Chapter: 2 Subdomain boundary nodes

Transkript

1 Chapter: 2 MEK4560 The Finite Element Method in Solid Mechanics II (pril 17, 2008) (E-post:torgeiru@math.uio.no) Page 1 of 34

2 2 Mindlin-Reissner beam ssumptions Potential energy Element stiffness matrices Residual Bending Flexibility Fagverk (LINK1) Bjelke (BEM3) lternative skjærformulering, Timoshenko bjelke 31 B References 34 Page 2 of 34

3 2. Mindlin-Reissner beam The purpose of this chapter is to derive the Mindlin-Reissner beam model. It includes transverse shear deformations and are important for short/wide beams. (Why?) The model is derived in three dimensions and based on the general formulation of three dimensional elasticity. The derivation of some plate models are similar. The models are mentioned in [Bell, 1994] [1] and [Cook et al., 2002] [2], but the derivation is not discussed in much detail. derivation similar to the following is found in [Hughes, 1987] [4] Page 3 of 34 [1] Kolbein Bell. Matrisestatikk. Number ISBN: (ib.). Tapir, [2] R. D. Cook, D. S. Malkus, M. E. Plesha, and R. J. Witt. Concepts and pplications of Finite Element nalysis. Number ISBN: John Wiley & Sons, Inc., 4th edition, October [4] T. J. R. Hughes. The Finite Element Method, Linear Static and Dynamic Finite Element nalysis. Prentice- Hall, Englewood Cliffs, New Jersey, 1987.

4 2.1. ssumptions Geometry: The construction is a set of straight line segments connected in nodes at the endpoints of the line segments. Each line segment has a local x axis along the line and local y and z axis normal to the x axis. n example is shown in the figure below. 30 kn/m 2 6 m 100 kn E=2 107 kn/m 2 1 = 0.25 m2 2 = 0.50 m2 10 m I 1 = m 4 I 2 = 0.05 m 4 8 m 10 m Page 4 of 34 We assume that the distance between the nodes, i.e. the length of the beams along the x axis, are large compared to the cross sectional dimension of the beam along the y and z. V = n e e=1 V e V e = { (x, y, z) R 3 x [0, l e ], (y, z) e R 2}

5 where l is the length and the cross section of the beam. We assume that the beam is prismatic, but it is trivial to take into account that e = e (x). Stresses: We assume that the normal and tangential stress on planes parallel to the beam axis, i.e. σ yy = σ zz = σ yz = 0. These assumptions is used to eliminate ε yy, ε zz and ε yz. To be precise, the first two are expressed in terms of ε xx ε yy = ε zz = νε xx (2.1) while, ε yz = 0. (Show this!) Displacements: We assume that plane cross sections initially normal to the beam axis remains plane after deformation but not necessarily normal to the deformed axis. This can be written u(x, y, z) = u 0 (x) + zθ y (x) yθ z (x) (2.2) v(x, y, z) = v 0 (x) zθ x (x) w(x, y, z) = w 0 (x) + yθ x (x) The rotation, θ i, are defined using the right hand rule. The functions to be found in the beam formulation are u T = (u 0, v 0, w 0, θ x, θ y, θ z ) Page 5 of 34

6 Stress-strain relations: on tensor form are For an homogeneous, isotropic material the stress strain relations σ ij = λε kk δ ij + 2µε ij where λ and µ is Lamès konstanter. The assumptions on zero stress was used above to express ε yy and ε zz in terms of ε yz. Using this it can be shown that σ xx = Eε xx σ xy = 2Gε xy and σ xz = 2Gε xz where λ = νe (1 + ν)(1 2ν) and µ = G = E 2(1 + ν) In the notation used in Chapter 1 we have τ xy = Gγ xy and τ xz = Gγ xz (2.3) Page 6 of 34

7 Strains: in Substitution of the displacement relations Equation 2.2 the strain relations result where the notation is used for d dx. ε xx = u x = u 0 + zθ y yθ z ε yy = v y = 0 ε zz = w z = 0 γ xy = u y + v x = θ z + v 0 zθ x γ yz = v z + w y = θ x + θ x = 0 γ xz = u z + w x = θ y + w 0 + yθ x Remark 2.1 Note that there is an inconsistency in the relation between stress and strains. The material law states that ε yy = ε zz = νε xx while the assumptions on the displacements results in the strains ε yy = ε zz = 0. Page 7 of 34

