Kort introduksjon til bølger relatert til tidevann i havet 1
|
|
- Jorunn Rasmussen
- 7 år siden
- Visninger:
Transkript
1 Kort introduksjon til bølger relatert til tidevann i havet 1 Helge Drange Høst 2012 Kommentarer til helge.drange@gfi.uib.no Oppdatert 24. oktober 2012 Observert vannstand (cm) i Bergen mellom 1. juni og 31. august 2012 (svart farge) og modellert vannstand basert på tidevannskomponentene M2, S2, N2 og K2 (rød farge). Observasjoner fra 1 Bølger i hav og atmosfære Bølger betegner fysiske prosesser som transporterer informasjon i tid og rom, som energi, uten eller med liten adveksjon av masse knyttet til transporten. Dette i motsetning til for eksempel geostrofisk balanse og ageostrofisk strøm i atmosfære og hav som alltid er knyttet til adveksjon av masse. Følgelig kan bølgesignal forplantes uten eller med liten påvirkning av jordrotasjonen, selv om forplantningshastigheten kan være svært stor. Dette i motsetning til adveksjon av masse som alltid vil være påvirket av Corioliseffekten og som skalerer lineært med væskeelementets hastighet. En generell gjennomgang av sentrale egenskaper til bølger er gitt i appendiks. 1 Teorien er i hovedsak hentet fra INTRODUCTION TO GEOPHYSICAL FLUID DYNAMICS, Physical and Numerical Aspects (2010): Benoit Cushman-Roisin og Jean-Marie Beckers, Academic Press (Publication date: September 2010), tilgjengelig fra cushman/books/gfd.html. 1
2 2 Utledning av grunntvannsligningene 2.1 Utgangspunkt og konfigurering Utgangspunktet for grunntvannsligningene er standard form av horisontal momentumligning og kontinuitetsligningen (hvor u = (u, v)) u t + u u x + v u y fv = 1 ρ v t + u v x + v v y + fu = 1 ρ p x + F x (1) p y + F y (2) ρ + (ρ u) = 0 (3) t Vi betrakter en homogen (ρ = ρ 0 ), friksjonsfri (F H =0) og barotrop ( u/ z = v/ z = 0) væske med fri overflate η(x, y, t) som illustrert i figur 1. Ligningene (1)-(3) kan da skrives på Figur 1: Illustrasjon på en homogen væske med fri overflate η(x, y, t) og generell batymetri b(x, y). h(x, y, t) beskriver total væskehyde. z ref = H er et referansenivå som beskriver overflaten uten bølger. formen u t + u u x + v u y fv = 1 ρ 0 p x v t + u v x + v v y + fu = 1 p ρ 0 y (4) (5) u x + v y + w z = 0 (6) 2
3 2.2 Omskrevet form av kontinuitetsligningen Kontinuitetslignngen er gitt ved (6), der u og v er uavhengig av z (grunnet antagelsen om barotrop væske), men u/ x 0 og v/ y 0, slik at vi kan ha divergent strøm. Vi betrakter den homogene væsken som vist i figur 1 og integrerer (6) fra bunnen z = b(x, y) til den frie overflaten z = b(x, y) + h(x, y, t). Dette gir ( u x + v ) b+h dz + w b+h b = 0 (7) y b Her er w(z = b + h) bevegelsen til den frie overflaten. Denne kan uttrykkes ved hjelp av den totalderiverte (som beskriver hvordan overflaten endrer seg med bevegelsen) w(z = b + h) = Dz Dt = D (b + h) (8) b+h Dt På tilsvarende måte er = (b + h) + u t x (b + h) + v (b + h) (9) y = h t + u x (b + h) + v (b + h) (10) y w(z = b) = Db Dt = u b x + v b y Uttrykkene (10) og (11) innsatt i (7) gir ( u x + v ) (b + h b) + h y t + u x (b + h) + v b (b + h) u y x v b y = 0 (12) eller (11) h t + x (hu) + (hv) = 0 (13) y som er kontinuitetsligningen uttrykt ved lokal endring av væskesøylen h og divergensen til hu H. Alternativt, siden kan den tidsderiverte i (13) uttrykkes ved η h(x, y, t) + b(x, y) = H + η(x, y, t) (14) t + x (hu) + (hv) = 0 (15) y 2.3 Omskrevet form av momentumligningene De horisontale momentumligningene er gitt ved (4) og (5). Trykket p(x, y, z, t) er gitt ved hydrostatisk ligning p z = gρ 0 (16) 3
4 Trykkvariasjoner som skyldes endringer i overflatehevningen kan da uttrykkes som (17) kan skrives eller På tilsvarende måte, for et vilkårlig dyp z 1 (se figur 1) gjelder hvor z = H z 1. p b+h H = gρ 0(b + h H) (17) p s p(h) = gρ 0 η (18) p(h) = p s + gρ 0 η(x, y, t) (19) p(z 1 ) = gρ 0 z + p s + gρ 0 η(x, y, t) (20) Over tid er det generelt (meget) små romlige variasjoner i overflatetrykket p s. Vi kan derfor se bort fra bidrag fra p s. Fra uttrykkene (19) og (20) følger det da at p(h) x = p(z 1) x = gρ 0 x Tilsvarende sammenheng gjelder for / y. Det er derfor kun overflatehevningen η som gir opphav til trykk-kraft i en homogen væske. Av denne grunn kalles sammenhengen p = gρ 0 η for dynamisk trykk. (21) 2.4 Grunntvannsligningene Overstående gir grunntvannsligningene uttrykt ved u, v, h og η u t + u u x + v u fv = g y x (22) v t + u v x + v v + fu = g y y (23) t + x (hu) + (hv) y = 0 (24) For flat bunn har vi at h(x, y, t) = H + η(x, y, t) (25) 3 Gravitasjonsbølger Gravitasjonsbølger forekommer på grenselaget mellom hav og atmosære, eller mer generelt mellom to væsker med ulik tetthet. I det følgende betrakter vi overflatebølger. Kraften som virker på disse bølgene er tyngdekraften, følgelig kalles bølgene for (overflate) gravitasjonsbølger. Dersom vi antar at bølgenes bølgelengde er stor i forhold til vanndypet, får vi hva som kalles grunntvannsbølger. Dersom bølgene beskriver små utslag, kan bølgeligningene (22) (24) lineariseres. Dette betyr at ethvert produkt av bølgevariable, som for eksempel adveksjonsleddene i (22) og (23), kan neglisjeres. Videre neglisjeres effekten av jordens rotasjon. 4
5 Med f = 0 og ved å betrakte en en-dimensjonal bølgebevegelse (v = 0 og / y = 0), kan (22) og (24) skrives som u t t = g x = H u x u kan elimineres fra uttrykkene over ved å betrakte (26)/ x og (27) t, som gir den klassiske bølgeligningen 2 η t 2 gh 2 η x 2 = 0 (28) Bølgeligningen kan løses ved å søke løsning på formen (se avsnitt A.4) (26) (27) η = Re {η 0 exp[i(kx ωt)]} (29) hvor Re betegner reell del, η 0 er amplitude, k er bølgetall i x-retningen og ω er vinkelfrekvens. Innestting av (29) i (28) gir dispersjonsrelasjonen ω 2 + gh k 2 = 0 (30) Siden en bølges fasehastighet c er gitt ved c = ω/k (se avsnitt A.4), er gravitasjonsbølgenes fasehastighet c = c 0 gitt ved c 0 = ± gh (31) Siden fasehastighetene c 0 er uavhengig av bølgetallet k er gravitasjonsbølgene ikke-dispersive (merk at dette gjelder for bølger med stor bølgelengde i forhold til vanndypet). Dette betyr at alle gravitasjonsbølger forplanter seg med en og samme fasehastighet, uavhengig av bølgenes bølgetall eller -lengde. 4 Sverdrup bølger Også her betrakter vi lange overflatebølger. Men i tillegg til gjennomgangen over, inkluderer vi rotasjon. Videre antar vi at væsken har uendelig, horisontal utbredelse i to dimensjoner. De resulterende bølgene er ofte kalt Sverdrup bølger. Variasjoner i jordens rotasjon neglisjeres neglisjeres, så f = konst. De grunnleggende likningene følger da fra (22) (24) t + H Dersom vi søker en løsning på formen u fv = g t x (32) v + fu t ) = g y (33) = 0 (34) ( u x + v y η exp[i (kx + ly ωt)] (35) 5
