Riješeni zadaci: Funkcije

Transkript

1 Riješeni zadaci: Funkcije Domena funkcije, kompozicija funkcija, invertiranje funkcije, parnost funkcije Domene nekih funkcija: f(x) = x D f = [0, f(x) = x D f = R \ {0} f(x) = log a x, a > 0, a D f = 0, Zadatak. Nadopunite sliku tako da se dobije funkcija f : D K. D K A B C D 5 Kako bi dano preslikavanje bilo funkcija svakom elementu domene mora biti pridružen točno jedan element kodomene. Prema tome, potrebno je elementu D koji se nalazi u domeni pridružiti bilo koji element kodomene. Jedno od rješenja prikazano je na sljedećoj slici: D K gdje smo elementu D iz domene pridružili element kodomene.

2 Zadatak. Nadopunite sliku tako da se dobije bijekcija f : D K. D K a b d c e 5 Kako bi dano preslikavanje bilo bijekcija, ono mora biti injektivno i surjektivno što znači da različite elemente domene moramo preslikati u različite elemente kodomene i dodatno da svaki član kodomene mora biti slika barem jednog (u slučaju bijektivnosti točno jednog) elementa domene. Kako su elementi kodomene,, i 5 redom slike elemenata c, a d i e, elementu domene b moramo pridružiti element kodomene kako bi ispunili uvjet zadatka. Rješenje je prikazano na sljedećoj slici: D K Zadatak. Odredite domenu funkcije zadane formulom: (a) f(x) = x, 5 (b) f(x) = + sin x + x +, (c) f(x) = log (x + x ), (d) f(x) = + log x +. x (a) Drugi korijen je definiran samo za nenegativne realne brojeve, pa zbog toga mora biti: x 0, što je ispunjeno za sve x čija je apsolutna vrijednost veća ili jednaka. Prema tome domena funkcije f(x) je skup D f =, ] [,.

3 (b) U ovom slučaju trebaju biti ispunjena dva uvjeta: izraz u nazivniku prvog člana ne smije biti jednak nula i dodatno izraz pod korijenom treba biti nenegativan, odnosno + sin x 0 & x + 0. Prvi uvjet je ispunjen za svaki realni broj (budući funkcija sin x poprima vrijednosti izmedu - i ), a nejednadžba je istinita za svaki x. Domena zadane funkcije je skup D f = [,. (c) Logaritmirati možemo samo pozitivne brojeve, te zbog toga mora vrijediti: x + x > 0. Ako faktoriziramo kvadratni izraz dobivamo: (x )(x + ) > 0, odakle jednostavno zaključimo da je domena funkcije skup D f =,,. (d) U ovom slučaju moramo zadovoljiti sljedeća dva uvjeta: 0 & x > 0. x Drugi uvjet je ispunjen za sve pozitivne realne brojeve, a prvi za x 0, ]. Domena funkcije je presjek ova dva skupa, odnosno D f = 0, ]. Zadatak. Odredite kompozicije f g i g f: (a) f(x) = x +, g(x) = x, (b) f(x) = x + 9x, g(x) = x + 9, (c) f(x) = 5 x +, g(x) = log 5 (x ). (a) Budući je (f g)(x) = f(g(x)) imamo: Analogno, (f g)(x) = f(g(x)) = f(x ) = (x ) + = x. (g f)(x) = g(f(x)) = g(x + ) = (x + ) = x + x. Primjetimo da komponiranje nije komutativno. (b) (f g)(x) = f(g(x)) = f( x + 9) = ( x + 9) + 9 x + 9 = x x + 9. (g f)(x) = g(f(x)) = g(x + 9x) = x + 9x + 9. (c) (f g)(x) = f(g(x)) = f(log 5 (x )) = 5 log 5 (x ) + = x. (g f)(x) = g(f(x)) = g(5 x + ) = log 5 ((5 x + ) ) = log 5 [5 x (5 x + )] = x + log 5 (5 x + ).

4 Neka je f : D K realna funkcija realne varijable. Pomoću sljedećeg postupka u većini slučajeva možemo ispitati da li je funkcija f bijekcija: Iz jednadžbe f(f (x)) = x, x K, računamo f (x). () Ako rješenje ne postoji, onda f nije surjekcija. () Ako rješenje nije jedinstveno, onda f nije injekcija. () Ako rješenje postoji i jedinstveno je, onda je f bijekcija i f je inverz funkcije f. Zadatak 5. Odredite inverznu funkciju f (x): (a) f(x) = 5x, (b) f(x) = x 5 7 x, (c) f(x) = x + x 5, (d) f(x) = log x x +, (e) f(x) = x + x +, (f) f(x) = e x + x. (a) Inverznu funkciju funkcije f pronalazimo kao rješenje jednadžbe f(f (x)) = x. Imamo: f(f (x)) = x x = 5f (x), x Im f, odnosno f (x) = x +. 5 (b) Kao i u prethodnom zadatku, rješavamo jednadžbu f(f (x)) = x: f x = (x) 5 7 f, x Im f. (x) Potenciranjem jednadžbe i sredivanjem dobivamo f (x) = 7x + 5 x +. (c) U ovom slučaju imamo Nakon sredivanja izraza imamo: x = f (x) + f (x), x Im f. 5 f (x) = 5x + x, te je inverzna funkcija zadana s f (x) = log 5x + x.