8 2.2. Potential energy The usual potential energy function is: Π(u) = 1 σ T ε(u) dv 2 V V u T F dv u T Φ ds S t In the follwing we neglect the last term, the treatment is straightforward if the term is required. We now consider one beam element and assume that the x axis coincide with the beam axis and that the cross section is aligned with the y and z axis. The the integral over the volume becomes l e {} dv = {} d dx (2.4) dv e 0 e Inserting the displacements and strains we obtain, where we neglect the superscripts e: Π(u 0, v 0, w 0, θ x, θ y, θ z ) = 1 l ( σ xx u zθ y yθ ( z) + σxy v 0 zθ ) ( x θ z + σxz w 0 + yθ ) x + θ y d dx 0 l F x (u 0 + zθ y yθ z ) + F y (v 0 zθ x ) + F z (w 0 + yθ x ) d dx 0 Page 8 of 34

9 In order to proceed the following quantities are introduced N = σ xx d xial force M y = σ xx z d Bending moment M z = σ xx y d Bending moment T = σ xz y σ xy z d Twisting moment Q y = σ xy d Shear forces Q z = σ xz d Shear forces and the strain energy becomes where 1 2 l 0 Nu 0 + Q y ( v 0 θ z ) + Qz ( w 0 + θ y ) + My θ y M z θ z + T θ x dx ε 0 = u 0 γ y = v 0 θ z γ z = w 0 + θ y κ y = θ z κ z = θ y Ψ = θ x xial strain Shear strain Shear strain Bending Bending Torsion Page 9 of 34

10 Stress-strain relations for beams: Using the above we express the stress-strain relations using quantities relevant for the beam model. xial force: N = σ xx d = E ( u 0 + zθ y yθ z) d = Eu 0 + ES z θ y ES y θ z where S y = y d and S z = z d. Note that if the beam axis is in the centroid of the cross section 1, we obtain the usual axial force N = Eu 0 Bending moments: Bending with respect to the y-axis: M y = σ xx z d = Ez ( u 0 + zθ y yθ z) d = ESz u 0 + EI zz θ y EI yz θ z Similarly, the bending moment with respect to the z-axis M z = σ xx y d = Ey ( u 0 + zθ y yθ z) d = ESy u 0 + EI yz θ y EI yy θ z 1 If the beam axis is in the centroid of the cross section: (Why?) y d = z d = 0. Page 10 of 34

11 where the second moments of inertia are I yy = y2 d, I zz = z2 d and I yz = yz d. The torsional moment can also be expressed using the kinematics ant the material law: ( T = (σ xz y σ xy z) d = Gy(θy + w 0 + yθ x) + Gz(θ z v 0 + zθ x) ) d where = GS y (θ y + w 0) + GS z (θ z v 0) + GI xx θ x I xx = I yy + I zz = (y 2 + z 2 ) d If the beam axis is at the centroid of we obtain Shear forces: and T = GI xx θ x, M y = E(I zz θ y I zy θ z) and M z = E(I yz θ y I yy θ z) The shear forces are given by Q y = σ xy d = G(v 0 θ z zθ x) d = Gγ y GS z θ x Q z = σ xz d = G(w 0 + θ y + yθ x) d = Gγ z + GS y θ x gain, by proper placement of the x-axis Q y = Gγ y = G s yγ y and Q z = Gγ z = G s zγ z Page 11 of 34 where s i is the called the effective shear area.

12 Strain energy: Using this the strain energy takes the form l 0 (Eu 0 + ES z θ y ES y θ z)u 0 dx + l 0 + (G s y(v 0 θ z ) GS z θ x)(v 0 θ z ) dx + l 0 (ES z u 0 + EI zz θ y EI yz θ z)θ y dx + l 0 l 0 l 0 (G s z(w 0 + θ y ) + GS y θ x)(w 0 + θ y ) dx (ES y u 0 + EI yz θ y EI yy θ z)θ z dx (GS y (θ y + w 0) + GS z (θ z v 0) + GI xx θ x)θ x dx Note that the functional is greatly simplified if the the coordinate system is oriented properly: l 0 (Eu 0u 0 + G s y(v 0 θ z )(v 0 θ z ) + G s z(w 0 + θ y )(w 0 + θ y ) This can also be expressed using strains l 0 + EI zz θ yθ y 2EI yz θ yθ z + EI yy θ zθ z + GI xx θ xθ x) dx Eε 0 ε 0 + G s yγ y γ y + G s zγ z γ z + EI zz κ z κ z 2EI yz κ y κ z + EI yy κ y κ y + GI xx ΨΨ dx Page 12 of 34 Note that the bending part of the equation can be written ( ) ( ) ( ) I yy I yz κ y κ y κ z I yz I zz κ z (2.5)

