Matematikk Oppgavesamling

Transkript

1 Matematikk Oppgavesamling Odd 1P Heir Gunnar Erstad John Engeseth Ørnulf Borgan Per Inge Pedersen BOKMÅL

2 Matematikk 1P Oppgavesamling er en del av læreverket Matematikk 1P. Verket dekker målene i læreplanen av 2005 for Matematikk Vg1P i studieforberedende utdanningsprogram. H. Aschehoug & Co. (W. Nygaard) utgave / 2. opplag 2006 Det må ikke kopieres fra denne boka i strid med åndsverkloven eller i strid med avtaler om kopiering inngått med Kopinor, interesseorgan for rettighetshavere til åndsverk. Kopiering i strid med lov eller avtale kan føre til erstatningsansvar og inndragning, og kan straffes med bøter eller fengsel. Redaktører: Dag-Erik Møller og Jon Arne Corell Grafisk formgivning og omslag: Mona Dahl Ombrekning: Type-it AS Bilderedaktør: Annette Faltin Tekniske illustrasjoner: Framnes Tekst og Bilde AS Grunnskrift: Sabon 10,8/13 Papir: 100 g Tom&Otto 0,82 Trykk og innbinding: AIT Trykk Otta AS ISBN-13: ISBN-10: Bildeliste Forsiden: Nordic Photos/GV-Press s. 5 Trinette Reed/GV-press s. 16 Scott Adams/United Feature Syndicate, Inc/ Norsk Seriebyrå s. 29 Svingninger av Vassily Kandinsky/BONO 2006/Tate Gallery, London 2005 s. 49 Bård Løken/Samfoto s. 50 Curt Carnemark/Mira/Samfoto s. 60 Nordic Photos/GV-Press s. 66 Hodder Headline, London s. 85 AFP/Scanpix s. 115 Thorfinn Bekkelund/Samfoto

3 Til eleven Matematikk 1P Læreverket Matematikk 1P er skrevet for læreplanen Matematikk Vg1P på de studieforberedende utdanningsprogrammene. Verket består av læreboka oppgavesamlingen fagnettstedet på I læreboka finner du teori, eksempler og innlæringsoppgaver. Det lønner seg å regne alle innlæringsoppgavene. Du kan så gå til oppgavesamlingen for videre arbeid og utdypning. Oppgavesamlingen Her finner du varierte oppgaver av mange forskjellige typer og vanskelighetsgrader. I tillegg til «vanlige» regneoppgaver finner du oppgaver som gir deg trening i de grunnleggende ferdighetene å kunne uttrykke seg muntlig, å kunne uttrykke seg skriftlig, å kunne lese og å kunne bruke digitale verktøy. Dessuten finner du flervalgsoppgaver, rett/galt-oppgaver og eksamensoppgaver. Eksamensoppgavene er merket med X. Kompetansemålene fra læreplanen er plassert i starten av hvert kapittel. Oppgavene er ordnet i underkapitler med samme overskrift som de tilsvarende underkapitlene i læreboka. I tillegg finner du blandede oppgaver i slutten av hvert kapittel. Noen oppgaver er merket med stjerne, *. Disse oppgavene har vi laget fullstendig løsning til. (Se side 138.) Oppgavene innenfor et underkapittel er ordnet etter vanskelighetsgrad. De letteste er ikke markert. De noe vanskeligere er markert med trekanter: eller. De blandede oppgavene har ikke markeringer for vanskelighetsgrad. Til hjelp i arbeidet har vi laget Stifinneren, en tabell med tre forskjellige forslag til «stier». En sti er et utvalg av oppgaver satt i en passende rekkefølge. Sti 1 er lettest. Sti 3 er vanskeligst. Vi understreker at stiene bare er ment som forslag. I samråd med læreren din kan du velge den stien som passer deg best. Du kan også lage din egen sti. Lykke til I årenes løp har vi fått mange nyttige tilbakemeldinger fra elever og lærere. Ønsker du å gi kommentarer, kan du bruke adressen matematikk1p@aschehoug.no. Vi ønsker deg lykke til! Hilsen forfatterne Vi takker kolleger og andre for gode forslag og innspill. En spesiell takk til konsulentene Jostein Walle, Petter Callin, Åse Pedersen og Magne Strømme.

4 Innhold 1 Tall og algebra 5 2 Geometri 29 3 Sannsynlighet 60 4 Funksjoner 85 5 Økonomi 115 Utvalgte løsninger 138 Fasit 158

5 1 Tall og algebra STIFINNEREN Kompetansemål: Mål for opplæringen er at eleven skal kunne anslå svar, regne med og uten tekniske hjelpemidler i praktiske oppgaver og vurdere rimeligheten av resultatene tolke, bearbeide, vurdere og diskutere det matematiske innholdet i skriftlige, muntlige og grafiske framstillinger tolke og bruke formler knyttet til dagligliv, yrkesliv og programområde regne med forholdstall, prosent, prosentpoeng og vekstfaktor behandle proporsjonale og omvendt proporsjonale størrelser i praktiske sammenhenger 1.1 Negative tall 1.2 Den matematiske grammatikken Sti 1 Sti 2 Sti 3 100, 101, 102, 103, 104, 101, 103, 104, 105, 106, 103, 105, 106, 107, 106, 107, , , 109, , 113, 114, 115, , 112, 113, 114, 115, 112, 113, 114, 115, 116, Regning med store og små tall 118, 119, 120, 121, 122, , 119, 121, 122, 123, , 122, 123, 124, Overslag og avrunding 126, 127, 128, 129, , 127, 128, 129, , 128, 129, 130, Bokstavuttrykk. Likninger. Formler 132, 133, 136, 138, , 133, 134, 136, 138, 139, , 134, 135, 137, 138, 139, 140, Forhold. Prosentregning 142, 143, 144, 145, 146, 147, 148, 149, 150, 151, 152, 153, 154, 158, 161, 163, 166, 167, , 144, 145, 147, 148, 149, 151, 153, 154, 155, 156, 157, 158, 159, 160, 162, 163, 165, 166, 167, 168, 169, 171, , 149, 152, 153, 154, 157, 158, 159, 160, 163, 165, 166, 167, 168, 169, 170, 171, 172, Proporsjonalitet 174, 175, 176, 177, 179, , 175, 176, 178, 179, 180, 181, 182, 174, 175, 178, 179, 181, 183, 184, Noen grafiske og skriftlige framstillinger 186, 187, , 188, , rette eller gale: s. 23 Blandede oppgaver (190 X1.7): s. 23 Utvalgte løsninger: s. 138 Grunnleggende ferdigheter: Muntlige ferdigheter: 126, 130, 131, 135, 137, 141, 144, 162, 163, 184, 187, 189, 193, 194, 196, 199 Skriftlige ferdigheter: 117, 130, 133, 135, 137, 141, 144, 157, 170, 184, 187, 189, 193, 194, 196, 199 Leseferdigheter: 100, 105, 112, 124, 135, 141, 144, 153, 157, 162, 170, 183, 194 Digitale ferdigheter: 108, 114, 115, 116 Interaktive oppgaver: Lokus.no

