Oppgaver til kurset GEOF110 - Innføring i havet og atmosfærens dynamikk

Transkript

1 Vedlegg til GEOF110 Oppgaver til kurset GEOF110 - Innføring i havet og atmosfærens dynamikk Redigert av Ole Henrik Segtnan January 2, 2008 Geofysisk Institutt Universitetet i Bergen

2

3 Forord Denne oppgavesamlingen er satt sammen av oppgaver som er blitt benyttet i kurset GEOF110 de siste årene, og består av ti sett. Disse følger i hovedsak læreverket til Pond og Pickard (1983). I de fleste tilfellene er oppgavene laget med eksempler fra havet som utgangspunkt, ettersom det gir en mer oversiktlig innføring til væskedynamikk. Likevel bør også meteorologer finne relevante utfordringer, siden aktuelle likninger og metoder er anvendbare på både atmosfæren og havet. Heftet er i stor grad basert på tidligere gitte eksamensoppgaver. Disse er relevante for kurset, men noen formuleringer kan framstå som vanskelige å forstå. Språket forandrer seg med årene, selv innenfor et avgrenset fagfelt. Nøl ikke med å spørre om noe er uklart, eventuelt kan man benytte søketjenester på nettet. Det er å anbefale at man forsøker å gjennomføre samtlige oppgaver. Havet og atmosfærens dynamikk er spennende, men samtidig krevende for nye geofysikere. De mange likningene kan noen ganger virke forvirrende. For å skape oversikt kan det være lurt å tegne en skisse, for på den måten illustrere hva som faktisk skjer.

4

5 Contents 1 Oppgavesett Lokal- og totalderivert Stabilitet Oppgavesett Hydrostatisk trykk Bevegelseslikningen Oppgavesett Geostrofisk strøm - I Geostrofisk strøm - II Oppgavesett Geostrofisk strøm - III Geostrofisk strøm - IV Oppgavesett Ekman-spiral Ekman-transport & Ekman-pumping Oppgavesett Virvling Oppgavesett Midtveiseksamen I Midtveiseksamen II Oppgavesett Tyngdebølger I Tyngdebølger II

6 9 Oppgavesett Tyngdebølger III Tyngdebølger IV Oppgavesett Indre bølger I Indre bølger II Referanser 44

7 Chapter 1 Oppgavesett 1 Lokal- og totalderivert Stabilitet 1

8 1.1 Lokal- og totalderivert Denne oppgaven er fra Furevik (2005), her oversatt til norsk. Når en væske er i bevegelse, vil dens egenskaper (hastighet, temperatur, kjemisk sammensetning, etc) være en funksjon av både romlig posisjon (x = xi + yj + zk) og tid (t). Her vil vi belyse ulikhetene mellom, og egenskapene til den lokal- og totalderiverte 1. 1A a) Vis at den totalderiverte av en egenskap γ er gitt ved dγ dt γ t + u γ. 1A b) Ved en stasjon er temperaturen målt til å være 15 C, og avtar med 2 C per time. Vinden er 15 ms 1, rett fra nord. Samtidig ved en stasjon 100 km lengre nord er temperaturen målt til 5 C. Temperaturen avtar likt overalt. Anslå temperaturforandringen ( C per time) for luftpartiklene idet de beveger seg sørover. 1A c) En annen dag måler stasjonen over vinden til å være 10 ms 1 rett fra nord, og den øker med 5 ms 1 per time. Samtidig på stasjonen 100 km lengre nord måles vinden til å være kun 6 ms 1, igjen rett fra nord. Vinden øker likt overalt. Hva er gjennomsnittlig akselerasjon til partiklene idet de beveger seg sørover? Foreta de forenklinger du mener er påkrevd. 1A d) I løpet av en periode på 1 time, passerer to båter (tett inntil) en fiskebåt, som ligger i ro. Båtenes hastighet og de noterte trykkforandringene (målt atmosfæretrykk) i de tre båtene i løpet av passeringen (1 times intervaller) er: Båt Hastighet Trykkforandring 1 5 ms 1 rett nordover ingen forandring 2 10 ms 1 rett østover - 2 mb 3 ingen hastighet + 1 mb Hva er størrelsen og retningen på den maksimale forandringen i trykk (forslag: beregn trykkgradienten p og benytt Pytagoras)? 1 Denne oppgaven er delvis fra Wallace and Hobbs (1977) 2