13 The matrix can be diagonalized using the eigenvectors. The axis with origin at the x-axis and the eigenvectors as directions are the principal axes. Using them decouples the bending around the y and z axis. Load vector: We consider volume loads, other loads are similar: l 0 F x (u 0 + zθ y yθ z ) + F y (v 0 zθ x ) + F z (w 0 + yθ x ) ddx = l If the beam axis are aligned as above 0 F x (u 0 + S z θ y S y θ z ) + F y (v 0 S z θ x ) + F z (w 0 + S y θ x ) dx W = l 0 q x u 0 + q y v 0 + q z w 0 dx See [Hughes, 1987] [4] for further derivation of load vector, see also the notes for MEK4550, The Finite Element Method in Solid Mechanics I, Chapter 7. Page 13 of 34 Note that the expressions only involves first derivatives, thus C 0 basis functions can be used in a finite element approximation. [4] T. J. R. Hughes. The Finite Element Method, Linear Static and Dynamic Finite Element nalysis. Prentice- Hall, Englewood Cliffs, New Jersey, 1987.

14 square prismatic beam: Let the cross section be square with length t in each direction. Then = t 2 and I xx = I yy = t 4 /12. When t becomes small, i.e. the beam is slender, the bendig deformations dominate. However, in the model the the bending terms becomes much smaller than the shear term. Consequently, the shear term will dominate and so called locking might be observed in computations. Note that since the terms in front of κ z κ z and κ y κ y are small, small changes in data, e.g. in loads, may result in a large change in the displacement. This lack of stability is typical for slender beams, plate and shell models, and a careful choice of numerical methods are essential in order to compute accurate results. Page 14 of 34

15 2.3. Element stiffness matrices We assume that all functions in the beam model are interpolated using the same basis functions for all the six degrees of freedom per node: u 0 = N 0 d u, v 0 = N 0 d v, w 0 = N 0 d w, θ x = N 0 d θx, θ y = N 0 d θy, θ z = N 0 d θz. The element displacement vector is d u N 0 d v N 0 d d = w such that u = Nd and N = N 0 d θx N 0 d θy N 0 d θz N 0 Page 15 of 34

16 Strains: Using the the above derivation of the beam model the the strain operator becomes: ε 0 x u 0 γ y 0 x v 0 γ ε B = z = 0 0 x w 0 κ y = u x θ x κ z x 0 θ y Ψ x 0 0 θ z Inserting the finite element interpolation of u the matrix B becomes: ε = u = Nd thus B = N Inserting the basis functions result in: N N N 0 B = 0 0 N 0 0 N N N N Page 16 of 34

17 Material data: The material data can also be collected in a matrix: N E ε 0 Q y 0 G s y γ y σ B = Q z = 0 0 G s z γ z = E B ε B M z EI yy 0 0 κ y M y EI zz 0 κ z T GI xx Ψ If the beam axis are not placed at the centroid: E 0 0 ES y ES z 0 0 G s y GS z E B = 0 0 G s z 0 0 GS y ES y 0 0 EI yy EI yz 0 ES z 0 0 EI yz EI zz 0 0 GS z GS y 0 0 GI xx Note that the matrix is unsymmetric. This is due to the choice of sign on M y. If the sign is changed the matrix becomes symmetric. Page 17 of 34

18 The stiffness matrix: We are now in the position to establish the stiffness matrix as usual: k = Note that it can be split in four terms l 0 B T E B B dx k = k a + k b + k s + k t axial bending shear torsion Remark 2.2 n alternative mehtod used to model shear deformations are found in [Bell, 1994] [1]. nother alternative is found in ppendiks Residual Bending Flexibility [H.MacNeal, 1978] [3] introduce Residual Bending Flexibility in order to improve the two node element with one point Gauss integration. Using G s α instead of G s α where ( ) 1 G 1 s α = G s + h2 α 12EI α result in an exact stiffness matrix well known from beam theory, when G s α. The expression h 2 12EI α [1] Kolbein Bell. Matrisestatikk. Number ISBN: (ib.). Tapir, [3] R. H.MacNeal. simple quadrilateral shell element. Computer & Structurer, 8: , Page 18 of 34