6 6 Kapittel 1: Tall og algebra 1.1 Negative tall 100 I Helsingborg i Sverige står dette skiltet: GÖTEBORG 221. Trude kjører nordover mot Gøteborg. I Kungsbacka ser hun dette skiltet: GÖTEBORG 32 OSLO 334 Hvor langt er det fra a Helsingborg til Oslo? b Gøteborg til Oslo? 101 Anne har laget kart og tabell som viser hvor langt det er til noen av vennene hennes. Avstandene er oppgitt i meter. Kari Lars Mia Anne Kari Lars Mia Nils Per Anne Kari Lars Mia Nils Per Nils Anne Per Regn ut den korteste avstanden langs veiene fra Nils til Kari. 102 Påls bankkonto viser 630 kr. Han setter inn 3500 kr. Hva viser kontoen etter innskuddet? 103 a En væske fryser ved 114 C og koker ved 78 C. Hvor stor er temperaturforskjellen mellom kokepunktet og frysepunktet? Hvilke eller hvilket av disse regnestykkene gir riktig svar på oppgaven? ( 114) b Finn temperaturforskjellen mellom kokepunktet og frysepunktet for disse væskene: Frysepunkt C Kokepunkt C Propan Kvikksølv Eter Regn ut med og uten lommeregner. a 8 + ( 2) b c 3 + ( 4) d 4 ( 4) e 6 + ( 2) f 6 ( 2) g h 5 + ( 15) ( 6) + 8

7 Kapittel 1: Tall og algebra a Dødehavet ligger 394 m under havoverflaten (muh.), og Gennesaretsjøen ligger 208 muh. Oljeberget ligger 818 moh. og Jerusalem omtrent 750 moh. Lag en skisse som viser høydeforskjellene. Hvor mye høyere er Oljeberget enn 1 Gennesaretsjøen 2 Dødehavet b Marit går fra Dødehavet mot Jerusalem. Hun tar en pause etter en stigning på 130 m. Hun tar en ny pause etter å ha steget 150 m til. Hvor høyt i forhold til havoverflaten er hun kommet da? Regn ut med og uten lommeregner. a ( 3) ( 4) b 3 ( 5) c 30 : 6 d 30 :( 6) e ( 15):( 5) f 5 ( 1) ( 5) g 20 ( 3):( 5) For å lage en bestemt type bokhylle trenger en snekker dette: 4 lange bord, 6 korte bord, 12 små vinkeljern, 2 store vinkeljern og 14 skruer. Snekkeren har 26 lange bord, 33 korte bord, 200 små vinkeljern, 20 store vinkeljern og 510 skruer på lager. Hvor mange bokhyller kan snekkeren lage? (PISA) Tabellen viser morgentemperaturen en uke i februar og en uke i mars. Regn ut gjennomsnittlig morgentemperatur for a uka i februar b uka i mars Februar C C C C C C C Mars C C C C C C C c Bruk regneark til å finne gjennomsnittlig morgentemperatur for de to ukene. Lag også et diagram. 109 Her står det seks tall ,5 0 1,2 1,8 a Hvilket av tallene er minst? b Hvilket av tallene er størst? c Skriv tallene i stigende rekkefølge.

8 8 Kapittel 1: Tall og algebra 110 I et magisk kvadrat skal alle summene vannrett, loddrett og diagonalt være like. Fyll ut disse magiske kvadratene Den matematiske grammatikken 111 Regn ut. a b ( 6+ 4) 2 c d e f Sett parenteser slik at svaret blir riktig. a = 25 b = 16 c 9 2 4= 28 d : 3= 7 e 8+ 14: 2 3= 8 f : 3 = 30 Regn ut. a ( 9 6) ( 3+ 4) b ( ) ( ) c d 2 2 ( 3 6) 2+ ( 6 2 ) 3 Brøk på lommeregneren Vi kan regne med brøker på lommeregneren. Vi tar to eksempler. Eksempel 1 Vi vil regne ut CASIO på lommeregneren. Velg RUN i hovedmenyen. I stedet for vanlig divisjonstast vil vi bruke en egen brøktast, ab/c. Tast 2 ab/c ab/c 4 EXE TEXAS Tast 2/3 + 3/4. Trykk deretter MATH, velg 1: ( Frac) og trykk ENTER.