9 1.2 Stabilitet Denne oppgaven ble gitt til eksamen i G 161 høsten B a) Hva forstår vi med begrepene stabil, indifferent og instabil sjiktning? Nevn kort prosesser av meteorologisk og oseanografisk karakter som innvirker på stabiliteten. 1B b) Utled stabilitetsuttrykket E = 1 ρ [ ρ S S z + ρ T ( T z + Γ)] m 1. hvor E = stabiliteten, ρ = tettheten, S = saltholdigheten, T = temperaturen, z = dypet (positivt opp) og Γ = adiabatisk temperaturgradient. 1B c) Uttrykket for stabiliteten kan tilnærmet skrives hvor σ t = ρ T,S, E = 1 ρ σ t z m 1. ρ T,S,0 = tettheten ved atmosfærsik trykk (kgm 3 ). Dette uttrykket brukes i resten av oppgaven. Tabell 1.1 gir temperaturen og saltholdigheten for gitte dyp for en oseanografisk stasjon. Finn ved interpolasjon σ t fra T -S diagrammet og bruk det tilnærmete uttrykket for stabiliteten E til å beregne denne som en funksjon av dypet. Diskuter stabilitetsforholdene. 1B d) Vis at bevegelseslikningen for en partikkel som blir forskjøvet en liten avstand z ut fra sin likevektsstilling blir d 2 ( z) + g E z = 0. dt2 når vi ser bort fra friksjon. Sett g = 10 ms 2. Finn svingetiden i de mest stabile og minst stabile lagene. 3

10 Dyp [m] Temperatur [ C] Saltinnhold [ppm] 0-1,0 32,3 10-1,0 32,3 20-1,0 32,3 30-1,0 32,3 40-1,0 32,7 50-1,0 33, ,0 34, ,5 34, ,0 34, , ,0 35, ,5 35, ,0 35, ,5 35, ,0 35,0 Table 1.1: Temperatur og saltinnhold i ulike dyp. Målinger foretatt fra en oseanografisk stasjon. 4

11 Chapter 2 Oppgavesett 2 Hydrostatisk trykk Bevegelseslikningen 5

12 2.1 Hydrostatisk trykk I havet tilnærmer vi ofte tetthetsfordelingen med homogene lag adskilt av et tynt sprangsjikt (se figur 2.1). 2A a) Bruk den hydrostatiske likning til å beregne trykket i øvre og nedre lag når atmosfæretrykket er gitt ved p 0, tykkelsen av øvre lag h og tettheten i de to lag er ρ 1 og ρ 2. 2A b) En droppsonde er utstyrt med en trykkutløser som slipper en vekt når sonden når et bestemt trykk. Dette trykket kan velges av observatøren. Hvilket trykk må velges hvis en vil ha droppsonden til å snu i 1) 100 m dyp, 2) 1000 m dyp, når h = 100 m, ρ 1 = 1025 kgm 3, ρ 2 = 1027 kgm 3 og p 0 = 10 5 Pa. Sett g = 9.81 ms 2. 2A c) Vi antar at bevegelseslikningen for droppsonden er dv dt = 2Ω v + ρ d ρ ρ d g + F. hvor ρ d er tettheten av droppsonden (med eventuell vekt). Diskuter ved hjelp av denne likningen droppsondens bevegelse og diskuter spesielt den horisontale forflytningen. Figure 2.1: To homogene lag atskilt av et sprangsjikt. 6

13 2.2 Bevegelseslikningen Denne oppgaven ble gitt til eksamen i G 161 høsten Bevegelseslikningen for havet skrives ofte på formen dv dt = 1 ρ p f k v + g + A H ( 2 v x v y 2 ) + A z 2 v z 2. (2.1) 2B a) Forklar kort hva de enkelte leddene i likning (2.1) betyr. 2B b) Hva er forskjellen mellom en Lagrange- og en Eulerbeskrivelse? 2B c) Figur 2.2 viser et såkalt progressivt vektordiagram. Kurven kan oppfattes som posisjonen til en partikkel som funksjon av tiden. Tidsmerker er markert hver 6. time og tallene markerer datoer. Finn av figuren størrelsesorden av den midlere hastigheten for perioden september. 2B d) Målingene presentert i figur 2.2 er fra Middelhavet (ca 43 N). Velg derfor en horisontal skala L = 500 km, vertikalskala H = 2,5 km, sett tidsskalaen T = 10 døgn 10 6 s, A H = 10 5 m 2 s 1, A z = 0, 1 m 2 s 1, tyngdens akselerasjon g = 10 ms 2 og f = 10 4 s 1. Skaler bevegelseslikningen (2.1) og vis at middelbevegelsen med god tilnærmelse kan bestemmes av likningen 0 = 1 p f k v + g. (2.2) ρ 2B e) Hva kalles formen (2.2) av bevegelseslikningen? 2B f) Beregn Rossbytallet og Ekmantallene for middelbevegelsen. 2B g) I perioden oktober er middelhastigheten mindre. Det progressive vektordiagrammet for denne perioden er vist i figur 2.3. Vannmassene synes altså å bevege seg i baner som vi i teorien tilnærmer med sirkler. Anslå banehastigheten og tidsskalaen for dette fenomenet fra figur B h) Bruk verdiene funnet i punkt g) og de øvrige verdier som oppgitt i punkt d) til å skalere bevegelseslikningen på nytt, og vis at likningene for horisontalhastigheten v H nå blir dv H dt = 1 ρ Hp f k v H. (2.3) 7