5 (d) Trebamo riješiti jednadžbu: f (x) x = log f, x Im f. (x) + Kako je x = log x, izjednačavanjem izraza pod logaritmom dobivamo: Inverzna funkcija je f (x) = x+ x +. (e) Trebamo riješiti jednadžbu: x = f (x) f (x) +. Gornja jednadžba ima dva rješenja: x = ( f (x) ) + f (x) +, x Im f. f (x) = + x & te zaključujemo da funkcija f nije injektivna. (f) Kako bi odredili inverz trebali bi riješiti jednadžbu: x = e f (x) + f (x). f (x) = + + x, Gornju jednadžbu ne znamo riješiti unatoč činjenici da je zadana funkcija bijektivna (bijektivnost slijedi iz svojstva strogog rasta funkcije na cijeloj domeni). Zadatak 6. Ispitajte parnost funkcije: (a) f(x) = x x +, (b) f(x) = x x cos x, (c) f(x) = sin x x 5 x x. (a) f( x) = ( x) ( x) + = x x + = f(x). Funkcija je parna. (b) f( x) = ( x) ( x) cos( x) = x + x cos x = x x cos x = f(x). Funkcija je neparna. sin( x) (c) f( x) = ( x) 5 ( x) ( x) = sin x x 5 + x +x = sin x x 5 x +x. f( x) je različito i od f(x) i od f(x) pa funkcija nije parna niti je neparna. Zadatak 7. Skicirajte grafove sljedećih funkcija: (a) f(x) = x +, (b) f(x) = (x + ) +, (c) f(x) = + sin x, (d) f(x) = log(x 0). 5

6 Svi grafovi skicirani su korištenjem pomoćnih grafova. Graf zadane funkcije obojan je ljubičastom bojom. (a) Skiciramo graf funkcije f (x) = x (plavi), funkcije f (x) = x (zeleni) kao osno simetričnu sliku prvog grafa, te traženi graf dobivamo translacijom po y osi za u pozitivnom smjeru. (b) Skiciramo graf funkcije f (x) = x (plavi), funkcije f (x) = (x+) (zeleni) tako da graf funkcije f (x) translatiramo po osi x za -, te traženi graf dobivamo translacijom grafa funkcije f (x) po y osi za u pozitivnom smjeru. (c) Skiciramo graf funkcije f (x) = sin x (plavi), funkcije f (x) = sin x (zeleni) tako da graf funkcije f (x),,razvučemo za faktor, te traženi graf dobivamo translacijom grafa funkcije f (x) po y osi za u negativnom smjeru. (d) Skiciramo graf funkcije f (x) = log x (plavi), traženi graf dobivamo translacijom grafa funkcije f (x) po x osi za 0. 6

7 Elementarne funkcije Hornerova shema Polinom f(x) = a n x n + + a x + a 0, a n 0 dijelimo polinomom x a. Kvocijent q(x) = b n x n + b n x n + + b x + b 0 je polinom stupnja n. Iz f(x) = (x a)q(x) + r, odnosno a n x n + a n x n + + a x + a 0 = (x a)(b n x n + b n x n + + b x + b 0 ) + r, množenjem i usporedivanjem koeficijenata uz jednake potencije od x dobivamo n jednadžbi s n nepoznanica (b n, b n,..., b, b 0, r). Iz tog sustava zaključujemo da za koeficijente kvocijenta q(x) vrijedi: b n = a n, b k = a b k + a k, k = n, n,...,,. To se može zapisati u obliku tzv. Hornerove sheme: a n a n... a a 0 a b n = a n b n = a b n + a n... b 0 = a b + a r = a b 0 + a 0 Zadatak. Koristeći Hornerovu shemu, izračunajte vrijednost polinoma f(x) = x x + x 7 za x =. Primjetimo da će ostatak pri dijeljenju polinom f(x) s polinomom x biti jednak f(). odnosno f() = Zadatak. Za koje a je polinom f(x) = x + ax + djeljiv s g(x) = x? Pomoću Hornerove sheme dobivamo: 0 a + a 9 + a Kako bi polinom f(x) bio djeljiv s polinomom g(x) ostatak mora biti jednak 0 iz čega slijedi da je traženi a jednak 9. Zadatak. Faktorizirajte polinom f(x) = x 7x + 6. Kako bi faktorizirali dani polinom potrebno je pronaći njegove nultočke. Cjelobrojne nultočke polinoma su djelitelji slobodnog člana. Prema tome cjelobrojne nultočke tražimo unutar skupa {,,,,,, 6, 6}. Uvrštavanjem x = dobivamo f() = = 0, te je x = jedna nultočka. Nadalje, ako dani polinom podijelimo s x dobivamo x +x 6 čije nultočke možemo izračunati koristeći formulu za odredivanje nultočaka kvadratne jednadžbe: x, = ± + x =, x =. Iz ovoga slijedi da je x 7x + 6 = (x + )(x + )(x ). 7

