Kapittel: 9. MEK4550 Elementmetoden i faststoffmekanikk I. (E-post:ges@math.uio.no) Universitetet i Oslo. Avdeling for Mekanikk Geir Skeie

Transkript

1 Kapittel: 9 MEK4550 Elementmetoden i faststoffmekanikk I (21. november 2007) Foreleser: (E-post:ges@math.uio.no) Page 1 of 31

2 Innhold 9 Geometrisk avbilding og numerisk integrasjon Skjeve elementer Geometrisk avbilding Numerisk integrasjon Gauss: Én dimensjon Gauss: Nøyaktighet Gauss: To dimensjoner Nødvendig orden på integrasjonsregel Høyere ordens firkantelementer A Referanser 31 Page 2 of 31

3 9. Geometrisk avbilding og numerisk integrasjon I dette kapittelet tar vi for oss en viktig grunn til at elementmetoden har hatt slik suksess, nemlig geometrisk avbilding og numerisk integrasjon. Vi skal se at disse, på en måte, henger sammen. Så et av målene våre her er å få til firkantelementer med vilkårlig form (også tilsvarende i 3D). Dersom en benytter høyereordens interpolasjon kan en etablere elementer med krumme render. Dette finnes i Læreboken [Cook et al., 2002] [1] 6.1, 6.2, 6.3, 6.4, 6.5, 6.8, 6.11, Skjeve elementer Geometrisk avbilding I dette kapittelet ser vi på firkantelementer med vilkårlig form. (Vi ser også på høyereordens elementer med krumme render.) Tidligere har vi sett på elementer med rektangulær form. Det er ulemper forbundet med disse: Page 3 of Rektangulær form, 2. altfor stive, (grunnet bl.a. skjær) [1] R. D. Cook, D. S. Malkus, M. E. Plesha, and R. J. Witt. Concepts and Applications of Finite Element Analysis. Number ISBN: John Wiley & Sons, Inc., 4th edition, October 2002.

4 Innføring av skjeve elementer gjør at integrasjon ved etablering av elementstivhetsmatrise og lastvektor ikke lenger kan gjøres på lukket form. For å ta hånd om disse problemene så ser vi på: 1. Isoparametriske elementer, og 2. numerisk integrasjon. Innføringen av geometrisk avbilding og numerisk integrasjon (seint på 1960 tallet) har hatt stor betydning for utviklingen av FEM som en meget anvendelig numerisk metode for å løse problemer formulert som partielle differensialligninger. Isoparametriske elementer: See figuren under.... betyr at vi har likhet i interpolasjon av geometri og forskyvninger. Page 4 of 31

5 Geometri 1, x, y Naturlige koordinater Form funksjoner Forskyvninger u, v Vi benytter nå formfunksjoner til å representerer både geometri og problemvariable (som i vårt tilfelle er forskyvninger) { } ] 1 x y u v = N [1 c x c y d u d v hvor 1 er en vektor med bare 1. c x og c y inneholder x- og y-koordinatene til nodene, mens d u og d v som vanlig inneholder nodeforskyvningene. Page 5 of 31 Kompletthet: For skiveproblemet er ordenen som inngår i variasjonsproblemet m = 1. For å sikre at vi har konvergens må formfunksjonene kunne gjengi (eksakt) et lineært forskyvn-

6 ingsfelt: u = a 0 + a 1 x + a 2 y v = b o + b 1 x + b 2 y Dette gir nodeforskyvninger: u i = a 0 + a 1 x i + a 2 y i v i = b 0 + b 1 x i + b 2 y i F.eks. så blir forskyvningene i x-retningen nå: u = Nd u = N i (a 0 + a 1 x i + a 2 y i ) = a 0 Ni + a 1 Ni x i + N i y i = a 0 + a 1 x + a 2 y Det samme gjelder for v. Vi har benyttet vår definisjon av geometri direkte i uttrykkene over. Page 6 of 31 Bilineær interpolasjon:... figuren under viser et bi-lineært membrane element

7 4 (-1,1) η 3 (1,1) ξ η 3 (x 3, y 3 ) 4 (x 4, y 4 ) ξ y 1 (x 1, y 1 ) x 2 (x 2, y 2 ) 1 (-1,-1) 2 (1,-1) Siden dette skal være et isoparametrisk element så er geometri- og forskyvningsfeltet gitt ved lik interpolasjon: x x 1 x 2 x 3 x 4 N 1 N y = 2 y 1 y 2 y 3 y 4 N 3 u u 1 u 2 u 3 u 4 N 4 v v 1 v 2 v 3 v 4 hvor N i er gitt ved N i = 1 4 (1 + ξ iξ)(1 + η i η) Page 7 of 31 og (ξ, η) betegnes med naturlige koordinater for firkanten (et kvadrat med areal 4).

