8. Linearno programiranje

Transkript

1 . Linearno programiranje. Maksimalizacija 5.. Postavka matematičkog modela 5..2 Grafičko rješenje 6..3 Analitičko rješenje 7.2 Minimalizacija 9.2. Postavka matematičkog modela.2.2 Grafičko rješenje.2.3 Analitičko rješenje.2. Dualni model 2.3 Zadaci LP 3.3. Maksimalizacija Minimalizacija Postoptimalna analiza 6. Transportna metoda 6.. Postavljanje matematičkog modela 7..2 Zatvoreni transportni problem 7..3 Maksimalizacija.. Otvoreni transportni problem Zadaci TP 22.5 Metoda raspodjele Postavljanje matematičkog modela Minimalizacija Maksimalizacija Zadaci MR 2 Linearno programiranje (LP) je formalni postupak optimalizacije dijelova/sustava kod kojih se funkcija cilja i ograničenja mogu izraziti linearnim kombinacijama varijabli. Strojarski inženjeri će najčešće koristiti LP (u pravilu uz računalnu podršku) za: određivanje količina proizvoda (koje je moguće izraditi s raspoloživim resursima i prodati po aktualnim cijenama) s kojima se postiže maksimalna dobit, određivanje dinamike proizvodnje (pri izraženim sezonskim kolebanjima prodaje proizvoda) s kojom se postiže maksimalna dobit, određivanje plana proizvodnje (koja se može ostvariti s raspoloživim resursima uz aktualne troškove) s kojima se postižu minimalni troškovi, određivanje količine sirovine (određenih svojstava) čijim se miješanjem formiraju proizvodi (različitih sastava i cijena) uz maksimalnu dobit, određivanje količina sirovina (različitih sastava i cijena) čijim se miješanjem formira proizvod (određenih svojstava) uz minimalne troškove.

2 2 Kvantitativne metode Nakon analize postupka, različite primjene LP-a će biti ilustrirane na primjerima. Matematički model Funkcija ce cilja (matematički opis postavljenog cilja) izabrati vrijednosti n promjenljivih veličina x j (j =, 2,.., n) tako da se dobije optimalno rješenje: opt x n T F = c j xj = opt C X (F-.) j j= gdje je: c j j-ti koeficijent funkcije cilja (jedinični trošak ili jedinična cijena), C = [c c 2 c n ], jednodimenzijski vektor koeficijenata funkcije cilja, j-ta promjenljiva veličina (količina), opt x j x j X = [x x 2 x n ], jednodimenzijski vektor promjenljivih veličina, n broj promjenljivih veličina. znači: odrediti skup vrijednosti promjenljivih veličina kojim se postiže optimalna vrijednost (maksimalna ili minimalna) funkcije cilja F. Ograničenja m ograničenja oblika: n j= ( aij xj ) = A X = b i = B (F-.2) gdje je: a ij ij-ti koeficijent skupa ograničenja (višedimenzijski vektor, m n komponenti), b i i-ti slobodni član ograničenja (jednodimenzijski vektor, m komponenti), mogući su znakovi ili = ili. Skraćeni je vektorski zapis: A X, =, B Dodatna su ograničenja (nenegativnosti promjenljivih veličina. te realne vrijednosti koeficijenata i slobodnih članova): x j (F-.3) c j, a ij, g i R gdje je: R skup realnih brojeva. (Dodatna ograničenja se u pravilu ne pišu i podrazumijevaju se.) (F-.) Formalnim se postupkom LP traži aktualni optimum (maksimum, opt = max, ili minimum, opt = min) za zadanu linearnu funkciju cilja F-., s n promjenljivih veličina, uz zadovoljavanje m linearnih ograničenja vrijednosti promjenljivih veličina F-.2 (F-.3 i F-.). Moguće je: n > m, n = m i n < m. Postupak LP je moguće provesti na više različitih načina, a postuple je najjednostavnije pojasniti na primjerima. PRIMJER P-. Tvrtka može proizvoditi dva proizvoda (P i P 2 ) u četiri pogona (I, II, III, IV) koji su specijalizirani za proizvodnju pogoni I i II za proizvode tipa P, pogoni III i IV za proizvode tipa P 2. Za proizvodnju je potrebna radna snaga i dvije vrste sirovina (S i S 2 ). Proizvodnoekonomski pokazatelji su dati u tabeli. Odrediti optimalni mjesečni plan proizvodnje.

3 . Linearno programiranje 3 Proizvod P Proizvod P 2 Mjesečni raspoloživi Pogon I Pogon II Pogon III Pogon IV resursi Radna snaga, h/t P 2 6 Sirovina S, t S /t P Sirovina S, t S2 /t P Jedinična dobit, kn/t P 6 U tablici su sa t S /t P i t S2 /t P izražene mase sirovina potrebnih za proizvodnju tona proizvoda. Funkcija cilja: ma x F = x [ (kn/tp ) x (t P /mjs) + 6 x 2 + x 3 + x ] kn/mjs j max F = (x x + 6x 2 + x 3 + x ) j Ograničenja: (h/t P ) x (t P /mjs) + 2 x 2 + x x h/mjs (t S /t P ) x (t P /mjs) + 6 x 2 + x x 6 t S /mjs (t S2 /t P ) x (t P /mjs) + 6 x 2 + x x 6 t S2 /mjs x + 2x 2 + x 3 + 6x x + 6x 2 + x 3 + 6x 6 x + 6x 2 + x 3 + 2x 6 Rješenje: x = 69 t P /mjs x 2 = t P /mjs x 3 = t P2 /mjs x = 23 t P2 /mjs F = 2 kn/mjs Opaska: ostaje raspoloživo = 66 sati rada radnika. (sirovine?) PRIMJER P-.2 U maloj termoelektrani, uz korištenje sustava turbina/generator, proizvodi se električna struja. Turbina se napaja s 3,2 kilograma po sekundi pregrijane vodene pare, a moguće je prodavati: (a) struju, po cijeni od,3 po kilovat-satu, (b) niskotlačnu paru za centralno grijanje x, po cijeni, po toni pare, te (c) visokotlačnu tehnološku paru x 2, po cijeni,65 po toni pare. Potrošači su zainteresirani za neograničene količine struje i ograničene količine pare: x + 3 x 2 9,6 kg/s Snaga generatora (u kw) ovisi o protocima pare kroz sekcije turbine (u kg/s): P I = m I P III = 56 m II P III = m III Kako bi se spriječilo pregrijavanje niskotlačnog dijela turbine, kroz sekciju III mora protjecati bar,6 kg/s pare. Zbog sprječavanja prekomjernog neravnomjernog opterećenja vratila turbine, za x = kg/s dozvoljeno je x 2, kg/s, a pri povećanju oduzimanja pare x za svaki kg/s smanjuje se oduzimanje pare x 2 za,25 kg/s. Odrediti optimalnu proizvodnju.