14 2B i) Del opp bevegelsen i en stasjonær del v g beskrevet av likning (2.2) og en tidsavhengig del v i. Subtraher balanselikningen for v g fra likning (2.3) og vis at likningen for v i blir 2B j) Hva kalles bevegelsen beskrevet av likning (2.4)? 2B k) Vis at v 2 i er konstant. 2B l) Løs likning (2.4) og finn et uttrykk for v i. 2B m) Beregn den teoretiske perioden for fenomenet. dv i dt = f k v i. (2.4) 2B n) Beregn radiusen til den teoretiske sirkelbanen når v i = 0.1 ms 1. 8

15 Figure 2.2: Progresiv vektordiagram i 60 m dyp, 20. september oktober

16 Figure 2.3: Progresiv vektordiagram i 60 m dyp, 9. oktober oktober

17 Chapter 3 Oppgavesett 3 Geostrofisk strøm - I Geostrofisk strøm - II 11

18 3.1 Geostrofisk strøm - I 3A a) Ta utgangspunkt i bevegelseslikningene og gjør rede for antagelsene som gjelder for geostrofisk strøm. 3A b) Bruk de geostrofiske likningene til å utlede termalvindlikningene. Vis hvordan man kommer fram til Helland-Hansens strømformel (Likning 8.9A i Pond og Picard). 3A c) Anta at forskjellen i spesifikt volum mellom to stasjonsvertikaler i avstand L er gitt som δ B δ A = k(1 + z ). Beregn og skisser hastigheten som en funksjon av h dypet i intervallet 0 z h. Sett hastigheten lik null i z = h, L = 10 km, h = 1000 m, k = 10 8 m 3 kg 1 og geografisk bredde lik

19 3.2 Geostrofisk strøm - II Horisontal komponent til bevegelseslikningen kan skrives: 3B a) Gjør rede for de enkelte leddene i likning (3.1). dv dt = 1 p f k v a v (3.1) ρ 3B b) Bruk likningen til å beskrive den horisontale banen til et legeme som settes i bevegelse med hastighet v = 10 ms 1. En antar at ingen trykkrefter eller friksjonskrefter virker. Videre antas det at breddegraden kan settes konstant for hele kurven. 3B c) Beregn tiden det tar for et omløp dersom et legeme er på 30 N. Utled et uttrykk for radius for den kurven legemet vil bevege seg langs på Nordpolen. 3B d) Hvilke tilnærmelser må foretaes av likning (3.1) for å utlede geostrofisk vind? 3B e) Anta at avstanden mellom isobarene er den samme. Hvor vil geostrofisk vind være størst, i Bergen eller på Nordpolen? Begrunn svaret! 3B f) Hvilke innflytelse vil det ha dersom friksjonen ikke neglisjeres? 3B g) Vi antar at isobarene er konsentriske sirkler og vi ser bort fra friksjon. Beskriv eller utled hvorfor hastigheten rundt et lavtrykk er forskjellig fra geostrofisk vind (rettlinjede isobarer) med den samme avstanden mellom isobarene! 3B h) Termalvind kan uttrykkes Hva beskriver denne likningen? v T = R f ln(p 1 ) (k T ) const (k T ) p 2 f 3B i) Hva kan en slutte om temperaturforholdene i atmosfæren ved hjelp av termalvinden? 3B j) Hvorfor er vestenvinden i øvre deler av troposfæren særlig sterk om vinteren? 13

20 3B k) Endringene av geostrofisk vind mellom nivåene 1 og 2 (2 er øverst) er skissert: Angi hvilke av tilfellene A - C som har varmluftsadveksjon! 3B l) Den midlere virtuelle temperaturen i laget mellom 750 hpa og 500 hpa avtar østover med 1 K per 100 km. I 750 hpa er den geostrofiske vind fra syd-øst med hastighet 8.23 ms 1. Hva er den geostrofiske vinds retning og styrke i 500 hpa? Coriolisparameteren f = 10 4 s 1 og gasskonstanten R d = 287 JouleK 1 kg 1. 14