8 For å komme fram til uttrykkene for stivhetsmatrise og lastvektor så må vi: 1. beregne deriverte av formfunksjonene, 2. beregne spenninger og tøyninger og 3. integrere (numerisk). Derivasjon Jacobi matrisen: En funksjon f(ξ, η) deriveres mhp (x, y) ved å benytte kjerneregelen: f x = f ξ ξ x + f η f og η x y = f ξ ξ y + f η η y Dette kan skrives på matriseform: f ξ x f = x y ξ y η x η y f ξ f η = (ξ, η) (x, y) f ξ f η = J 1 f ξ f η Page 8 of 31 hvor J 1 = (ξ, η) (x, y) er den inverse av J = (x, y) (ξ, η) J kalles Jacobi matrisen.

9 Derivasjons regelen kan nå skrives opp x = Altså, y ξ x ξ y η x η y ξ η xy = J 1 ξη og ξη = J xy Så for å etablere de deriverte mhp (x, y) (globale koordinater) så må vi først etablere Jacobi matrisen (det er den vi kan finne enkelt med vår representasjon av geometri, x(ξ, η)), og så finne den inverse: Så hvordan etableres denne? Fra geometribeskrivelsen har vi: { } [ ] { } x N 0 c = x y 0 N hvor c i inneholder node koordinater for elementet i retningen i. som gir oss Jacobimatrisen: x ξ = N ξ c x = N,ξ c x y ξ = N ξ c y = N,ξ c y [ ] x J =,ξ y,ξ = x,η y,η c y x η = N η c x = N,η c x y η = N η c y = N,η c y [ N,ξ c x N,η c x N,ξ c y N,η c y ] Page 9 of 31

10 Den inverse kan nå skrives som [ ] [ ] J 1 = 1 J 22 J 12 Γ = 11 Γ 12 J J 21 J 11 Γ 21 Γ 22 hvor J = det J = J 11 J 22 J 12 J 21 J er determinanten til Jacobimatrisen. Vi skal huske på at J = J(ξ, η) og J 1 = J 1 (x, y) Tøyninger:... finnes direkte fra forskyvningene ved derivasjon: ε = u = x 0 0 y y x { u v } = N,x 0 { 0 N,y N,y N,x d u d v } = Bd Page 10 of 31 Her er altså Vi ser på et av uttrykkene for derivasjon N = N(ξ, η) og B = B(ξ, η) x N(ξ, η) = ξ N(ξ, η) ξ x + η N(ξ, η) η x = 1 J (N,ξJ 22 N,η J 12 )

11 Anmerkning 9.1 Tøyngene kan finnes på en alternativ måte: B kan finnes som produktet av tre matriser. Først, så kan tøyningene skrives med basis i de partiell deriverte av forskyvningene ε xx ε yy γ xy = u,x u,y v,x v,y Videre så kan disse partiell deriverte relateres til de partiell deriverte i naturlige koordinater u,x u,y v,x v,y Γ 11 Γ = Γ 21 Γ Γ 11 Γ Γ 21 Γ 22 u,ξ u,η v,ξ v,η De partiell deriverte i naturlige koordinater kan finnes fra interpolasjonsfunksjonene u,ξ u,η v,ξ v,η N,ξ 0 { = N,η 0 0 N,ξ 0 N,η d u d v } Page 11 of 31

12 Integrasjon:... inngår i de operasjoner som gir oss uttrykket for stivhetsmatrisen (og også lastvektor): k = hb T EB da A e h er ofte konstant over elementet. Det samme gjelder for E. For isoparametriske elementer så er nå integranden en funksjon av ξ, η så vi bør få uttrykket over på formen: k = F (ξ, η) dξdη Så det vi trenger er å uttrykke elementarealet A e ved bruk av de naturlige differensialene (dξ, dη): A e = dxdy = J dξdη Dette gir oss som, generelt, ikke er et polynom. F (ξ, η) = hb T EB J Page 12 of 31 Bi-lineært element: Om dette elementet kan vi si: generell firkantform, naturlige koordinater, derivasjon i globale koordinater vanskeliggjøres,