9 Kapittel 1: Tall og algebra Regn ut på lommeregneren a + b + c d Eksempel 2 Vi vil regne ut CASIO 3 2 : 4 5 på lommeregneren. TEXAS 115 Regn ut på lommeregneren. a : b : c : Regn ut på lommeregneren. a b c d ( 4+ 6) e f g : 35 * 117 Anders stablet halvparten av et parti blomsterpotter, Lana stablet en tredel og Miriam stablet resten. Miriam mener hun stablet en femdel. a Vis at Miriam tar feil. b Hvor stor del av partiet stablet Miriam? 1.3 Regning med store og små tall 118 Skriv på vanlig måte. a 10 2 b 10 3 c 10 1 d 10 2 e Skriv som potens med 10 som grunntall. a b c 0,01 d 0,001 e 0, a Hvor mange gram er 5 kg? b Hvor mange meter er 16 km? c Hvor mange liter er 5 hl? d Hvor mange liter er 28 dl?

10 10 Kapittel 1: Tall og algebra 121 Skriv tallene på standardform. a b c d 0,005 e 0, f 0, Regn ut. a 4,8 kg g b 896 mg + 0,9 g c 32 mg + 0,0032 g d 320 μg+6,8mg Skriv svarene på standardform. Regn først i hodet. Kontroller så med lommeregneren. a b c d Sommeren 2002 gikk det en «farsott» over landet, og vi kunne lese i avisene: Smykkemote tømmer lagrene! I løpet av få måneder er ca. 30 millioner sikkerhetsnåler blitt forvandlet til smykker. Til ett armbånd går det med nåler, og til et belte stk. «En familiebedrift har solgt ti millioner sikkerhetsnåler de siste månedene. Det er like mange som de solgte i løpet av 60 år.» (Aftenposten) a 1 Skriv 30 millioner på standardform. 2 Hvor mange armbånd kan vi lage av 30 millioner nåler? 3 Hvor mange perler trengs til et belte av 480 nåler hvis vi bruker 10 perler på hver nål? 4 Omtrent hvor mange sikkerhetsnåler solgte familiebedriften i gjennomsnitt per år, før disse smykkene kom på moten? En butikk bestiller perler i poser på 1 kg. b 1 Hvor mange kilogram perler må butikken ta inn, når den har fått en bestilling på 4 tusen sikkerhetsnåler, med plass til 12 perler på hver nål? En perle veier 15 mg. 2 Kines armbånd veier 51,8 g og består av 80 sikkerhetsnåler med 10 perler på hver. Hvor mye veier sikkerhetsnålene og gummistrikken? 125 I a En bakterie har lengden mm. Hvor mange bakterier må det til for at summen av lengdene skal bli 1 cm? b En rød blodcelle har en diameter på m. Et voksent menneske har ca røde blodceller. Hvor langt ville blodcellene rekke hvis de ble lagt etter hverandre? II a Lysfarten er 30, 10 8 m/s. Hvor mange kilometer går lyset på ett år? Denne avstanden kaller vi et lysår. b Melkeveisystemet, som vi bor i, er en spiralgalakse med millioner stjerner. (Én av dem er vår sol.) Den spiralgalaksen som ligger nærmest vår galakse (Melkeveisystemet), er Andromedagalaksen (M31).

11 Kapittel 1: Tall og algebra 11 Avstanden til Andromedagalaksen er 2,3 millioner lysår. (Vi kan så vidt se den med det blotte øye en klar, mørk natt). Hvor lang tid bruker lyset fra Andromedagalaksen til jorda? 1.4 Overslag og avrunding 126 I regnestykkene nedenfor har desimaltegnet falt ut i svaret. Gjør et overslag og skriv desimaltegnet på riktig plass. a 6, 8 4, 2 = 2856 b 6, 5 8, 4 = 546 c 08, 45, = 36 d 58, 6 3, 2 = e 24, 48 : 4, 8 = Rund av til nærmeste hele tall. a 8,5 b 31,4 c 10,49 d 200,50 e 99,6 128 Rund av til nærmeste titall. a 89 b 34 c 654 d Regn ut og skriv svaret med to desimaler. a 762, 34, b 068, 08, c 2, , 12 d 43824,, Skriv opp et regneuttrykk for hver av oppgavene nedenfor, og regn ut uttrykkene med lommeregner. Vurder om svarene virker rimelige. a Kiloprisen på epler er 12,90 kr. Hva koster 2,7 kg? b Marcus kjøper smågodt til 8,60 kr per hg. Hvor mye får han for 34 kr? c 1 kg pølser koster 69,90 kr. Hva koster 0,64 kg? Gjør først et overslag. Kontroller så med lommeregneren. 58, 13, 79, 52, a b 22, 29, 98, 24, 56, + 125, 158, , 52 c d 25, 4 16, Bokstavuttrykk. Likninger. Formler 132 a Regn ut. 1 8 n + 5n 2 3b +(2a 3b) 3 4a+ 3b+ ( 3a 2b) 4 6(a 3) + 2(9 a) 5 4x 3y ( 2y+ 3x) b Regn ut verdien av uttrykkene i oppgave a når 1 n =2 2 a =5ogb =2 3 a =4ogb =6 4 a =12 5 x =5ogy = Hvilke tall må stå i boksene for at uttrykket skal bli lik 0? a 3a 4a 2 + ( a+ a 2 ) b 4a 3b 12a + 4b 2a+ 5a + a b+ a c 3a 4a 2 ( a a 2 )

