortegnene til potensildiffernsene v b og v bc (der v b = v v b og tilsvrende for v bc ) rett etter t bryter S 1 lukkes mens bryter S 2 er åpen? A. v b > 0, v bc > 0 B. v b > 0, v bc < 0 C. v b < 0, v bc > 0 D. v b < 0, v bc < 0 E. Umulig å vgjøre Løsning: Unsett hvilken tilstnd bryterne er i, vil strømmen gå i retningen som vist på bildet. Potensilet vil lltid være størst før en resistor enn etter, så v b > 0. Med S 1 lukket og S 2 åpen vil strømmen gå igjennom induktoren fr b til c, og øke i styrke til det stbiliserer seg. Mens strømstyrken øker vil induktoren produsere en emf som motvirker økningen og dermed er rettet fr c mot b, som betyr t b er ved høyere potensiell energi enn c, ltså v bc > 0 7. Ant t bryter S 1 er lukket og S 2 er åpen i figuren i oppgve 5. Dersom S 1 åpnes og S 2 lukkes, hv er fortegnene til v b og v bc rett etterpå? Strømmen går i retningen som vist i figuren. A. v b < 0, v bc < 0 B. v b > 0, v bc < 0 C. v b > 0, v bc > 0 D. v b < 0, v bc > 0 E. Umulig å vgjøre Løsning: Når S 1 åpnes og S 2 lukkes vil strømmen fortstt gå gjennom induktoren fr b til c, men minker med tiden. Induktoren setter opp en emf som motvirker endringen i strømstyrken (den forsøker å holde den gående) og er rettet fr b mot c, slik t c er ved høyest potensil og v bc er negtiv. Pge 2
Induktns for koksilkbel 8. Vi ser på smme koksilkbel (med strøm I og I) som i øving 10. Både ledermterilet og isolsjonsmterilet mellom lederne hr permebilitet µ 0. Vi skl beregne selvinduktnsen til koksilkbelen. Dette kn gjøres på to måter: A) Fr beregning v simutl (sirkulær) fluks Φ B mellom lederne og bruk v Frdys lov E = dφ B / = L di/. B) Fr beregning v energiinnhold mellom lederne og formelen U = 1 2 L I 2, der U er mgnetisk energiinnhold og L er selvinduktns, begge per lengdeenhet v kbelen ( betyr per lengdeenhet). Mgnetisk energitetthet (per volumenhet) er u = B 2 /2µ 0. Det kn bli litt rbeid å beregne fluks og/eller energi innvendig i lederne, og du kn derfor forenkle ved å nt t ll strøm går på overflt v innerleder og innerflte v ytterleder. (Så er tilfelle for vekselstrøm med høy frekvens.) () Skissér mgnetfeltet B(r) som funksjon v vstnd r fr ksen. Løsning: Med strømmen jevnt fordelt over tverrsnittet på lederne blir B(r) kvlittivt som H(r) i tidligere øving (B = µ 0 H). Vist i figuren til venstre.med bre overfltestrømmer blir skiss forenklet ved t B 0 bre mellom lederne (r [, b]), vist i figuren til høyre. I B = µ 0 2πr for r [, b], B = 0 ellers. (b) Bruk metode A) til å vise t selvinduktns per lengdeenhet kn uttrykkes L = µ 0 2π ln b (må løse et flteintegrl). Løsning: Ønsker å finne simutl fluks i området mellom lederne. Ser på et kbelstykke v (vlgt) lengde l. Figuren viser et tverrsnitt normlt på strømretningen. Arelet som er ktuelt for å beregne simutl fluks blir et rektngel med sideknter lngs henholdsvis rdius (kortstiplet linje) og i kbelretningen (lngstiplet linje). Rektngelet deles i tynne skiver med bredde dr og rel da = ldr. Fltenormlen da vil være prllell med B, d kn den simutle B-fluks mellom gjennom det gitte rektngelet uttrykkes Φ B = A B d A = B(r) ldr = µ 0Il 2π dr r = µ 0Il 2π ln b. Pge 3