21 Chapter 4 Oppgavesett 4 Geostrofisk strøm - III Geostrofisk strøm - IV 15

22 4.1 Geostrofisk strøm - III Denne oppgaven ble gitt til eksamen i GFO 110 høsten Vi betrakter et hav som en uendelig lang og brei øst-vest kanal med konstant tetthet ρ, der x-aksen legges mot øst, y-aksen mot nord og z = 0 i den uforstyrrede overflaten. Bunnen er gitt ved z = h(x, y) og overflaten ved z = η(x, y, t). Vi antar at overflatehevingen er liten i forhold til dypet (η h), se figur 4.1. Figure 4.1: Skisse av kanalen 4A a) Gjør kort rede for hvilke forenklinger vi gjør når vi studerer geostrofisk strøm og skriv opp de 3 komponentene av bevegelseslikningen. 4A b) Finn trykket i et vilkårlig nivå z uttrykt ved overflatehevingen η når p(η) = 0. 4A c) Vis at v = g f η x, u = g f η y, g er tyngdens akselerasjon, f er Coriolis-parameteren som antas konstant; u og v er hastighetskomponentene mot øst og nord. 4A d) Bruk at u og v er uavhengige av z til å vise at kontinuitetslikningen i det stasjonære, lineære tilfellet kan skrives h ( u x + v y ) + u h x + v h y = 0, 4A e) Definer en strømlinje og uttrykk dette matematisk. 16

23 Vis følgende for geostrofisk strøm: 4A f) η = konstant er en strømlinje. 4A g) Horisontal divergens er null. 4A h) Hastigheten går parallelt med bunnkonturene. 4A i) Hvordan linjene for bunnkonturene og overflatehevingen ligger i forhold til hverandre. 17

24 4.2 Geostrofisk strøm - IV 4B a) Skriv opp bevegelseslikningen og forklar kort de enkelte ledd. Vi studerer geostrofisk strøm der tettheten ρ = ρ(x) kun er en funksjon av x og uavhengig av z. 4B b) Hvilke betingelser må være oppfylt for at trykket skal være gitt ved den hydrostatiske likning? Finn trykket i et vilkårlig nivå z uttrykt ved overflatehevingen η, når p(η) = 0. 4B c) Gjør kort rede for de forenklinger vi gjør når vi studerer geostrofisk strøm og skriv opp bevegelseslikningen på geostrofisk form. 4B d) Vis at hastigheten i overflaten z = η blir u 0 = g f η y, v 0 = g f η x, her er g tyngdens akselerasjon og f Coriolisparameteren, som antas konstant. 4B e) Vi ønsker å finne den vertikladeriverte av hastigheten ved å benytte termalvindlikningen. Vis at den i dette tilfellet kan skrives (ρ u) = 0, z z (ρ v) = g f ρ x, 4B f) I resten av oppgaven er tettheten ρ = ρ 0 α x, der ρ 0 og α er konstanter (Boussinesq-approksimasjon). Benytt Boussinesq-approksimasjonen og finn vertikalskjæret av u og v. Kommenter svaret (kort). 4B g) I denne oppgaven kan vi også finne totalhastigheten ut fra likningne i punkt c). Vis at u = u 0, v = v 0 α g ρ 0 f (η z), 18

25 Chapter 5 Oppgavesett 5 Ekman-spiral Ekman-transport & Ekman-pumping 19

26 5.1 Ekman-spiral Denne oppgaven er fra Furevik (2005), her oversatt til norsk. For storskala bevegelse i atmosfæren og i havet kan vi vanligvis neglisjere friksjonsleddene i bevegelseslikningen. Dette er imidlertid ikke tilfellet for bevegelsen nærme en grense hvor sterke skjær (gradienter) i det vertikale stresset vil akselerere eller bremse væsken. Området hvor friksjon er viktig går under navnet Ekman-laget. Strømegenskapene i dette laget er tema for dette oppgavesettet. 5A a) De lineariserte likningene som beskriver en stasjonær strøm, drevet av trykk- og friksjonskrefter er gitt ved f v = 1 ρ 0 p x + ν 2 u z 2, (5.1) f u = 1 ρ 0 p y + ν 2 v z 2, (5.2) 0 = 1 ρ 0 p z g, (5.3) u x + v y + w z = 0, (5.4) hvor tettheten ρ 0 er antatt å være konstant. Vis at den geostrofiske delen av strømmen er uavhengig av dypet, og forklar hvordan ekmanlikningene er utledet. f v e = ν 2 u e z 2, og f u e = ν 2 v e z 2, (5.5) 5A b) Nå introduserer vi den komplekse hastigheten u e = u e + i v e, hvor i = 1, er den imaginære enhetsvektoren. Vis at likningen for u e er 2 u e z 2 = i f ν u e, (5.6) og at den generelle løsningen blir ±(1 + i) z 2ν u e = Aexp( ), hvor D e = D e f (5.7) og A er en integrasjonskonstant som kan være kompleks. 20