4 Kvantitativne metode Funkcija cilja: gdje je: D max F = x (D struja + D visokotlačna_para + D niskotlačna_para ) j dobit, /h, P E = m I + 56 m II + m III kw m I = 3,2 kg/s m II = (3,2 x ) kg/s m II = (3,2 x x 2 ) kg/s prihod od struje: P E = 3, (3,2 x ) + (3,2 x x 2 ) kw P E = ( ) 3,2 + ( 56 ) x + ( ) x 2 prihod od struje: P E kw,3 (kw h) = (5, 36 x x 2 ),3 /h prihod od visokotlačne pare: x kg s (36 s h ),65 ( kg) = 5,9 x /h prihod od niskotlačne pare: x 2 kg s (36 s h ), ( kg) = 3,96 x 2 /h max F = x 7,66, x 2, x 2 + 5,9 x + 3,96 x 2 /h j j max F = x,6 x +,56 x 2 + 7,66 /h j max F = x,6 x +,56 x 2 /h F = F + 7,66 /h Ograničenja: Pregrijavanje turbine: x + x 2 + x 3 = 3,2 kg/s x + x 2 3,2,6 x + x 2 2,6 Neravnomjerno opterećenje: x 2,,25 x / x + x 2 7,2 Zainteresiranost potrošača: x + 3x 2 9,6 max F = x j (,6 x +,56 x 2 ) /h x + x 2 2,6 x + x 2 7,2 x + 3x 2 9,6 Rješenje:x =,29 kg/s visokotlačne pare x 2 =, kg/s niskotlačne pare (ostatak?) F = F + 7,66 =,7 + 7,66 = 22,37 /h PRIMJER P-.3 Na kontroli proizvoda rade dvije grupe kontrolora: I grupa s 6 kontrolora i II grupa s kontrolora. Dnevno je za h potrebno obaviti kontrolu bar komada. Kontrolori grupe I kontroliraju 25 kom/h, s 2 % grešaka i plaćom od 5 NJ/h, a kontrolori grupe II kontroliraju 5 kom/h, s 5 % grešaka i plaćom od 3 NJ/h. Svaki neispravan proizvod pušten na tržište proizvoda prati šteta od 2 NJ. Odrediti optimalnu kontrolu.

5 . Linearno programiranje 5 Funkcija cilja: min F = x plaća kntl I + šteta kntl I + plaća kntl II + šteta kntl II j min F NJ/dan = x {{ [h/(knti dan)] 5 (NJ/h) + j [h/(knti dan)] 2 (NJ/kom) 25 (kom/h),2]} x knti + ( ,5) x 2 } min F = [( ,2) x x + ( ,5) x 2 ] j min F = x [x + 36x 2 ] j Ograničenja: x knti 6 knti x 2 kntii kntii [ (h/knti) 25 ( kom/h)] x ( knti) + 5 x 2 kom Rješenje: x = 6 kontrolora I grupe x 2 = 5 kontrolora II grupe F = 6 NJ/dan. Opaska: pet kontrolora iz II grupe je ostalo neraspoređeno.. Maksimalizacija.. Postavka matematičkog modela PRIMJER P-. Na dva proizvoda (, 2), pri čijoj se proizvodnji angažiraju tri stroja (A, B, C), mogu se ostvariti dobiti:. proizvod: NJ/kom (novčanih jedinica/komadu) i 2. proizvod: 3 NJ/kom. Proizvod se obrađuje na stroju A 2 h (sata) i na stroju B 2 h, a proizvod 2 na stroju A h, stroju B h i na stroju C h. Strojevi su tjedno raspoloživi: A 6 h, B h i C 2 h. Odrediti optimalnu tjednu proizvodnju. Matematski model: Funkcija cilja: max F = ( x + 3 x 2 ) x j

6 6 Kvantitativne metode Ograničenja: stroj A 2 x + x 2 6 stroj B 2 x + x 2 stroj C x Grafičko rješenje Na osnovu matematskog modela, na grafiku x 2 = f(x ) ucrtavaju se pravci ograničenja određeni raspoloživostima strojeva A, B i C. Moguća rješenja se nalaze unutar prostora definiranog zadanim ograničenjima (i dodatnim uvjetima F-.3, F-.). U drugom koraku se po točkama (T) presjeka pravaca ograničenja pomjera funkcija cilja (T T T 2 T 3 ) do dobivanja optimalnog rješenja pravac F 3, odnosno točka T 3. Slika S-. Grafičko rješenje P-. Rješenje: x = kom x 2 = 2 kom F = NJ U pravilu, optimalna rješenja leže u kutovima (točke T k ). Izuzeci su kada se poklope pravci ograničenja i funkcije cilja tada dva kuta i sve točke na pravcu između dva kuta daju jednako optimalno rješenje.

7 . Linearno programiranje 7..3 Analitičko rješenje. korak postavljanje i prilagodba matematskog modela:. Postaviti matematski model (funkcija cilja i ograničenja) 2. Prilagoditi matematski model uvođenjem dopunskih promjenljivih y j (koje u ograničenjima omogućavaju zamjenu znakova sa znakovima =, a u funkciji cilja imaju zajednički koeficijent = ), te funkciju cilja izraziti u implicitnom obliku 2 x + x 2 + y = 6 2 x + x 2 + y 2 = x 2 + y 3 = 2 F x 3 x 2 (y + y 2 + y 3 ) =. korak formiranje -te tabele (rješenja) i usmjeravanje postupka: 3. Unijeti vrijednosti a ij, g i, c j, F u odgovarajuća polja Tabele x = x 2 = y y 2 y F = Tabela. Unos polaznih podataka (na temelju matematskog modela) x = * x 2 = * y y 2 y F = * Polazi se iz točke T (S-.).. Odabrati: (a) kolonu j = K s najmanjom vrijednošću c j (što je manja vrijednost c K to će biti veći doprinos c K x K maksimalizaciji funkcije cilja F u rješenje se uključuje x K ) (b) red i = R s najmanjim količnikom g i /a ik (što je manja vrijednost količnika g R /a RK to će biti veće ograničenje u rješenje uključenog x K )