13 integrasjon over enkle elementgrenser, men med en vanskeligere integrand, isoparametrisk og dermed komplett, kontinuitet er oppnådd ved at rette linjer transformerer til rette linjer, og randlinjer til randlinjer. Lineært polynom i en dimensjon langs rendene Numerisk integrasjon Siden vi nå har skjeve elementer, så er ikke interpolasjonspolynomene, som funksjoner av de globale (x, y, z) koordinatene, lenger polynomer (heller ikke den lokale integranden, F (ξ, η), er lenger et polynom)). Derfor trenger vi numerisk integrasjon (blandt annet). I dette kurset skal vi utelukkende se på Gauss integrasjon i forbindelse med integrasjon av stivhetsmatriser og lastvektorer. For isoparmetriske elementer er bruk av numerisk integrasjon helt essensiell. Gauss integrasjon benytter et minimum av evalueringspunkter (integrasjonspunkter) for å oppnå en gitt nøyaktighet. Det finnes også andre integrasjonsmetoder som kan være mer hensiktsmessig i andre sammenhenger. Page 13 of 31 Vi skal se at for hvert integrasjonspunkt så må vi etablere en matrise, så effektivitet er viktig.

14 Gauss: Én dimensjon Et integral med vilkårlige grenser kan transformeres til intervallet [ 1, 1] x2 x 1 f(x) dx = 1 1 g(ξ) dξ Dette gjør at vi kan skrive hendige integrasjonsformler. g(ξ) inneholder Jacobi determinanten. Generelt så har vi hvor 1 1 g(ξ) dξ = p w i g(ξ i ) i=1 p er antall integrasjonspunkter, w i er integrasjonsvekt, og ξ i er absisse verdi for integrasjonspunktet. Page 14 of 31 Gauss 1:... et punkts Gauss benytter ett evalueringspunkt, 1 1 g(ξ) dξ = 2 g(0)

15 Gauss 2:... to punkts Gauss benytter to evalueringspunkt, 1 1 g(ξ) dξ = g( 1 3 ) + g( 1 3 ) Gauss 3:... tre punkts Gauss benytter tre evalueringspunkt, 1 1 Vi ser at evalueringspuntene er symmetriske. g(ξ) dξ = 5 9 g( 3 5 ) g(0) g( 3 5 ) Gauss: Nøyaktighet Den éndimensjonale formelen med p evalueringspunkter integrerer polynomer av orden (2p 1) eksakt. Page 15 of 31 Eksempel: Et tredjegradspolynom er gitt ved: g(ξ) = a 0 + a 1 ξ + a 2 ξ 2 + a 3 ξ 3 som integrert gir oss 1 1 g(ξ) dξ = 2a a 2

16 Dersom vi benytter ett Gauss punkt får vi: I 1 2a 0 Med to Gauss punkt får vi (ξ 2 = ξ 1 = 1 3 ) I 2 = (a 0 + a 1 ξ 1 + a 2 ξ a 3 ξ 3 1) + (a 0 + a 1 ξ 2 + a 2 ξ a 3 ξ 3 2) = 2a 0 + 2a 2 ξ 2 2 = 2a 0 + 2a = 2a a 2 Gauss: To dimensjoner I to dimensjoner benytter vi en tensorproduktregel: Vi benytter éndimensjonale integrasjonsregler for hver uavhengig variabel: I = g(ξ, η) dξdη = 1 1 dη 1 1 g(ξ, η) dξ Page 16 of 31 Så numerisk blir dette hvor p i p j I = w i w j g(ξ i, η j ) i=1 j=1

17 p i er antall integrasjonspunkter i i retningen, p j er antall integrasjonspunkter i j retningen, w i er integrasjonsvekt i i retningen w j er integrasjonsvekt i j retningen ξ i er absisse verdi for integrasjonspunktet. η i er absisse verdi for integrasjonspunktet. Vanligvis så er p i = p j. Denne type Gauss integrasjon er ikke lenger optimal. Nødvendig orden på integrasjonsregel Full integrasjon eksakt integrasjon av alle ledd i stivhetsmatrisen når elementet er regulært (ikke skjevt). Dersom elementet er skjevt/krumt så vil Gauss integrasjon ikke være eksakt siden vi ikke lenger har polynomer. Redusert integrasjon kan være ønskelig: Page 17 of 31

