Løsningsforslag til oppgavesett for kurset GEOF110 - Innføring i havet og atmosfærens dynamikk

Transkript

1 Vedlegg til GEOF110 Løsningsforslag til oppgavesett for kurset GEOF110 - Innføring i havet og atmosfærens dynamikk Skrevet av Ole Henrik Segtnan January 2, 2008 Geofysisk Institutt Universitetet i Bergen

2

3 Forord Dette er ment som et løsningsforslag til oppgaveheftet i GEOF110 - Innføring i havet og atmosfærens dynamikk. Et appendix er inkludert, hvor kontinuitetslikningen er integrert over et lag. Dette er gjort siden en slik regneoperasjon inngår i mange oppgaver, og er såpass omfattende at det ikke er nødvendig å utføre den hver gang. Ellers er sitert litteratur listet i referanselisten. Dette er stort sett pensum fra kjente kurs i matematikk og fysikk undervist ved UiB, i tillegg til læreverket i GEOF110; Pond og Pickard (1983).

4

5 Contents 1 Oppgavesett Lokal- og totalderivert Stabilitet Oppgavesett Hydrostatisk trykk Bevegelseslikningen Oppgavesett Geostrofisk strøm - I Geostrofisk strøm - II Oppgavesett Geostrofisk strøm - III Geostrofisk strøm - IV Oppgavesett Ekman spiral Ekman-transport & Ekman-pumping Oppgavesett Virvling Oppgavesett Midtveiseksamen I Midtveiseksamen II Oppgavesett Tyngdebølger I Tyngdebølger II

6 9 Oppgavesett Tyngdebølger III Tyngdebølger IV Oppgavesett Indre bølger I Indre bølger II A Kontinuitetslikningen integrert over et homogent lag 87 Referanser 89

7 Chapter 1 Oppgavesett 1 Lokal- og totalderivert Stabilitet 1

8 1.1 Lokal- og totalderivert Løsningsforslag 1A a) Oppgaven kan besvares ved å benytte en konsistent matematisk metode (I), eller ved mer intuitive fysiske betraktninger (II). (I) Vi studerer en matematisk funksjon f som avhenger av variablene x 1, x 2,..., x n (f(x 1, x 2,..., x n )). Variablene x 1, x 2,..., x n er alle funksjoner av t, (x 1 (t), x 2 (t),..., x n (t)), slik at f = f(x 1 (t), x 2 (t),..., x n (t)). Ved å benytte kjerneregelen og derivere med hensyn på t, finner vi at: d dt (f(x 1(t), x 2 (t),..., x n (t)) = f x 1 x 1 t + f x 2 x 2 t f x n x n t, (1.1) La nå γ være en funksjon av tiden t og de tre romvariablene x, y og z, som igjen avhenger av tiden t, (γ = γ(t, x(t), y(t), z(t))). Ved å derivere mhp. t finner vi tilsvarende som for f: d γ γ(t, x(t), y(t), z(t)) = dt t + γ x x t + γ y y t + γ z z t, (1.2) Fra fysikkfaget vet vi at u = d x (x(t)) = (Lien og Løvhøiden 2001). Helt analogt dt t følger det at v = y z og w =. Dermed kan Likning (1.2) skrives som: t t d γ (γ(t, x(t), y(t), z(t)) = dt t + γ x u + γ y v + γ z w = γ t + u γ, (1.3) (II) La oss nå studere en egenskap γ, for eksempel temperatur eller saltinnhold. La x 1 og x 2 være to punkter, og x = x 2 x 1 1. Videre la t 1 og t 2 være to ulike tidspunkt og t = t 2 t 1 1. I løpet av tiden t lar vi γ bevege seg fra x 1 til x 2. Den totale endringen i γ ( γ T OT ) er da: γ T OT = γ t + γ x = γ γ x + x t t, (1.4) Her svarer γ x til forandringen i γ som skyldes endring av γ langs x-aksen, mens γ t beskriver endringen av γ pga. lokal tidsavhengighet. Videre er det benyttet Taylorutvikling av 1. orden. Endring av γ per tid finner vi av følgende uttrykk: γ T OT t = γ t + x t γ x, (1.5) 2

9 Når t 0 kan likning (1.5) skrives som: γ T OT t = γ t + u γ x, (1.6) 1A b) I oppgaven er det gitt at vindstyrken er konstant, v = 15 m/s overalt og til enhver tid. Vi vil finne gjennomsnittlig temperaturendring av en luftpakke som beveger seg sørover. Temperaturendringen på en gitt lokasjon finner vi vha. likning (1.2), med T γ = T, u = w = 0, og v = -15 m/s. = -2 C/h. Vi har: t dt dt = T t + T y v. Siden T er konstant i tid og rom vil den gjennomsnittlige verdien (mhp. tid og t rom) være konstant. v er konstant i tid og rom, mens T avhenger av rom, men ikke y tid, siden T kan uttrykkes T = T (y) + α t (husk at T er konstant), og dermed t blir T = T (y). Derfor får vi at gjennomsnittlig endring i temperaturen (T ) for en y y luftpakke som beveger seg sydover er gitt som: < dt dt T >= t T L 1 y vdy,, (1.7) <> angir et romlig gjennomsnitt, 1 og 2 angir posisjonen til de to stasjonene i avstand L i fra hverandre. Likning (1.7) kan løses og vi får: < dt dt >= T t + 1 L v (T 2 T 1 ), (1.8) T 2 og T 1 angir temperaturen ved de to stasjonene. Ved å sette inn for T 1, T 2, T t, og L finner vi at: < dt dt > = -2 C/h - 15 m/s (5-15) C/100 km = 3,4 C/h. 1A c) Igjen ønsker vi å benytte likning (1.2), denne gang med γ = v, u = w = 0, = -5 m/s. Da får vi at: dv og v t dt = v t + v y v, (1.9) Som for temperaturen har vi at v = ṽ(y) + α t. Når vi skal finne gjennomsnittlig akselerasjon ( dv ) for en luftpakke som beveger seg sydover, må vi integrere over y- dt og tids-aksen, over lengden L, svarende til avstanden mellom de to stasjonene, og 3

10 perioden T, som angir tiden det tar for en partikkel å bevege seg fra den nordlige til den sørlige stasjonen. L er kjent, og oppgitt til å være 100 km. Perioden avhenger av hvilke partikkel vi studerer, ettersom hastighetene øker med tiden. For å være i stand til å finne en løsning defineres oppgaven s.a. vi studerer akselerasjonen over et kort tidsintervall. Da må det fortsatt tas hensyn til v v, men v kan anses som konstant t y mhp. t over et kort tidsintervall. Vi studerer derfor kun et romlig gjennomsnitt: < dv dt < dv dt < dv dt v >= t v vdy,, (1.10) L 1 y v >= t L 1 y (1 2 v2 )dy, (1.11) >= v t + 1 L 1 2 (v2 2 v 2 1), (1.12) v 1 og v 2 svarer til hastigheten ved de to stasjonene. Insatt får vi dermed at: < dv dt > = -5 ms 1 h km [( 6)2 - ( 10) 2 ] m 2 s 2 = ms 2. 1A d) i) Vi vil finne p. Fra båt 3 ser vi at: t dp dt = p t + u p x + v p y = p t = 1 mb/h ii) Vi finner deretter p y dp = p dt fra båt 1: + v p = 0 t y p = p 1 = -5,6 y t v 10 5 mb/m iii) Vi finner til slutt p x dp = p + u p dt t x = -2 mb/h fra båt 2: p = ( dp p ) 1 = -8,3 x dt t u 10 5 mb/m. iv) p = p x i + p y j = (-8,3 i - 5,6 i) 10 5 mb/m. v) Størrelsen på trykkgradienten finner vi ved å benytte den pytogreske læresetningen H 2 = k k 2 2, som gir H = 0,1 mb/km. 4

11 vi) Retningen av trykkgradienten finner vi ved invers cosinus av den hosliggende katet og hypotenus. Maksimal trykkgradient har verdi 0,1 mb/km og har retning fra nordøst (213 ). 5