12 12 Kapittel 1: Tall og algebra * Regn ut. a a(a +2) 2a b a(a 2) + 2(4 + a) c a(a 3) (a 3a 2 ) d 2(a b + a 2 ) a(a +2b) Skriv regnestykkene nedenfor med matematiske symboler og regn ut svaret. (Husk å sette parenteser der det skal være.) a Til summen av 5 og 4 skal du addere det tredobbelte av det du får når du trekker 6 fra 11. b Differansen 3 2a skal multipliseres med 5. c 3 2a skal legges til 5 3a. d 3 2a skal trekkes fra 5 3a. Løs likningene. a 4 x + 4 = 2 x + 9 b 5x+ 3( x 2) = 2 c 7( x 3) = 49 d 5x ( 3 x) = 9 * e 5( x 3) = 6( 2 x) a Løs likningene. 1 x +(x +3)= x +2(x + 30) = 2000 b Lag oppgavetekst til oppgaver som kan løses ved å bruke likningene i oppgave a. 138 Snu brøkene og løs likningene. 2 3 a b c d x = x = x = 3 5 = 7 4 x * 139 Salgsinntekten i kroner for en vare er gitt ved I = 400 x, der x er antall solgte vareenheter per dag. a Finn x uttrykt ved I. b Hva er salgsinntekten per dag hvis det selges 30 enheter per dag? c Hvor mange enheter selges det per dag hvis salgsinntekten er kr? Løs likningene. x a x b * c 2 = 1 + x 1 x+ 1 4x 2 3x 1 + = 1 = d 2 ( x 3 ) 4 ( 1 e 2 2x) = 2 5x 2( x+ 1) ( x ) = 3 ( 3x+ 3) Anne Mari og Tom følger den samme stien når de er ute på tur. Men hver gang tar Tom en ekstra avstikker på 1,5 km. En uke går de 6 turer. De har da til sammen gått 45 km. a Sett opp en likning der x km er den strekningen Anne Mari går hver gang. Løs likningen. Hvor langt går hver av dem hver gang? b Forklar hvordan du kan tenke for å finne ut hvor langt hver av dem går hver gang uten å bruke likning.

13 Kapittel 1: Tall og algebra Forhold. Prosentregning 142 På en klassefest var det 28 elever. Hva var forholdet mellom antall gutter og antall jenter når 16 av deltakerne var jenter? 143 En hyttetomt koster kr. Ved underskriving av kjøpekontrakten skal 3 8 av beløpet betales kontant. Hvor stort er kontantbeløpet? 144 Klasse 1E skal ha klassefest, og de bestemmer seg for å lage pizza. I en oppskrift for 4 personer skal det være: Deig Fyll 1,5 dl vann 1 ss olje 0,5 pakke gjær 3 ss tomatpuré 1 ss olje 0,5 dl vann 250 g hvetemel 1 ts oregano 0,5 ts salt 4 dl ost 200 g hermetisk sopp salt og pepper Tilpass denne oppskriften til 24 personer. Rund av tallene. 145 En sommer jobbet Elin og Anders med instruksjon i kiting og utleie av kitingutstyr. De hadde investert henholdsvis kr og kr for å skaffe nødvendig utstyr. Forholdet mellom fortjenestene skulle være det samme som forholdet mellom investeringene. Etter at sesongen var over, hadde Elin en fortjeneste på kr. Hvor stor var fortjenesten til Anders? 146 a Skriv som desimaltall. 3 % 4,5 % 9,2 % 11 % 12 % 25 % 19,7 % 0,6 % 110 % b Skriv som prosent. 0,02 0,05 0,035 0,047 0,19 0, ,2 6, Hvor mange prosent er a 36 av 300 b 240 av 368 c 4,6 av 109 d 180 av 150 e 16 av 100 f 8av Hvor mye er a 12 % av 300 b 3,5 % av 3000 kr c 8 % av kr d 120 % av 400 e 30 % av 80 f 15 % av 160

14 14 Kapittel 1: Tall og algebra 149 Prisen på en vare er 2000 kr. Hvilket tall må du multiplisere 2000 med for å få den nye prisen hvis a prisen går opp 1 5% 2 8% 3 12 % 4 16,5 % b prisen går ned 1 5% 2 8% 3 12 % 4 16,5 % Finn den nye prisen i hvert av tilfellene. 150 Jacob har en månedslønn på kr og får en lønnsøkning på 4 %. Hvilket eller hvilke av disse regnestykkene viser den nye lønna? A , 04 B , 4 C , 04 D En vare koster 350 kr. Hvor mye vil varen koste hvis prisen a stiger med 10 % b faller med 25 % * 152 a En vare kostet først 1000 kr. Prisen ble satt ned 20 %. Etter en stund ble prisen satt opp 20 %. Hva ble den nye prisen? b På en vare som kostet 1000 kr, gikk prisen opp med 20 %. Hva ble den nye prisen? En stund seinere hadde forretningen salg, og prisen ble satt ned 20 %. Finn prisen under salget. 153 Eva blander rød og hvit maling i forholdet 2 til 3 for å få den fargen hun vil ha. Hun bruker 4 liter rød maling. Hvor mange liter hvit maling må hun bruke? Hvilket svar er riktig? A 8 liter B 6 liter C 12 liter I en matematikktime skrev 3 av de 30 elevene kommentarer ved gjennomgåelsen av siste prøve. a Hvor mange skrev kommentarer? 2 15 av elevene fulgte ikke med. b Hvor mange var det som ikke fulgte med? Nanna får 1,2 liter eplejuice av 3 kg epler. Hvor mange kg epler må hun kjøpe for å lage 4,2 liter eplejuice? Ola har vært borte 8 matematikktimer i 1. termin. Han har 5 uketimer i matematikk, og det har vært undervisning 14 uker i denne terminen. a Hvor mange prosent fravær har han i matematikk? Kari har vært borte i 20 % av timene. b Hvor mange timer har hun vært borte?