18 1. Færre punkter gir mindre regnetid, billigere. 2. Færre punkt gir mykere element, bedre. Antall Gauss punkt har en nedre grense: Volumet må beregnes eksakt. Dette skyldes at når elementstørrelsen går mot null (vi ønkser konvergens) så har vi konstante tøyninger i elementet noe som gir oss konstant tøyningsenergi, noe som er oppfyllt dersom vi regner volumet eksakt. Regel: 1. Volumet må regnes eksakt. 2. Mekanismer må unngås (K singulær). Anmerkning 9.2 Gauss integrasjon er en åpen integrasjonsformel, den inkluderer ikke endepunktene. Dette er viktig å huske i forbindelse med aksesymmetrisk konstruksjoner der konstruksjonen ligger på symmetriaksen. Vi kunne ikke evaluerer alle tøyningskomponentene der direkte. Anmerkning 9.3 Dersom vi ikke integerer et polynom så er ikke Gauss integrasjon eksakt, men resultatet blir bedre med økende antall integrasjonspunkter. Page 18 of 31

19 9.3. Høyere ordens firkantelementer Vi skal her se på to høyere ordens firkantelementer. Det første er et bi-kvadratisk Lagrange element, og det andre er et kvadratisk Serendip element. Prosedyrene for å etablere lastvektorer og stivhetsmatriser er tilsvarende som for et isoparametrisk firenoders bi-lineært element. I det som nå følger vil vi derfor konsentrere oss om interpolasjon. Begge elementene er illustrert i figuren under. Den rød noden er kun representert i Lagrange elementet. η η ξ ξ Page 19 of 31 y x

20 Bi-kvadratisk Lagrange element: Interpolasjon for et bi-kvadratisk element kan etableres ved å multiplisere sammen en-dimensjonale interolasjonspolynomer. Lagrange interpolasjon kan genereres i en dimensjon fra formelen: l n i (ξ) = 0 k n i k ξ ξ k ξ i ξ k hvor n er ordenen på interpolasjonen. Vi trenger (n+1) punktverdier for å etablere et polynom av orden n. I to dimensjoner kan vi nå etablere et element i interpolasjonsfølgen ved å multiplisere sammen to en-dimensjonale uttrykk: l mn ij (ξ, η) = l m i (ξ) l n j (η) Et kvadratisk polynom interpolert mellom verdier i punktene ( 1, 0, 1) er uttrykt ved: { } N = 1 2 ξ(ξ 1) (1 ξ2 1 ) 2 ξ(ξ + 1) Interpolasjonspolynomet som gjelder for node en (i det to-dimensjonale Lagrange elementet), ( 1, 1), er da gitt ved: N 1 = 1 2 ξ(ξ 1) 1 η(η 1) 2 = 1 ξη(1 ξ)(1 η) 4 Page 20 of 31 De ni formfunksjonene er vist i figuren under:

21 Universitetet i Oslo N1 N3 N2 N5 N4 N7 N6 //.. /. N9 N8 Page 21 of 31 Serendipfamilien:... ble utviklet av Zienkiewicz. Navnet er etter prinsene Serendip hos Walpole som var kjent for sitt hell ved tilfeldige oppdagelser. Disse har høyere effektivitet siden vi na ikke har noder/frihetsgrader knyttet til det indre av elementet.

22 Formfunksjonene kan finnes ved prøving og feiling eller ved systematisk bruk av faktormetoden. De isoparametriske formfunksjonene må oppfylle følgende betingelser: 1. Interpolasjon:... enhetsverdi i node i og null i all andre noder. 2. Lokal utbredelse:... være null langs elementgrenser som ikke inneholder node i. 3. Kombatibilitet:... tilfredsstille C 0 kontinuitet over elementgrensene. Når det gjelder del 3 så har vi at verdien av en formfunksjon langs en felles rand må kun avhenge av node verdier på denne randen. For et isoparametrisk element har vi typisk: 1 x y = u v 1 T x T x x T y d T u d T v N 1 N 2. N n Page 22 of 31 Det kvadratiske Serendip elementet har to typer formfunksjoner: 1. i hjørnene, og