12 1.2 Stabilitet Løsningsforslag 1B a) Med stabilitetsegenskaper menes utviklingen dersom en luft- eller vannpakke forflyttes fra opprinnelig plassering. Stabilitetsegenskapene til en vertikal kolonne med luft eller vann avgjøres av tetthetsstratifiseringen. Stabil sjiktning: Tung luft/vann ligger under letter vann. ρ z < 0. Indifferent/nøytral sjiktning: Lik tetthet i hele søylen. ρ z = 0. Instabil/ustabil sjiktning: Lett vann/luft ligger under tyngre vann/luft ρ z > 0. - Stabiliteten til en vannsøyle kan påvirkes av avkjøling ovenfra (vinteravkjøling). - Solstråling kan varme luften nær bakken s. a. denne blir lettere enn den overliggende luften. - Blandingsprosesser (turbulens) skaper mer nøytral sjiktning. 1B b) For å utlede stabilitetsuttrykket deler vi inn i flere steg: i) Studerer tetthetsforandringene til en vannpakke som forflyttes i vertikal retning. Vi antar at tettheten ρ avhenger av trykk (p), saltinnhold (S) og temperatur (T ), som igjen avhenger av vertikalkoordinatet z; ρ = ρ(p(z), S(z), T (z)). Anta at vi flytter en vannpakke en avstand z, uten at den blandes med det omliggende vannet. Vi skal studere vannpakkens nye tetthet i forhold til tettheten til omliggende vann. Indeksen p benyttes om vannpakken, mens w beskriver det omliggende vannet. Forandring i pakkens tetthet er gitt som: ρ p = ( ρ ρ p + p S ρ p = ( ρ p p ρ z + z S S z S + ρ T T ) p, (1.13) z + ρ T T z z) p, (1.14) For vannpakken som løftes vil forandring i saltinnhold styres av diffusjon, som er en langsomtvirkende prosess. Derfor kan vi si at ρ S = 0. 6

13 ρ p = ( ρ p p ρ z + z T T z z) p, (1.15) Temperaturendringene som følger av at partikkelen løftes, skyldes at vannpakken ekspanderer (utvides), siden vi ser bort fra diffusjon. Ingen varme tilsettes og prosessen sies å være adiabatisk, og ρ p er gitt ved: ρ p = ( ρ p p ρ z + z T ( Γ) z) p, (1.16) Γ = adiabatisk temperaturgradient = T z p. ii) Dernest studeres hvordan omliggende vann forandrer seg i vertikal retning: ρ w = ( ρ ρ p + p S ρ w = ( ρ p p ρ z + z S S z S + ρ T T ) w, (1.17) z + ρ T T z z) w, (1.18) iii) Kreftene som virker på vannpakken er oppdriften, som er tyngden av fortrengt masse og virker i positiv z-retning (Lien og Løvhøiden 2001), og tyngden av vannpakken (virker i negativ z-retning). ΣF z = g (ρ w + ρ w ) V g (ρ } {{ } p + ρ p ) V, (1.19) } {{ } OP P DRIF T T Y NGDEN V = volumet av vannpakken. ρ p og ρ w er tettheten ved pakkens utgangsposisjon og er derfor like store. Vi får at: ΣF z = g V [( ρ p p ρ z+ S ρ z+ T z S z T z z) w ( ρ p p ρ z+ z T ( Γ) z) p], (1.20) Trykket på vannpakken og vannet rundt er likt, og vi kan derfor skrive: ΣF z = g V [( ρ S S z z + ρ T T z z) w ( ρ T ( Γ) z) p], (1.21) ΣF z = g V z [( ρ S S z + ρ T T z ) w ( ρ T ( Γ)) p], (1.22) ΣF z = g V ρ ρ ρ z [( S S z + ρ T T z ) w ( ρ T ( Γ)) p], (1.23) 7

14 ΣF z = g ( m) z [ 1 ρ ( ρ S S z + ρ T T z ) w ( ρ T ( Γ)) p] } {{ } =E, (1.24) 1B c) σ t finner vi vha. tabell 1. Omtrentlige verdier av σ t er plottet i tabellen under. Dyp [m] Temperatur [ C] Saltinnhold [ppm] Tetthet [kg/m 3 ] 0-1,0 32,3 26,0 10-1,0 32,3 26,0 20-1,0 32,3 26,0 30-1,0 32,3 26,0 40-1,0 32,7 26,3 50-1,0 33,5 26, ,0 34,3 27, ,5 34,5 27, ,0 34,7 27, ,9 28, ,0 35,0 28, ,5 35,0 28, ,0 35,0 28, ,5 35,0 28, ,0 35,0 28,2 Table 1.1: Tetthet som funksjon av dypet. E er gitt som 1 ρ σt z, ρ = σ t σ t σt tilnærmes av, hvilket er en best tilnærming for z-verdier mellom to målepunkt. z z Vi finner altså E for de dyp som er angitt i tabell 1.2, som ikke er de samme som i tabell 1.1. Vi finner nøytral sjiktning i overflatelaget, mens det er ustabilt mellom -250 m og -300 m. 1B d) Kreftene som virker er oppdriftskreftene og tyngden av vannpakken. ΣF z = m a, (1.25) 8

15 Dyp [m] E [m 1 ] Table 1.2: Stabilitetsparameteren E i ulike dyp. 9

16 hvor a er akselerasjon. ΣF z = m d2 ( z) = g z m E, (1.26) dt2 Ved å forkorte gir dette følgende likning for z: Dette gir tre ulike løsninger avhengig av verdien til g E. i) g E > 0: z = A sin( g E t t 0 ) ii) g E = 0: z = A t + B d 2 ( z) + g E z = 0, (1.27) dt2 iii) g E < 0: z = A exp( g E t) + B exp ( g E t) Tolkning i) Vannpakken føres ut av likevekt og tvinges tilbake på grunn av at tyngden er sterkere enn oppdriften. Farten pakken har fått fører den et stykke forbi likevekt, før oppdriften tvinger den tilbake igjen. Slik svinger vannpakken om et likevektspunkt. Vi har stabil sjiktning. ii) Oppdrifts- og tyngdekrefter er like store, s. a. ΣF z = 0. Dersom en vannpakke settes i bevegelse fortsetter den med konstant hastighet i denne retningen. Vi har nøytral sjiktning. iii) Pakken løftes oppover og oppdriftskreftene er større enn tyngdekreftene, hvilket medfører ytterligere akselerasjon oppover. Instabil sjiktning. Vi har stabil sjiktning for z = -45 m, E = g E = 0,025 s 1. Svingeperioden blir T = 2 π g E = 256 s. 10

17 Chapter 2 Oppgavesett 2 Hydrostatisk trykk Bevegelseslikningen 11

18 2.1 Hydrostatisk trykk Løsningsforslag 2A a) Hydrostatisk likning er gitt som: I øvre lag er ρ konstant og lik ρ 1. p z = ρ g, (2.1) p z = ρ 1 g, (2.2) Ved å integrere fra vilkårlig z, som ligger i øvre lag, til overflaten, her gitt ved z = 0, finner vi et uttrykk for trykket i nivå z. Likning (2.2) 0 z p 0 z dz = ρ 1 gdz, (2.3) z p 0 p(z) = ρ 1 g z 0 z = 0 ( ρ 1 g z), (2.4) p 0 er trykket ved overflaten. p(z) = p 0 ρ 1 g z, (2.5) Vi skal nå beregne trykket i nedre lag. Vi har: 0 z { ρ1 dersom z > h ρ(z) = dersom z < h ρ 2 p z = ρ g, (2.6) p 0 h 0 z dz = ρ gdz = ρ 2 gdz + ρ 1 gdz, (2.7) z z h p(z) = p 0 (ρ 2 ρ 1 ) g h ρ 2 g z, (2.8) 2A b) (I) Vi ønsker å finne trykket i 100 m dyp. Da er vi i øvre lag og må bare ta hensyn til tettheten i dette laget. Derfor kan vi sette rett inn i likning (2.5). p(z = 100) = p 0 ρ 1 g z = , 81 ( 100) = 11, Pa, (2.9) 12

19 (II) Vi ønsker å finne trykket i 1000 m dyp. Da er vi i nedre lag og må ta hensyn til tettheten både i dette laget og i det øvre. Derfor setter vi inn i likning (2.8). p(z = 1000) = p 0 (ρ 2 ρ 1 ) g h ρ 2 g z = 10 5 ( ) 9, , 81 ( 1000) = 101, Pa, (2.10) 2A c) Det er ingen horisontale tetthetsgradienter, samt ingen overflatehelning, ergo ingen horisontale trykkrefter. La oss anta at i utgangspunktet er horisontal hastighet lik 0. Det er mulig å indusere horisontal bevegelse fra vertikale hastigheter, ettersom horisontal akselerasjon avhenger av vertikal hastighet gjennom coriolisleddet. Dette er imidlertid ubetydelig lite ( du 2 Ω cos(φ) w), hvor Ω er jordrotasjonen gitt ved dt 7, s 1, og φ er en breddegrad på jorden. Fra denne diskusjonen kan det konkluderes med at dersom tettheten kun avhenger av vertikalkoordinatet, vil den horisontale bevegelesen ikke påvirkes. 13