15 Kapittel 1: Tall og algebra Det beste zoomkameraet. Et tidsskrift gir karakter på bildekvalitet, funksjoner, brukervennlighet og kvalitet/pris når det vurderer kameraer. Beste karakter er 10. Samlet karakter er basert på delkarakterene, der bildekvalitet teller 50 %, funksjoner og brukervennlighet teller 20 % hver, og kvalitet/pris teller 10 %. Ved en undersøkelse fikk tre av kameraene, Ca, Ni og Pa, karakterer som oppgitt i tabellen. Ca Ni Pa Bildekvalitet (Bk) 8,5 9 8 Funksjoner (Fu) 9,5 8 Brukervennlighet (Bv) Kvalitet/pris (Kv) Samlet karakter (Sk) 8,9 8,0 a b c d Kontroller at samlet karakter stemmer for Ca. Regn ut samlet karakter for Ni. Hva er karakteren for funksjoner for Pa? Vi kan sette opp en formel for å beregne samlet karakter. Den begynner slik: Sk = 050, Bk + 020, Fu +... Fullfør formelen. * Prisen på en vare ble satt opp fra 750 kr til 855 kr. a Bestem vekstfaktoren. b Hvor mange prosent gikk prisen opp? Boligprisene på Utsyn økte i fjor med 7,5 %. I dag er prisen kr for en liten leilighet. Hvilket eller hvilke av disse regnestykkene viser hva en leilighet kostet i fjor? A , 075 B : 1, 075 C , 925 D : 0, 925 E , 925 F , 075 Lise fikk 5 % økning i lønna. Hva var den gamle lønna når den nye ble kr? En kjole koster 1200 kr. Prisen på kjolen øker med 5 %. Hvilke av regnemåtene nedenfor gir riktig svar på prisen etter prisøkningen? A , 05 B , 05 C , 05

16 16 Kapittel 1: Tall og algebra 162 a Prisen på en vare gikk opp fra 850 kr til 900 kr. Catinka og Stine vil finne prisøkningen i prosent. Catinka regnet slik: = 0, 056 = 5, 6% Stine regnet slik: = 0, 059 = 5, 9 % 850 Hvem regnet riktig? Kommenter. b En kjole koster 800 kr. Prisen på kjolen blir satt ned med 5 %. Hvilke av regnemåtene nedenfor gir den nye prisen etter endringen? A , 05 B 800 0, 95 C 800 0, a b Er det 2 % lønnsøkning eller 3 % lønnsøkning som gir størst lønnsøkning i kroner? Kommenter. Hva er riktig svar, 25 % eller 33 %? Kommenter. 164 Aslak lager knapper av nysølv. Nysølv består av 50 % kopper, 25 % nikkel og resten sink. a Hvor mange prosent sink er det i nysølv? b Regn ut forholdet mellom kopper, nikkel og sink. c Aslak bruker 150 g nikkel. Hvor mye må han bruke av de andre metallene? d Hvor mye kopper, sink og nikkel er det i en skål som veier 180 g?

17 Kapittel 1: Tall og algebra 17 * 165 a Hva var avslaget i prosent for skoene? b Hva var avslaget i prosent for skøytene? c Per kjøpte ett par sko og ett par skøyter. Hvor stort avslag i prosent fikk Per ved kjøpet? I en bedrift økte fraværet hos de ansatte fra 2,5 % i januar til 3,5 % i februar. Hvor mye økte fraværet a i prosentpoeng b i prosent Merverdiavgiften (mva.) er en avgift som skal betales ved kjøp av nesten alle varer. I oppgavene nedenfor regner vi med en merverdiavgift på 25 %. a Et skap koster 4300 kr uten mva. Hva blir prisen med mva.? b Salgsprisen for en datamaskin er 7995 kr med mva. Hva er prisen uten mva.? c Salgsprisen for en vare er 525 kr med mva. Finn merverdiavgiften. d Merverdiavgiften på et par sko er 92 kr. Hva er utsalgsprisen med mva.? 168 Forholdene mellom radiene r 2 og r 1 i to sirkler er 3. Finn forholdet mellom arealene A 2 og A 1 av sirklene. 169 På bildet ser du et spagettimål. Sirklene på figuren er målene for én, to, tre og fire porsjoner. Diameteren i sirkelen for én porsjon er 2,1 cm. Finn diametrene i sirklene for to, tre og fire porsjoner ved regning.

18 18 Kapittel 1: Tall og algebra 170 En fiskeoppdretter vil finne ut omtrent hvor mange fisker han har i anlegget sitt. Han merker 100 fisker og setter dem ut i anlegget igjen. Etter en tid fanger han 200 fisker. 8 av dem er merket. Anslå hvor mange fisker det er i anlegget Til en bestemt type loddetinn går det med 3 deler tinn og 4 deler kopper. a Hvor mye tinn må en bruke til 1800 g kopper? b Hvor mye tinn og hvor mye kopper må vi ha for å lage 3,5 kg loddetinn? Du skal ha 8 personer til middag med lammesteik som hovedrett. Du beregner 150 g ferdig steik per person og regner med et steikesvinn på 20 %. Hvor stor lammesteik må du kjøpe? 173 a En «lørdagspizza» koster 49 kr hos Pizza-spesialisten. Pizzaen veier 540 g. På grunn av konkurranse fra en nyåpnet pizzakiosk senker Pizza-spesialisten prisen på lørdagspizzaen til 39,90 kr, og samtidig endres vekten til 410 g. Vil du si at lørdagspizzaen blir dyrere eller billigere? Hvor stor vil du si at prisendringen er i prosent? b Søk på Internett etter priser hos ulike leverandører av pizza. Lag en tabell og sorter etter pris. Hva er høyeste pris og laveste pris? Hva er forskjellen i prosent? 1.7 Proporsjonalitet 174 Her er to tabeller over samsvarende verdier av x og y. 1 x y x y a Regn ut y og undersøk om y er proporsjonal med x i de to tabellene. x b Bestem eventuelt proporsjonalitetsfaktoren og skriv y uttrykt ved x.