6 hvor l = 2π/λ y er bølgetallet i y-retningen (λ y ier tilhørende bølgelengde, se avsnitt A.4), gir dette følgende algebraiske sammenhenger iωu fv = igkη 0 (36) iωv + fu = iglη 0 (37) iωη 0 + ih(ku + lv) = 0 (38) Ligningene (36)-(38) er tre ligninger med tre ukjente, og kan uttrykkes på vektorform iω f igk u f iω igl v = 0 (39) ihk ihl iω η Ikke-triviell løsning finnes når ligningsystemets determinant er lik null. Dette gir følgende sammenheng ω[ω 2 f 2 gh(k 2 + l 2 )] = 0 (40) eller, for det horisontale bølgetallet k 2 h = k2 + l 2, eller uttrykt med gravitasjonsbølgenes fasehastighet c 2 0 = gh ω[ω 2 f 2 ghk 2 h] = 0 (41) ω[ω 2 f 2 c 2 0k 2 h] = 0 (42) Uttrykkene (41) og (42) er Sverdrupblgenes dispersjonsrelasjon. Det er generelt ulik fysisk mekanisme for de ulike løsningene gitt ved en dispersjonsrelasjon. Derfor tolkes gjerne de ulike løsningene hver for seg. Siden uttrykket i klammeparantes i (41) og (42) gir at fasefarten c = ω/k h avhenger av bølgetallet k h, vil resulterende bølger med ulik bølgelengde bre seg med ulik fart. Sverdrupbølger er derfor dispersive bølger (se avsnitt A.5). 4.1 Løsning ω = 0 Løsningen ω = 0 av (41) er konsistent med / t = 0. Fra de grunnleggende ligningene (32) og (33) ser vi at denne løsningen gir geostrofisk kraftbalanse. Den stasjonære (det vil si tidsinvariante) løsningen av grunntvannsligningene er altså geostrofisk balanse. 4.2 Løsning ω 2 = f 2 + c 2 0 k 2 h Denne løsningen viser at ω f for alle bølgeløsninger. Videre er dispersjonsrelasjonen symmetrisk med hensyn på x- og y-retningene. Dette betyr at verken x- eller y-retningen har en spesiell betydning for bølgefeltet. Vi orienterer derfor koordinatsystemet slik at x-aksen er rettet i retning av bølgens forplantning. Da vil k h = k og l = 0. Den resulterende dispspersjonsrelasjonen er da ω 2 = f 2 + c 2 0 k 2 (43) 6
7 Bølgens fasehastighet c bestemmes fra sammenhengen c = ω/k. Dette gir c = ω k = 1 k ( f 2 + c 2 0 k 2) 1/2 (44) ( f 2 1/2 = c 0 k 2 c 2 + 1) (45) 0 ( = c ) 1/2 k 2 L 2 (46) ρ hvor L ρ = c 0 /f er Rossby deformasjonsradius. Fra uttrykket over framkommer det at c øker med avtagende bølgetall eller økende bølgelengde. Bølgens gruppehastighet er gitt ved c g = dω/dk. Differensieres dispersjonsrelasjonen (43), får vi 2ω dω = 2kc 2 0 dk (47) eller c g = k ω c2 0 = c2 0 c Følgelig gjelder c g c = c 2 0. Gruppehastigheten avtar derfor med økende bølgelengde. Løsningen av (43) er illustrert i figur 4. For små bølgetall k (lange bølger), vil bølgeegenskapene (48) Figur 2: Grafisk framstilling av dispersjonsrelasjonen gitt ved (43). I tillegg er dispersjonsrelasjonen til gravitasjonsbølger (avsnitt 3) og treghetsbølger (avsnitt 5) vist. L ρ er Rossby deformasjonsradius, TBR betegner området hvor jordrotasjonen er viktig (treghetsbølgeregime) og GBR betegner området hvor jordrotasjonen spiller liten rolle (gravitasjonsbølgeregime). nærme seg treghetsbølger (se avsnitt 5) og virkningen av jordens rotasjon f er viktig. For store bølgetall (korte bølger) er jordroatasjones virkning liten. Vi er da i regimet tilhørende gravitasjonsbølger (avsnitt 3) Resulterende bølgebevegelse For l = 0 har vi fra (36) og (37) at iωu fv = igkη 0 (49) 7
8 (50) gir at iωv + fu = 0 (50) u = i ω f v (51) som innsatt i (49) gir (52) innsatt i (51) gir v = i f kh η (52) u = ω kh η (53) Siden ω f, følger det at u v, eller at bølgen forplanter seg i x-retningen. Bare reell del av løsningen har en fysisk mening. Dersom vi antar at amplituden η 0 er reell, har vi at η = Re{η 0 exp[i(kx ωt)]} = η 0 cos(kx ωt) (54) (54) innsatt i (53) og (52) gir u = ω kh η 0 cos(kx ωt) (55) v = f kh η 0 sin(kx ωt) (56) Det følger at det er ingen effekt av jordrotasjonen i x-retningen, mens y-retningen påvirkes av jordrotasjonen. Bølgens bevegelse i et fast punkt i rommet, for eksempel for x = 0, og på den nordlige halvkule (f > 0) gir følgende sammenhenger (for enkelhets skyld bruker vi A = η 0 /kh i det følgende): ωt = 0 : u = ωa > 0, v = 0 (57) ωt = π/2 : u = 0, v = fa < 0 (58) ωt = π : u = ωa < 0, v = 0 (59) Hastighetskomponentene spenner ut en ellipse som vist i figur 3 med en resulterende bevegelse rettet med klokken på den nordlige halvkule. Videre er ellipsens hovedakse rettet i x-retningen, det vil si i retning av bølgens forplantningsretning. Forholdet mellom ellipsens amplituder er gitt ved forholdet ω / f. Bølgens karakteristikk for et fast tidspunkt, for eksempel for t = 0, gir følgende sammenhenger (A = η 0 /kh som over, og vi antar vi er på nordlige halvkule, f > 0): kx = 0 : u = ωa > 0, v = 0 (60) kx = π/2 : u = 0, v = fa > 0 (61) kx = π : u = ωa < 0, v = 0 (62) kx = 3π/2 : u = 0, v = Af < 0 (63) Den tilhørende bevegelsen er vist med ellipsene nederst i figur (4). Hastighetskomponenten i bølgens forplantningsretning, u, er vist med røde horisontale piler i samme figur. Det følger at det er konvergens i venstre halvdel og divergens i høre del av figuren. Dette medfører at overflaten heves hvor det er konvergens og senkes hvor det er divergens (røde, vertikale piler i figuren). Siden bølgens form er bevart med bevegelsen, betyr dette at bølgen forplanter seg i positiv x-retning. Det er altså væskepakkenes oscillasjon i x-retningen som driver bølgen framover. (64) 8
9 Figur 3: Illustrasjon av u- og v-komponentenes endring med tiden t på den nordlige halvkule. Den resulterende bevegelsen er rettet med klokken på den nordlige halvkule. Figur 4: Illustrasjon av bølge- og partikkelbevegelse til en Sverdrupbølge påden nordlige halvkule. Fra (91) følger det at v og η har motsatt fortegn. Se tekst for beskrivelse av figuren. 9
10 5 Treghetssvingninger Når ω f vil partikkelbanen som beskrevet i avsnittet gå over til å være sirkulære. Dispersjonsrelasjonen (41) og (42) gir da at k h 0, så de resulterende bølgene har ingen romlige variasjoner, inkludert ingen trykkgradient. De resulterende ligningene, fra (22) og (23), blir da For u(t = 0) = u 0, v(t = 0) = 0, gir dette u fv t = 0 (65) v + fu t = 0 (66) u = u 0 cos ft (67) v = u 0 sin ft (68) hvor u 2 0 = u 2 + v 2. Uttrykkene over beskriver en sirkelbevegelse i retning med klokken på den nordlige halvkule. Merk at denne bevegelsen vil vare til evig tid når en ser bort fra friksjon, dette på tross av at trykkgradienten er null. Banen til en partikkel gitt med posisjonen (x p, y p ) følger fra uttrykkene Dette gir eller u = dx p dt og x p x 0 = u 0 f y p y 0 = u 0 f v = dy p dt (69) sin ft (70) cos ft (71) (x p x 0 ) 2 + (y p y 0 ) 2 = u2 0 f 2 (72) Det følger da at partikkelen beveger seg i en lukket sikrel rundt punktet (x 0, y 0 ). Sirkelens radius er gitt ved r = u 0 /f. For u 0 = 10 cm s 1 og f = 10 4 s 1, som er en representativ verdi for Coriolisparameteren på midlere breddegrader, er r = 1 km og T = 2π/f 17 timer. Når tidevannsfrekvensen er tilnærmet lik frekvensen til treghetssvingningene vil det generelt oppstå sterk vekselvirkning (resonnans) mellom de to bølgebevegelsene. De breddegradene dette skjer for rundt 30 og 75 grader sør og nord blir gjerne kalt kritiske breddegrader. For disse breddegradene kan det forventes spesielt sterk blanding grunnet overgang fra tidevannsenergi til småskala, vertikal blanding. 6 Kelvinbølge mot kyst 6.1 Utgangspunkt Vi betrakter en overflatebølge som brer seg langs en kyst, for eksempel langs y-aksen som vist i figur 5. Det kan ikke være hastighet på tvers av kysten, så 10
11 Figur 5: Illustrasjon på en overflatebølge som brer seg langs en kyst, i dette tilfellet langs y-aksen (x = 0). u = 0 ved x = 0 (73) Vi antar videre at u = 0 over alt, slik at bølgen brer seg kun i y-retningen. De lineariserte grunntvannsligningene (32) (34) blir da fv = g x (74) v t = g y (75) t + H v y = 0 (76) 6.2 Løsningsmetode Kelvinproblemet kan løses ved å søke løsning på formen (se avsnitt A.4) (v, η) = Re {(v 0, η 0 ) exp[i(k y y ωt)]} (77) Merk at v 0, η 0 kan ha en x-avhengighet, slik at v 0 = v 0 (x) og η 0 = η 0 (x). Dette betyr at v = v(x, y, t) og η = η(x, y, t) i (77), der x-avhengigheten kommer fra amplituden v 0, η 0, mens y- og t-avhengigheten kommer fra bølgeformen exp[i(k y y ωt)]. Uttrykk (77) innsatt i (74)-(76) gir fv o = g 0 x (78) iωv 0 = igk y η 0 (79) 11