20 2.2 Bevegelseslikningen Løsningsforslag 2B a) Kort beskrivelse av de enkelte leddene i bevegelseslikningen: dv dt 1 ρ = akselerasjon (lokal og advektiv) sett i forhold til jorden som referanseramme. p = akselerasjon som følge av trykkrefter. f k v = horisontal akselerasjon som følge av jordens rotasjon (corilisleddet). g = tyngdeakselerasjon (gravitasjonsleddet). A H ( 2 v x v y 2 ) = horisontalt friksjonsledd mellom vannmasser. A z 2 v z 2 = vertikalt friksjonsledd mellom vannmasser. 2B b) Eulerbeskrivelse studerer hvordan bevegelsen foregår i et fast punkt, mens en Lagrangebeskrivelse forklarer bevegelsen ved å følge vannmassene. 2B c) Vi har en Eulersk beskrivelse, ettersom målingene finner sted i et fast punkt. Den midlere hastigheten kan tilnærmes ved: v = 1 N ΣN i=1 ( L) T i, hvor T angir et fast tidsteg, ( L) i avstanden en vannmasse beveger seg i løpet av et tidsteg i, mens N er antall tidssteg i den perioden som studeres. Den gjennomsnittlige hastigheten kan skrives som: v = 1 T ΣN i=1( L) i, T = T N = total tid. v = L T, hvor L summen av ( L) i over perioden T september er den midlere strømretningen fra nordvest, og kan tilnærmes med en rett linje. Ved å benytte den Pytogreske læresetning, og avlesning av figuren, finner vi at L er gitt ved: L = L 2 x + L2 y = (50) 2 + (80) 2 [km] = 94 km. Da finner vi midlere hastighet til å være lik 0,18 m/s, som er av størrelsesorden B d) Skalering av horisontalbevegelsen. Indeksen H angir horisontal bevegelse. 14

21 dv H dt L T T = L T ρ Hp, har ikke tilstrekkelig opplysninger til å skalere trykkleddet, men vet fra tidligere at vannmasser i Middelhavet er styrt av trykkrefter. f k v H f L T g H = 0 A H ( 2 v H x v H y 2 ) 10 5 L T L 2 = L T A z 2 v H z L T H De dominerende leddene for den horisontale bevegelsen er 1 ρ Hp og f k v H. Skalering av vertikalbevegelsen. Indeksen z angir vertikal bevegelse. dv z dt H T T = H T ρ zp, antar hydrostatisk tilnærming, og beholder det vertikale trykkleddet. f k v z f H T g z 10 1 A H ( 2 v z x v z ) 10 5 H y 2 T L 2 A z 2 v z z H T H De dominerende leddene for den vertikale bevegelsen er 1 ρ p z og g. Med bakgrunn i skaleringen kan bevegelseslikningen tilnærmet skrives: 0 = 1 p f k v + g, (2.11) ρ 2B e) Likning (2.11) går under tilnavnet geostrofisk balanse. 2B f) Rossbytallet er gitt som R 0 = v 0 f L = L T f L = 1 f T =

22 Rossbytallet benyttes til å studere betydningen av ikke-lineære ledd i forhold til coriolisleddet ( v 0 v0 L f v 0 = v 0 = R f L 0). Det horisontale Ekmantallet er gitt som E kh = A H f L Det vertikale Ekmantallet er gitt som E kz = Az f H Ekmantallet benyttes til å studere betydningen av friksjonsledd i forhold til coriolisleddet ( Az v0 L 2 f v 0 = Az f L 2 = E kz ). 2B g) Tidsskalaen T er omløpstiden for en omdreining. vannpakken seks sirkler. På fire dager gjennomgår 4 dager delt på 6 sirkler gir 16 h per sirkel. T = 16 h. Sirklene har radius R = 2 km. Omløpstiden blir dermed lik v i = 2 π R = 0,2 m/s. T 2B h) Siden vi fortsatt studerer bevegelsen i et fast punkt (Euler-beskrivelse) holder vi lengdeskalaen fast til å være lik 500 km, men tidsskalaen er betydelig redusert. Derfor får vi nå også bidrag i bevegelseslikningen fra den lokalderiverte ( v H t ). Bevegelseslikningen tar da formen: v H t = 1 ρ Hp f k v H, (2.12) Ettersom v H t dv H dt, kan likning (2.12) skrives som: dv H dt = 1 ρ Hp f k v H, (2.13) Dette er imidlertid ikke en optimal beskrivelse av fenomenet vi skal studere. Vi holder oss derfor til formen gitt i likning (2.12). 2B i) Søker en løsning v H gitt som v i + v g, hvor v g tilfredstiller likning (2.11). Setter inn for v H i likning (2.12), hvilket gir: (v g + v i ) t = 1 ρ Hp f k (v g + v i ), (2.14) v i t = 1 ρ Hp f k v g f k v i, (2.15) } {{ } =0 16

23 Dermed får vi at: v i t = f k v i, (2.16) 2B j) Bevegelsen beskrevet av likning (2.16) kalles for treghetssvingninger. 2B k) Vi setter (2.16) opp på komponentform, med u i som x-komponent av v i og v i som y-komponent. u i t f v i = 0, (2.17) v i t + f u i = 0, (2.18) v 2 i = u2 i + v2 i, (2.19) Vi kombinerer likningene (2.17), (2.18) og (2.19), ved at vi deriverer (2.19) mhp. t (som er det eneste v i avhenger av), og setter så inn for u i og u i ved å benytte (2.17) t t og (2.18). v 2 i t = 2 u i u i t + 2 u i u i t, (2.20) v 2 i t = 2 u i ( f v i ) + 2 v i (f u i ) = 2 u i v i f ( 1 + 1) = 0, (2.21) Når v 2 i er konstant må også v i være konstant. 2B l) Vi deriverer likning (2.17) og likning (2.18) mhp. t, og kombinerer dem på nytt ved å sette inn for u i og u i ved å igjen benytte (2.17) og (2.18). t t t u i t f v i = 0, (2.22) 2 u i t 2 f v i t = 2 u i t 2 + f 2 u i = 0, (2.23) t v i t + f u i = 0, (2.24) 17

24 2 v i t + f u i 2 t = 2 v i t + f 2 v 2 i = 0, (2.25) Andre ordens ordinære differensiallikninger av formen (2.23) og (2.25) gir løsning på formen: u i = A 1 cos(ft) + B 1 sin(ft), (2.26) v i = A 2 cos(ft) + B 2 sin(ft), (2.27) For å bestemme konstantene benytter vi at u 2 i + v 2 i er lik en konstant k. u 2 i + v 2 i = (A A 2 2) cos 2 (ft) + 2 (A 1 B 1 + A 2 B 2 ) cos(ft)sin(ft) + (B B2 2 ) sin2 (ft) = k, (2.28) Kravet beskrevet i likning (2.28) oppfylles ved å velge A 1 = B 2 og B 1 = A 2. u 2 i + v2 i = (A2 1 + B2 1 ) cos2 (ft) + (B A 2 1) sin 2 (ft) = (A B 2 1) = k, (2.29) 2B m) v i går som Vi vet at v i = U sin(ft + γ) i + U cos(ft + γ) j. (2.30) Derfor har vi at x i t = v i, (2.31) x i sin(ft + γ) i + cos(ft + γ) j, (2.32) x i avtegner sirkler som må ha omløpstid gitt ved T f = 2 π, (2.33) 18

25 T = 2 π f, (2.34) For f 10 4 får vi at den teoretiske perioden T er lik 17,5 h. 2B n) Vi vil nå finne den teoretiske radiusen R. t t 0 x t t dt = u i dt, (2.35) t 0 x x 0 = U f cos(ft + γ), (2.36) t t 0 y t t dt = v i dt, (2.37) t 0 y y 0 = U f sin(ft + γ), (2.38) (x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 = ( U f )2, (2.39) Vannpartiklene følger sirkler med radius U. Vi kan og finne R ut i fra følgende likning: f T = 2 π R U = 2 π f, (2.40) R = U f, (2.41) Når absolutthastigheten er lik 0,1 m/s, har vi at partiklene følger sirkelbaner med radius lik R = U f = 0, [m] 1 km. Resultatene i oppgave 2B m) og 2B n) er i overenstemmelse med observasjonene fra figuren. 19