19 Kapittel 1: Tall og algebra Her er to tabeller over samsvarende verdier av x og y. 1 x y x y a Regn ut y x og undersøk om y er omvendt proporsjonal med x ideto tabellene. b Skriv eventuelt y uttrykt ved x. 176 Noen venner spleiser på en gave til Helene. Gaven koster 500 kr. a Sett opp et uttrykk for hvor mye hver må betale (y kr) når det er x personer som spleiser. b Hva kan du si om sammenhengen mellom y og x? c Hvor mye må hver betale hvis det er som er med på spleisen? * 177 Vi kjøper x kg appelsiner og betaler y kr. y er proporsjonal med x, og vi kan skrive y = kx. a Bestem proporsjonalitetsfaktoren k når 3 kg appelsiner koster 31,50 kr. Hva står k for i dette eksemplet? b Hvor mye koster 2,5 kg appelsiner? c Skriv y uttrykt ved x. 178 a Ved kjøp av x enheter av en vare må vi betale y kr. Skriv y uttrykt ved x når prisen per enhet er 18,50 kr. Hva er proporsjonalitetsfaktoren? b Prisen blir satt ned 20 %. Vil kjøpesummen fortsatt være proporsjonal med antall enheter? Finn i så fall proporsjonalitetsfaktoren. 179 Elin er på ferie i Frankrike. Hvis kursen er konstant, vil prisen y på en vare i norske kroner (NOK) være proporsjonal med prisen x i euro (EUR). a En vare som koster 80 euro, koster 600 norske kroner. Finn proporsjonalitetsfaktoren. b En annen vare koster 115 euro. Hva koster varen i norske kroner? c Hva er kursen på euro (i norske kroner) i denne oppgaven?

20 20 Kapittel 1: Tall og algebra * 180 Ved brolegging av noen terrasser trengs det 80 brostein per m 2. La y være antall steiner som trengs for å brolegge x m 2. a Hvor mange steiner trengs det for å brolegge 24 m 2? b Finn y uttrykt ved x. c Hvor mange kvadratmeter kan vi brolegge med 2800 steiner? Gard og Ivar skal på interrail. Til mat og lommepenger har de til sammen kr. a Skriv opp et uttrykk som viser sammenhengen mellom antall dager de er borte (x dager), og det beløpet de kan bruke per dag (y kr). b Hvor mye kan de bruke per dag hvis de er borte 1 8 dager 2 16 dager 3 24 dager Det er 1400 kilojoule i 100 gram av en matvare. a Hvor mange kilojoule er det i 1 50 gram gram b Det er y kilojoule i x gram av matvaren. y er proporsjonal med x. Hva er proporsjonalitetsfaktoren? c Finn y uttrykt ved x. d Hvor mange kilojoule er det i 375 gram? e I en porsjon er det kilojoule. Hvor stor er porsjonen? En film varer lenger på kino enn på TV. På kino blir filmen vist med 24 bilder per sekund. På TV blir den vist med 25 bilder per sekund. Storfilmen Titanic varer 175 minutter på kino. Hvor mange minutter kortere er filmen på TV? (Fra en svensk eksamensoppgave) Mette og Johannes er ute og sykler. Mette sykler med farten 12 km/h. a Hvor langt sykler Mette på 10 minutter? Johannes sykler også med konstant fart. Forholdet mellom farten til Johannes 5 og farten til Mette er. 4 b Hvor langt sykler Johannes på 10 minutter? Vi lar y km være strekningen en person tilbakelegger på x minutter. c Forklar at y er proporsjonal med x både for sykkelturen til Mette og for sykkelturen til Johannes. Finn y uttrykt ved x for begge sykkelturene. Hva forteller proporsjonalitetsfaktoren? d Hvor lang tid bruker hver av dem på 5 km? 185 a En gårdbruker har 2000 kg kunstgjødsel. Hvor mange mål kan hun gjødsle med dette hvis hun bruker 1 40 kg per mål 2 80 kg per mål b Vi lar y mål være det arealet hun får gjødslet med 2000 kg når hun bruker x kg per mål. Finn y uttrykt ved x. Fyll ut tabellen. x y

21 Kapittel 1: Tall og algebra 21 Tegn grafen som viser sammenhengen mellom x og y. Finn av grafen hvor mye hun kan bruke per mål hvis 2000 kg skal rekke til 1 50 mål 2 70 mål 1.8 Noen grafiske og skriftlige framstillinger 186 Kurven viser temperaturen i vann som er satt til avkjøling etter et oppkok. Temperatur i celsiusgrader Tid i timer Bruk figuren til å bestemme a temperaturen i vannet etter 1,5 time b hvor lang tid det tar før vannet når romtemperaturen på 20 C c hvor mange grader vanntemperaturen er når den har falt med 75 %. Hvor lang tid har dette tatt? 187 Kirsten kjørte en tur med bilen sin. Plutselig løp en katt ut på veien foran bilen. Kirsten bråbremset og unngikk å kjøre på katten. Grafen nedenfor viser hvordan farten forandret seg på turen. a Hva var den største farten i løpet av kjøreturen? b Når bremset hun kraftig opp? Fart km/h Tid (klokkeslett) 9.12

22 22 Kapittel 1: Tall og algebra 188 For å unngå at kjølevannet på en bil skal fryse, blander vi vannet med en frostvæske (glykol). Diagrammet viser sammenhengen mellom frysepunktet og mengden av frostvæske i prosent av hele blandingen. Temperatur i celsiusgrader a b c Volumprosent glykol Drøft med en annen elev hva grafen forteller oss. Hvor mange prosent glykol må kjølevannet inneholde for at frysepunktet skal bli 20 C? Du blander 3,5 liter glykol med 4,5 liter vann. Hvor mange prosent glykol inneholder blandingen? Hvilket frysepunkt får denne blandingen? 189 Flaggheising a Høyde over bakken Høyde over bakken Høyde over bakken Høyde over bakken b A Tid B Tid Vaktmesteren heiser flagget. På figuren ser du 4 forslag til en graf som viser flaggets høyde over bakken ved ulike tidspunkter under en flaggheising. 1 Diskuter hvilken graf som virker mest realistisk. 2 Hvilke av grafene er mulige? 3 Er noen av grafene umulige eller helt usannsynlige? Når flagget skal heises på halv stang, heises det først helt opp, og deretter 2 fires det sakte ned til ca. 3 høyde. Lag et diagram som viser flaggheising på halv stang. C Tid D Tid