19 is termed Residual Bending Flexibility. Using one point integration together with residual bending flexibility the accuracy using linear basis function are then comparable to the one obtained with qubic functions. Page 19 of 34

20 2.5. Fagverk (LINK1) y 4m B x 2.25m P C Page 20 of 34 3m Problem: Fagverket BC som vises i figuren belastes med lasten P = 3MN. Stavene B og BC har hhv. areal tverrsnitt ab = 0.3m 2 og bc = 0.9m 2. E-modulen til materialet (for

21 begge stavene) er E = N/m 2. a) Finn den horisontale og den vertikale forskyvningen av punkt B. b) Hvor mye forlenges (forkortes) stavene? c) Finn også spenningene i stavene. d) Kan stavene inndeles i mer enn ett element? Løsning: Input fil til NSYS for dette eksempelet: /BTCH,LIST /FILNM,ex411 /TITLE, Lineær statisk analyse av et fagverk /PREP7 ET,1,1! LINK1 elementer R,1,0.3! Tverrsnitts areal til stav B R,2,0.9! og stav C MP,EX,1,70e9! E-modulen!Geometri ("solid modelling") K,1,0,0! Punkt B er origo K,2,3,4! Punkt K,3,3,-2.25! Punkt C L,1,2! Linje B L,1,3! og BC Page 21 of 34!Inndeling i elementer LESIZE,1,,,1! Deklarer at linjene 1 og 2 skal

22 LESIZE,2,,,1 REL,1 LMESH,1! Inndeling av linje 1 REL,2! Bruk tverrsnittsareal areal nr LMESH,2 FINISH! inndeles i ett element.! Bruk tverrsnittsareal nr. 1 for inndelingen (neste linje)! Ut av Preprossessoren /SOLU! Løsningsprossessoren NTYPE, STTIC! Statisk analyse (default) DK,2,all! Null forskyvning for punkt DK,3,all! og C (alle) FK,1,fy,-3e6! Belastning i punkt B DTRN! Overfører grensebetetingelser til elementmodell SBCTRN! og belastningen SOLVE! Løsningsprosedyren FINISH! Ut av Løsningsprossessoren /POST1! Postprossessoren SET! Last inn analyseresultatene PLDISP,1! Deformert konstruksjon PRNSOL,U,COMP! Utskrift av forskyvningene (global akse) LOCL,11,0,,,, ! Lokalt aksesystem RSYS,11! aktiveres og brukes til å lese PRNSOL,U,COMP! forskyvningene og PRESOL, F! kreftene PRESOL,ELEM! Ta ut tilgjengelige elementresultater (aksialkrefter) FINISH Page 22 of 34 Kommentarer: Et lokalt koordinatsystem med origo ved punkt B og med akser parallelle med stavene brukes for beregning av stavenes spenninger og tøyninger. Koordinatsystemet defineres

23 med kommandoen LOCL og aktiveres i postprosessoren med kommandoen RSYS. ksiallastene i stavene kan også finnes ved kommandoen PRESOL, ELEM. Svar på spørsmålene: a) Horisontal og vertikal forskyvningen av punkt B er gitt av Punkt u v B m mm mm b) Stav B forlenges mm og stav BC forkortes med mm. c) Speningene i B og BC er hhv N/m 2 (strekk) og N/m 2 (trykk). d) Nei, da får man mekanismer. Page 23 of 34

24 2.6. Bjelke (BEM3) q B C D M E = N/m 2 I = m 4 M = Nm 4m 8m 8m q = 150kN/m og 1500kN/m Problem: Den fritt opplagte bjelken BCD er belastet som vist i figuren. a) Tegn opp skjær- og momentfordelingene ut fra NSYS resultatene. b) Hva er den vertikale forskyvningen av punktene og C? Bekreft dette med håndberegninger. Page 24 of 34 Løsning: /BTCH,LIST /FILNM,ex412 /TITLE, Lineær statisk analyse av en bjelke /PREP7 ET,1,3! Preprossessoren! BEM3 elementer

