Norges teksk-aturvteskapelge uverstet Isttutt for matematske fag Løsgssksse Oppgave a) Lar X være kvadratprse. Har da at X N(µ, σ 2 ), med µ 30 og σ 2 2, 5 2. P (X < 30) P (X < µ) 0.5 ( X 30 P (X > 25) P (X < 25) P < 2.5 Φ( 2) 0.0228 0.9772 ) 25 30 2.5 P (X > 25 X < 30) P (X < 30) P (X < 25) P (X < 30) P (X > 25 X < 30) P (X < 30) 0.5 0.0228 0.5 0.9544 b) Gustav ser på 40 kvm med kvadratprs X G : Prs Y G 40X G. Margrethe ser på 50 kvm med kvadratprs X M : Prs Y M 50X M. Prsforskjelle D Y M Y G 40X G 50X M. Da D er e leær kombasjo av uavhegge ormalfordelte stokastske varable, så er D ormalfordelt med E(D) E(40X G 50X M ) 40E(X G ) 50E(X M ) 0 30 300 Altså er Var(D) Var(40X G 50X M ) 40 2 Var(X G ) + 50 2 Var(X M ) 400 2.5 2 P (D < 0) P ( D 300 40002.5 < 0 300 4002.5 ) Φ(.87) 0.0307 Sasylghete for at lelghete Margrethe vurderer er bllgast er på 3.07 %. eksma6-lsf-b 9. august 206 Sde
c) Øsker å fe et 95% kofdestervall for µ basert på data x, x 2,..., x, der 5. Har at X er uavhegge og ormalfordelte med ukjet µ og σ 2. Ka altså bruke T - observator: T X µ S/ t, T er studet-t fordelt med 4 frhetsgrader. Har dermed P ( t α/2, < T < t α/2, ) α Setter for T, løser hver ulkhet med hesy på µ og setter så samme gje, P ( t α/2, < X ) µ S/ < t α/2, α P ( X tα/2, S/ < µ < X + t α/2, S/ ) α Kofdestervallet blr dermed ( X tα/2, S/, X + t α/2, S/ ). Med 5, t 0.025,4 2.45, x 32 og s 2 /( ) 5 (x x) 2 /4 74. blr 95 % kofdestervallet (30.7, 33.3). Oppgave 2 a) Fra hstogramme fgur ser v at fordelge tl X (sa gjeomstrømmg) ser ut tl å være symmetrsk om 5, og har dermed forvetgsverd på 5. Vdere ser X ut tl å kue være ormalfordelt (eller ær ormalfordelt). Da skal ca 95% av obserbasjoe lgge efor forvetgsverde +/- 2 (.96) stadardavvk. Dermed ser stadardavvket ut tl å være 2. Dersom v fgur 2 ser på sesormålte verder (y) for sa gjeomstrømmg lk (omlag) x6, ser v at de er symmetrsk om y6, altså er forvetgsverde E(Y X 6) 6. Vdere så ser mesteparte av y-ee er mellom 4 og 8, og det betga stadardavvket ser dermed ut tl å være. Det er e postv samvarasjo mellom x og y (år x øker så øker y), og v har dermed e postv korrelasjo (og kovaras). b) De tega lja y x ser ut tl å være de beste lære tlpassga, og estmatee blr (ca) a 0 og b. Tlpassa modell blr dermed ŷ x x, og for x 4 blr ŷ 4 V har to hovedatakelser: ) Forvetge tl Y er leær x, og 2) Støyleddee er uavhegg detsk ormalfordelt. Aatakelse ) er OK (observasjoee for y ser ut tl å være setert om e rett lje), ag 2) så ser støyleddee ut tl å kue være både ormalfordelt (symmetrske om lja) og uavhege, me varase (σ 2 ɛ ) ser ut tl å øke med x. eksma6-lsf-b 9. august 206 Sde 2
Oppgave 3 a) X er possofordelt med forvetg µ t 0. Ved å sette oppgtt formel for puktsasylghet får ma da at Dessute får v at P (X 8) 08 8! e 0 0.26. P (X 8) P (X < 8) P (X 7) 0.2202 0.7798, der v de sste overgage har beyttet tabell over possofordelg med µ 0 formelsamlga. Ved gje å beytte tabell over possofordelg får v P (8 X 2) P (X 2) P (X < 8) P (X 2) P (X 7) 0.796 0.2202 0.574. b) For å bestemme hvlke av de tre foreslåtte estmatoree som er å foretrekke må v først fe ut hvlke som er forvetgsrette. Fra oppgtt formel for E[ vet v allerede at er forvegsrett. Ved å beytte regeregler for forvetgsverd og at E[X følger det at [ [ E[ E X E X E [X og [ E [ E X ( + 2 + 5 + + 5) 2.8 5 E [ X E [ X. E[X V ser følgelg at er forvetgsskjev, mes og er forvetgsrette. Sde v foretrekker at e estmator er forvetgsrett vet v dermed at v foretrekker eller. V foretrekker de av dsse to som har mst varas. Ved å beytte oppgtt formel for varase tl får v Var[ 0.074, + 2 + 5 + + 5 og ved å beytte regeregler for varas for uavhegge stokastske varabler og at Var[X får v [ [ X Var [ Var t 2 Var X [ X t 2 Var t eksma6-lsf-b 9. august 206 Sde 3