23 Kapittel 1: Tall og algebra rette eller gale 1 Produktet av 9 og 3 er er betyr ikke det samme som ( 5) 2. 4 Når temperaturen stiger fra 5 Ctil 15 C, stiger den 10 C. 5 Prefikset hekto betyr hundredel er det samme som er ikke et negativt tall , 10 3 er det samme som 0, Når vi runder av 5,0394 til to desimaler, blir svaret 5, x + x 6 blir 6 når x =3. 11 Likningen 2x 9= 25 har løsningen x = Brøken 10 er det samme som 0,9 % Når 12 g kopper blir smeltet sammen med 30 g sølv, er 30 kopper. av blandingen 14 Å legge til 25 % er det samme som å multiplisere med 1, Når y og x er proporsjonale størrelser, kan vi skrive y = kx. Blandede oppgaver 190 I denne oppgaven skal du finne hvilket svaralternativ som er riktig. 1 Hvis vi legger sammen alle primtallene mellom 10 og 20, får vi A 90 B 75 C 70 D 60 2 Når vi regner ut , får vi 3 A 40 B 39 C 21 D 44 3 Hvilken av brøkene nedenfor er størst? A B C D Hvilken av brøkene nedenfor kan skrives? A B C D Når vi regner ut, blir svaret A B C D Hvor mye er 10 6 kg? A 60 kg B 600 kg C kg D kg

24 24 Kapittel 1: Tall og algebra 7 Fire pakker veier henholdsvis 2 kg, 500 g, 3,5 kg og 250 g. De veier til sammen (i kilogram) A 5,25 B 6 C 6,25 D 75,55 8 Hvor mange pakker på 240 g kan vi fylle av en sekk som inneholder 120 kg? A 5 B 50 C 500 D Hvordan skriver vi 0,0063 på standardform? A B , C 6310, 3 D kg kjøttdeig koster 46,50 kr. Hva koster 0,85 kg? Hvilket eller hvilke av disse regnestykkene viser svaret: A 46, 50 : 0, 85 B 46, 50 0, 85 C 085, : 4650, 2 1 kg druer koster 16,50 kr. Hvor mye får vi for 15 kr? Hvilket eller hvilke av disse regnestykkene gir svaret i kg? A 16, 50 : 15 B 15 : 16, 50 C 16, 50 : 0, 15 3 Jacob har en månedslønn på kr og får en lønnsøkning på 4 %. Hvilket eller hvilke av disse regnestykkene viser den nye lønna? A , 04 B , 4 C , 04 4 En kyllingsalat koster 35 kr. Prisen skal settes opp 15 %. Hvilket eller hvilke av disse regnestykkene gir den nye prisen? A 35 kr 0, 15 B 35 kr 1, 015 C 35 kr 1, Sett inn det som mangler i rutene. a b 2a + b ab 2b a , Til en volleyballkamp skal det selges 340 billetter. Prisen er 60 kr for voksne og 20 kr for ungdom. Arrangøren håper på kr i billettinntekter. Hvor mange av de 340 må være voksne?

25 Kapittel 1: Tall og algebra For de som driver med fiskeoppdrett, er det viktig å vite hvor lang tid det tar å klekke ut fiskerogn. For en del fiskeslag utvikler rogna seg omtrent like mye på 10 dager ved 8 C som på 20 dager ved 4 C. Det er altså produktet av tiden og temperaturen i celsiusgrader som er avgjørende. Dette produktet blir kalt døgngrader. For noen fiskeslag må temperaturen være minst 3 C og høyst 12 C for at rogna skal utvikle seg. Innenfor disse grensene trenger rogna ca. 370 døgngrader for å bli klekket ut. Vi lar d dager være klekketiden når temperaturen er t C. Forklar at sammenhengen mellom d og t da må være gitt ved likningen d t = 370 a Løs denne likningen med hensyn på d. b Hvordan varierer klekketiden med temperaturen? c Fyll ut tabellen. d t d Tegn grafen som viser hvordan d endrer seg med t. Hvor mange døgn blir klekketiden ved 6 C og ved 10 C? 195 Løs likningene. a 7x 17 = 9x+ 13 b 12, x 143, = 54, + 08, x c 3x + 2 = 2( x 1) 4 d x+ 3 x 1 x+ 2 = a Linn tenkte på et tall. Hun ganget tallet med 3, og så la hun til 15. Da fikk hun svaret 66. Hvilket tall tenkte hun på? b Per har to søstre. Den eldste søsteren er dobbel så gammel som Per. Den yngste er 2 år yngre enn Per. De tre er til sammen 18 år. Hvor gammel er Per? c Sigrid, Knut og Odd kom fra en fisketur med 57 fisker. Odd hadde fått fem fisker mer enn Knut, og Sigrid hadde fått dobbelt så mange som Knut. Hvor mange fisker hadde hver av dem fått? d En lærer sa til elevene: Tenk på et tall og legg til 15. Multipliser det du får med 4, og trekk 8 fra resultatet. Divider det du har fått med 4, og trekk 12 fra svaret. Hvis du sier hvilket svar du har kommet fram til, skal jeg fortelle hvilket tall du tenkte på. 1 Lise sier at hun kom fram til tallet 6. Læreren påstår at Lise da har tenkt på tallet 5. Har læreren rett? 2 Lars kom fram til tallet 11. Hvilket tall tror du han tenkte på? a På en konsert var det 900 tilskuere. 45 av tilskuerne hadde fribillett. De øvrige betalte 250 kr. Hva var billettinntektene? 1 b Ved ansettelse i noen ledige stillinger var det 60 søkere. 3 av disse ble innkalt til et intervju. Av de som ble intervjuet, ble 10 % ansatt. Hvor mange ble ansatt?