12 iωη 0 + ihk y v 0 = 0 (80) I der første uttrykket er det brukt at η 0 = η 0 (x). De to siste ligningene kan uttrykkes på vektorform ( ) ( ) iω igky v0 = 0 (81) ihk y iω η 0 Ikke-triviell løsning finnes når ligningsystemets determinant er lik null. Dette gir ω 2 + ghky 2 = 0 (82) eller Bølgens fasefart er derfor ω = ±k y gh (83) c = ω k y = ± gh = ±c 0 (84) Siden c ikke avhenger av k y er dette en ikke-dispersiv bølge, det vil si at enhver bølgekomponent brer seg med samme hastighet (se avsnitt A.5). Videre er bølgens gruppehastighet (avsnitt A.5) c g = ω k y = ± gh = ±c 0 (85) Altså er bølgens fasehastighet og gruppehastighet lik. Bølgens x-avhengighet følger ved å eliminere v 0 fra (78) og (80) f ω η 0 = g 0 Hk y x (86) Siden ω/k y = c og gh = c 2 0, gir dette 0 x = ± f c 0 η 0 (87) Uttrykket over sier at løsningen kan ha begge fortegn. For positivt fortegn er fasehastigheten c positiv og bølgen brer seg i positiv y-retning (se 84). For negativt fortegn er fasehastigheten negativ og bølgen brer seg i negativ y-retning. Uttrykket over har løsning η 0 = η 0e ±xf/ c0 (88) hvor η 0 = η(x = 0) er bølgens høyde ved kysten. På den nordlige halvkule (f > 0) krever fysisk løsning at minustegnet velges, ellers ville bølgens amplitude gå mot uendelig for økende x (det vil si når vi beveger oss bort fra kysten). Følgelig forplanter bølgen seg i negativ y-retning (det vil si at c = c g < 0), eller med kysten til høyre for bevegelsen. Løsningen kan nå skrives på formen u = 0 (89) η = η0 cos(k y y ωt)e x/lρ (90) g v = H η (91) 12
13 I (90) er ω = k y gh og Lρ = c /f. Siden ω = c 0 k y fra (84), kan (90) også uttrykkes som η = η 0 cos[k y (y + c 0 t)]e x/lρ (92) (90) og (92) sier at bølgens amplitude avtar når vi fjerner oss fra kysten og at L ρ er lengdeskalaen for bølgedempingen. Videre sier (92) at bølgen brer seg i negativ y-retning. Dette følger siden bølgens fase, k y (y + c 0 t), er bevart med bevegelsen. Så for økende tid t må y avta for at y+ c 0 t = konst. At bølgen brer seg i negativ y-retning er konsistent med at bølgens fasehastighet c < 0 (fra 84). 6.3 Egenskaper Kelvinbølger brer seg langs en kyst med kysten til høyre på nordlige halvkule og til venstre på sørlige halvkule. Bølgefarten (både fasehastighet og gruppehastighet) er konstant og absuluttverdien er gitt ved gh. Kelvinbølge langs en kyst er derfor ikke-dispersiv. Bølgefart for havdyp H = 100 og 1000 m er på henholdsvis 32 og 100 m s 1. Bølgetopp og bølgebunn er rettet normalt på kysten. Bølgetopp og bølgebunn avtar eksponensielt fra kysten med lengdeskala gitt ved Rossby deformasjonsradius L ρ = gh/f. På 40 breddegrader og for et havdyp på 100 m, er L ρ 340 km. Kraftbalansen normalt på kysten er geostrofisk (fra 74), som betyr at det er ingen bølgeforplantning i x-retningen. Kraftbalansen langs kysten, v t = g y (se 75), er drevet av trykkforskjellen generert av overflatehevningen som forklart i figur 6. Mens Kelvinbølgen brer seg med konstant fart gh i negativ y-retning, beskriver væsken en sirkulær bevegelse i yz-planet (figur 6). Kelvinbølger er generert av tidevann og av vind nær kyst. Nordgående Kelvinbølger forklarer hvorfor tidevannsutslagene er mye større på fransk relativt til engelsk side av Den engelske kanal. Kelvinbølger brer seg langs ekvator fra vest mot øst (for begge halvkuler); en kan da betrakte ekvator som en vegg slik at de ekvatorielle Kelvinbølgene forplanter seg med ekvator (veggen) på høyre side på den nordlige halvkule og med ekvator til venstre på den sørlige halvkule. Se oppgave 3 fra eksamen i GEOF110, 14. juni
14 Figur 6: Mekanisme for en Kelvinbølge som brer seg langs en kyst som er rettet langs y-aksen (på den nordlige halvkule, se figur 5). Fra (91) følger det at v og η har motsatt fortegn. Positiv bølgeamplitude svarer da til negativ v-komponent, og vice versa, vist med svarte piler. Det er følgelig vekselvis konvergens og divergens mellom bølgetopp og bølgebunn (svarte, vertikalstiplede linjer). Overflaten må stige der det er konvergens og falle der det er divergens, vist med røde piler. Dette, sammen med at bølgens form er bevart med bevegelsen (uttrykk 90), medfører at endring i overflatenivået grunnet konvergens og divergens (røde piler) kan kun skje ved at bølgen brer seg i negativ y-retning, vist med lang blå pil. 14
15 A Generelt om bølger A.1 Hva er en bølge En bølge i atmosfæren og havet kan forklares som fysiske prosesser som transporterer informasjon i tid og rom, som for eksempel energi, uten eller med liten adveksjon av masse knyttet til transporten, og som brer seg med fart og retning som generelt er ulik den generelle atmosfære- eller havsirkulasjonen A.2 Størrelser og egenskaper i én romlig dimensjon Enhver perturbasjon (liten endring) kan uttrykkes som summen av trignometriske (sinus eller cosinus) bølger, hvor hver bølge generelt har ulik amplitude, bølgelengde, periode og fase. A.2.1 Stasjonær bølgeform En stasjonær bølgeform i x-retningen, i tilfellet under uttrykt med havnivå η (enhet m), kan skrives på formen ] η(x) = a cos [2π xλx (93) Bølgeformen η er karakterisert ved Amplitude a, slik at η varierer mellom ±a. Enhet som for den avhengige variabel, i dette tilfellet m. Bølgelengde λ x. Bølgens form repeteres nå x = ±nλ x, der n er et heltall. Enhet er m. A.2.2 Bølgeform som brer seg i tid En bølgeform vil generet forplante seg i tid. Bølgens Fart, alternativt fasefart benevnes c x, se også fasefart under. Bølgen kan bre seg i positiv og negativ x-retning. Dette kan betegnes med fasefart ±c x, hvor c x > 0. Alternativt kan c x ta både positive og negative verdier. Enhet er m s 1. Siden fart = avstand/tid, vil bølgen bre seg en avstand x = ±c x t i løpet av tiden t. (93) kan da skrives på formen [ ] 2π η(x, t) = a cos (x ± c x t) (94) λ x Bølgen over er karakterisert ved Fase gitt ved argumentet 2π(x ± c x t)/λ x (enhet rad). Punkt med konstant fase er punkter hvor bølgeformen har samme verdi, for eksempel bølgetopp eller bølgebunn. 15
16 A.2.3 Bølgetall I stedet for å bruke bølgelengde λ x, er det vanlig å uttrykke bølgen med bølgens Bølgetall k x (enhet m 1 ). Sammenhengen mellom bølgetall og bølgelengde er gitt ved k x = 2π λ x (95) Bølgetallet er antall bølgelengder begrenset av lengden 2π. For eksempel vil en bølge med bølgelengde 100 km ha et bølgetall m 1. Bølgetallet trenger derfor ikke å være et heltall. Sies det at en bølge i atmosfæren har bølgetall én, betyr dette at én bølge dekker hele jordens omkrets (for eksempel rundt jorden på 60 N). For bølgetall fire vil det være fire fulle bølger rundt jorden. Ved hjelp av (95) kan (94) skrives på formen η(x, t) = a cos[k x (x ± c x t)] (96) A.2.4 Andre definisjoner Perioden T er tiden det tar for et punkt til å repetere seg selv. T må følgelig være lik tiden bølgen bruker for å bre seg en bølgelengde T = λ x /c x (97) Vinkelfrekvensen (også kalt vinkelhastigheten) ω er er et mål på rotasjonshastigheten ω = 2π (98) T Fasefarten c x er farten til bølgen, for eksempel hvor raskt en bølgetopp eller -bunn brer seg hvor vi har brukt (95) og (98) i den andre overgangen. Uttrykt med ω og k x, kan (96) skrives på formen c x = λ x T = ω k x (99) η(x, t) = a cos(k x x ± ωt) (100) Uttrykkene (94), (96) og (100) uttrykker det samme: For fast tid t = t 0 beskriver η en bølgeform i x-retningen som repeterer seg selv med bølgelengde λ x, det vil si bølgens form repeteres for x = ±nλ x, hvor n er et heltall. Tilsvarende, for et fast punkt x = x 0 beskriver η en stående bølge med periode T, det vil si en bølge som repeterer seg selv for t = ±nt. Endelig, Fasen til en bølge er gitt ved argumentet k x x ± ωt og uttrykker hvor i bølgesyklusen en befinner seg. Fasen varierer fra 0 til 2π. 16