25 R,1,500,1.936e9,6.5e3 MP,EX,1,2e5! Høyde, I-verdi og areal til tverrsnitt! E-modulen!Geometri ("solid modelling") K,1,0! Punkt (er origo) K,2,4e3! B K,3,12e3! C K,4,20e3! og D L,1,2! Linje B L,2,3! BC L,3,4! og CD!Inndeling i elementer LSEL,S,line,,2,3! Velger linjene BC og CD LESIZE,all,,,8! som inndeles i 8 elementer hver LSEL,inve! Velger invers av det valgte settet (dvs. linje B) LESIZE,all,,,4! som deles inn i 4 elementer LSEL,all! Velger all linjer igjen REL,1 $ TYPE,1 $ MT,1! egentlig ikke nødvendig (de er default) LMESH,1,3! Inndeling av alle tre linjer FINISH! Ut av Preprossessoren /SOLU! Løsningsprosessoren NTYPE,STTIC! Statisk analyse (default) D,node(4e3,0,0),ux,,,,,uy! Opplagring ved B D,node(20e3,0,0),uy! og D ESEL,s,elem,,1,4! Velger elementene mellom og B SFBEM,all,1,pres,150e1! Den jevnt fordelte lasten (se elementets! beskrivelse for forklaringen av 2. argumentet)!(psf,pres,norm,2 og EPLO for å se på lasten) ESEL,all F,node(12e3,0,0),mz,-12e9! Momentet på C SOLVE! Løsningsprosedyren FINISH! Ut av løsningsprosessoren /POST1 SET! Postprossessoren! Last inn kjøringsresultatene Page 25 of 34

26 /DSCLE,1,1! Virkelig skalering på deformert geometri PLDISP,1! Deformert konstruksjon PRESOL,f!.. gir skjaerkreftene PRESOL,m!.. gir momentene ETBLE,IMOM,SMISC,6! moment på elementets ende i ETBLE,JMOM,SMISC,12!... j ETBLE,ISKJ,SMISC,2! skjær på ende i ETBLE,JSKJ,SMISC,8!... j /PLOPTS,INFO, OFF /PLOPTS,TITLE,OFF /SHOW,ex412pl! Plot til fil: ex412pl PLLS,IMOM,JMOM! M-diagram PLLS,ISKJ,JSKJ! V-disgram FINISH Kommentarer: SELECT logikk i NSYS demonstreres her. Dette er et kraftig verktøy som gjør manuelle repetisjon av kommandoer overflødig og er derfor sterkt anbefalt. I løsningsprossessoren er elementmodellen brukt som referanse når opplagringen defineres. På denne måten trenger man ikke å vite rekkefølgen og nummerne på knutepunktene eller keypoints (kun koordinatene til knutepunktene). Page 26 of 34 Svar på spørsmålene: a) Figuren nedenfor viser M- og V -diagrammer for bjelken for de to lasttilfellene. Rette

27 linjer forbinder knutepunktsverdiene. Med finere elementinndeling blir diagrammene mer lik konvensjonelle M- og V -diagrammer. b) Nedbøyning av punktene og C (PRNSOL,U,COMP) er hhv mm og mm for q = 150 kn/m og mm og mm for q = 1500 kn/m. Page 27 of 34

28 Moment (q = 150 kn/m) Skjærkraft (q = 150 kn/m) 1 1 Y Z X Y Z X 1 Moment (q = 1500 kn/m) 1 Skjærkraft (q = 1500 kn/m) Page 28 of 34 Y Y Z X Z X Moment- og skjærkraft diagrammene for de to lasttilfellene

29 Øving 2.1 Benytt et to noders bjelkeelement basert på Mindlin-Reissner bjelketeori. a) Beregn konsistent lastvektor for konstant tverrlast (2D). b) Hvordan sammenligner dette med resultatene fra den klassiske bjelkeligningen? Øving 2.2 I denne oppgaven skal vi igjen se på oppgaven i [Bell, 1994] [1] kapittel kn/m 2 6 m 10 m 100 kn E=2 107 kn/m 2 = 0.25 m2 1 2 = 0.50 m2 I 1 = m 4 I = 0.05 m 4 2 Page 29 of 34 8 m 10 m [1] Kolbein Bell. Matrisestatikk. Number ISBN: (ib.). Tapir, 1994.