27 5A c) Vi vil nå se på det spesielle tilfellet med en stasjonær strøm under havisen. Vi antar at isen beveger seg med hastigheten u 0 og at vannet rett under isen beveger seg med isen. La skilleflaten mellom is og hav være i z = 0, og vis at løsningen er gitt ved u e (z) = u 0 exp( z D e ) exp( i z D e ), (5.8) Tegn en skisse av løsningen i z = 0, z = De π 2, z = D e π og z = 3 De π 2. Sammenlign resultatene med målingene til Miles McPhee (figur 5.1), og forsøk å anslå den kinematiske viskositeten ν. Tror du det er riktig å benytte konstant verdi for ν? 5A d) Integrer strømmen (ekmandelen) over ekmanlaget og vis at ekmantransporten er rettet 45 til høyre for retningen til overflatestrømmen (isens bevegelse). Figure 5.1: Målt strømvektorer (øvre plot) og u og v komponentene (nedre plot) relativ til strømmen 32 m under isen i løpet av en storm i Arktis. I 32 m dyp avviker strømmen mindre enn 0.02 ms 1 i fra bunnhastighetene. 21

28 5.2 Ekman-transport & Ekman-pumping Denne oppgaven er fra Furevik (2005), her oversatt til norsk. Mens den forrige oppgaven belyste noen av egenskapene i det relativt tynne Ekmanlaget, vil vi nå se på større-skala implikasjoner av ekmandynamikk. 5B a) Vi starter med de lineariserte bevegelseslikningene f v = 1 ρ 0 p x + 1 ρ 0 τ x z, (5.9) f u = 1 ρ 0 p y + 1 ρ 0 τ y z, (5.10) 0 = 1 ρ 0 p z g, (5.11) u x + v y + w z = 0, (5.12) hvor tettheten ρ 0 er antatt å være konstant, og τ x og τ y er komponentene av den horisontale vindstress-vektoren i henholdsvis x og y retning. Del strømmen i en trykkdrevet del og en friksjonsdrevet del, u = u g + u e, og v = v g + v e, og finn de tilhørende likningene for de to delene av strømmen. 5B b) Ved grensen mellom havet og atmosfæren, er stresset målt til å være τ s, og vekke fra grensen, i det indre av væsken, er stresset antatt å være null. Integrer likningene for ekmandelen av bevegelsen over grenselaget for å vise at ekman-massetransporten er gitt ved τ s /f og er rettet 90 til venstre av vindstress-vektoren i atmosfæren og 90 til høyre av vindstress-vektoren i havet. 5B c) Integrer kontinuitetslikningen (5.12) over ekmanlaget og vis at ekmanpumpehastigheten (Ekman pumping) i både atmosfæren og havet er gitt ved 5B d) Forklar (med egne ord) hva du ser i figur 5.2. w e = 1 ρ 0 f k τ s, (5.13) 5B e) Estimer ekman-massetransporten i atmosfæren og i havet, og ekmanpumpehastigheten forbundet med en intens syklon hvor overflatevindstresset 100 km fra senteret er 1 kgm 1 s 2, atmosfæren og havets tetthet henholdsvis 1.25 kgm 3 og

29 kgm 3 og Coriolisparameteren er 10 4 s 1. Hva vil den vertikale forflytningen til en vannpartikkel under syklonens senter være etter 24 timer? Figure 5.2: Skjematisk oversikt over ekmantransporten forbundet med en syklon over havet. 23

30 Chapter 6 Oppgavesett 6 Virvling 24

31 6.1 Virvling Denne oppgaven ble gitt til eksamen i G 161 høsten a) Hva mener vi med relativ virvling? 6 b) Finn relativ virvling for hastighetsfeltet v = Ω r, der Ω = Ω k er en konstant rotasjonsvektor og r er en posisjonsvektor (x i+y j +z k) 6 c) Ta utgangspunkt i bevegelseslikningen uten friksjon og vis at likningen for absolutt virvling kan skrives d dt (ζ + f) = (ζ + f) H v H der v H er den horisontale hastighetsvektoren. 6 d) Den vertikalt integrerte kontinuitetslikningen for det øvre laget (se figur 6.1) kan skrives D 1 dd dt + u x + v y = 0, Bruk denne til å finne likningen for bevaring av potensiell virvling. 6 e) Vi antar at relativ virvling er gitt ved u. Den geostrofiske hastigheten parallelt med kysten i øvre lag er gitt ved u = g dd, der f dy g = g ρ2 ρ 1 y ρ 2. Vis at dersom f den potensielle virvlingen oppstrøms er D, blir d 2 D dy 2 f 2 D = f 2 g D g 6 f) Vis at løsningen som oppfyller grenseflatevilkårene D(y = 0) = D 0 og D(y ) = D, kan skrives D = (D 0 D ) exp( y m ) + D og finn et uttrykk for m. Hva kaller vi m? 6 g) Skisser løsningen av D, u og s som funksjoner av y. 25