17 A.3 Størrelser og egenskaper i to romlige dimensjoner Overstående kan utvides til flere dimensjoner. I to dimensjoner gjelder η = a cos(k x x + k y y ± ωt) = a cos(k x ± ωt) (101) der bølgetallsvektor k = (k x, k y ) = k xˆx + k y ŷ, med lengde k 2 = k 2 x + k 2 y (102) og retning ˆk = k k (103) Fasehastigheten er og bølgelengden er hvor bølgetallet k er gitt ved (102). c = ω k λ = 2π k (104) (105) A.4 Størrelser og egenskaper uttrykt med kompleks notasjon I stedet for å regne med cosinus- (eller sinus-) bølger som beskrevet over, letter det analysen å uttrykke en bølge på kompleks form Re {a exp[i(k x ± ωt)]} (106) Her betegner Re reell del, a er (kompleks) amplitude, k = k xˆx + k y ŷ er bølgetallvektor i x- og y-retning, x = xˆx + yŷ er posisjonsvektor og ω er vinkelfrekvens. Siden uttrykker (106) standard bølge på formen exp iψ = cos ψ + i sin ψ (107) a cos(k x ± ωt) eller a sin(k x ± ωt) (108) avhengig av om amplituden a er reell (som i dette tilfellet gir en cosinus-bølge) eller kompleks (i dette tilfellet en sinus-bølge). Bølgeformen gitt ved (106) er særdeles hensiktsmessig grunnet eksponensialfunksjonens egenskap at den deriverte av funksjonen er lik funksjonen selv, korrigert med noen algebraiske koeffisienter. Dette fører til at derivasjonsoperatorene kan erstattes med algebraiske koeffisienter x ik x, y ik y og ±iω (109) t Dette betyr at for eksempel grunntvannsligningene kan uttrykkes som et sett av algebraiske ligninger som kan løses direkte. Løsningen gir alle mulige kombinasjoner av bølgeparametre og ligningsparametre som tilfredsstiller de kontinuerlige ligningene. Dette, sammen med en fysisk tolkning av bølgeløsningen, gir en fullverdig beskrivelse av bølgene. 17
18 A.5 Dispersjonsrelasjon Det algebraiske forholdet mellom ω og k, uttrykt som ω = f(k) (det vil si at ω er en funksjon av k), kalles bølgens dispersjonsrelasjon. A.5.1 Ikke-dispersive bølger Dersom ω har en lineær avhengighet til k, det vil si at ω k, kalles bølgen ikke-dispersiv. I dette tilfellet forflytter bølger seg med samme fasehastighet, se (99) og (104), uavhengig av bølgens bølgelengde. A.5.2 Dispersive bølger Dersom ω ikke har en lineær avhengighet til k vil enhver bølge med ulik bølgelengde forflytte seg med ulik fasehastighet. I dette tilfellet er bølgen dispersiv. A.6 Gruppefart For dispersive bølger forplanter ikke energien seg med én bølge, men med totalbidraget fra de ulike bølgene. Det er dette totalbidraget vi ser som en bølge, eksempelvis som en gravitasjonsbølge i et vannbasseng, ikke de ulike bølgekomponentene. Følgelig er gruppefarten, som representerer farten til alle bølgene sett som en helhet, gjerne mer viktig enn de ulike bølgekomponentenes fasefart. Gruppefart er gitt av uttrykket c g = ω (110) k En god illustrasjon på forholdet mellom fasefart og gruppefart er gitt på siden A.6.1 Utledning Dette avsnittet er til informasjon og er ikke pensum. (110) kan vises ved å betrakte to bølger med nesten like bølgetall og bølgefrekvenser, for eksempel η = η 0 cos(k 1x ω 1t) + η 0 cos(k 2x ω 2t) (111) Fra identiteten følger det at Med og cos(a ± b) = cos a cos b sin a sin b (112) cos(a + b) + cos(a b) = 2 cos a cos b (113) a = 1 2 (k1 + k2)x 1 (ω1 + ω2)t (114) 2 b = 1 2 (k2 k1)x 1 (ω2 ω1)t (115) 2 18
19 kan (111) skrives på formen [ 1 η = 2η 0 cos 2 (k1 + k2)x 1 ] [ 1 (ω1 + ω2)t cos 2 2 (k2 k1)x 1 ] (ω2 ω1)t 2 (116) Siden bølgene antas å være tilnærmet like, må k 1 k 2 og ω 1 ω 2, og vi kan definere k = Innsatt i (116) gir dette k1 + k2 2, ω = ω1 + ω2 2 En mulig variant av (118) er illustrert i figur (7)., k = k 2 k 1, ω = ω 2 ω 1 (117) ( 1 η = 2η 0 cos 2 k x 1 ) 2 ω t cos(kx ωt) (118) Figur 7: Illustrasjon av en lineær kombinasjon av to bølger med nesten lik bølgelengde og bølgefrekvens. Bølgeformen brer seg mot høyre med fasehastighet c = ω/k og bølgelengde λ = 2π/k (heltrukken linje), mens amplituden for bølgepakken er 2η 0 cos( k x/2 ω t/2), bølgelengden λ = 4π/δk, perioden 4π/δω og gruppehastigheten c g = ω/ k (stiplede linjer). (118) er en bølge som dels brer seg som en standard bølge med formen cos(kx ωt) med fasefart c = ω/k, men hvor amplituden 2η 0 er modulert med en sakte varierende bølge cos( k x/2 ω t/2) med (lang) bølgelengde 4π/ k og (lang) periode 4π/ ω. Sistnevnte bølge brer seg med fart gitt ved bølgelengde/periode, det vil si ω (119) k eller, for små ω og k, ω (120) k Det er sistnevnte størrelse som angir bølgens gruppefart, som kan sees på som bølgens totalbidrag. Forplantning av energi knyttet til bølgen er derfor assosiert med gruppefarten, ikke de individuelle bølgenes eller totalbølgens fasefart. 19
20 B Tidal analysis coming... 20
21 Figur 8: Computed (from top) M2, M2+S2, M2+S2+K2 and M2+S2+K2+N2 tides in Bergen. 21
22 Figur 9: Observed (black) and computed M2+S2+K2+N2 (red) tides in Bergen. 22
Kort introduksjon til bølger i hav og atmosfære 1
Kort introduksjon til bølger i hav og atmosfære 1 Helge Drange Vår 2014 Kommentarer til helge.drange@gfi.uib.no Oppdatert 15. mai 2014 1 Bølger i hav og atmosfære Bølger betegner fysiske prosesser som
DetaljerEksamen i GEOF330 Dynamisk Oseanografi. Oppgave 1: Stående svingninger
Universitetet i Bergen Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i GEOF330 Dynamisk Oseanografi 15. Desember 2006, kl 0900-1400 Tillatte hjelpemiddel: Kalkulator og matematisk formelsamling Oppgave
DetaljerBølgerenna p. Hensikt. varierende frekvens og amplitude kan genereres via en signalgenerator og
Bølgerenna Hensikt Bølgerenna p a bildet ovenfor brukes til a studere vannbølger. Bølger med varierende frekvens og amplitude kan genereres via en signalgenerator og en motor. Det er blant annet mulig
DetaljerMandag 04.09.06. Institutt for fysikk, NTNU TFY4160/FY1002: Bølgefysikk Høsten 2006, uke 36
Institutt for fsikk, NTNU TFY4160/FY1002: Bølgefsikk Høsten 2006, uke 36 Mandag 04.09.06 Del II: BØLGER Innledning Bølger er forplantning av svingninger. Når en bølge forplanter seg i et materielt medium,
DetaljerFourier-analyse. Hittil har vi begrenset oss til å se på bølger som kan beskrives ved sinus- eller cosinusfunksjoner
Fourier-analyse Hittil har vi begrenset oss til å se på bølger som kan beskrives ved sinus- eller cosinusfunksjoner som yxt (, ) = Asin( kx ωt+ ϕ) En slik bølge kan karakteriseres ved en enkelt frekvens
DetaljerLøsningsforslag til øving 4
1 FY100/TFY4160 Bølgefysikk. Institutt for fysikk, NTNU. Høsten 01. Løsningsforslag til øving 4 Oppgave 1 a) D = D 0 [ cos (kx ωt) + sin (kx ωt) ] 1/ = D 0 for alle x og t. Med andre ord, vi har overalt
DetaljerTFY4160 Bølgefysikk/FY1002 Generell Fysikk II 1. Løsning Øving 2. m d2 x. k = mω0 2 = m. k = dt 2 + bdx + kx = 0 (7)
TFY4160 Bølgefysikk/FY100 Generell Fysikk II 1 Løsning Øving Løsning oppgave 1 Ligning 1) i oppgaveteksten er i dette tilfellet: Vi setter inn: i lign. 1) og får: m d x + kx = 0 1) dt x = A cosω 0 t +
DetaljerTYNGDEBØLGER. (Forelesningsnotater G-161 GFO-110 GEOF-110) Tor Gammelsrød (1992) Revised: Ilker Fer (2008) Konstant tetthet => overflatebølger
TYNGDEBØLGER (Forelesningsnotater G-6 GFO- GEOF-) Tor Gammelsrød (99) Revised: Ilker Fer (8) Konstant tetthet => overflatebølger Skiktet væske => indre bølger To-lags modell Kontinuerlig skiktet væske.