2 Var[X t 2 2 2 t 2 t ( 5 2 + 2 + 5 + + ) 0.6. 5 V ser dermed at av de to forvetgsrette estmatoree er det som har mst varas slk at av de tre foreslåtte estmatoree fortrekker v. c) Rmelghetsfuksjoe for blr L() f(x, x 2,..., x ; ) [ (t ) x x! e Ved å beytte regeregler for l får v dermed at log-rmelgelghetsfuksjoe blr gtt ved l() l L() [x l( ) l(x ) x l( ) l(x!). For å fe for hvlke verd av dee fuksjoe har stt maksmum fer v de derverte og krever at dee er lk ull, l () x 0 x 0 x Sasylghetsmaksmergsestmatore for blr følgelg X t. d) V øsker å bestemme om det er grulag for å påstå at besøkstestete for større for SeMeg e for kokurrete. Følgelg må v som H velge at > 0. V må dermed teste H 0 : 0 mot H : > 0. For å kostruere e testobservator beytter v, som oppgt oppgavetekste, at er tlærmet ormalfordelt. Dermed vl E[ Var[ (3.) være tlærmet stadard ormalfordelt. V får vår testobservator ved å erstatte med verde tl år H 0 er rktg, Z 0 0. eksma6-lsf-b 9. august 206 Sde 4
som altså er tlærmet stadard ormalfordelt år H 0 er rktg. TMA4245 Statstkk For å rege ut p-verde treger v først å rege ut observert verd for testobservatore og å bestemme et forkastgskrterum. Dersom er stor (dvs H rktg) vl tedere tl å blr stor, og dermed vl da også Z tedere tl å bl stor. Det er dermed rmelg å forkaste H 0 dersom Z er stor. Forkastgskrteret blr dermed på forme at v skal forkaste H 0 dersom Z k. Isatt observerte verder får v at x 8 + 20 + 48 + 0 + 62 + 2 + 5 + + 5 Observert verd av testobservatore blr dermed Dette gr at p-verde blr z obs 0.574 0 0 +2+5++5 0.676. 0.574. p P (Z z obs H 0 ) P (Z 0.676 H 0 ) P (Z < 0.676 H 0 ) P (Z 0.676 H 0 ) Φ(0.676) 0.757 0.2483. Dette betyr at dersom H 0 er rktg og ma gjetar et slkt forsøk gjetatte gager, vl ma observere det ma her har observert eller oe mer ekstremt såpass ofte som crka e av fre gager. Det v har observert er altså kke e urmelg verd selv om H 0 er rktg og det er helt klarkke grulag for å forkaste H 0. Det er dermed kke grulag for å påstå at besøkstestete for SeMeg er større e for kokurrete. e) Bestemmer først krtsk verd k år α 0.05. Det geerelle kravet er som stuasjoe dee oppgave blr at P (Forkast H 0 H 0 rktg) α 0.05, P (Z k H 0 rktg) 0.05. Ved å beytte at Z er (tlærmet) stadard ormalfordelt år H 0 er rktg fer v fra tabell over stadard ormalfordelge at k z 0.05.645. Spørmåle oppgave ka matematsk formuleres som at v øsker å fe slk at P (Forkast H 0 ) 0.9. Starter med å sette forkastgskrtere stuasjoe v betrakter og setter uttrykket v har for Z, P (Z.645 ) 0.9, eksma6-lsf-b 9. august 206 Sde 5
P 0 0.645 0.9. TMA4245 Statstkk For å kue beytte tabell over stadard ormalfordelg omskrver v dee lgge slk at de eholder de stadard ormalfordelte varabele gt (3.), ( ) 0 P 0 +.645 0.9, P 0 +.645 0 t 0.9. Ved å llustrere kravet over ved å tege opp sasylghetstetthete tl e stadard ormalfordelt varabel ser v da at kravet blr 0 +.645 0 t Løser dee ulkhete ved først å løse de tlsvarede lgge 0 +.645 0 t z 0.9 z 0.0.282. (3.2).282, 0 0 +.645 t.282 t, V setter så tall for 0 og, og skrver lgge som e adregradslgg for, ( ) ) 2.282 0 (0 +.645 0. 4 4 Dee adregradslgge har to løsger, 3.2080 og 3.5506. Sde må være postv er det ku de postve løsge som er av teresse for oss, så lgge har løsg 3.5506 3.5506 2 2.6068. Ved å sjekke ulkhetskravet (3.2) for e vlkårlg verd av mdre e 2.6068 og evetuelt e vlkårlg verd større e 2.6068 får ma at ulkhete er oppfylt dersom 2.6068. eksma6-lsf-b 9. august 206 Sde 6