32 6 h) Sett D 0 = 100 m, D = 20 m, g = 0,02 ms 2, f = 10 4 s 1 og g = 10 ms 2. Finn u(y = 0), s(y = 0) og m. Figure 6.1: Figuren viser en to-lags modell for en kyststrøm der tettheten i hvert lag ρ 1 og ρ 2 er antatt konstante. Nedre lag er i ro. 26

33 Chapter 7 Oppgavesett 7 Midtveiseksamen I Midtveiseksamen II 27

34 7.1 Midtveiseksamen I Denne oppgaven ble gitt til midtveiseksamen i GEOF110, A a) Skriv opp bevegelseslikningen og forklar kort de enkelte ledd. 7A b) Vi vil studere treghetssvingninger ( inertial oscillations ). Forklar hvilke antagelser vi gjør og vis at bevegelseslikningen da blir på formen u f v = 0 t v t + f u = 0 Definer f, og hva kalles denne? 7A c) Ved t = 0 settes u = u 0 og v = 0. Vis at hastighetskomponentene blir u = u 0 cos(ft), v = u 0 sin(ft) (hint; sett inn direkte). 7A d)vis at partikkelbanene er gitt ved likningen Hvilke partikkelbevegelse er dette? (x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 = ( u 0 f )2, 7A e) Skisser hastighetsfeltet ved tiden t = 0, t = π 2f og t = π f. Sammenlign dette med partikkelbanene og kommenter resultatet. 28

35 7.2 Midtveiseksamen II Denne oppgaven ble gitt til midtveiseksamen i GEOF110, Vi ønsker å studere stabilitet i en væske, der tettheten ρ(z) kun varierer vertikalt. 7B a) Sett opp de kreftene som virker på en partikkel når den blir forskjøvet adiabatisk et lite stykke z ut fra sin likevektsposisjon. 7B b) Vis at partikkelen blir utsatt for en vertikal akselerasjon a z proporsjonal med z: a z = g E z = d2 ( z) dt 2, (7.1) der stabilitetsparameteren E = 1 ρ [( ) ρ z w ( ρ ) z p]. g er tyngdens akselerasjon, w refererer til omgivelsene og p til partikkelen. 7B c) Diskuter bevegelsen av partikkelen i tilfellene E > 0, E = 0 og E < 0. 7B d) Hva blir den generelle løsningen av likning (7.1) for partikkelen med hensyn på utslaget z når E er konstant. Diskuter løsningen for E > 0, E = 0 og E < 0. 7B e) I et av tilfellene vil løsningen være en svingelikning med frekvens N. Hva blir uttrykket for N, og hva kalles denne frekvensen? 29

36 Chapter 8 Oppgavesett 8 Tyngdebølger I Tyngdebølger II 30

37 8.1 Tyngdebølger I Denne oppgaven ble gitt til eksamen i GFO 110 høsten I denne oppgaven skal vi studere tyngdebølger med konstant tetthet ρ. gitt ved z = h = konstant, og overflaten ved z = η(x, y, t). Bunnen er 8A a) Gjør kort greie for hvilke ledd vi har sløyfet og hvilke tilnærmelser vi har gjort for å komme fram til følgende likninger v t = 1 ρ p g k, v = 0, Her er v hastigheten, p trykket og g tyngdeakselerasjonen. Vis at beveg- 8A b) Vi skal avgrense oss til å studere lange, hydrostatiske bølger. elseslikningen når p(η) = 0, kan skrives som u t v t = g η x, = g η y, 8A c) Vis at horisontalhastigheten er uavhengig av z. 8A d) Skriv opp de kinematiske grensevilkårene i overflaten z = η og bunnen z = h, og vis at kontinuitetslikningen kan skrives 8A e) Vis så at η t + (u h) + (v h) = 0, x y 2 η t 2 = g h ( 2 η x η y 2 ), Hvilke type likning er dette? Anta at y 0 og løsning η = Acos(kx kct) i x-retning, der k er bølgetall og c 31

38 er fasehastighet. 8A f) Finn fasehastigheten c og frekvensen ω. Er bølgene dispersive? Grunngi svaret! Kommenter svaret i forhold til fase- 8A g) Definer gruppehastighet og finn denne. hastigheten. 32