8 Zadatak. Racionalnu funkciju razložite na parcijalne razlomke: (a) R(x) = x + (x )(x ), (b) R(x) = x6 x x x +. (a) Trebamo odrediti nepoznate koeficijente A, B i C u zapisu R(x) = x + (x )(x ) = A x + B x + C (x ). Množenjem sa zajedničkim nazivnikom i izjednačavanjem koeficijenata uz iste potencije od x dobivamo sustav: A + B = 0 A B + C = A + B C = čija su rješenja A =, B = i C = 5, odnosno rastav na parcijalne razlomke je: R(x) = x x + 5 (x ). (b) Budući zadana funkcija nije prava racionalna funkcija (stupanj polinoma u brojniku je veći od stupnja polinoma u nazivniku), prvo trebamo brojnik podijeliti s nazivnikom kako bi dobili cijeli dio racionalne funkcije i pravi racionalni dio. Imamo: R(x) = x + x + x x +. Nadalje, faktoriziramo nazivnik x x + = (x )(x + x ), i tražimo rastav na parcijalne razlomke pravog racionalnog dijela zadane funkcije: x + (x )(x + x ) = A x + Bx + C x + x. Sustav koji trebamo riješiti kako bi odredili nepoznate koeficijente je sljedeći: A + B = 0 A B + C = A C = Njegova rješenja su A =, B = i C = 0. Zadatak 5. Riješite eksponencijalne jednadžbe: (a) x 5 x = x, (b) 5 x+ 6 x+ = x+. R(x) = x x + x x + x. 8

9 (a) Zbog bijektivnosti eksponencijalne funkcije, jednakost će vrijediti samo u slučaju kada su eksponenti jednaki, odnosno trebamo riješiti jednadžbu: x 5 x = x x x 5 = 0, x. Sada lako pronademo rješenja: x = i x = 5. (b) Prvo zapišimo jednadžbu u obliku: te ju podijelimo s ( x ) Supstitucijom t = 0 ( x ) x x 7 ( x ) = 0, 0 (( ) x ) ( ) x 7 = 0. ( ) x dobivamo kvadratnu jednadžbu: 0t t 7 = 0 čija su rješenja t = 9 0 i t =. Budući je t < 0, ovo rješenje nam ne daje rješenje polazne jednadžbe. Iz drugog rješenja imamo: ( ) x = = pa je x = jedino rješenje polazne jednadžbe. Zadatak 6. Riješite logaritamske jednadžbe: (a) log x = log (x + 0x + 6), (b) log 9 x = log x. ( ), (a) Primjetimo da samo x > 0 mogu biti rješenja zadane jednadžbe (izrazi koje logaritmiramo moraju biti pozitivni). Jednadžbu zapišemo u obliku: log 6 + log x = log (x + 0x + 6) log 6x = log (x + 0x + 6). Zbog bijektivnosti logaritamske funkcije, jednakost će vrijediti samo u slučaju kada su argumenti jednaki, odnosno trebamo riješiti jednadžbu: 6x = x + 0x + 6 x 6x + 6 = 0. Sada lako pronademo rješenja: x = i x = +. (b) Primjetimo da samo x 0, mogu biti rješenaj zadane jednadžbe. Prvo zapišimo jednadžbu u obliku: log x = ( log x ), 9

10 odnosno jednadžbu možemo faktorizirati: ( (log x log x )) ( (log x + log x )) Sada trebamo riješiti dvije jednostavnije logaritamske jednadžbe: ( log x = log x ) ( ) & log x x = 0. = 0. Rješenje prve jednadžbe je x = 5, a rješenje druge jednadžbe je x =. Zadatak 7. Riješite trigonometrijske jednadžbe: ( (a) sin x + π ) = 6, (b) sin x + cos x =. (a) Kako je sin u = jedino za u = π i u = π, u [0, π], mora vrijediti: x + π 6 = π + kπ ili x + π 6 = π + kπ, k Z. Prema tome rješenja jednadžbe su: x = π (b) Prvo zapišimo jednadžbu u obliku: odnosno jednadžbu možemo faktorizirati: 7π + kπ & x = + kπ, k Z, sin x + sin x =, sin x( sin x) = 0, odakle dobivamo: sin x = 0 x = kπ, k Z sin x = x = π + kπ, k Z 0