DetaljerØving 4. a) Verifiser at en transversal bølge som forplanter seg langs x-aksen med utsving D med komponentene
FY100/TFY4160 Bølgefysikk. Institutt for fysikk, NTNU. Høsten 010. Veiledning: Tirsdag 1. og onsdag. september. Innleveringsfrist: Mandag 7. september kl 1:00. Øving 4 Oppgave 1 a) Verifiser at en transversal
DetaljerGEF Løsningsforslag til oppgaver fra kapittel 7
GEF1100 - Løsningsforslag til oppgaver fra kapittel 7 i.h.h.karset@geo.uio.no Oppgave 1 - Geostrofisk balanse a) Vi har geostrofisk balanse, fẑ u = 1 ρ p Hvilke krefter er i balanse? Svar: Corioliskraften
DetaljerLøsningsforslag for FYS2140 Kvantemekanikk, Torsdag 16. august 2018
Løsningsforslag for FYS140 Kvantemekanikk, Torsdag 16. august 018 Oppgave 1: Materiens bølgeegenskaper a) De Broglie fikk Nobelprisen i 199 for sin hypotese. Beskriv med noen setninger hva den går ut på.
DetaljerFYS2140 Kvantefysikk, Oblig 3. Sindre Rannem Bilden,Gruppe 4
FYS40 Kvantefysikk, Oblig 3 Sindre Rannem Bilden,Gruppe 4. februar 05 Obliger i FYS40 merkes med navn og gruppenummer! Dette oppgavesettet sveiper innom siste rest av Del I av pensum, med tre oppgaver
DetaljerTFY4106 Fysikk. Institutt for fysikk, NTNU. Våren Løsningsforslag til øving 8.
TFY4106 Fysikk. Institutt for fysikk, NTNU. Våren 016. Løsningsforslag til øving 8. Oppgave 1 a) [ x y = Asinkx ωt) = Asin π λ t )] T 1) med A = 1.0 cm, T = π/ω = 10 ms og λ = π/k = 10 cm. Med følgende
DetaljerLøsningsforslag til øving 8
FY1001/TFY4145/TFY4109. Institutt for fysikk, NTNU. Høsten 015. Løsningsforslag til øving 8 Oppgave 1 a) [ x y = Asinkx ωt) = Asin π λ t )] T 1) med A = 1.0 cm, T = π/ω = 10 ms og λ = π/k = 10 cm. Figur:
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i: FY 5 - Svingninger og bølger Eksamensdag: 5. januar 4 Tid for eksamen: Kl. 9-5 Tillatte hjelpemidler: Øgrim og Lian: Størrelser
DetaljerObligatorisk oppgave nr 5 FYS Lars Kristian Henriksen UiO
Obligatorisk oppgave nr 5 FYS-2130 Lars Kristian Henriksen UiO 12. mars 2015 Diskusjonsoppgaver: 1 Overflatebølger på vann er transversale bølger, dvs utslaget er vinkelrett på bølgens bevegelse. Bruker
DetaljerFY1001/TFY4145 Mekanisk fysikk Høsten 2014 Vannbølger i bølgerenna Filmene (MP4) er spilt inn med 100 fps (frames per second). Mange mediaspillere (so
FY1001/TFY4145 Mekanisk fysikk Høsten 2014 Vannbølger i bølgerenna Filmene (MP4) er spilt inn med 100 fps (frames per second). Mange mediaspillere (som Windows Media Player og VLCmedia player) antar at
DetaljerIntroduksjon Regulær bølgeteori
Introduksjon Regulær bølgeteori Beskrive / matematisk modell for en regulær bølge basert på lineær bølgeteori. Lineær bølgeteori: proporsjonalitet i bølgehøyde/bølge amplitude Senere > irregulær bølgeteori
DetaljerRegneoppgaver i GEOF110 Innføring i atmosfærens og havets dynamikk
Regneoppgaver i GEOF110 Innføring i atmosfærens og havets dynamikk Dato 17. januar 2014 Oppgavegjennomgang, i hovedsak, fredager kl. 1015-1200 i Auditorium 105 helge.drange@gfi.uib.no 1. Polare koordinater
DetaljerLØSNINGSFORSLAG TIL EKSAMEN I TFY4160 BØLGEFYSIKK Mandag 3. desember 2007 kl
NORGES TEKNISK- NATURVITENSKAPELIGE UNIVERSITET INSTITUTT FOR FYSIKK Faglig kontakt under eksamen: Jon Andreas Støvneng Telefon: 7 59 6 6 / 45 45 55 LØSNINGSFORSLAG TIL EKSAMEN I TFY4160 BØLGEFYSIKK Mandag.
DetaljerLøsningsforslag til øving 9
FY1002/TFY4160 Bølgefysikk. Institutt for fysikk, NTNU. Høsten 2010. Løsningsforslag til øving 9 Oppgave 1 a) Forplantning i z-retning betyr at E og B begge ligger i xy-planet. La oss for eksempel velge
DetaljerLØSNINGSFORSLAG TIL EKSAMEN I FY1002 BØLGEFYSIKK Mandag 10. desember 2007 kl
NORGES TEKNISK- NATURVITENSKAPELIGE UNIVERSITET INSTITUTT FOR FYSIKK Faglig kontakt under eksamen: Jon Andreas Støvneng Telefon: 73 59 36 63 / 45 45 55 33 LØSNINGSFORSLAG TIL EKSAMEN I FY1002 BØLGEFYSIKK
DetaljerLøsningsforslag til eksamen i TFY4170 Fysikk august 2004
NTNU Side 1av7 Institutt for fysikk Fakultet for naturvitenskap og teknologi Dette løsningsforslaget er på 7 sider. Løsningsforslag til eksamen i TFY4170 Fysikk 1. august 004 Oppgave 1. Interferens a)
DetaljerLøsningsforslag EKSAMEN TFY4102 FYSIKK Fredag 10. juni 2011
Løsningsforslag EKSAMEN TFY4102 FYSIKK Fredag 10. juni 2011 Oppgave 1. a) Vi velger her, og i resten av oppgaven, positiv retning oppover. Dermed gir energibevaring m 1 gh = 1 2 m 1v 2 0 v 0 = 2gh. Rett
DetaljerEnkel introduksjon til kvantemekanikken
Kapittel Enkel introduksjon til kvantemekanikken. Kort oppsummering. Elektromagnetiske bølger med bølgelengde og frekvens f opptrer også som partikler eller fotoner med energi E = hf, der h er Plancks
DetaljerLøsningsforslag til øving
1 FY1002/TFY4160 Bølgefysikk. Institutt for fysikk, NTNU. Høsten 2012. Løsningsforslag til øving 11-2012 Oppgave 1 a) Forplantning i z-retning betyr at E og B begge ligger i xy-planet. La oss for eksempel
DetaljerEKSAMEN FAG TFY4160 BØLGEFYSIKK OG FAG FY1002 GENERELL FYSIKK II Onsdag 8. desember 2004 kl Bokmål. K. Rottmann: Matematisk formelsamling
Side 1 av 11 NORGES TEKNISK- NATURVITENSKAPELIGE UNIVERSITET INSTITUTT FOR FYSIKK Faglig kontakt under eksamen: Førsteamanuensis Knut Arne Strand Telefon: 73 59 34 61 EKSAMEN FAG TFY416 BØLGEFYSIKK OG
DetaljerKondenserte fasers fysikk Modul 2
FYS3410 Kondenserte fasers fysikk Modul Sindre Rannem Bilden 1. mai 016 Oppgave 1 - Endimensjonal krystall (Obligatorisk Se på vibrasjoner i en uendelig lang endimensjonell krystall med kun ett atom i
DetaljerVannbølger. 3. Finn gruppehastigheten (u), ved bruk av EXCEL, som funksjon av bølgetallet k ( u = 2π ). Framstille u i samme diagram som c.