26 26 Kapittel 1: Tall og algebra Størrelsen på en TV blir oppgitt som lengden av diagonalen på skjermen gitt i antall tommer. 1 tomme er 2,54 cm. På en TV med vanlig bildeformat er forholdet mellom høyden og bredden av 3 skjermen lik 4. a Bredden av en TV-skjerm med vanlig bildeformat er 65 cm. 1 Hva er høyden? 2 Hva er størrelsen på TV-skjermen målt i tommer? På en TV-skjerm med widescreen-format er forholdet mellom høyden og bredden lik 16. b c 9 Bredden av en TV-skjerm med widescreen-format er 71 cm. 1 Hva er høyden? 2 Hva er størrelsen på TV-skjermen målt i tommer? Regn ut arealet av de to TV-skjermene i oppgave a og b. Finn også hvor mange prosent det største arealet er større enn det minste. Hvor mange prosent er det minste arealet mindre enn det største? Bruk tallene i tabellen fra Statistisk sentralbyrå til å svare på spørsmålene. Hva var den prosentvise endringen av a antall trafikkulykker 1 fra 2002 til fra 2003 til fra 2002 til 2004 b antall drepte personer i trafikken 1 fra 2002 til fra 2003 til fra 2002 til 2004 Hvorfor kan vi ikke legge sammen prosentvis endring fra 2002 til 2003 med prosentvis endring fra 2003 til 2004 for å finne prosentvis endring fra 2002 til 2004?

27 Kapittel 1: Tall og algebra a a a X1.1 I Regn ut. 4 a II På jorda er tyngdeakselerasjonen 9,8 m/s 2, mens den på månen bare er 1,6 m/s 2. Regn ut verdien til tyngdeakselerasjonen g på Mars etter formelen g = k M, 2 der k = 67, 10 11, M = 6410, 23 og r = 34, r (Eksempeloppgaver 1MX høsten 2000) X1.2 Siv og Arne har bestemt seg for å feire bryllup. Til sammen vil det bli 30 personer på bryllupsmiddagen. Fra en restaurant får de følgende forslag til middag. Forretter Hovedretter Desserter Rekesalat kr 40 Soppsuppe kr 50 Røykelaks kr 30 Reinsdyrsteik kr 180 Oksesteik kr 130 Lammelår kr 150 Multekrem kr 50 Skogsbær m/is kr 40 Karamellpudding kr 35 Velg en bestemt meny og lag en oversiktlig oppstilling over hva bryllupsmiddagen vil koste dersom: alle skal ha samme forrett, hovedrett og dessert drikke beregnes til kr 50 per person det gis 15 % rabatt på hele regningen hvis beløpet overstiger 6000 kr (Eksamen 1MX våren 2001) X1.3 a Nina skal på weekendtur til London. Hun skal ha med seg 340 (engelske pund) i lommepenger. Hvor mye er dette i norske kroner når kursen er 12,72, det vil si at 1,00 = 12,72 kr? b Nina tjente 9600 kr på en sommerjobb. Hvor mange prosent av pengene skal hun bruke på London-turen, med reise, opphold og lommepenger, når reise og opphold koster 2940 kr? (Eksamen 1MX høsten 2001) X1.4 I Finn verdien av brøken og skriv svaret på standardform , , , 10 II Middelavstanden fra jorda til månen er km. Tykkelsen på et papirark 0,07 mm. Hvor mange papirark må vi legge oppå hverandre for å få avstanden til månen? (Eksamen 1MX høsten 2002)

28 28 Kapittel 1: Tall og algebra X1.5 En vinter ble det solgt vedsekker på en bensinstasjon i Trondheim. Hver sekk rommer 30 liter ved. a En vedstabel på 4 meter 1 meter 60 cm kaller vi en favn ved. Hvor mange 30-liters sekker går det i en favn ved? b En 30-liters sekk med ved kostet 55 kr. Hva kostet en favn ved dersom du kjøpte den i 30-liters sekker? c 1 liter tørr, god ved kan gi energi tilsvarende ca. 1,3 kwh (kilowatt-timer). Hva ble prisen per kwh dersom du kjøpte veden på bensinstasjonen i Trondheim? (Eksamen 1MX våren 2003) X1.6 Arne vinner 5 millioner kroner i Lotto. Som kjent er ikke lottomillionærer som andre millionærer, og Arne forlanger å få hele gevinsten utbetalt i tikronestykker. Du får vite følgende om en tikrone: Vekten er 6,80 g. Tykkelsen er 2,00 mm. a Hvor høy er en stabel der 50 tikroner ligger oppå hverandre? Hvor høy ville stabelen ha vært dersom alle tikronene i lottogevinsten lå oppå hverandre? b c Hvor mye veier premien hvis den blir utbetalt i tikroner? Gi svaret i kilogram. Arne vil telle tikronene for å kontrollere at han har fått det han har krav på. Gjør fornuftige antagelser om hvor raskt han teller, og finn ut hvor lang tid han trenger for å telle pengene. (Eksamen 1MX høsten 2003) X1.7 Sigurd skal importere en bil fra Tyskland. Han velger en BMW 530 som er 10 år gammel. Den koster 5750 euro. a Hvor mye koster bilen i norske kroner når 1 euro koster 8,40 kr? I tillegg må han betale importavgift. For en ny BMW er importavgiften kr. Importavgiften reduseres med 67 % for en 10 år gammel bil. b Hvor mye må Sigurd totalt betale for bilen? (Eksamen 1MX våren 2005)