39 8.2 Tyngdebølger II Denne oppgaven ble gitt til eksamen i GFO 110 høsten B a) I denne oppgaven skal vi studere tyngdebølger i et hav med konstant dyp h og konstant tetthet. Forklar kort hvordan vi kommer fram til likningen for tyngdebølger: v t = 1 ρ p g k, 8B b) Hvilke forutsetninger må være oppfylt for at hastigheten kan skrives som gradienten til et potensiale? Vis at hastighetspotensialet Φ tilfredstiller Laplace-likningen 2 Φ = 0, 8B c) Anta at Φ = Φ(x, z, t) kan skrives Φ = R(z)cos(kx kct), og vis at Φ kan skrives hvor C og γ er konstanter. Φ = Ccosh(z + γ)cos(kx kct), 8B d) Still opp grenseflatebetingelsen ved bunn, og bruk denne til å bestemme γ. 8B e) Still opp grenseflatebetingelsen i overflaten. 8B f) Bruk grenseflatebetingelsen i overflaten til å finne dispersjonsrelasjonen. Hint; benytt Eulers trykklikning for z = 0: Φ t + p ρ g z = 0, 33

40 Chapter 9 Oppgavesett 9 Tyngdebølger III Tyngdebølger IV 34

41 9.1 Tyngdebølger III Denne oppgaven er fra Furevik (2005), her oversatt til norsk. Vi har tidligere sett på kun en enslig bølge. Vi skal nå utvide analysen til to bølger, definere gruppehastigheten og undersøke flere egenskaper til korte og lange bølger. 9A a) Vi skal nå se på to bølger med nesten likt bølgenummer, k 1 og k 2 (se figur 9.1). Hva er de tilhørende frekvensene ω 1 og ω 2 for et dyp på 10 m (korte bølger) og for et dyp på 1 cm (lange bølger)? 9A b) Hva er fasehastigheten c til de to bølgene for dyp- og gruntvannstilfellene? 9A c) La k 1 = k + δk, k 2 = k δk, ω 1 = ω + δω og ω 2 = ω δω, og vis at superposisjonen 1 av de to bølgene η 1 = η 0 cos(k 1 x ω 1 t), og η 2 = η 0 cos(k 2 x ω 2 t), kan skrives som η = 2η 0 cos(δkx δωt) cos(kx ωt), Hva er gruppehastigheten (c g ) av superposisjonen til de to bølgene for dyp- og gruntvanntilfellene? Hvordan er gruppehastigheten c g sammenlignet med fasehastigheten c? Samsvarer resultatene med figur 9.1? 9A d) Benytt definisjonen på gruppehastighet og dispersjonsrelasjonen c g ω k, ω 2 = g k tanh(kh), til å utlede dispersjonsrelasjonen for korte og lange bølger. Hva kan du si om dispersjonsegenskapene til de to bølgene? 1 Superposisjon av to bølger vil si å legge dem sammen. 35

42 Figure 9.1: To bølger med nesten like bølgenummer (øvre plot), superposisjonen av de to bølgene (andre plot), gruppen etter 10 sekunder for korte bølger (tredje plot) og for lange bølger (siste plot). 36

43 9.2 Tyngdebølger IV Denne oppgaven ble gitt til eksamen i GFO 110 høsten B a) I denne oppgaven skal vi studere tyngdebølger. Gjør kort greie for hvilke forenklinger vi gjør og vis at bevegelseslikningen blir v t = 1 ρ p g k, Her er v hastigheten, ρ tettheten (konstant), p er trykket og g er tyngdeakselerasjonen. 9B b) Hvilke vilkår må være oppfylt for at hastigheten kan skrives som et potensial Φ? Vis at dette vilkåret er oppfylt for likningen i a). 9B c) Vis at hastighetspotensialet tilfredstiller Laplace-likningen 2 Φ = 0. 9B d) Vi skal studere todimensjonale overflatebølger i et uendelig dypt hav med konstant tetthet. Still opp grenseflatebetingelsene for dette problemet, uttrykt i z = 0 og z. 9B e) Anta at Φ = Φ(x, z, t) kan skrives Φ = R(z)sin(kx kct), der k er bølgetallet og c er fasehastigheten. Finn generell løsning for R(z) og bruk grensebetingelsene til å bestemme R(z). 9B f) Finn hastighetskomponentene som tilfredstiller grenseflatebetingelsene og skisser disse ved tidspunktet t = 0. 9B g) Finn Eulers likning på potensialform i z = 0, der Euler sin likning er gitt ved Φ t + p ρ + g z = 0, 9B h) Finn fasehastigheten! Er bølgene dispersive? Begrunn svaret! 9B i) Finn gruppehastigheten! 9B j) Betrakt en gruppe som består av to bølgekomponenter og skisser forplantningen av gruppen og enkeltbølgene. 37

44 9B k) Finn likningen for partikkelbanene og skisser disse. Kommenter svaret! 9B l) La typisk bølgelengde være 100 m. Hvor dypt går partikkelbevegelsen? Bruk dypet der amplituden er redusert til exp( 1) som et mål på at bevegelsen opphører. 38