Institutt for fysikk, NTNU FY12 Bølgefysikk, høst 27 Laboratorieøvelse 2 Vannbølger Oppgave A: for harmoniske vannbølger 1. Mål bølgelengden () som funksjon av frekvensen (f). 2. Beregn fasehastigheten
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Side 1 Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i: GEF1 Eksamensdag: 3. November 9 Tid for eksamen: 9.-1. Oppgavesettet er på 5 sider Vedlegg: Ingen Tillatte hjelpemidler:
DetaljerGEF Løsningsforslag til oppgaver fra kapittel 9
GEF1100 - Løsningsforslag til oppgaver fra kapittel 9 i.h.h.karset@geo.uio.no Oppgave 1 a) Når vi studerer havet, jobber vi ofte med følgende variable: tetthet, trykk, høyden til havoverflaten, temperatur,
DetaljerUniversitetet i Bergen Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet. Eksamen GEOF100 Introduksjon til meteorologi og oseanografi
Side 1 av 5 (GEOF100) Universitetet i Bergen Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen GEOF100 Introduksjon til meteorologi og oseanografi Fredag 6. desember 2013, kl. 09:00-14:00 Hjelpemidler:
DetaljerEKSAMEN I FAG SIF 4014 FYSIKK 3 Onsdag 13. desember 2000 kl Bokmål. K. Rottmann: Matematisk formelsamling
Side 1 av 7 NORGES TEKNISK- NATURVITENSKAPELIGE UNIVERSITET INSTITUTT FOR FYSIKK Faglig kontakt under eksamen: Førsteamanuensis Knut Arne Strand Telefon: 73 59 34 61 EKSAMEN I FAG SIF 4014 FYSIKK 3 Onsdag
DetaljerLøsningsforslag til øving 5
FY1002/TFY4160 Bølgefysikk. Institutt for fysikk, NTNU. Høsten 2009. Løsningsforslag til øving 5 Oppgave 1 a) var C er korrekt. Fasehastigheten er gitt ved v ω k og vi ser fra figuren at dette forholdet
DetaljerLøsningsforslag til Øving 6 Høst 2016
TEP4105: Fluidmekanikk Løsningsforslag til Øving 6 Høst 016 Oppgave 3.13 Skal finne utløpshastigheten fra røret i eksempel 3. når vi tar hensyn til friksjon Hvis vi antar at røret er m langt er friksjonen
DetaljerGEF1100: kapittel 6. Ada Gjermundsen. September 2017
GEF1100: kapittel 6 Ada Gjermundsen September 2017 Hvem er jeg? (forha pentligvis snart Dr.) Ada Gjermundsen ada.gjermundsen@geo.uio.no adagjermundsen@gmail.com Studerer varmetransport i atmosfære og hav
DetaljerFYS2140 Kvantefysikk, Løsningsforslag Oblig 7
FYS4 Kvantefysikk, Løsningsforslag Oblig 7 4. mars 8 Her finner dere løsningsforslag for Oblig 7 som bestod av Oppgave.,.45 og.46 fra Griffiths, og et løsningsforslag for Oppgave., som var tilleggsoppgave.
DetaljerLøsningsforslag til eksamen i FYS1000, 13/6 2016
Løsningsforslag til eksamen i FYS1000, 13/6 2016 Oppgave 1 a) Sola skinner både på snøen og på treet. Men snøen er hvit og reflekterer det meste av sollyset. Derfor varmes den ikke så mye opp. Treet er
DetaljerLøsningsforslag Øving 4
Løsningsforslag Øving 4 TEP4100 Fluidmekanikk, Vår 2016 Oppgave 3-162 Løsning En halvsirkelformet tunnel skal bygges på bunnen av en innsjø. Vi ønsker å finne den totale hydrostatiske trykkraften som virker
DetaljerHer følger en kort oppsumering av oppgavene som skal gjøres i denne laboratorieøvelsen:
Laboratorieøvelse Bølgefysikk, Inst. for fysikk, NTNU Dato oppdatert: 9. september 2010 VANNBØLGER Mål: Hensikten med oppgaven er å gjøre seg kjent med begrepene frekvens, bølgelengde og fasehastighet
DetaljerEKSAMENSOPPGAVE I FYS-1001
side 1 av 6 sider FAKULTET FOR NATURVITENSKAP OG TEKNOLOGI EKSAMENSOPPGAVE I FYS-1001 Eksamen i : Fys-1001 Mekanikk Eksamensdato : 06.12.2012 Tid : 09.00-13.00 Sted : Åsgårdvegen 9 Tillatte hjelpemidler
DetaljerInstitutt for fysikk Fakultet for naturvitenskap og teknologi. Løsningsforslag til eksamen i TFY4170 Fysikk 2 Onsdag 6.
NTNU Side 1 av 5 Institutt for fysikk Fakultet for naturvitenskap og teknologi Merk: Hver deloppgave teller like mye. Dette løsningsforslaget er på 5 sider. Løsningsforslag til eksamen i TFY417 Fysikk
DetaljerFormelsamling Bølgefysikk Desember 2006
Vedlegg 1 av 9 Formelsamling Bølgefysikk Desember 2006 Fete symboler angir vektorer. Symboler med hatt over angir enhetsvektorer. Formlenes gyldighet og symbolenes betydning antas å være kjent. Harmonisk
DetaljerLøsningsforslag til eksamen i TFY4170 Fysikk 2 Tirsdag 9. desember 2003
NTNU Side 1av7 Institutt for fysikk Fakultet for naturvitenskap og teknologi Dette løsningsforslaget er på 7 sider. Løsningsforslag til eksamen i TFY4170 Fysikk Tirsdag 9. desember 003 Oppgave 1. a) Amplituden
DetaljerAuditorieøving 6, Fluidmekanikk
Auditorieøving 6, Fluidmekanikk Utført av (alle i gruppen): Oppgave 1 En beholder er åpen i ene enden og har et hull i bunnen, påsatt et innadrettet rør av lengde l og med sirkulært tverrsnitt A 0. Beholderen,
Detaljer10 6 (for λ 500 nm); minste størrelse av
Sensorveiledning Eksamen FYS130 Oppgave 1 ( poeng) a) Brytningdeksen er forholdet mellom lyshastigheten i vakuum og lyshastigheten i mediet; siden lyshastigheten i et medium er alltid mindre enn i vakuum,
Detaljerdg = ( g P0 u)ds = ( ) = 0
NTNU Institutt for matematiske fag TMA4105 Matematikk 2, øving 8, vår 2011 Løsningsforslag Notasjon og merknader Som vanlig er enkelte oppgaver kopiert fra tidligere års løsningsforslag. Derfor kan notasjon,
DetaljerLØSNINGSFORSLAG TIL EKSAMEN I FY1002 og TFY4160 BØLGEFYSIKK Onsdag 20. desember 2006 kl
NORGES TEKNISK- NATURVITENSKAPELIGE UNIVERSITET INSTITUTT FOR FYSIKK Faglig kontakt under eksamen: Jon Andreas Støvneng Telefon: 73 59 36 63 / 45 45 55 33 LØSNINGSFORSLAG TIL EKSAMEN I FY1002 og TFY4160
Detaljer0.1 Kort introduksjon til komplekse tall
Enkel introduksjon til matnyttig matematikk Vi vil i denne innledningen introdusere litt matematikk som kan være til nytte i kurset. I noen tilfeller vil vi bare skrive opp uttrykk uten å komme inn på
DetaljerGEF Løsningsforslag til oppgaver fra kapittel 6
GEF1100 - Løsningsforslag til oppgaver fra kapittel 6 i.h.h.karset@geo.uio.no Oppgave 1 a) Hva er forskjellen mellom Lagrangesk og Eulersk representasjon av en væskebevegelse? Gi et eksempel på hver av
DetaljerEksamen i GEOF330 Dynamisk Oseanografi. Oppgåve 1: Ståande svingningar
Universitetet i Bergen Det matematisk-naturvitskaplege fakultet Eksamen i GEOF330 Dynamisk Oseanografi 15. Desember 2006, kl 0900-1400 Tillatte hjelpemiddel: Kalkulator og matematisk formelsamling Oppgåve
DetaljerTFY Løsning øving 5 1 LØSNING ØVING 5. Krumning og stykkevis konstante potensialer
TFY4215 - Løsning øving 5 1 Løsning oppgave 16 LØSNING ØVING 5 Krumning og stykkevis konstante potensialer a. I et område hvor V er konstant (lik V 1 ), og E V 1 er positiv (slik at området er klassisk
DetaljerKapittel 4. Bølger, del Utledning av bølgeligningen* Bølger på en streng F 2. F 2y. F2x. F 1x F 1. F 1y
Kapittel 4 Bølger, del 2 [Copyright 2009: A.I.istnes.] 4.1 Utledning av bølgeligningen* i har tidligere gitt et matematisk uttrykk for en bølge og (ved en kvasi baklengs argumentasjon) vist hvilken differentialligning
DetaljerKapittel 6 Trykk og vind
Kapittel 6 Trykk og vind Asgeir Sorteberg Geofysisk Institutt, UiB Newtons 2. lov For å forstå hvorfor vi har vinder starter vi med Newtons andre lov sier at akselerasjonen til et legeme er direkte proporsjonal
DetaljerFormelsamling. ξ(r, t) = ξ 0 sin(k r ωt + φ) 2 ξ(x, t) = 1 2 ξ(x, t) t 2. 2 ξ. x ξ. z 2. y ξ. v = ω k. v g = dω dk
Formelsamling Side 7 av 15 Fete symboler angir vektorer. Symboler med hatt over angir enhetsvektorer. Formlenes gyldighet og symbolenes betydning antas å være kjent. Harmonisk plan bølge: Bølgeligning:
DetaljerLøsningsforslag Eksamen 20. desember 2012 FY2045/TFY4250 Kvantemekanikk I
Eksamen FY045/TFY450 0. desember 0 - løsningsforslag Oppgave Løsningsforslag Eksamen 0. desember 0 FY045/TFY450 Kvantemekanikk I a. For x < 0 er potensialet lik null. (i) For E > 0 er da ψ E = (m e E/
DetaljerFORELESNINGER I BØLGETEORI
FORELESNINGER I BØLGETEORI av Bjørn Gjevik, Geir K. Pedersen og Karsten Trulsen Matematisk Institutt Universitetet i Oslo Våren 2005 2 Innhold 1 INNLEDNING 5 1.1 Grunnleggende modeller og begreper................