8 Kvantitativne metode Tabela. Izbor kolone j = K i reda i = R x = x 2 = y y 2 y 3 6/ = 2 6 / = 2 2/ = F = x = x 2 = y y 2 y 3 6/ = 2 6 / = 2 2/ = F = 2. korak formiranje s-te tabele, te provjera ispunjenja kriterija optimalnosti: 5. Polja odabranog reda (R) iz prethodne tabele (s ) podijeliti s a RK i upisati u isti red aktualne tabele (s) Tabela. Prijepis podataka iz prethodne tabele (s ) x = x 2 = y y 2 y F = Tabela. Preračunavanje/prijepis odabranog reda u aktualna tabela s x = x 2 = 3 * y y 2 y 3 /= /= /= /= /=,25 2/= 3 * Iz trećeg reda (R = 3), odnosno trećeg ograničenja (najvećeg za x j ) slijedi: x 2 = 2 x 2 = 3 U polju presjeka druge kolone (j = 2) s trećim redom (i = 3) nalazi se brojčani iznos, a izračunata vrijednost za x 2 pri najvećem ograničenju upisana je u zadnjem polju trećeg reda. Prema tome, u 2. koraku se prelazi iz točke T u točku T (S-.). 6. Vrijednosti ostalih polja (P ij ) izračunati po formuli: P ij s = P ij s P ik s P Rj s Tabela. Izračunavanje vrijednosti polja (F-.5) x = x 2 = 3 y y 2 y 3 2 = 2 2 = 2 /= ( 3) = = = /= 3 ( 3) = = = /= ( 3) = = = /= ( 3) =,25=,25=,25 /=,25 ( 3),25= 7,5 6 3= 3= 7 2/= 3 ( 3) 3= F = 9

9 . Linearno programiranje 9 Tabela. Prijepis podataka iz prethodne tabele x = x 2 = 3 y y 2 y 3 2 2,25 7,25 3 7,5 F = 9 7. Ako su svi koeficijenti c ij dobiveno je optimalno rješenje. Ako nisu svi koeficijenti c ij : (a) ponoviti postupak opisan pod točkom (b) ponoviti postupak opisan u 2. koraku (točke 5, 6, 7 i ) x = x 2 = 3 y y 2 y 3 /2 = 2 2 7/2 = 3,5 2,25 7 3/ =,25 3 7,5 F = 9 x = x 2 = 2 y = y 2 = y 3,7,67,33,33,33,33 2 6,67 3,33 F = U polju presjeka prve/druge kolone s prvim/trećim redom nalazi se brojčani iznos (ostali brojčani iznosi u kolonama su = ) izračunate vrijednosti x = kom x 2 = 2 kom upisane su u zadnjem polju prvog/trećeg reda. Prema tome, u ponovljenom 2. koraku se prelazi iz točke T u točku T 3 (S-.). Kako su sve vrijednosti c ij dobiveno rješenje je optimalno: F = NJ..2 Minimalizacija PRIMJER P-.5 Na dva tipa strojeva (I i II) treba proizvoditi tri vrste dijelova (A, B i C), u minimalnim količinama: A kom/h (komada na sat), B 7 kom/h, C 9 kom/h. Ispitivanjima su utvrđeni kapaciteti strojeva dio A: I 5 kom/str h (komada po stroju i satu) i II kom/str h, dio B: I 9 kom/str h i II 3 kom/str h, te dio C: I kom/str h i II 3 kom/str h. Cijene rada strojeva su: I 6 NJ/str h, II 3 NJ/str h. Odrediti optimalnu proizvodnju.

10 Kvantitativne metode.2. Postavka matematičkog modela Funkcija cilja: Ograničenja:.2.2 Grafičko rješenje min F = (6 x + 3 x 2 ) x j dio A 5 x + x 2 dio B 9 x + 3 x 2 7 dio C x + 3 x 2 9 Na osnovu matematskog modela, na grafiku x 2 = f(x ) (S-.2) ucrtavaju se pravci ograničenja određeni uvjetima pokretanja strojeva A, B i C. Moguća rješenja se nalaze unutar prostora definiranog zadanim ograničenjima i uvjetom (i dodatnim uvjetima F-.3, F-.). U drugom koraku se po točkama (T) presjeka pravaca ograničenja pomjera funkcija cilja (T T T 2 T 3 ) do dobivanja optimalnog rješenja pravac F 3, odnosno točka T 3. Slika S-.2 Grafičko rješenje P-.5 Rješenje: x = kom x 2 = 5kom F = Analitičko rješenje. korak postavljanje i prilagodba matematskog modela:. Postaviti matematski model (funkcija cilja i ograničenja..) 2. Prilagoditi matematski model uvođenjem

11 . Linearno programiranje a) dopunskih promjenljivih y j (koje u ograničenjima omogućavaju zamjenu znaka sa znakom =, a u funkciji cilja imaju zajednički koeficijent = ) b) umjetnih promjenljivih z j (koje u funkciji cilja imaju zajednički koeficijent M čiji je brojčani iznos >> od brojčanih iznosa ostalih koeficijenata) 5 x + x 2 y + z = 9 x + 3 x 2 y 2 + z 2 = 7 x + 3 x 2 y 3 + z 3 = 9 F = 6 x + 3 x 2 (y + y 2 + y 3 ) + M (z + z 2 + z 3 ) c) iz ograničenja odrediti vještačke promjenljive z j i uvrstiti ih u funkciju cilja, te funkciju cilja izraziti u implicitnom obliku z = 5 x x 2 + y z 2 = 7 9 x 3 x 2 + y 2 z 3 = 9 x 3 x 2 + y 3 F (6 5 M) x (3 7 M) x 2 M y M y 2 M y 3 = 93 M. korak formiranje -te tabele (rješenja) i usmjeravanje postupka: 3. Unijeti vrijednosti a ij, g i, c j, F u odgovarajuća polja Tabele. Odabrati: a) kolonu j = K s najvećom vrijednošću c j (što je veća vrijednost c K to će biti veći doprinos c K x K minimalizaciji funkcije cilja F u rješenje se uključuje x K ). b) red i = R s najmanjim količnikom g i /a ik (što je manja vrijednost količnika g R /a RK to će biti veće ograničenje u rješenje uključenog x K ). Tabela. Početak iz točke T (S-.2) x = x 2 = y y 2 y 3 z z 2 z 3 5 5, M 6 7 M 3 M M M 93 M 2. korak formiranje s-te tabele, te provjera ispunjenja kriterija optimalnosti: 5. Polja odabranog reda (R) iz prethodne tabele (s ) podijeliti s a RK i upisati u isti red aktualne tabele (s) 6. Vrijednosti ostalih polja (P ij ) izračunati po formuli: P ij s = P ij s P ik s P Rj s 7. Ako su svi koeficijenti c ij dobiveno je optimalno rješenje.. Ako nisu svi koeficijenti c ij : a) ponoviti postupak opisan pod točkom b) ponoviti postupak opisan u 2. koraku (točke 5, 6, 7 i ) (F-.5)