26 Chapter 3 Oppgavesett 3 Geostrofisk strøm - I Geostrofisk strøm - II 20

27 3.1 Geostrofisk strøm - I Løsningsforslag 3A a) For geostrofisk strøm blir bevegelseslikningen på komponentform slik: 0 = 1 ρ p x + f v, (3.1) 0 = 1 ρ p y f u, (3.2) 0 = 1 ρ p z g, (3.3) Ved geostrofisk likevekt er det trykk- og coriolisleddet som dominerer horisontal bevegelse, og vi antar balanse mellom disse slik at ΣF H = 0. 3A b) Vi benytter ligningene (3.1), (3.2) og (3.3). Først deriverer vi likning (3.1) mhp. z, slik at vi får: z ( f v) = 1 ρ z ( p x ) + 1 ρ ρ 2 z p x 1 ρ z ( p x ), (3.4) Antar at trykket er kontinuerlig mhp. 2. ordens partsielt deriverte, og benytter likning (3.3), v z f = 1 ρ x ( p z ) = 1 ρ x ( ρ g) = g ρ ρ x, (3.5) Tilsvarende uttrekninger utført på likning (3.2) gir: v z = g ρ f ρ x, (3.6) u z = g ρ f ρ y, (3.7) Helland-Hansens strømformel er en annen form av termalvindlikningene, og ble tidligere benyttet i strømmålinger. Utledning av denne likningen er overkommelig og er å finne i Pond og Pickard (2005). 3A c) Helland-Hansens strømformel er gitt som: 21

28 V 1 V 2 = 1 p2 p2 L f [ δ B dp δ A dp], (3.8) p 1 p 1 Hydrostatisk likning, (3.3), gir sammenhengen mellom trykket p, tettheten ρ og dypet z, ved at: p(z) = g ρ z, ρ = z 0 ρdz z (3.9) g ρ er tilnærmet lik konstant og settes til 10 4, slik at p(z) = 10 4 z. Dermed får vi: V 1 V 2 = 1 p2 L f k (1 + z )dp, (3.10) p 1 h V 1 V 2 = k L f (p h p2 ) p 2 p 1, (3.11) V 1 V 2 = k L f [p 2 p h (p2 2 p2 1 )], (3.12) For V 2 = 0, p 2 = 10 4 h = = 10 7, L = 10000, k = 10 8 og f = 7,3 10 5, finner vi at V 1 = 0,07 m/s. 22

29 3.2 Geostrofisk strøm - II Løsningsforslag 3B a) Kort beskrivelse av de enkelte leddene i horisontal del av bevegelseslikningen: dv dt 1 ρ = akselerasjon (lokal og advektiv) sett i forhold til jorden som referanseramme. p = akselerasjon som følge av trykkrefter. f k v = horisontal akselerasjon som følge av jordens rotasjon (corilisleddet). a v = friksjonsledd. 3B b) Konstant felt, ingen romlige gradienter. I fortsettelsen benyttes resultater fra oppgavesett 2B l). Vi får at: 2 u i t 2 2 v i t 2 f v i t = 2 u i t 2 + f 2 u i, (3.13) + f u i t = 2 v i t 2 + f 2 v i, (3.14) Vi har tidligere sett at dette gir sirkelbaner. 3B c) Vi fant perioden T til å være gitt ved T = 2 π f. f(30 ) = 7, s 1 f(90 ) = 1, s 1 T (30 ) = 1 d T (90 ) = 12 h Radiusen R er gitt som U f 3B d) Antar balanse mellom coriolis- og trykkraft, 1 p f k v = 0, (3.15) ρ 3B e) Vinden følger isobarene siden v p (v p = 1 ρ f ( p y p x p x p y ) = 0) 23

30 For geostrofisk vind vil hastigheten avhenge av tettheten ρ, coriolisparameteren f og avstanden mellom isobarene. Når tettheten er tilnærmet lik for Bergen og Nordpolen og avstandene mellom isobarene er like, avgjøres vindhastigheten av coriolisparameteren, som er størst på Nordpolen. Derfor er vindstyrken størst i Bergen. 3B f) Dersom friksjon ikke neglisjeres vil hastigheten avta, hvilket reduserer corioliskraften, s. a. denne ikke lengre kan balansere trykkreftene og systemet akselereres (ΣF 0) i retning angitt av trykkreftene. 3B g) Studerer jevn banehastighet som følger sirkelbevegelsen, v θ = ṽ θ (r). Utledningene er basert på Lien og Løvhøiden (2001). Skjematisk beskrivelse er gitt i figur 3.1. r s v(t) = lim t 0 = lim t t 0 r = v t s θ u T, hvor u T er tangentiell enhetsvektor, og s er en liten vinkelbue. a(t) = d dt (v θ u T ) = v θ du T dt du T dt = lim t 0 α u N t, hvor α er en liten vinkel, avgrenset av s, s. a. α = s R, R er radius i sirkelen. u N er normal enhetsvektor. Dermed finner vi akselerasjonen a(t) til å være: a(t) = v θ d dt (u T ) = v2 θ R u N For jevn sirkelbevegelse kan vi sette opp følgende likning: vθ 2 R + f v θ + 1 ρ p n = 0, (3.16) For rettlinjet bevegelse kan vi sette opp denne ligningen: f v θ + 1 ρ p n = 0, (3.17) Løsning av (3.17) er gitt ved: v θ = 1 ρ f p n, (3.18) mens løsning av (3.16) er gitt ved: 24

31 Figure 3.1: Sirkulær bevegelse med konstant banehastighet v θ. f ± v θ = f 2 4 R ρ p n Vi ser at de to løsningene skiller seg fra hverandre. 2 R, (3.19) 3B h) Termalvindlikningen beskriver forskjellen i geostrofisk hastighet i to ulike trykkniåer, som en funksjon av temperaturgradienten. Som vi tidligere har sett muligjøres geostrofisk vind av at det eksisterer en sammenheng mellom trykkrefter og kreftene indusert av jordens rotasjon. 3B i) Ved å kjenne forskjellen i geostrofisk hastighet mellom to trykkflater, er det mulig å finne den midlere temperaturfordelingen sin gradients styrke og retning. 3B j) Ettersom temperaturen ved polene er mer tidsavhengig enn områdene rundt ekvator, er temperaturforskjellen mellom nordlige og sørlige breddegrader størst om vinteren (innstråling i nord preges av deklinasjonsvinkelen). Grunnen til at oppgaven fokuserer på øvre lag, er trolig at trykkflatene øker med høyden. Dette skyldes at trykklinjene tiltes jevnt, s. a. trykkflatene høyt oppe i troposfæren opplever tilten under dem, pluss sin egen tilt. 3B k) Varmluftsadveksjon finner sted når varm luft transporteres mot et kaldere området. Da må vinden ha en komponent normalt på temperaturkonturene. Fra 25

32 termalvindlikningen forstår vi at termalvinden er parallell med temperaturkonturene, med kald luft til venstre for termalvindens retning. Dersom geostrofisk vind i et av trykknivåene har retning fra varm luft, mot kald, har vi varmluftadveksjon. A) I det første tilfellet er termalvinden parallell med geostrofisk vind i begge nivåer, og varmluftadveksjon finner ikke sted. B) I det andre tilfellet har geostrofisk vind i begge nivåer en hastighetskomponent fra varm luft til kald luft, slik at det er varmluftsadveksjon. C) I det tredje tilfellet har geostrofisk vind i begge nivåene hastighetskomponenter fra kald luft til varm luft, og vi har ikke varmluftsadveksjon. 3B l) Vi ønsker å finne geostrofisk vind i et angitt trykknivå. Benytter termalvindlikningen, som angir geostrofisk vind i gitte nivåer. Vi observerer at det er virtuell temperatur og gasskonstanten for tørr luft som er oppgitt, slik at termalvindlikningen blir seende slik ut: v g 2 v g 1 + R d f lnp 1 p 2 (k T v ), (3.20) Vi finner at geostrofisk vind i 500 hpa er gitt som: v g 2 = v g 1 + R d f ln (k 1 i), (3.21) Siden vind fra syd-øst tilsvarer 135, får vi: v g 2 = 8, 23 cos(135)i + 8, 23 sin(135)j 11, 63j, (3.22) v g 2 = 5, 82ms 1 5, 82ms 1, (3.23) Ved å benytte den pytogreske læresetningen finner vi at den geostrofiske hastigheten i 500 hpa er lik 8,23 m/s. Den inverse tangens gir α 45, altså vind fra nordøst. 26