DetaljerGEF1100: kapittel 8. Ada Gjermundsen. Oktober 2017
GEF1100: kapittel 8 Ada Gjermundsen Oktober 2017 Midtveis eksamen Pensum: Til og med kap 6. Midtveiseksamen blir denne gang uten flervalgsoppgaver. Det blir både teorispørsmål og regneoppgaver. Tillatte
DetaljerVår TMA4105 Matematikk 2. Løsningsforslag Øving 2. Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag
TMA415 Matematikk 2 Vår 217 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Løsningsforslag Øving 2 11.1.9: Den aktuelle kurven er gitt ved r(t) (3 cos t, 4 cos t, 5 sin t).
DetaljerLøsningsforslag til midtveiseksamen i FYS1000, 17/3 2016
Løsningsforslag til midtveiseksamen i FYS1000, 17/3 2016 Oppgave 1 Vi har v 0 =8,0 m/s, v = 0 og s = 11 m. Da blir a = v2 v 0 2 2s = 2, 9 m/s 2 Oppgave 2 Vi har v 0 = 5,0 m/s, v = 16 m/s, h = 37 m og m
DetaljerFY1002/TFY4160 Bølgefysikk. Løsningsforslag til Midtsemesterprøve fredag 15. oktober 2010 kl Oppgavene og et kortfattet løsningsforslag:
Institutt for fysikk, NTNU FY1002/TFY4160 ølgefysikk Høst 2010 FY1002/TFY4160 ølgefysikk Løsningsforslag til Midtsemesterprøve fredag 15. oktober 2010 kl 08.15 09.45 Fasit på side 10. Oppgavene og et kortfattet
DetaljerFYS-MEK 1110 Løsningsforslag Eksamen Vår 2014
FYS-MEK 1110 Løsningsforslag Eksamen Vår 2014 Oppgave 1 (4 poeng) Forklar hvorfor Charles Blondin tok med seg en lang og fleksibel stang når han balanserte på stram line over Niagara fossen i 1859. Han
DetaljerLøsningsforslag til eksamen i TFY4170 Fysikk 2 Fysikk 2 Lørdag 8. august 2005
NTNU Side 1 av 5 Institutt for fysikk Fakultet for naturvitenskap og teknologi Løsningsforslag til eksamen i TFY4170 Fysikk Fysikk Lørdag 8. august 005 Merk: Hver del-oppgave teller like mye. Dette løsningsforslaget
DetaljerForelesning, TMA4110 Torsdag 11/9
Forelesning, TMA4110 Torsdag 11/9 Martin Wanvik, IMF Martin.Wanvik@math.ntnu.no (K 2.8) Tvungne svingninger. Resonans. Ser på masse-fjær system påvirket av periodisk ytre kraft: my + cy + ky = F 0 cos
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
Side 1 av 4 UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i: FYS-MEK111 Eksamensdag: Mandag 22. mars 21 Tid for eksamen: Kl. 15-18 Oppgavesettet er på 4 sider + formelark Tillatte
DetaljerFormelsamling. ξ(r, t) = ξ 0 sin(k r ωt + φ) 2 ξ(x, t) = 1 2 ξ(x, t) t 2. 2 ξ. x ξ. z 2. y ξ. v = ω k. v g = dω dk
Formelsamling Side 7 av 16 Fete symboler angir vektorer. Symboler med hatt over angir enhetsvektorer. Formlenes gyldighet og symbolenes betydning antas å være kjent. Harmonisk plan bølge: Bølgeligning:
DetaljerMAT feb feb feb MAT Våren 2010
MAT 1012 Våren 2010 Forelesning Vi er ferdig med en-variabel-teorien, og vi kan begynne å jobbe med funksjoner i flere variable. Det første vi skal gjøre er å gå gjennom de vanlige analysene vi gjør for
DetaljerFYS2140 Kvantefysikk, Oblig 11. Sindre Rannem Bilden og Gruppe 4
FYS2140 Kvantefysikk, Oblig 11 Sindre Rannem Bilden og Gruppe 4 30. april 2015 Obliger i FYS2140 merkes med navn og gruppenummer! Denne obligen er satt sammen av den første delen av eksamen våren 2010
DetaljerTMA 4110 Matematikk 3 Høsten 2004 Svingeligningen med kompleks regnemåte
TMA 4 Matematikk Høsten 4 Svingeligningen med kompleks regnemåte H.E.K., Inst. for matematiske fag, NTNU Svingeligningen forekommer i mange sammenhenger, og ofte vil vi møte regning og utledninger der
DetaljerForelesning 23 den 18/4 2017
Forelesning 3 den 18/4 017 Eksperiment Toricelli hvor fort renner vann ut av et kar? Vi navngir eksperimentet til ære for Evangelista Torricelli (1608 1647) som oppdaget Toricellis lov i 1643. Toricelli
DetaljerTFY4106 Fysikk. Institutt for fysikk, NTNU. Løsningsforslag til øving 9.
TFY4106 Fysikk. Institutt for fysikk, NTNU. Løsningsforslag til øving 9. Oppgave 1 a) var C er korrekt. Fasehastigheten er gitt ved v ω k og vi ser fra figuren at dette forholdet er størst for små verdier
DetaljerFYS2130. Tillegg til kapittel 13. Harmonisk oscillator. Løsning med komplekse tall
FYS130. Tillegg til kapittel 13 Haronisk oscillator. Løsning ed koplekse tall Differensialligningen for en udepet haronisk oscillator er && x+ ω x = 0 (1) so er en hoogen lineær differensialligning av.
DetaljerMidtsemesterprøve fredag 10. mars kl
Institutt for fysikk, NTNU FY1003 Elektrisitet og magnetisme TFY4155 Elektromagnetisme Vår 2006 Midtsemesterprøve fredag 10. mars kl 0830 1130. Løsningsforslag 1) A. (Andel som svarte riktig: 83%) Det
DetaljerFasit for eksamen i MEK1100 torsdag 13. desember 2007 Hvert delspørsmål honoreres med poengsum fra 0 til 10 (10 for perfekt svar).
Fasit for eksamen i MEK torsdag 3. desember 27 Hvert delspørsmål honoreres med poengsum fra til ( for perfekt svar). Oppgave Vi har gitt to vektorfelt i kartesiske koordinater (x,y,z) A = yi+coszj +xy
DetaljerMandag 21.08.06. Mange senere emner i studiet bygger på kunnskap i bølgefysikk. Eksempler: Optikk, Kvantefysikk, Faststoff-fysikk etc. etc.