12 2 Kvantitativne metode Tabela. Prijelaz u točku T (S-.2) x = x 2 = 3 y y 2 y 3 z z 2 z 3,5,67,33,33 7 7,9,67,33, ,33,33,33 3 9,33xM 5 M M,67xM 5,67xM 2xM+9 Tabela 3. Prijelaz u točku T 3 (S-.2) x = x 2 = 5 y y 2 y 3 z z 2 z 3,23,2,23,2,25,25,25,25 7,7,9,6,9 5,9,6 M+,9 M+,6 M 2 Postupak je okončan ispunjen je uvjet: c ij. Slijedi: x = kom, x 2 = 5 kom, F = 2 NJ..2. Dualni model Kada je to pogodno, rješenje "primala": F = max x j n j= c j x j F = min x j n c j= j x j n ( ij x j ) j= se dobiva rješavanjem "duala": F = u i n ( ij x j ) a g i a g i min i= m m ( ji u i ) i= PRIMJER P-.6 Riešiti P-.6 preko duala. j= max gi u i F = u i i= m m ( ji u i ) g i u i a c j a c j. korak postavljanje matematskog modela i formiranje duala: 9. Postaviti matematski model (funkcija cilja i ograničenja..) Matematski model: min Funkcija cilja: F = (6 x + 3 x 2 ) x j dio A 5 x + x 2 Ograničenja: dio B 9 x + 3 x 2 7 dio C x + 3 x 2 9 i=

13 . Linearno programiranje 3. Formirati dual smjenama: c) u funkciji cilja: x j s u i, te c j s g i (iz ograničenja) d) u ograničenjima: x j s u i, a ij s a ji, te g i s c j (iz funkcije cilja) Dualni je model:. korak rješavanje duala: max F = ( u + 7 u u 3 ) u i 5 u + 9 u 2 + u 3 6 u + 3 u u 3 3. Za maksimalizaciju dualnog modela provesti postupak opisan pod.3.3 Prilagođeni dualni model: 5 u + 9 u 2 + u 3 + v = 6 u + 3 u u 3 + v 2 = 3 F u 7 u 2 9 u 3 = u u 2 u 3 v v 2, , u u 2 u 3 v v 2,9,37,79,693 3,92 3,77,23,77,23,32,9 5,69 7,9 u u 2 u 3 v v 2,25,232,6,9,25,,9,6 7,6,999 5,6 2, Postupak je okončan ispunjen je uvjet: g i. Slijedi: v = kom, v 2 = 5 kom, F = 2 NJ. 2. Za minimalizaciju dualnog modela provesti postupak opisan pod korak rješavanje primala: 3. Zamjeniti vrijednosti v i s x i Zamjenom se dobiva: x = kom, x 2 = 5 kom, F = 2 NJ..3 Zadaci LP.3. Maksimalizacija Z-. Na dva proizvoda (, 2), pri čijoj se proizvodnji angažiraju tri stroja (A, B, C), mogu se ostvariti dobiti:. proizvod: NJ/kom i 2. proizvod: 3

14 Kvantitativne metode NJ/kom. Proizvod se obrađuje na stroju A 2 h (sata) i na stroju B 2 h, a proizvod 2 na stroju A h, stroju B h i na stroju C h. Strojevi su tjedno raspoloživi: A 6 h, B h i C 2 h. Odrediti optimalnu tjednu proizvodnju. Matematski model/ograničenja: F max ( NJ/tjd) = ( NJ/kom) x ( kom/tjd) + 3 x 2 2( h/kom) x ( kom/tjd) + x 2 6( h/tjd) 2 x + x 2 x 2 2 Rješenje: x = kom/tjd, x 2 = 2 kom/tjd, F = NJ/tjd. Opaska: y 3 = kom/tjd stroj 3 je pri optimalnoj proizvodnji raspoloživ još h/tjd. Z-.2 Na tri stroja (, 2, 3) se obrađuju dva proizvoda (A, B). Odrediti optimalnu proizvodnju. A B. stroj T r, = h/dan A 3. stroj t A, = h/kom T r,3 = h/dan t A,3 = 3 h/kom 2. stroj B t B,3 T = 2 h/dan = 2 h/kom r,2 t B,2 = 2 h/kom Matematski model/ograničenja: F max ( NJ/dan) = [3( NJ/kom) x A ( kom/dan) + 5 x B ] A B ( h/kom) x A ( kom/dan) ( h/dan) 2 x B 2 c = 3 NJ/kom A c = 5 NJ/kom B T r raspoloživost stroja t vrijeme obrade proizvoda c dobit 3 x A + 2 x B Rješenje: x A = 2 kom/dan, x B = 6 kom/dan, F = 36 NJ/dan. Opaska: y 3 = 2 h/dan stroj 3 je pri optimalnoj proizvodnji raspoloživ još 3 /dan. Z-.3 Od sirovine A se proizvode dva proizvoda (C, D). Kapacitet opreme ograničava proizvodnju na: 2 x x 3 6 kg/dan. Odrediti optimalnu proizvodnju. w = % A c = NJ/kg A A w maseni sadržaj c cijena proizvodni sustav A B + C ispust B C w B = 6 % c B = NJ/kg w C = % c C = NJ/kg Matematski model/ograničenja: F max ( NJ/dan) = ( NJ/kg) x B ( kg/dan) + x C x A,6( kg/kg)) x B ( kg/dan) +, x C,( kg/dan)