Selvinduktnsen L er definert ved ligningen Φ B = L I (bruker prikk for tidsderivert). I uttrykket for Φ B er kun strømmen I vhengig v tid slik t vi får L = Φ Ḃ I = µ 0l 2π ln b. Selvinduktnsen per lengdeenhet er mer interessnt for en kbel, som skulle vises: L = L l = µ 0 2π ln b. (c) Hv er selvinduktnsen L for en 10 m lng kbel med = 0.50 mm og b = 3.0 mm? Løsning: Numerisk for den gitte kbelen: L = 4π 10 7 H/m ln 3 = 0.36 µh/m, 2π 0.5 L = L 10 m = 3.6 µh. (d) Finn uttrykk for den mgnetiske energitettheten u = B 2 /2µ 0 som funksjon v vstnd r fr ksen. Bruk deretter metode B) til å finne L (må løse et volumintegrl). Løsning: Energitettheten per volumenhet er gitt ved u = B2 2µ 0 = 1 2µ 0 Energiinnhold på en lengde l v kbelen blir d ˆ U = u dv = ( ) 2 µ0 I = 1 ( ) 2 I 2πr 2 µ 0. 2πr u 2πlrdr = 1 ( ) 2 ˆ I b 2 µ 1 0 2πl 2π r 2 rdr = 1 2 I2 µ0 2π l ln b. Energi per lengdeenhet blir U = U/l, og fr oppgitt formel U = 1 2 L I 2 ser vi d t som ltså er det smme som over. L = µ 0 2π ln b, (e) For kbelen gitt i (c), nt I = 2, 0 A og beregn u numerisk ved r = b. Merk deg enheten! Dette vil være lik et (mgnetisk) trykk som ytterlederen presses utover med. Løsning: Numerisk verdi for oppgitte dt: u = 1 ( ) 2 I 2 µ 0 = 1 ( 2πr 2 4π 2.0 A 10 7 H/m 2π 3.0 mm = 7.1 10 3 HA 2 /m 3 = 7.1 mj/m 3 = 7.1 mp. H A Enhetsregning: 2 = (Vs/A) A2 = V C = J = N = P. Energitettheten i ethvert punkt m 3 m 3 m 3 m 3 m 2 er ltså et (mgnetisk) trykk på det punktet. (Til smmenligning: 1 tm = 101 kp.) ) 2 Induksjon ved rotsjon Pge 4
9. Gitt en uendelig lng, rett leder som fører strømmen I 1. En kvdrtisk, tynn ledersløyfe med sideknt plsseres med venstre sideknt i vstnd c fr den rette lederen (se figur). Sløyf ligger i et pln gjennom den rette lederen og ligger så lngt fr lederen (c ) slik t vi kn nt t mgnetfeltet som I 1 setter opp inni strømsløyf er homogent og lik verdien i sentrum. Sløyf roterer om en kse som går prllelt med I 1 og gjennom mipunktet v sløyf, som vist i figuren. Rotsjonsfrekvensen er f. Finn uttrykk for indusert elektromotorisk spenning i ledersløyf. Sett inn tllsvr med oppgitte tllverdier: = 0.100 m, c = 1.00 m, I 1 = 50 A og f = 1.00 khz. Løsning: Figuren viser ledersløyf sett ovenfr. Mgnetfeltet er B = B φ ˆφ og normlen d A til ledersløyf dnner under rotsjonen vinkel θ = ω t med B. Beste estimt for mgnetfelt i sløyf er B φ (c + 2 ) = µ 0 2π I 1 c + 2 = 9.52 10 6 T. Indusert ems er gitt ved Frdys lov, E = dφ B, der mgnetisk fluks er gitt ved Φ B = B d A = B φ (c + 2 ) 2 cos θ. Dette gir E = B φ (c + 2 ) 2 d(cos ωt) 2 = µ 0 2π I 1 c + 2 ω sin ωt = E 0 sin ωt, der frekvensen er og mplituden 2 E 0 = µ 0 2π I 1 c + 2 ω = 2πf = 2π 1000 s 1 = 6.28 10 3 s 1, ω = 2 10 7 H/m 50 A (0.100 m)2 1.05 m 6.28 103 s 1 = 0.60 mv. Pge 5