33 Chapter 4 Oppgavesett 4 Geostrofisk strøm - III Geostrofisk strøm - IV 27

34 4.1 Geostrofisk strøm - III Løsningsforslag 4A a) Ved geostrofisk likevekt er det trykk- og coriolisleddet som dominerer horisontal bevegelse, og vi antar balanse mellom disse slik at ΣF H = 0. Alle andre ledd i bevegelseslikningen sees bort ifra. For geostrofisk strøm blir bevegelseslikningen på komponentform slik: 0 = 1 ρ p x f v, (4.1) 0 = 1 ρ p y + f u, (4.2) 0 = 1 ρ p z g, (4.3) 4A b) Benytter hydrostatisk likning (4.3), til å finne et uttrykk for trykket p, ved å integrere mhp. z. p = ρ g z + p (x, y, t), (4.4) Grensebetingelsen for overflaten z = η, som sier at atmosfæretrykket neglisjeres (p(z = η) = 0), hjelper oss til å bestemme p : p(z = η) = ρ g η + p (x, y, t), (4.5) p (x, y, t) = ρ g η, (4.6) Derfor får vi følgende uttrykk for trykket: p(z) = ρ g (η z), (4.7) 4A c) Likning 4.1 gir: Når vi setter inn for trykket p får vi: v = 1 ρ f p x, (4.8) 28

35 v = 1 ρ f 1 (ρ g η ρ g z) = x ρ f ρ g (ρ g η) = x ρ f η x = g f η x, (4.9) Her har vi benyttet at tettheten ρ er konstant. Tilsvarende utrekninger gir at 4A d) Kontinuitetslikningen er gitt som: u = g f η y, (4.10) u x + v y + w z = 0, (4.11) Ved å integrer likning (4.11) over hele laget (fra z = h til z = η) får vi (se appendix): ((h + η) u) + x y ((h + η) v) + (h + η) = 0, (4.12) t Ettersom overflaten η er tidsuavhengig, og variasjonene i overflaten er små sammenlignet med gradientene i dypet (u η 0), og at η h, kan likning (4.12) reduseres x til: h ( u x + v y ) + u h x + v h y = 0, (4.13) 4A e) I Adams (1999) defineres en strømlinje som at den linjen en partikkel følger er tangentiell til det hastighetsfeltet væsken beskriver. Matematisk kan det uttrykkes slik: La x = x(t) angi posisjonen til en væskepartikkel ved tiden t. feltet være gitt ved F = v. For en strømlinje: La det stasjonære dx dt = v, (4.14) 4A f) Dersom η = konstant mhp t, er en strømlinje, må hastighetsfeltet v(x(t)) være parallelt med den romlige tangenten til η = konstant mhp. t. Da har vi at: v η = 0, (4.15) u η x + v η y w = 0, (4.16) 29

36 Under forutsetning at w 0 kan vi skrive at et kriterium for at η = konstant mhp t er en strømlinje er at: u η x + v η y = 0, (4.17) Nå skal det undersøkes om kriteriet fra likning (4.17) er oppfylt for en geostrofisk strøm. Det gjør vi ved å sette inn for u og v fra likningene (4.9) og (4.10): g f η y η x + g f η x η y = g f η y η ( 1 + 1) = 0, (4.18) y Derfor er v η = 0 og η = konstant mhp t er en strømlinje. 4A g) Horisontal divergens: v = u x + v y, (4.19) Igjen setter vi inn for u og v ved å benytte likningene (4.9) og (4.10): g f x ( η y ) + g f v = x ( g f η y ) + y ( g f η x ) = y ( η x ) = g f Her er det forutsatt kontinuitet mhp. 2. ordens partielt deriverte. 2 η ( 1 + 1) = 0, (4.20) x y 4A h) Dersom hastigheten går parallelt med bunnkonturene må vi ha at: v h = 0, (4.21) Ettersom horisontal divergens er null, ser vi fra likning (4.13) at v h = 0 4A i) Det er blitt gjort endel forenklinger. På den ene siden sier vi at w er konstant, men vi neglisjerer w i overflaten, for så å ta hensyn til vertikal hastighet langs bunnen. Videre har vi studert et stasjonært tilfelle med geostrofisk balanse, selv om figuren i oppgaven kan være noe misvisende i forhold til dette. Likevel, under de forenklingene som er blitt gjort, har vi kommet fram til at hastigheten er parallell med både overflatehevingen og bunnkonturene, og at hastigheten er konstant med dypet, ergo må overflateheving og bunnkonturer være parallelle. 30

37 4.2 Geostrofisk strøm - IV Løsningsforslag 4B a) Bevegelseslikningen kan skrives slik: dv dt = f k v 1 p + g + F, (4.22) ρ dv dt = akselerasjon (lokal og advektiv) sett i forhold til jorden som referanseramme. f k v = horisontal akselerasjon som følge av jordens rotasjon (corilisleddet). 1 ρ p = akselerasjon som følge av trykkrefter. g = tyngdeakselerasjon (gravitasjonsleddet). F = andre krefter. 4B b) Det er hydrostatisk balanse når vertikal akselerasjon er tilnærmet lik null, og det er balanse mellom tyngde- og trykkrefter. Hydrostatisk likning (4.3) gir: p = ρ g z + p (x, y, t), (4.23) Grensebetingelsen for overflaten z = η, som sier at atmosfæretrykket neglisjeres (p(z = η) = 0), hjelper oss til å bestemme p : p(z = η) = ρ g η + p (x, y, t), (4.24) p (x, y, t) = ρ g η, (4.25) Derfor får vi følgende uttrykk for trykket: p(z) = ρ g (η z), (4.26) 4B c) Geostrofisk strøm; balanse mellom coriolis- og trykkrefter. 0 = 1 ρ p x f v, (4.27) 31

38 0 = 1 ρ p y + f u, (4.28) 0 = 1 ρ p z g, (4.29) 4B d) Benytter hydrostatisk trykk og studerer forskjellen i trykk over en avstand x. Selv om tettheten ρ er en funksjon av x, holdes denne konstant over en kort avstand. I overflaten får vi da: p = ρ g η, (4.30) hvor η er forskjellen i overflateheving mellom to punkter i avstan x fra hverandre. Da blir den sonale trykkgradienten lik: p x = lim p x 0 x = lim ρ g η x 0 x Likeså får vi at meridional trykkgradient blir: p y = lim p y 0 y = lim ρ g η y 0 y = ρ g η x, (4.31) = ρ g η y, (4.32) Ved å så sette inn i likningene for geostrofisk strøm (4.1 og 4.2) får vi: 4B e) Tar utgangspunkt i likningene (4.1), (4.2) og (4.3). Først deriverer vi likning ((4.1)) mhp. z, slik at vi får: z ( f v) = 1 ρ u η = g f η y, (4.33) v η = g f η x, (4.34) z ( p x ) + 1 ρ ρ 2 z p x 1 ρ z ( p x ), (4.35) Antar at trykket er kontinuerlig mhp. 2. ordens partsielt deriverte, og benytter likning (4.3), v z f = 1 ρ x ( p z ) = 1 ρ 32 x ( ρ g) = g ρ ρ x, (4.36)

39 Ettersom ρ er konstant i dypet kan vi skrive: ρ v z = g f ρ x, (4.37) ρ v z = g f ρ x, (4.38) Tilsvarende uttrekninger utført på likning (4.2) gir: ρ u z = g f ρ y = 0, (4.39) 4B f) Boussinsq-approksimasjon vil si at vi beskriver tettheten ρ med en likevekttilstand ρ 0 og et pertubert ledd ρ (x, y, z, t). I oppgaven får vi oppgitt at ρ kan skrives som ρ = ρ 0 α x. ρ innsatt i likningene (4.38) og (4.39) gir: u z = 0, (4.40) v z = g f ρ ρ x = g α f ρ, (4.41) Homogen tetthet i meridional retning gjør at sonal geostrofisk hastighet er lik i alle dyp, mens tetthetsvariasjoner i sonal retning forårsaker meridional termalvind. Vi ser at hastighetsskjæret øker jevnt med tetthetsgradienten α. 4B g) Benytter likningene (4.27), (4.28) og (4.29), som gir: u = 1 ρ f y (ρ g (η z)) = g f η y = u η, (4.42) v = 1 ρ f x ((ρ 0 α x) g (η z)) = 1 g f η x α η (ρ g g (η z) α) = x f ρ g ρ f (η z) = v η α g ρ f (η z), (4.43) I meridional retning har vi kun en barotrop mode, mens i sonal retning er det både barotrop og barokline moder. Dette gir utslag i hastighetene u og v. 33