45 Chapter 10 Oppgavesett 10 Indre bølger I Indre bølger II 39

46 10.1 Indre bølger I En modell av et islagt hav består av to like tykke, homogene, inkompressible og friksjonsløse væskelag. Det øvre laget har tetthet ρ 1 og det nedre laget har tetthet ρ 2 (se figur 10.1). Isen tenkes fast og ute av stand til å bevege seg. Lagenes tykkelse er H. Skilleflaten z = 0 tenkes pertubert slik at en bølgebevegelse settes opp i de to væskelagene. Bevegelsen antas å være en funksjon av x, z og t. Figure 10.1: Skisse av et islagt hav som består av to like tykke lag med tetthet ρ 2 (nedre lag), og ρ 1 (øvre lag). Langs skilleflaten z = η har en bølge forplantet seg. 10A a) Gjør greie for hvilke betingelser som må være oppfylt for at den pertuberte hastigheten i hvert av lagene skal kunne utledes av et potensial (v = Φ), og vis at hvert av potensialene da oppfyller Laplace-likningen i planet dvs. 2 Φ 1 = 2 Φ 2 = 0, ( 2 = 2 x z 2 ) (10.1) 10A b) Gjør greie for de grenseflatebetingelser som gjelder for bevegelsen ved de faste flater z = H og z = H, foruten ved skilleflaten z = η. Uttrykk dem ved hastighetskomponentene og lineariser dem. 10A c) Vis at Φ 1 = A 1 cosh(kz kh)cos(kx kct), (øvre lag) (10.2) Φ 2 = A 2 cosh(kz kh)cos(kx kct), (nedre lag) (10.3) er løsninger av likning (10.1), og at disse tilfredsstiller grenseflatebetingelsene ved de faste flater z = H og z = H. Her er A 1 og A 2 konstanter, k er bølgetallet, c er fasehastigheten og t er tiden. 40

47 10A d) Vis at bølgetallet og fasehastigheten er forbundet gjennom likningen c 2 = g k ρ2 ρ 1 ρ 2 + ρ 1 tanh(kh), og diskuter de to tilfellene ρ 2 < ρ 1 og ρ 2 > ρ 1. Anta at ρ 2 > ρ 1 og diskuter de to tilfellene kh 1 og kh 1. 10A e) Når løsningen har formen (10.2) og (10.3) så har skilleflaten formen η = Asin(kx kct). Finn et uttrykk for A. 41

48 10.2 Indre bølger II 10B a) Still opp de lineraiserte likninger for lange (hydrostatiske) todimensjonale bølger. 10B b) Vis at for lange bølger er horisontalhastigheten uavhengig av vertikalkoordinaten og benytt dette til å integrere kontinuitetslikningen over et lag. 10B c) En modell av en islagt fjord består av to homogene, inkompressible og friksjonsløse væskelag. Det øvre laget har tykkelsen h 1 og tetthet ρ 1, det nedre laget har tykkelsen h 2 og tetthet ρ 2, (se figur 10.2). Isen antas å ligge fast. Lange bølger oppstår i fjorden pga. at grenseflaten ved z = 0 blir forstyrret. Still opp grenseflatebetingelsene som gjelder for bevegelsen og lineariser dem. Figure 10.2: En islagt fjord består av to lag med tetthet henholdsvis ρ 1 (øvre lag), og ρ 2 (nedre lag). Lange bølger oppstår langs skilleflaten z = η. 10B d) Vis spesielt (ved derivasjon) at den dynamiske grenseflatebetingelsen ved skillefalten z = ζ kan skrives ρ 1 u 1 t + ρ 1 g ζ x = ρ 2 u 2 t + ρ 2 g ζ x, 10B e) Vis ved utledning at utslaget på grenseflaten tilfredstiller likningen 2 ζ t g h 1 h 2 (ρ 2 ρ 1 ) 2 ζ 2 ρ 1 h 2 + ρ 2 h 1 x, 2 42

49 10B f) Anta at vi har progressive bølger og still opp et uttrykk for ζ og bestem fasehastigheten c. Finn c når h 1 h 2. 10B g) Anta at grenseflaten har form som en sinusbølge og vis at h 1 u 1 + h 2 u 2 = 0. 10B h) Skisser horisontalhastighetene i øvre og nedre lag ved et gitt tidspunkt. 43

50 Bibliography Furevik, T. (2005), Exercises in atmosphere-ocean dynamics, Pond, S. & Pickard, G. L. (1983), Introductory dynamical oceanography, Butterworth Heinemann. Wallace, J. M. & Hobbs, P. V. (1977), Atmospheric science - an introductory survey, Academic Press. 44