15 . Linearno programiranje 5 2( kg/dan) x B ( kg/dan) + 3 x C 6( kg/dan) Rješenje: x A = kg/dan, x B = kg/dan, F = NJ/dan. Opaska: y 2 = kg/dan pri optimalnoj proizvodnji nedostaje još kg/dan proizvoda C..3.2 Minimalizacija Z-. Na dva tipa strojeva (I i II) treba proizvoditi tri vrste dijelova (A, B i C), u minimalnim količinama: A kom/h (komada na sat), B 7 kom/h, C 9 kom/h. Ispitivanjima su utvrđeni kapaciteti strojeva dio A: I 5 kom/str h (komada po stroju i satu) i II kom/str h, dio B: I 9 kom/str h i II 3 kom/str h, te dio C: I kom/str h i II 3 kom/str h. Cijene rada strojeva su: I 6 NJ/str h, II 3 NJ/str h. Odrediti optimalnu proizvodnju. Matematski model/ograničenja: F min ( NJ/h) = 6( NJ/(str h)) x ( str) + 3 x 2 5( kom/(str h)) x (str) + x 2 ( kom/h) 9 x + 3 x 2 7 x + 3 x 2 9 Rješenje: x = str, x 2 = 5 str, F = NJ/h. Opaska: y 3 = 7 kom/h pri optimalnoj proizvodnji nedostaju za izradu još 7 kom/h proizvoda C. Z-.5 Na kontroli proizvoda rade dvije grupe kontrolora: s 6 kontrolora i 2 s kontrolora). Dnevno je za h potrebno obaviti kontrolu bar komada. Kontrolori grupe kontroliraju 25 kom/h, s 2 % grešaka i plaćom od 5 NJ/h, a kontrolori grupe 2 kontroliraju 5 kom/h, s 5 % grešaka i plaćom od 3 NJ/h. Svaki neispravan proizvod pušten na tržište prati šteta od 2 NJ. Odrediti optimalnu kontrolu. Matematski model/ograničenja (dnevno): F min ( NJ) = [( h/knt) 5 ( NJ/h) + ( h/knt) 2 ( NJ/kom) 25 ( kom/h),2] x ( Knt) + + ( h/knt2) 3 ( NJ/h) + ( h/knt2) 2 ( NJ/kom) 5 ( kom/h),5] x 2 ( Knt) x ( Knt) 6 x 2 ( Knt) [( h/knt) 25 ( kom/h)] x ( Knt) + 5 x 2 ( kom) Rješenje: x = 6 Knt, x 2 = 5 Knt2, F = 6 NJ. Opaska: y 2 = 5 Knt2 pet kontrolora iz grupe 2 je ostalo neraspoređeno.

16 6 Kvantitativne metode.3.3 Postoptimalna analiza Nakon određivanja optimalnog rješenja, po potrebi, može se obaviti postoptimalna analiza određivanje utjecaja (mogućih) promjena koeficijenata c i (u funkciji cilja), a ij i g j (u ograničenjima) na optimalno rješenje. Utjecaj promjena c i na funkciju cilja se opisuje koeficijentima osjetljivosti: x i * c F * = c i (F-.6) gdje je: * oznaka za optimalno rješenje. PRIMJER P-.7 Odredi koeficijente osjetljivosti za P-.2. Matematski model: min Funkcija cilja: F = (6 x + 3 x 2 ) x j dio A 5 x + x 2 Ograničenja: dio B 9 x + 3 x 2 7 dio C x + 3 x 2 9 Optimalno rješenje: x * = kom, x 2 * = 5 kom, F* = 2 NJ. F = c + c 2 5 Koeficijenti osjetljivosti : x * c = F c = x 2 * c = F c 2 = 5 Zaključak: Promjene koeficijenta c 2 imaju veći utjecaj na optimalno rješenje od promjena koeficijenta c. Uz korištenje dualnog modela na isti način se može odrediti i utjecaj promjena g j. Pri određivanju utjecaja a ij koristi se matrični račun, a postupak je obrađen u literaturi.. Transportna metoda Transportna metoda (skraćeno: TM) je formalni postupak dobivanja optimalnih troškova opskrbe skupa recipijenata (R) iz skupa izvora (I), uz uvjet linearne ovisnosti troškova transporta o transportiranoj količini. Opskrba (S-.3) se može optimalizirati primjenom simplex metode, ali su specifičnosti (koeficijenti a ij su jedinice ili nule) dovele do razvoja TM. Danas se TM najčešće koristi za optimalizaciju opskrbe skupa prodavaonica iz skupa skladišta.

17 . Linearno programiranje 7 I I 2 I 3 I c 5 x 5 R R 2 R 3 R R 5 Slika S-.3 Shematski prikaz transportnog problema Strojarski inženjeri će najčešće koristiti TM za optimalizaciju: razmještaja (pogoni, strojevi, oprema, radnici, skladišta, prostorije), dinamike radova (projektiranje, izgradnja, proizvodnja, održavanje, remont)... Postavljanje matematičkog modela Funkcija cilja n promjenljivih veličina: F = opt x ij m n i= j= c ij x ij gdje je: c ij jedinični trošak transporta od i-tog izvora do j-tog recipijenta, x ij transportirana količina od i-tog izvora do j-tog recipijenta, m broj izvora, n broj recipijenata. Skup ograničenja m + n ograničenja oblika: n x ij j= m x ij i= (F-.7) = a i (F-.) = b j (F-.9) gdje je: a i ukupna raspoloživa količina u i-tom izvoru, b j ukupna potrebna količina j-tog recipijenta. Dodatna su ograničenja (nenegativnosti promjenljivih veličina. te realne vrijednosti koeficijenata i slobodnih članova): x ij (F-.) c ij, a i, b j R gdje je: R skup realnih brojeva. (F-.) Prema tome, s TM postupkom LP se traži optimum (maksimum ili minimum) za zadanu linearnu funkciju cilja F-.7, s m n promjenljivih veličina, uz zadovoljavanje m + n linearnih ograničenja vrijednosti promjenljivih veličina F-., F-.9 (F-. i F-.)...2 Zatvoreni transportni problem Raspoloživa količina izvora jednaka potrebnoj količini recipijenata:

18 Kvantitativne metode m a i i= n b j j= = (F-.2) TM obuhvaća dva koraka:. određivanje početnog rješenja 5. određivanje optimalnog rješenja Minimalizacija PRIMJER P-.5 Proizvod je potrebno iz četiri skladišta (tabela s količinama i troškovima) transportirati u tri prodavaonice. Optimalizirati transport. Skladišta Potrebe prodavaonica, kom Prodavaonice Raspoloživo na P P 2 P 3 skladištima, kom S c = c 2 = 2 c 3 = a = S 2 c 2 = c 22 = c 23 = 3 a 2 = 3 S 3 c 3 = 6 c 32 = 9 c 33 = a 3 = S c = 7 c 2 = c 3 = 5 a = b = b 2 = b 3 = 3 Σa i = Σb i =. korak određivanje početnog rješenja metoda sjeverozapadnog kuta: Postupak počinje u gornjem (prednjem) lijevom kutu ("sjeverozapadnom") i odabirue se količina koja potpuno prazni skladište i/ili popunjava prodavaonicu. P () P 2 () P 3 (3) S () 2 S 2 (3) 3 S 3 () 6 9 S () 7 5 F = c x + c 2 x 2 + c 22 x 22 + c 33 x 33 + c 3 x 3 = = 53 NJ. korak određivanje početnog rješenja metoda najmanjih troškova: Kod ovog postupka se od početka "skače" po poljima s najmanjim mogućim troškom i odabire količina koja potpuno prazni skladište i/ili popunjava prodavaonicu. Ako je ravnopravno više mogućnosti prioritet ima: polje s većom transportiranom količinom, polje s najmanjim brojem reda, polje s najmanjim brojem kolone. P () P 2 () P 3 (3) S () 2 S 2 (3) 3 S 3 () 6 9 S () 7 5 F = c 3 x 3 + c 23 x 23 + c 22 x 22 + c 3 x 3 + c x + c 2 x 2 = = 3 NJ

19 . Linearno programiranje 9 2. korak određivanje optimalnog rješenja steping-stone metoda: U 2. koraku se prethodno određeno početno rješenje P-.5 optimalizira. Početna rješenje dobiveno metodom najmanjih troškova je i optimalno rješenje (što nije pravilo), te je stepingstone metoda ilustrirana na početnom rješenju dobivenom metodom sjeverozapadnog kuta. U prvom koraku se izračunavaju relativni troškovi za sva nezauzeta polja, d ij (2, 3, 23, 3, 32,, 2). Relativni troškovi izražavaju promjene troškova transporta pri uključivanju aktualnog nezauzetog polja "skače" se po zauzetim poljima ("kamenju") do zatvaranja puta, uz održavanje ravnoteže pražnjenja skladišta i punjenja prodavaonica (S-.). Ako se put ne može zatvorit sa zauzetim poljima (broj zauzetih polja < m + n ), uvodi se polje ("kamen") sa zanemarivo malom transportiranom količinom ε (S-. polje 3). P () P 2 () P 3 (3) S () 2 S 2 (3) 3 S 3 () 6 9 ε S () Slika S-. Shematski prikaz preračunavanja transportnih troškova steping-stone metoda d 2 = c 2 c 22 + c 2 c = 2 + = 6 d 3 = c 3 c 33 + c 3 c = + 6 = d 23 = c 23 c 33 + c 3 c 2 = = 3 c 3 = ε d 32 = c 32 c 3 + c 2 c 22 = = d = c c 3 + c 33 c 3 = = d 2 = c 2 c 22 + c 2 c 3 + c 33 c 3 = = 5 3 P () P 2 () P 3 (3) S () 2 6 S 2 (3) 3 3 S 3 () 6 9 ε S () Negativan relativni trošak (d ij < ) znači smanjenje cijene transporta, a pozitivan (d ij > ) povećanje. Prema tome, transport se prebacuje na polje s najnegativnijom vrijednošću relativnog troška (d 3 )

20 Kvantitativne metode P () P 2 () P 3 (3) S () 5 2 S 2 (3) 3 3 S 3 () S () F = c 3 x 3 + c 2 x 2 + c 22 x 22 + c 3 x 3 + c 3 x 3 = = 37 NJ U odnosu na rješenje dobiveno metodom sjeverozapadnog kuta, troškovi transporta su smanjeni za 6 NJ (53 37), ali negativna vrijednost u nezauzetom polju i = 2, j = 3 prethodne tabele (d 23 = 3) ukazuje da je moguće dalje smanjivanje troškova. P () P 2 () P 3 (3) S () S 2 (3) 3 S 3 () S () F = c 3 x 3 + c 2 x 2 + c 22 x 22 + c 23 x 23 + c 3 x 3 + c x = = 3 NJ U odnosu na prethodno rješenje, troškovi transporta su smanjeni za 3 NJ (37 3). Kako su pozitivne sve vrijednost u nezauzetim poljima prethodne tabele (d ij > ) slijedi zaključak da je dobiveno rješenje optimalno. Putovi transporta se opisuju jednodimenzijskim vektorom: X = (x 3, x 2, x 22, x 23, x 3, x ) = (,,,,, )..3 Maksimalizacija PRIMJER P-.6 Tvrtka proizvodi u četiri tvornice proizvod kojim opskrbljuje četiri prodajna centra. U tabeli su date količine i dobiti, koje ovise o lokacijama tvornica i prodajnih centara. Optimalizirati opskrbu. Prodajni centri Proizvedeno u tvornicama, P P 2 P 3 P kom T c = c 2 = 5 c 3 = c = 3 a = T 2 c 2 = c 22 = 6 c 23 = c 2 = 5 a 2 = T 3 c 3 = c 32 = 9 c 33 = c 3 = 7 a 3 = T c = c 2 = 6 c 3 = 5 c = a = Potrebe prodajnih Σa i = 72 b centara, kom = b 2 = 2 b 3 = b = 32 Σb i = 72 Tvornice. korak određivanje početnog rješenja metoda sjeverozapadnog kuta: P () P 2 (2) P 2 () P 3 (32) T () 5 3 T 2 () T 3 () 9 7 T () 6 5