40 Chapter 5 Oppgavesett 5 Ekman-spiral Ekman-transport & Ekman-pumping 34

41 5.1 Ekman spiral Løsningsforslag 5A a) Deler bevegelsen inn i en ekmandrevet del u e at: og en geostrofisk del u g, slik u = u g + u e, (5.1) v = v g + v e, (5.2) Den geostrofiske komponenten er definert ved: f v g = 1 ρ 0 p x, (5.3) f u g = 1 ρ 0 p y, (5.4) Ved å benytte den hydrostatiske likningen kan vi finne et uttrykk for trykkleddet, for eksempel slik det ble gjort i oppgavesett 4. Vi ønsker å vise at geostrofisk del av strømmen er uavhengig av dypet, og gjør det ved å integrere likningene (5.3) og (5.4) mhp. z, etter at vi har satt inn for trykket. v g z = z ( g f η x ) = 0, (5.5) u g z = z ( g f η y ) = 0, (5.6) Deretter setter vi hastighetene u og v, gitt ved (5.1) og (5.2) inn i de horisontale komponentene av bevegelseslikningen, og benytter uttrykkene 5.3 og 5.4. For x-komponenten av bevegelseslikningen får vi: f (v e + v g ) = 1 ρ p x + ν 2 z 2 (u e + u g ), (5.7) f v e = 1 ρ p x + f u g } {{ } =0 +ν 2 u e z 2, (5.8) f v e = ν 2 u e z 2, (5.9) 35

42 Tilsvarende får vi for y-komponenten av bevegelseslikningen: f u e = ν 2 v e z 2, (5.10) 5A b) Innfører kompleks notasjon for ekman-bevegelsen, hvor vi lar imaginær-aksen beskrive nordlig retning (y-retning), og real-aksen angi østlig retning (x-retning). Ekmanhastigheten kan da skrives slik: u e = u e + i v e, (5.11) Vi multipliserer likning (5.10) med i, og legger til likning (5.9). Siden i 2 = 1 får vi: f ( v e + i u e ) = ν 2 z 2 (u e + i v e ), (5.12) i f ν (u e + i v e ) = 2 z 2 (u e + i v e ), (5.13) Og vi har dermed: 2 u e z 2 = i f ν u e, (5.14) Det kan hende at det finnes flere mulige løsninger. Vi prøver å finne en løsning på formen u e = exp(α z), som innsatt i likning (5.14) gir: α 2 exp(α z) i f exp(α z) = 0, (5.15) ν i f Dette gir løsning α = ± og u ν e kan dermed uttrykkes som: u e = A exp( i f ν z) + B exp( i f ν z), (5.16) Det er ukomfortabelt å forholde seg til i, og vi forsøker å forenkle dette uttrykket. Ved å følge framgangsmåten til Adams (1999) lar det seg gjøre. i = 1 exp(i π 2 ), (5.17) 36

43 ( π + 2π k) i = 1 exp(i φ), φ = 2 2, k = 0, 1 (5.18) φ 1 = 5 π 4, exp(i φ 1 ) = 1 + i 2 (5.19) Dermed kan u e uttrykkes: u e = A exp( z (1 + i)) + B exp( z 2 ν (1 + i)), D e = D e D e f (5.20) I det indre av væsken forsvinner ekmanbevegelsen, slik at for store dyp må vi ha at u e 0. Det er kun oppfylt for B 0, hvilket gir: u e = A exp( z D e (1 + i)), (5.21) 5A c) Løsningen for ekmanstrømmen er gitt vedu e = A exp( z D e (1 + i)). Isen følger strømhastigheten i øvre lag (z = 0). Ved å anta at ekmandelen av strømmen er den dominerende part, kan vi sette u e (z = 0) = u 0, og vi finner at A = u 0. Vi beregner ekmanhastighetene i følgende dyp: z = 0, z = De π, z = D 2 e π og z = 3 De π : 2 z = 0: u e = u 0 z = De π: u 2 e = u 0 exp( π i π ) exp( ) 2 2 z = D e π: u e = u 0 exp( π) exp( i π) z = 3 De π : u 2 e = u 0 exp( 3π i 3π ) exp( ) 2 2 Vi legger merke til at ekmanhastigheten avtar i strrelse med dypet, og roterer med klokken. I figuren til Miles McPhee, ser vi tydelig en ekmanspiral. verdien av ekmanstrømmen i to ulike dyp. ν kan finnes ved å finne For to dyp z 1 og z 2, med tilhørende ekmanhastigheter u e (z 1 ) og u e (z 2 ) har vi at: 37

44 z 1 D e ) u e(z 1 ) u e (z 2 ) = u 0 exp( z1 D e ) u 0 exp( z 1 D e ) = exp( exp( z 1 D e ) = exp(z 1 z 2 ), (5.22) D e Ved å anvende den naturlige logaritmen på begge sider av likhetstegnet får vi: hvilket gir følgende uttrykk for ν: z 1 z 2 = ln( u e(z 1 ) ), (5.23) D e u e (z 2 ) ν = f 2 [ (z 1 z 2 ) ln( ue(z 1) u e(z 2 ) )]2, (5.24) Fra figuren finner vi at u e ( 2m) = 9 m/s og at u e ( 4m) = 8 m/s, som innsatt i likning (5.24) gir ν = 2, Om vi derimot anvender verider i 0 og -2 m, får vi at ν = 2,2 10 4, som er av en størrelsesorden mindre enn den forrige verdien. Det virker derfor urimelig å anvende en konstant verdi for ν. 5A d) Ekmantransporten U, som er ekman-massetransport per areal per tid, er gitt ved: 0 U = ρ 0 u e dz, (5.25) 5D e hvor z = 5D e er et dyp hvor ekmanstrømmen er null. Dermed integreres det overalt hvor det er overflate-ekmantransport. Insatt for u e i likning (5.25) får vi: U = 0 Dette gir oss at ρ 0 u 0 exp(z 1 + i 5D e D e U = ρ 0 u 0 Uttrykket 1 i 2 kan forenkles slik: 1 i 2 )dz = ρ 0 u 0 [ D e 1 + i exp(z 1 + i D e )] 0 5D E, (5.26) D e 1 + i (1 0) = ρ 0 u 0 D e 1 i 2 = i 2 = 1 2 (cos(45) i sin(45)) =, (5.27) 1 (cos( 45) + i sin( 45)) = 1 exp(i ( π )), (5.28)

45 Dermed får vi at U u 0 exp(i ( π )) (5.29) 4 45 avbøyning til høyre i forhold til overflatestrømmen u 0. 39

46 5.2 Ekman-transport & Ekman-pumping Løsningsforslag 5B a) Deler bevegelsen inn i en ekmandrevet del u e at: og en geostrofisk del u g, slak u = u g + u e, (5.30) v = v g + v e, (5.31) Den geostrofiske komponenten er definert ved: f v g = 1 ρ 0 p x, (5.32) f u g = 1 ρ 0 p y, (5.33) Deretter setter vi hastighetene u og v, gitt ved (5.30) og (5.31) inn i likningene (??) og (??), og benytter uttrykkene 5.32 og For x-komponenten av bevegelseslikningen får vi: f (v e + v g ) = 1 ρ p x + 1 ρ 0 τ x z, (5.34) f v e = f v g 1 ρ p x } {{ } =0 + 1 ρ 0 τ x z, (5.35) v e = 1 ρ 0 f τ x z, (5.36) Tilsvarende finner vi for y-komponenten av bevegelseslikningen: u e = 1 ρ 0 f τ y z, (5.37) 5B b) Multipliserer likning (5.37) med i, og legger til likning (5.36), samtidig som vi bemerker at i 2 = 1. i 2 f v e + i f u e = 1 ρ 0 40 z (τ x + i τ y ) (5.38)