30 Benytt bjelkelementet BEM3 i NSYS. a) Modeller konstruksjonen i NSYS (geometri, materialdata, tverrsnittsdata og randkrav). b) Sett på knutepunktslaster i henhold til [Bell, 1994] [1] og foreta en analyse av problemet. c) Tegn aksial-, skjær-, og momentdiagrammer. Hvordan sammenligner dette med [Bell, 1994] [1]? d) Sett på fordelte laster slik som gitt i figuren. Foreta en ny analyse. e) Tegn aksial-, skjær-, og momentdiagrammer. Hvordan sammenligner dette med [Bell, 1994] [1]? f) Se bort fra skjær- og aksialdeformasjoner og foreta en ny analyse. g) Tegn aksial-, skjær-, og momentdiagrammer. Hvordan sammenligner dette med [Bell, 1994] [1]? Benytt elementet BEM188(Dette er er 3D element). h) Sett på knutepunktslaster i henhold til 2.1 og foreta en analyse av problemet. i) Sett på fordelte laster slik som gitt i figuren. Foreta en ny analyse. j) Tegn aksial-, skjær-, og momentdiagrammer. Hvordan sammenligner dette med BEM3? Page 30 of 34 [1] Kolbein Bell. Matrisestatikk. Number ISBN: (ib.). Tapir, 1994.

31 . lternative skjærformulering, Timoshenko bjelke I dette kapittelet skal vi se på en alternative skjærformulering, en såkalt Timoshenko bjelke. Vi gjør dette i to dimensjoner. Dette er en korreksjon av Euler-Bernoulli bjelkeformuleringen som vi utviklet i MEK4550, The Finite Element Method in Solid Mechanics I, Kapittel 7. Fra teknisk bjelkteori kjenner vi sammenhengen mellom skjærtøyning og skjærkraft: γ xz = σ xz G = Q z G s z = w 0 + θ y Videre kan vi benytte sammenhengen mellom skjærkraft og bøyemoment Q z = M y = ( EI z w 0 ) = EIz w 0 dersom EI z er konstant som gir oss følgende uttrykk for rotasjonen θ y = EI zw 0 G s z w 0 Vi kan nå etablere stivhetsmatrisen fra uttrykket for tøyningsenergien U(w 0 ) = 1 ( ) ( EIz κ 2 + G s 2 zγxz) 2 1 dx = EI z (w l 2 0) 2 + EI2 z l G s (w 0 ) 2 dx z Page 31 of 34

32 Interpolasjonspolynomene er fortsatt kubiske med (w i, θ yi ) som frihetsgrader i de to nodene. } w 0 = {1 x x 2 x 3 q 0 q 1 q 2 q 3 = N q q Først finner vi uttrykket for den generaliserte stivhetsmatrisen. Stivhetsmatrisen er gitt ved ( ) k q = EI z (N q) T N q + EI2 z l G s (N q ) T N q dx z hvor Dette gir Vi innfører { } N q = x { } og N q = k q = EI 0 0 4l 6l 2 ( ) 0 0 6l 2 12 l EIl G s z α = 12EI z G s zl 2 k q = EI l 6l l 2 3l 3 (4 + α) Page 32 of 34

33 For å komme fram til stivhetsmatrisen relatert til elementets nodefrihetsgrader trenger vi relasjonen mellom generaliserte koordinater og nodeforskyvninger Stivhetsmatrisen kan nå uttrykkes som k = T k q 1 = = αl2 2 1 l l 2 l l αl2 2 3l2 EI z (1 + α)l l 12 6l 6l l 2 (α + 4) 6l l 2 (2 α) 12 6l 12 6l 6l l 2 (2 α) 6l l 2 (α + 4) Remark.1 En annen tilnærming til avanserte en dimensjonal elementer kan finnes i Introduction to Finite Element Methods (SEN 5007) Page 33 of 34

34 B. References [Bell, 1994] Bell, K. (1994). Matrisestatikk. Number ISBN: (ib.). Tapir. [Cook et al., 2002] Cook, R. D., Malkus, D. S., Plesha, M. E., and Witt, R. J. (2002). Concepts and pplications of Finite Element nalysis. Number ISBN: John Wiley & Sons, Inc., 4th edition. [H.MacNeal, 1978] H.MacNeal, R. (1978). simple quadrilateral shell element. Computer & Structurer, 8: [Hughes, 1987] Hughes, T. J. R. (1987). The Finite Element Method, Linear Static and Dynamic Finite Element nalysis. Prentice-Hall, Englewood Cliffs, New Jersey. Page 34 of 34