21 . Linearno programiranje 2 F = c x + c 2 x 2 + c 22 x 22 + c 23 x 23 + c 33 x 33 + c 3 x 3 + c x = = = 3. NJ. korak određivanje početnog rješenja metoda najvećih dobiti: Kod ovog postupka (maksimalizacija) se od početka "skače" po poljima s najvećim mogućim dobitima i odabire količina koja potpuno prazni tvornicu i/ili popunjava prodajni centar. Ako je ravnopravno više mogućnosti prioritet ima: polje s većom transportiranom količinom, polje s najmanjim brojem reda, polje s najmanjim brojem kolone P () P 2 (2) P 2 () P 3 (32) 5 3 T () 6 5 T 2 () 9 7 T 3 () T () 2 2 F = c 3 x 3 + c 2 x 2 + c 3 x 3 + c 32 x 32 + c x + c 3 x 3 + c x = = =.36 NJ Dobit je veća od dobiti u rješenju dobivenom metodom sjeverozapadnog kuta. 2. korak određivanje optimalnog rješenja steping-stone metoda: Poboljšava se rješenje dobiveno metodom najveće dobiti, a najpozitivnije su vrijednosti za nezauzeta polja d 3 = d 2 =. d 3 = c 3 c + c c 3 = 7 + = d 2 = c 2 c + c 3 c 32 = = Uvodi d 3, jer je c 3 > c 2 (7 > 6) P () P 2 (2) P 2 () P 3 (32) T () 5 3 T 2 () 6 5 T 3 () T () F = c 3 x 3 + c 2 x 2 + c 32 x 32 + c 3 x 3 + c x + c 3 x 3 + c x = = =. NJ d 2 = c 2 c 3 + c 3 c = = P () P 2 (2) P 2 () P 3 (32) T () 5 3 T 2 () 6 5 T 3 () 9 7 T () F = c 3 x 3 + c 2 x 2 + c 32 x 32 + c 3 x 3 + c x + c 2 x 2 + c 3 x 3 = = =.5 NJ d 3 = c 3 c 32 + c 2 c = =

22 22 Kvantitativne metode P () P 2 (2) P 2 () P 3 (32) 5 3 T () T 2 () T 3 () T () F = c 3 x 3 + c 2 x 2 + c 3 x 3 + c 3 x 3 + c x + c 2 x 2 + c 3 x 3 = = =.6 NJ U odnosu na prethodno rješenje, troškovi transporta su smanjeni za NJ (6 5). Kako su negativne sve vrijednost u nezauzetim poljima prethodne tabele (d ij < ) slijedi zaključak da je dobiveno rješenje optimalno. Putovi transporta se opisuju jednodimenzijskim vektorom: X = (x 3, x 2, x 3, x 3, x, x 2, x 3 ) = (,,,,, 2, 2).. Otvoreni transportni problem Otvorenim se naziva transportni problem s različitom ponudom od potražnje. e) ukoliko je ponuda veća od potražnje: m a i > b j (F-.3) i= uvodi se fiktivni recipijent b n+ s troškovima transporta c i(n+) = i: m a i i= f) ukoliko je ponuda manja od potražnje: n j= n b (n+) = b j (F-.) m a i i= j= n b j j= < (F-.5) uvodi se fiktivni izvor a n+ s troškovima transporta c (n+)j = i: n b j j= m a (n+) = a i i= (F-.6) Dalji postupci su isti kao prethodno opisani za zatvorene transportne probleme (minimalizacija..3. i maksimalizacija..3.2)...5 Zadaci TP Z-.6 Proizvod je potrebno iz četiri skladišta transportirati u tri prodavaonice. U tablici su date raspoložive količine na skladištima, potrebne količine u prodavaonicama i troškovi transporta. Optimalizirati transport. Skladišta P () Prodavaonice P 2 () P 3 (3) S () 2 S 2 (3) 3 S 3 () 6 9 S () 7 5

23 . Linearno programiranje 23 Rješenje: X = (x 3, x 2, x 22, x 23, x 3, x ) = (,,,,, ) F = 3 NJ Z-.7 Tvrtka proizvodi u četiri tvornice proizvod kojim opskrbljuje četiri prodajna centra. U tabeli su date količine koje mogu proizvesti tvornice (u zagradama) i količine koje mogu prodati prodajni centri. Dobiti navedene u poljima tabele ovise o lokacijama tvornica i prodajnih centara. Optimalizirati opskrbu. Rješenje: Tvornice Prodajni centri P () P 2 (2) P 3 () P (32) T () 5 3 T 2 () 6 5 T 3 () 9 7 T () 6 5 X = (x 3, x 2, x 3, x 3, x, x 2, x 3 ) = (,,,,, 2, 2) F =.6 NJ Z-.9 Četiri potrošačka centra opskrbljuju tri tvornice. Optimalizirati transport. Tvornice P (7) P 2 () Prodajni centri P 3 (3) P (6) P 5 (5) T () T 2 () T 3 () Rješenje: X = (x 2, x 23, x 2, x 25, x 3, x 32, x 35 ) = (, 3, 6,, 7,, 3) F = 69 NJ Z-.9 U slučaju rata iz četiri baze treba dopremiti oružje na pet položaja. U poljima tabele su data vremena, u satima, potrebna za dopreme. Optimalizirati dopremu. Položaji B (2) B 2 (6) Baze B3 () B () B 5 () P (2) 3 9 P 2 (3) P 3 (9) P () Rješenje: (jedno od više m ogućih) X = (x, x 5, x 2, x 25, x 32, x 35, x 3, x ) = (2,, 2,, 6, 3,, ) F = 2 h.5 Metoda raspodjele Metoda raspodjele (skraćeno: MR) je formalni postupak dobivanja optimalne raspodjele m aktivnosti (A S-.5) ili resursa na n radnika (R) ili lokacija. Uvjet je da se jedna aktivnost/resurs može dodijeliti samo jednom radniku/lokaciji.

24 2 Kvantitativne metode Postupak MR je specifičan i njegov će tijek biti pojašnjen na primjerima minimalizacije (na primjer, troškova) i maksimalizacije (na primjer, dobiti). A A A A 2 3 c 5 R R 2 R 3 R R 5 Slika S-.5 Shematski prikaz problema raspodjele Strojarski inženjeri će najčešće koristiti MR za optimalizaciju raspodjele: uposlenika (radnika po strojevima, inženjera po projektima), poslova (poslova po strojevima, projekata po odjelima)..5. Postavljanje matematičkog modela Funkcija cilja n promjenljivih veličina: F = opt x ij m n i= j= c ij x ij gdje je: c ij jedinični trošak transporta od i-tog izvora do j-tog recipijenta, x ij transportirana količina od i-tog izvora do j-tog recipijenta, m broj izvora, n broj recipijenata. Skup ograničenja m + n ograničenja oblika: m (F-.7) x ij = (F-.) i= n x ij = (F-.9) j= Prema tome, s MP postupkom LP se traži optimum (maksimum ili minimum) za zadanu linearnu funkciju cilja F-.7, s m n promjenljivih veličina, uz zadovoljavanje m + n linearnih ograničenja vrijednosti promjenljivih veličina F-., F Minimalizacija PRIMJER P-.7 Pet radnika treba obaviti pet poslova. Svaki radnik je osposobljen za obavljanje svih poslova, ali pri tome radnici utroše različita vremena, navedena u poljima tabele (u satima), za obavljanje istih/različitih poslova. U aktualnom vremenskom razdoblju jedan radnik može biti angažiran samo na jednom od poslova. Odrediti optimalnu proizvodnju.