Institutt for fysikk, NTNU TFY46/FY2: Bølgefysikk Høsten 26, uke 34 Mandag 2.8.6 Hvorfor bølgefysikk? Man støter på bølgefenoener overalt. Eksepler: overflatebølger på vann akustiske bølger (f.eks. lyd)
DetaljerPeder A. Tyvand Norges miljø- og biovitenskapelige universitet 1432 Ås
Det ikke-linære Cauchy-Poissonproblemet for vannbølger Peder A. Tyvand Norges miljø- og biovitenskapelige universitet 1432 Ås Cauchy-Poisson-problemet går egentlig ut på å kaste en stein i vannet Når vi
DetaljerPunktladningen Q ligger i punktet (3, 0) [mm] og punktladningen Q ligger i punktet ( 3, 0) [mm].
Oppgave 1 Finn løsningen til følgende 1.ordens differensialligninger: a) y = x e y, y(0) = 0 b) dy dt + a y = b, a og b er konstanter. Oppgave 2 Punktladningen Q ligger i punktet (3, 0) [mm] og punktladningen
DetaljerMA1102 Grunnkurs i analyse II Vår 2019
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag MA1102 Grunnkurs i analyse II Vår 2019 10.2.27 a) Vi skal vise at u + v 2 = u 2 + 2u v + v 2. (1) Som boka nevner på side 581,
DetaljerSammendrag R2. www.kalkulus.no. 31. mai 2009
Sammendrag R2 www.kalkulus.no 31. mai 2009 1 1 Trigonometri Definisjon av sinus og cosinus Sirkelen med sentrum i origo og radius 1 kalles enhetssirkelen. La v være en vinkel i grunnstilling, og la P være
DetaljerLøsningsforslag Dataøving 2
TTK45 Reguleringsteknikk, Vår 6 Løsningsforslag Dataøving Oppgave a) Modellen er gitt ved: Setter de deriverte lik : ẋ = a x c x x () ẋ = a x + c x x x (a c x ) = () x ( a + c x ) = Det gir oss likevektspunktene
DetaljerFY2045/TFY4250 Kvantemekanikk I, løsning øving 13 1 LØSNING ØVING 13. V (x, t) = xf (t) = xf 0 e t2 /τ 2.
FY045/TFY450 Kvantemekanikk I, løsning øving 13 1 Løsning Oppgave 13 1 LØSNING ØVING 13 Transient perturbasjon av harmonisk oscillator a. Med kraften F (t) = qe(t) = F 0 exp( t /τ ) og sammenhengen F (t)
DetaljerLØSNINGSFORSLAG TIL EKSAMEN I MA0001 BRUKERKURS A Tirsdag 14. desember 2010
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side 1 av 6 LØSNINGSFORSLAG TIL EKSAMEN I MA1 BRUKERKURS A Tirsdag 14. desember 1 Oppgave 1 Ligningen kan skrives 4 ln x 3 ln
DetaljerPartieltderiverte og gradient
Partieltderiverte og gradient Kap 2 Matematisk Institutt, UiO MEK1100, FELTTEORI OG VEKTORANALYSE våren 2009 Framstilling Kommentarer, relasjon til andre kurs Struktur Mye er repitisjon fra MAT1100, litt
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
Side av 5 UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i: FYS-MEK Eksamensdag: Onsdag. juni 2 Tid for eksamen: Kl. 9-3 Oppgavesettet er på 5 sider + formelark Tillatte hjelpemidler:
Detaljer9 Tillegg Me302: Stokes bølger.
9 Tillegg Me32: Stokes bølger. 9.1 Introduksjon. Stokes bølger er betegnelsen på periodiske bølger av permanent form, på uendelig og endelig dyp, og er en av de klassiske ikke-lineære løsninger for overflatebølger.
DetaljerØving 3. Oppgave 1 (oppvarming med noen enkle oppgaver fra tidligere midtsemesterprøver)
Institutt for fysikk, NTNU TFY455/FY003: Elektrisitet og magnetisme Vår 2008 Veiledning: Fredag 25. og mandag 28. januar Innleveringsfrist: Fredag. februar kl 2.00 Øving 3 Oppgave (oppvarming med noen
DetaljerImpuls, bevegelsesmengde, energi. Bevaringslover.
Impuls, bevegelsesmengde, energi. Bevaringslover. Kathrin Flisnes 19. september 2007 Bevegelsesmengde ( massefart ) Når et legeme har masse og hastighet, viser det seg fornuftig å definere legemets bevegelsesmengde
DetaljerEKSAMENSOPPGAVE. To dobbeltsidige ark med notater. Stian Normann Anfinsen
Fakultet for naturvitenskap og teknologi EKSAMENSOPPGAVE Eksamen i: FYS-1001 Mekanikk Dato: Onsdag 28. februar 2018 Klokkeslett: 09:00 13:00 Sted: Administrasjonsbygget, 1. etg., rom B.154 Tillatte hjelpemidler:
Detaljer1 MAT100 Obligatorisk innlevering 1. 1 Regn ut i) iii) ii) Regn ut i) ii)
1 MAT1 Obligatorisk innlevering 1 1 Regn ut 3 7 + 1 2. i) 13 14 ii) 11 14 iii) 9 14 2 Regn ut 8 9 + 3 4. i) 57 36 ii) 59 36 iii) 61 36 3 Regn ut 1 4 + 1 8. i) 3 16 ii) 3 8 iii) 5 8 4 Regn ut 1 8 + 1 16.
DetaljerFysikkolympiaden Norsk finale 2018 Løsningsforslag
Fysikkolympiaden Norsk finale 018 øsningsforslag Oppgave 1 Det virker tre krefter: Tyngden G = mg, normalkrafta fra veggen, som må være sentripetalkrafta N = mv /R og friksjonskrafta F oppover parallelt
DetaljerGrensebetingelse for trykk der hvor vann møter luft
Forelesning 5/4 019 ved Karsten Trulsen Grensebetingelse for trykk der hvor vann møter luft Vi skal utlede en betingelse for trykket på grenseflaten der hvor vann er i kontakt med luft. Vi gjør dette ved
DetaljerQ = π 4 D2 V = π 4 (0.1)2 0.5 m 3 /s = m 3 /s = 3.93 l/s Pa
35 Løsning C.1 Q π 4 D2 V π 4 (0.1)2 0.5 m 3 /s 0.00393 m 3 /s 3.93 l/s G gsρ vann Q 9.81 1.26 998 0.00393 N/s 0.0484 kn/s ṁ G/g 48.4/9.81 kg/s 4.94 kg/s Løsning C.2 Omregning til absolutt trykk: p abs
DetaljerLydproduksjon. t.no. ww ww.hin. Forelesning 1 Introduksjon Lyd og bølger MMT205 - F1 1
MMT205 Lydproduksjon t.no ww ww.hin Forelesning 1 Introduksjon Lyd og bølger MMT205 - F1 1 F1 - Agenda Introduksjon Lyd og bølger Lyd fysiske karakteristika - parametre MMT205 - F1 2 MMT205 Lydproduksjon
DetaljerSkinndybde. FYS 2130
Skinndybde. FYS 130 Vi skal se hvordan en elektromagnetisk bølge oppfører seg i et ledende medium. ølgeligningen for E-feltet i vakuum ble utledet i notatet om elektromagnetiske bølger: E E =εµ 0 0 Denne
DetaljerLøsningsforslag til eksamen i FYS1000, 14/8 2015
Løsningsforslag til eksamen i FYS000, 4/8 205 Oppgave a) For den første: t = 4 km 0 km/t For den andre: t 2 = = 0.4 t. 2 km 5 km/t + 2 km 5 km/t Den første kommer fortest fram. = 0.53 t. b) Dette er en
DetaljerEksamen i TFY4170 Fysikk 2 Mandag 12. desember :00 18:00
NTNU Side 1 av 5 Institutt for fysikk Faglig kontakt under eksamen: Professor Arne Brataas Telefon: 73593647 Eksamen i TFY417 Fysikk Mandag 1. desember 5 15: 18: Tillatte hjelpemidler: Alternativ C Godkjent
DetaljerMidtsemesterprøve Bølgefysikk Fredag 10. oktober 2008 ca kl
Institutt for fysikk, NTNU FY1002/TFY4160 ølgefysikk Høst 2008 Midtsemesterprøve ølgefysikk Fredag 10. oktober 2008 ca kl 12 14. Merk av svarene dine i tabellen på side 11. Lever inn kun side 11. Husk
DetaljerMidtsemesterprøve Bølgefysikk Fredag 10. oktober 2008 ca kl
Institutt for fysikk, NTNU FY1002/TFY4160 ølgefysikk Høst 2008 Midtsemesterprøve ølgefysikk Fredag 10. oktober 2008 ca kl 12 14. Merk av svarene dine i tabellen på side 11. Lever inn kun side 11. Husk
DetaljerMidtsemesterprøve Bølgefysikk Fredag 10. oktober 2008 ca kl
Institutt for fysikk, NTNU FY1002/TFY4160 ølgefysikk Høst 2008 Midtsemesterprøve ølgefysikk Fredag 10. oktober 2008 ca kl 12 14. Merk av svarene dine i tabellen på side 11. Lever inn kun side 11. Husk
Detaljer