47 i f (u e + i v e ) = 1 ρ 0 z (τ x + i τ y ) (5.39) Innfører u e = u e + i v e, og τ = tau x + i tau y, slik som i oppgave 5A. Ved å dele begge sider med i f, og husker at 1 = i, får vi: i u e = i f ρ 0 τ z (5.40) I) Atmosfæren: Ekman-massetransport i atmosfæren er gitt som: U = Insatt for u e : 5De 0 ρ 0 u e dz, (5.41) U = 5De 0 i f τ i dz = τ (z) 5De 0 = i z f f τ s, (5.42) Her er det antatt at τ (5D e ) = 0. Siden i er gitt ved exp(i π ), kan U for atmosfæren 2 skrives: U = τ s f exp(i π 2 ), (5.43), og ekmanmassetransporten er rettet 90 til venstre for vind- Dermed er U = τs f stresset i overflaten. II) Havet: Ekman-massetransport i havet er gitt som: Insatt for u e : U = 0 U = 5D e i f τ z 0 5D e ρ 0 u e dz, (5.44) dz = i f τ (z) 0 5D E = i f τ s, (5.45) 41

48 Her er det antatt at τ (5D e ) = 0. Siden i er gitt ved exp(i π ), kan U for havet 2 skrives: U = τ s f exp( i π 2 ), (5.46), og ekmanmassetransporten er rettet 90 til høyre for vind- Dermed er U = τs f stresset i overflaten. 5B c) Det er ikke opplagt at kontinuitetslikningen kan anvendes på ekmanstrømmen alene. Om vi derimot antar at overflatehelningen er liten kan divergens i geostrofisk bevegelse neglisjeres når tettheten er konstant. I) Atmosfæren: u e x + v e y + w e z = 0, (5.47) Vi integrerer likning (5.47) over fem ekmanlag, og setter inn for v e og u e fra likningene (5.36) og (5.37). 5De 0 [ x ( 1 ρ f τ y z ) + y ( 1 ρ f τ x z ) + w e ]dz, (5.48) z Ettersom integrasjonsgrensene er uavhengig av x og y, kan vi bytte om på rekkefølgen integrasjon og derivasjon: 1 ρ f [ 5De x ( τ y 0 z ) 5De y ( τ x 0 z )] + w e(5d e ) w e (0) = 0, (5.49) } {{ } =w e Dermed får vi: I) Havet: w e = 1 ρ f ( τ y s x τ x s y ), (5.50) Vi integrerer likning (5.47) over fem ekmanlag, og setter inn for v e og u e fra likningene (5.36) og (5.37). 0 [ 5D e x ( 1 ρ f τ y z ) + y ( 1 ρ f τ x z ) + w e ]dz, (5.51) z 42

49 Ved å definere w e motsatt av atmosfæren får, slik at w e = w e ( 5D e ) w e (0) vi ved å gjennomføre tilsvarende utregninger: w e = 1 ρ f ( τ y s x τ x s y ), (5.52) Resultatene er like for havet og atmosfæren fordi integrasjonsgrensene er motsatt, samtidig som w e er definert motsatt. Grunnen er at man antar at vertikal hastighet nærme overflaten er null. 5B d) Et geostrofisk lavtrykk skaper syklonisk rotasjon rundt lavtrykkets senter, hvilket gir ekmantransport innover (90 til venstre) i atmosfæren. Dermed er det konvegens av luftmasser som medfører positiv ekmanpumping. I havet er ekmantransporten rettet utover (90 til høyre), altså divergens og positiv ekmanpumping. Grunnen til at vi snakker om konvergens og divergens er at den vertikale lagdelingen i atmosfæren, og skilleflaten mellom havet og atmosfæren fungerer som ugjennomtrengelige grenser. 5B e) Ekman-massetransport for atmosfæren er gitt som τs f vindretning. til venstre for geostrofisk Ekman-massetransport for havet er gitt som τs f τ s f = [ kg ms ] til høyre for geostrofisk vindretning For ekmanpumpingen trenger vi å kjenne τ s y τ s x. Vi vet at overflatestresset τ x y s er rettet 90 til høyre for atmosfærens ekmantransport, som igjen er 90 til venstre for geostrofisk vindretning. Altså må overflatestresset følge konsentriske sirkler. Ved å studere figur 5.1 kan vi sette opp følgende sammenhenger, basert på parvis normale vinkelbein: τ x = cos(θ) τ, τ y = sin(θ) τ x = sin(θ) S, y = cos(θ) S S = sin( φ) S, Φ 1 τ = sin( φ) τ Alle variabler er definert av figur 5.1. Vi finner at: τ y s x τ x s y = 2 τ L. 43

50 I) Atmosfæren: w e = 1 ( τ s y ρ f x I) Havet: w e = 1 ( τ s y ρ f x τ x s y ) = 0.16 [ m s ] τ x s y ) = [ m s ] Dersom gjennomsnittlig ekmanpumping-hastighet i havet er gitt som [ kg ], finner ms vi at en vannpartikkel har en vertikal forflytning i løpet av et døgn gitt ved: T w e = = 17,28 [m]. Figure 5.1: Skjematisk beskrivelse av vindstressvektorene i overflaten forbundet med et lavtrykk, slik at stressvektorene følger sirkelbevegelser. Variabler som inngår i oppgaven er angitt. 44

51 Chapter 6 Oppgavesett 6 Virvling 45

52 6.1 Virvling Løsningsforslag 6 a) Relativ virvling er virvling sett i forhold til det roterende planet væsken befinner seg på, altså den rotasjon vi opplever at væsken har når den studeres i det samme planet. ζ = v u. x y 6 b) For å finne et uttrykk for relativ virvling er det nødvendig å kjenne det horisontale hastighetsfeltet. Hastigheten er her gitt som u = Ω r = Ω ( yi + xj). Da finner vi relativ virvling ζ som (Ω x) (Ω y) = 2 Ω. x y 6 c) Tar utgangspunkt i at alle andreordens partielt deriverte er kontinuerlige, slik at 2 x i x j = 2 x j x i. Bevegelseslikningene uten friksjon på komponentform: u t + u u x + v u y f v = 1 ρ p x, (6.1) v t + u v x + v v y + f u = 1 ρ p y, (6.2) Ved å derivere likning (6.2) mhp x og likning (6.1) mhp y, for så å trekke denne fra den første får vi: t ( v x u y ) + u x ( v x u y ) + v y ( v x u y ) + v x u x u x u y + v x v y v y u y + f ( u x + v y ) + v f y = 0, (6.3) Likning (6.3) kan omskrives slik at vi får: Likning (6.4) kan igjen trekkes sammen til: dζ (ζ) + ζ ( u dt x ) + f ( u x ) + df dt = 0, (6.4) d dt (ζ + f) = (ζ + f) H v H, (6.5) 46

53 6 d) Utledning av likningen finnes i appendixet. D 1 dd dt + u x + v y, (6.6) Fra likning (6.6) finner vi at H v H = D 1 dd. Dermed kan vi skrive: dt d dt (ζ + f) = (ζ + f) D 1 dd dt, (6.7) dζ dt (ζ + f) (ζ + f) D 1 dd dt = 0, (6.8) Ved direkte innsetning kan det vises at derivasjonsregelen for brøk også gjelder når vi benytter den totalderiverte slik at vi ender opp med følgende sammenheng: d dt (ζ + f D ) = 0, (6.9) 6 e) Pga. sammenhengen som beskrives i likning (6.9) har vi at når vi følger en vannpakke må verdien av ζ+f ζ+f være bevart, altså at ( ) D D 1 = ( ζ+f ) D 2, hvor indeksene 1 og 2 angir to tidspunkt. La posisjon 1 være oppstrøms slik at den potensielle virvlingen her er gitt som ( f D ). ζ er gitt som u y = g ( y f dd ) = g dy f Siden ( ζ+f D ) 1 = ( ζ+f D ) 2, kan vi sette opp følgende likning: d2 D, s. a. ( ζ+f ) dy 2 D 2 = 1 ( g D f d2 D dy 2 + f). f = 1 D D ( g f d2 D + f), (6.10) dy2 f 2 D = d2 D D g dy + f 2, (6.11) 2 g d 2 D dy 2 f 2 D D g = f 2 g, (6.12) 6 f) (6.12) er en partiell differensiallikning av typen: u α u + β = 0, (6.13) La u g være løsning av u α u = 0, og u p være løsning av α u + β = 0. Da vi u = u g + u p være løsning av (6.13). Det ser vi av at: 47