25 . Linearno programiranje 25 Radnici P P 2 Poslovi P 3 P P 5 R R R R 2 9 R Oduzima se: (određuje se koji radnici najučinkovitije obavljaju poslove) g) najmanje polje kolone od svih polja kolone 7. najmanje polje reda od svih polja reda koji ne sadrži nule dobivene prethodnim oduzimanjem (redovi označeni u tabeli). Razvrstavaju se nule na: h) nezavisne (nule označene u tabeli). jedina u redu i 2. jedna od nula kojih ima više u redu 9. zavisne (nule precrtane u tabeli). ostale nule u koloni s nezavisnom nulom i 2. ostale nule u redu s nezavisnom nulom. Provjerava se da li je dobiveno rješenje optimalno (broj nezavisnih nula = broju poslova) Radnici P P 2 Poslovi P 3 P P 5 R 7 5 R R R 5 R Dobiveno rješenje nije optimalno jer je broj nezavisnih nula < broja poslova. 2. Usmjeravanje postupka optimaliziracije: i) označiti redove bez nezavisnih nula d) precrtati kolone u kojima prethodno označeni redovi imaju zavisne nule 22. označiti redove sa nezavisnim nulama u prethodno označenim kolonama 23. precrtati kolone u kojima prethodno označeni redovi imaju zavisne nule 2. ponavljati korake c) d) c) dok je to moguće (do pojave označenih redova bez zavisne nule ili precrtanih kolona bez nezavisne nule) e) precrtati neoznačene redove (točke.a) i/ili.c)) Radnici P P b) 2 Poslovi P 3 P P 5 R 7 5 R R c) R 5 R a) Optimaliziracije: j) odrediti najmanje neprecrtano polje (2 polje 3)

26 26 Kvantitativne metode 26. dodati vrijednost najmanjeg polja vrijednostima svih dvostruko precrtanih polja f) oduzeti vrijednost ovog polja od vrijednosti svih neprecrtanih polja 27. Ponavljati postupak do dobivanja optimalnog rješenja: Radnici P P 2 Poslovi P 3 P P 5 R 9 5 R 2 5 R R 5 3 R Dobiveno rješenje je optimalno jer je broj nezavisnih nula = broju poslova. X = (x, x 23, x 35, x, x 52 ) = (,,,, ) F = c x + c 23 x 23 + c 35 x 35 + c x + c 52 x 52 =.5.3 Maksimalizacija PRIMJER P = 39 h Od raspoloživih pet radnika treba odabrati tim za rad na četiri dobavljena stroja. Broj komada koji su izradili radnici tijekom testiranja na dobavljenim strojevima je dat u tabeli. Odabrati optimalni tim. Radnici S S 2 Strojevi S 3 S R R 2 6 R R 2 R Prilagodba tabele k) uvođenjem dopunske kolone/reda formirati kvadratnu matricu. u svakoj koloni se od svih polja oduzima vrijednost najvećeg polja u koloni 2. vrijednosti svih polja se množe s Radnici S S 2 Strojevi S 3 S S 5 R 3 5 R R 3 2 R R Kako je: F max = C X = F min = C X provodi se postupak minimalizacije (..3 P-.)

27 . Linearno programiranje 27 Radnici S S 2 Strojevi S 3 S S 5 R 3 5 R R 3 2 R R Radnici S S 2 Strojevi S 3 S S 5 R R R R 3 R Radnici S S 2 Strojevi S 3 S S 5 R 2 R R R 3 R Radnici S S 2 Strojevi S 3 S S 5 R 2 R 2 2 R R 3 2 R Radnici S S 2 Strojevi S 3 S S 5 R 2 R 2 2 R R 3 2 R Dobivena su dva moguća optimalna rješenja broj zavisnih nula = broju poslova. U prvom rješenju će tim biti formiran od radnika R2, R3, R i R5 (radnik R otpada jer je raspoređen na fiktivno radno mjesto), a u drugom od radnika R, R3, R i R5 (radnik R2 otpada jer je raspoređen na fiktivno radno mjesto). Optimalno rješenje o izboru radnika R ili R2 u tim mora biti donesena na temelju dodatnih kriterija. Međutim, iz rješenja se zapaža kako će o izboru radnika R ili R2 ovisiti i raspored radnika R5 na stroj S3 ili S2. Za prvo moguće optimalno rješenje je: X = (x 5, x 22, x 3, x, x 53 ) = (,,,,, ) F = c 5 x 5 + c 22 x 22 + c 3 x 3 + c x + c 53 x 53 =

28 2 Kvantitativne metode a za drugo: = 27 kom X = (x 3, x 25, x 3, x, x 52 ) = (,,,,, ) F = c 3 x 3 + c 25 x 25 + c 3 x 3 + c x + c 52 x 52 =.5. Zadaci MR = 27 kom Z-. Pet radnika treba obaviti pet poslova. Svaki radnik je osposobljen za obavljanje svih poslova, ali pri tome radnici utroše različita vremena, navedena u poljima tabele (u satima), za obavljanje istih/različitih poslova. U aktualnom vremenskom razdoblju jedan radnik može biti angažiran samo na jednom od poslova. Odrediti optimalnu proizvodnju. Radnici P P 2 Poslovi P 3 P P 5 R R R R 2 9 R Rješenje: X = (x, x 23, x 35, x, x 52 ) = (,,,, ) F = 39 h Z-. Od raspoloživih pet radnika treba odabrati tim za rad na četiri dobavljena stroja. Broj komada koji su izradili radnici tijekom testiranja na dobavljenim strojevima je dat u tabeli. Odabrati optimalni tim. Rješenje: Radnici S S 2 Strojevi S 3 S R R 2 6 R R 2 R (a) X = (x 5, x 22, x 3, x, x 53 ) = (,,,,, ) (b) X = (x 3, x 25, x 3, x, x 52 ) = (,,,,, ) F = 27 kom F = 27 kom