23 2. på midtsidene. De to formfunksjonene, f.eks. N 1, N 5, kan finnes ved faktormetoden. Figuren under viser null linjene for de to valgte nodene: I node en finner en interpolsajonspolynomet fra: Page 23 of 31 N 1 = c 1 l 2 3 l 3 4 l 5 8 = c 1 (1 ξ)(1 η)(1 + ξ + η) N 1 ( 1, 1) = 1 c 1 = 1 4 N 1 = 1 (1 ξ)(1 η)(1 + ξ + η) 4

24 Tilsvarende kan man finne for node fem, midtnoden: N 5 = c 5 l 2 3 l 3 4 l 4 1 = c 5 (1 ξ)(1 η)(1 + ξ) N 5 (0, 1) = 1 c 5 = 1 2 N 5 = 1 (1 ξ)(1 η)(1 + ξ) 2 = 1 2 (1 ξ2 )(1 η) De åtte formfunksjonene er vist i figuren under: N 1 N 2 N 3 N 4 Page 24 of 31 N 5 N 6 N 7 N 8

25 Numerisk integrasjon: Det benyttes både 2 2 og 3 3 punkts Gauss integrasjon på disse elementene. 2 2 representerer redusert integrasjon. Vanligvis gir dette gode resultater, men denne underintegreringen gir to nullenergimoder, eller mekanismer (hour-glass modes). Disse null mønsterne kan gi singulariteter på globalt nivå, men dette er avhengig av randbetingelser. Hva har vi oppnådd? Tøyningsenergien i en utkragerbjelke for et lineær og kvadratisk element er vist i figuren under. Page 25 of 31

26 U y x 12 P = n Page 26 of 31 Figur 9.1: Tøyningenergien for et lineær og kvadratisk element som funksjon av antall noder over høyden av bjelken. Endeforskyvningen for et lineær og kvadratisk element er vist i figuren under.

27 v y x 12 P = n Page 27 of 31 Figur 9.2: Endeforskyvningen for et lineær og kvadratisk element som funksjon av antall noder over høyden av bjelken.

28 Øving 9.1 Figuren vise et isoparametrisk element med 8 knutepunkter. Elementet med de krumme sideflatene avbildes til et enhets element i et dimensjonsløst koordinatsystem. Geometrien er gitt ved tykkelsen h og knutepunktskoordinatene (x i, y j ), i = 1, 2, 3,..., η ξ y,v x,u Figur 9.3: Isoparametrisk skiveelement. Page 28 of 31 a) Gi uttrykkene for avbildningsfunksjonene i matrisen N g når avbildningen er gitt ved x = N g x n og y = N g y n der } x T n = {x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 x 8 og y T n = {y 1 y 2 y 3 y 4 y 5 y 6 y 7 y 8 }.

29 b) Vis hvordan Jacobimatrisen J ser ut. ( ξη = J xy ) c) Finn interpolasjonsfunksjonene N. d) Sett opp uttrykket for numerisk integrasjon av stivhetsmatrisen. Diskuter antall integrasjonspunkter. (Benytt Gauss integrasjon) e) Anta at elementet er rektangulært. Foreta et valg av generaliserte forskyvningsfunksjoner. f) Sett opp B q. Øving 9.2 Vis hvordan en kan etablere integrasjonspunkter og vekter for to punkts Gauss integrasjon når uttrykket: φ = a 0 + a 1 ξ + a 2 ξ 2 + a 3 ξ 3 skal integreres eksakt mellom ξ [ 1, 1], og vi antar symmetri (om (0, 0)) i integrasjonspunkter og vekter. Øving 9.3 Figuren under viser et model problem uten analytisk løsning. Page 29 of 31 a) Modeller problemet i COMSOL Multiphysics. b) Sett på lasten som en fordelt last på enden. Sjekk at lastsummen er riktig. c) Benytt lineære- og annenordens Lagrange elementer. Sammenlign vertikalforskyvningen midt på den fri enden med referanseløsningen v r = d) Sjekk reaksjonskreftene ved å integrere skjærspenningene langs innspenningen.

30 e) Benytt svake randkrav (settes under Physics Properties). Sjekk reaksjonskreftene ved å integerer Lagrangsmultiplikatoren langs innspenningen. f) Hva skjer med spenningene (se på von Mises spenningene) i øvre venstre hjørne når vi forfiner nettet? Page 30 of 31

31 A. Referanser [Cook et al., 2002] Cook, R. D., Malkus, D. S., Plesha, M. E., and Witt, R. J. (2002). Concepts and Applications of Finite Element Analysis. Number ISBN: John Wiley & Sons, Inc., 4th edition. Page 31 of 31