54 u α u + β = u g α (u g + β α ) + β = u g α u g β + β = 0. Derfor bestemmer vi D ved å først løse det homogene problemet gitt ved d 2 D f 2 dy 2 g D D = 0, som gir D g = A exp( g D ) + B exp( f y f y g D ). Deretter finner vi en løsning for D av det partikulære problemet. D p = D. Den endelige løsningen for D ser derfor slik ut: f y D = A exp( ) + B exp( f y ) + D, (6.14) g D g D Benytter grenseflatebetingelsene til å bestemme A og B. Når y vokser må vi ha at D D, hvilket medfører at A 0. For y = 0, har vi at D = D 0, som gir at B = D 0 D. Dermed blir uttrykket for D seende slik ut: D = (D 0 D ) exp( f y g D ) + D, (6.15) D = (D 0 D ) exp( y m er deformasjonsradius. 1 g D g D ) + D, m = f f = g D f 2 (6.16) D = (D 0 D ) exp( y m ) + D, (6.17) 6 g) D går som en eksponensialfunksjon mellom y=0 og y. D(0) = D 0 og D(y ) = D. For s(y) kan det vises at s = g D + f(x), hvor f(x) er en vilkårlig funksjon. Når g x-avhengighet ikke inngår i et s-y diagram, vil s følge D. u = g f dd = g dy f d ((D dy 0 D ) exp( y ) + D m ) = g f g f m [(D 0 D ) exp( y m ) + D D ] = g f m (D D ). D 0 D m exp( y m ) = Ettersom D D avtar for økende y, avtar u med økende y. Hastigheten er størst nærme kysten. 6 h) m = g D f [m]. 48

55 s(y = 0) = g g D 0 = 0,2 [m]. u(y = 0) = g f m (D D 0) 2,5 [ m s ]. 49

56 Chapter 7 Oppgavesett 7 Midtveiseksamen I Midtveiseksamen II 50

57 7.1 Midtveiseksamen I Løsningsforslag 7A a) Bevegelseslikningen kan skrives slik: dv dt dv dt + 2 Ω v = 1 p + g + F, (7.1) ρ = akselerasjon (lokal og advektiv) sett i forhold til jorden som referanseramme. 2 Ω v = horisontal akselerasjon som følge av jordens rotasjon (corilisleddet). 1 ρ p = akselerasjon som følge av trykkrefter. g = tyngdeakselerasjon (gravitasjonsleddet). F = andre krefter (friksjonsledd, tidevann etc.). 7A b) Treghetssvingninger: Havets treghet gjør at strømhastigheten kan bevares etter at kreftene som opprinelig forårsaket bevegelsen opphørte. En uakselerert bevegelse fortsetteer med konstant hastighet, men bevegelse på jorden utsettes for påvirkning fra corioliskraften, slik at systemet likevel er akselerert. Derfor må vi beholde den lokalderivert og coriolisleddet. Videre antar vi at horisontale gradienter ikke finnes, hvilket er rimelig når vi ikke har trykk- eller friksjonsrefter. Coriolisleddet må forenkles ettersom det ikke er mulig å benytte 2 Ω v i utregningene. For en gitt breddegrad φ, kan Ω uttrykkes som: 0 i + cos(φ) j + sin(φ) k, hvilket gjør at 2 Ω v kan skrives som: 2 Ω v = 2 Ω [(w cos(φ) sin(φ) v) i + sin(φ) u j cos(φ) u k], (7.2) Vanligvis neglisjeres w cos(φ) og cos(φ) u, siden w 0, og vertikal bevegelse domineres av trykk- og tyngderefter. 2 Ω v = 2 Ω sin(φ) v i + 2 Ω sin(φ) u j, (7.3) Foretar følgende definisjon: f = 2 Ω sin(φ), (7.4) 51

58 2 Ω v = f v i + f u j, (7.5) Bevegelseslikningen på komponentform blir seende slik ut: u t f v = 0, (7.6) v t + f u = 0, (7.7) 7A c) Ved å kombinere likningene (7.6) og (7.7), ved å først derivere mhp. deretter å sette inn fra likningene (7.6) og (7.7), får vi: t, for 2 u t 2 + f 2 u = 0, (7.8) 2 v t 2 + f 2 v = 0, (7.9) Disse andre ordens ordinære differensiallikningene har løsning: u = A cos(ft) + B sin(ft), (7.10) v = C cos(ft) + D sin(ft), (7.11) Som i oppgavesett 2, får vi at A = -D og B = C. Om vi videre benytter startbetingelsene ved tiden t = 0, finner vi ved innsetning at A = u 0 og B = 0. (u(t = 0) = A = u 0, v(t = 0) = B = 0). Derfor må vi ha at: u = u 0 cos(ft), (7.12) v = u 0 sin(ft), (7.13) 7A d) Vi vet fra fysikken at u = dx Ved integrasjon finner vi at: = x dt t dy, og at v = = y dt t 52 (Lien og Løvhøiden, 2001).

59 t t 0 udt = t t 0 u 0 cos(ft)dt = t t 0 x dt, (7.14) t t t 0 vdt = t t 0 u 0 sin(ft)dt = t t 0 y dt, (7.15) t u 0 sin(ft) f u 0 cos(ft) f t t 0 = x t t 0, (7.16) t t 0 = y t t 0, (7.17) Videre får vi: u 0 sin(ft) f = x x 0, x 0 = x(t 0 ) + u 0 sin(ft 0 ) f, (7.18) u 0 cos(ft) f = y y 0, y 0 = y(t 0 ) + u 0 cos(ft 0 ) f (7.19) Ved å kombinere likningene (7.18) og (7.19), ender vi opp med: u 2 0 f 2 = (x x 0) 2 + (y y 0 ) 2, (cos 2 (φ) + sin 2 (φ) = 1) (7.20) Vi får sirkelbevegelse med radius u 0 f. 7A e) Ved tiden t = 0 er u = u 0 og v = 0 overalt, altså strøm mot øst. Ved tiden t = π er u = 0 og v = u 2 f 0 overalt, altså strøm mot sør. Ved tiden t = π er u = u f 0 og v = 0 overalt, altså strøm mot vest. Dersom vi følger en partikkel i et tidsrom T = 2 π har denne gjennomført en omdreining. Først beveger den seg østover, men corioliskreftene dreier den sydover (avbøyning f til høyre), deretter vestover, og så nordover. 53

60 Figure 7.1: Strømmen ved tre ulike tidspunkt. 54

61 7.2 Midtveiseksamen II Løsningsforslag 7B a) Kreftene som virker er tyngden av vannpakken og oppdrift gitt som tyngden av fortrengt masse. Tyngde: g ρ 1 V. Oppdrift: g ρ 2 V. ρ 1 er tetthet av vannpakken i avstand z fra utgangsposisjon, mens ρ 2 er tettheten av det omliggende vannet (fortrengt masse). 7B b) Dersom ρ 2 ρ 1 vil ikke tyngden balansere oppdriften, og systemet er akselerert. ΣF z = Oppdrift + tyngde = m a z. For å bestemme a z må vi beregne oppdrift og tyngdekrefter. Da må vi kjenne ρ 1 og ρ 2. La tettheten i utgangsposisjonen være gitt ved ρ = ρ 0. I avstand z fra utgangsposisjonen aviker tettheten til det omliggende vannet fra ρ 0 siden saltholdighet, temperatur og trykk er ulikt. For å bestemme ρ 2 må vi bestemme ρ w = ρ 2 ρ 0 ρw z, hvor z index w, refererer til det omliggende vannet. ρ 1 er tettheten til vannpakken som løftes opp fra utgangsposisjonen. Denne avviker også fra ρ 0 men ikke slik som ρ 2. Dette fordi en pakke som løftes adiabatisk ikke overtar egenskapene til det omliggende vannet. For å bestemme ρ 1 må vi bestemme ρ p = ρ 2 ρ 0 ρp z, hvor index p, refererer til vannpakken. z Vi har at: a z = F z m = g ρ2 V g ρ1 V ρ 1 V, (7.21) a z = g [ ρ w ρ 1 z z ρ p z], (7.22) z a z = g [ρ 0 + ρ w ρ 1 z z (ρ 0 + ρ p z)], (7.23) z 55