Modifisering av Black & Scholes opsjonsprising ved bruk av NIG-fordelingen

Transkript

1 UNIVERSITETET I OSLO Matematisk Institutt Modifisering av Black & Scholes opsjonsprising ved bruk av NIG-fordelingen Prosjektoppgave STK-MAT2011 Sindre Froyn 14. mai 2009

2 Sammendrag Med utgangspunkt i Black & Scholes-modellen skal vi bruke en normalinvers gaussisk fordeling til å utlede en ny metode for å prise opsjoner. Vi tar videre for oss noen variasjoner av denne metoden. Vi ser på hvordan dette er en relevant problemstilling for forsikringsselskaper som bruker opsjoner i forbindelse med investerte penger i en portefølje.

3 Innhold Introduksjon 1 Bakgrunn Problemstilling Diskusjon 4 Definisjoner Ny Normalfordeling Risikonøytralt Sannsynlighetsmål Finner Opsjonsprisen Prising I Forskjellige Markedssituasjoner Alternative Metoder Konklusjon 22 Oppsummering Og Konklusjon Videre Arbeid Appendiks 24 Matlab Referanser Tabeller 1 Parametere underp Parametere underq Numerisk Opsjonspris Resultater Opsjonsprising Figurer 1 Realisasjon Dagskursen til OBX Logavkastningen til OBX Plott av Logavkastningen Plott av loggen til Logavkastningen Oppdeling av OBX-kursen Delplott og logavkastning

4 Introduksjon Bakgrunn En forsikring er en type risikostyring der den som blir forsikret overfører risikoen til forsikringsselskapet mot betaling i form av en forsikringspremie. Tanken bak er at alle premiene som innbetales blir et fond som forvaltes av forsikringsselskapet, der det utbetales erstatninger til de få som faktisk blir utsatt for uhell og ulykker de er forsikret mot. Forsikringsselskapene tilbyr blant annet pensjonsforsikring, som er en fast utbetaling hver måned til forsikringsholderen i en fastsatt tidsperiode, eller frem til forsikringsholderens død. Livsforsikring, der den nærmeste familien får utbetalt penger dersom den forsikrede dør i forsikringstiden, eller uføreforsikring, der man får månedlig utbetaling dersom man blir arbeidsufør av sykdom eller uhell. Fra forsikringsselskapets standpunkt fungerer de tre nevnte forsikringstypene på en tilsvarende måte. Forsikringsselskapet, etter pålegg fra myndighetene, setter av penger, kalt premiereserven, for fremtidige utbetalinger ved inngåelse av en forsikring. Dette er for å sikre at de kan dekke forsikringen selv om selskapet skulle gå konkurs eller få større økonomiske problemer i fremtiden. De trenger derimot ikke å sette av hele summen, siden de kan ha pengene stående på en bankkonto og kan dra nytte av den årlige veksten av renten. For å illustrere dette kan vi se på et noe forenklet eksempel, der vi ser bort fra dødelighet og andre detaljer. En person inngår en pensjonsforsikring med et selskap, der hun om ti år skal få 100 kroner utbetalt hvert år over en periode på fem år. Forsikringsselskapet setter i første omgang av penger nå slik at det med renter over ti år vokser til å bli 100 kroner. Satt opp som en ligning, der de setter avx 1 kroner og renten err: x 1 (1+r) = 100 x 1 = (1+r) 10 Under antagelsen om at renten err = 0.05, får vi da atx 1 = Dette kalles den neddiskonterte verdien. Summen av alle de neddiskonterte verdiene blir det vi kaller premiereserven. Forsikringsselskapet setter også av penger for utbetalingen om 11 år, 12 år, 13 år og 14 år, og har da dekket all utbetalingen for denne forsikringen. Ved utregning av de fire ligningene blir,x 2 = 58.47,x 3 = 55.68,x 4 = ogx 5 = Premiereserven for dette eksempelet blir x i = kroner. 1

5 Problemstilling Forsikringsselskapet har to muligheter: de har det risikofrie valget der de kan la premiereserven stå i banken og vokse med bankens rente, eller de kan investere premiereserven i verdipapirer, som for eksempel aksjer, som historisk sett gir en bedre avkastning. Forsikringsselskapet velger som regel en portefølje som kan være en blanding begge valgene. Eventuell avkastning fra porteføljen kommer kundene til gode, men hvis forsikringsselskapet skulle tape penger er de pålagt av myndighetene til å dekke tapene, slik at premiereserven til enhver tid er stor nok til å kunne oppfylle en vekst med forsikringsselskapets garanterte renter. Vi betegner heretter premiereserven ved tiden t = 0 med S 0. S 0 kan tenkes på som summen av alle premiereserver forsikringsselskapet investerer i markedet. Vi gjør en liten forenkling, og ser bare på S 0 som en vilkårlig krone investert i markedet. Etter et år, t = T, vil den investerte pengesummen ha en verdi betegnet meds T. Premiereserven er beregnet slik at det skal vokse med forsikringsselskapets garanterte renter hvert år, det vil i prinsippet si at forsikringsselskapet garanterer at etter det første året vil premiereserven ha vokst tilk derk=s 0 (1+r). Som vist i figur 1 på neste side ser vi mulige realisasjoner av de investerte pengene over ett år, betegnet med T. Vi har verdien til aksjene ved tiden t = 0 som er S 0, og vi har merket av K = S 0 (1+r) som en konstant. Vi ser på to mulige utfall av fremtiden. I tilfelle A følger markedet de grønne kursene, og på slutten av året ender vi opp med en aksjekurs gitt ved S T, som er større enn K. Investeringen har vokst og avkastningen er markert med den grønne streken mellom aksjekursen ved tident og verdien tilk. I tilfelle B følger markedet de røde kursene, og vi ender opp med en verdi, S T lavere enn K, her vil forsikringsselskapet være nødt til å dekke tapet markert med den røde streken fra siste kurs tilk. Forsikringsselskapet gir en garantert vekst til sine kunder, og denne garantien kan betraktes som en salgsopsjon. En salgsopsjon finner sted når to aktører A og B i et marked inngår en kontrakt. Aktør A har en portefølje de ønsker å selge ved tiden T, men for å unngå større tap betaler de aktør B for å kjøpe denne porteføljen ved tident til prisen K, selv om porteføljens verdi er lavere. Er porteføljen verdt mer, kan aktør A se bort fra kontrakten å selge porteføljen til en tredje aktør til markedsprisen. Prisen på salgsopsjonen er hva aktør A må betale aktør B for å inngå denne kontrakten. Denne salgsopsjonen har utbetaling: ( ) max (K S T ), 0 (K S T ) +. Vi kan tenke på forsikringsselskapet som aktør B, og kundene som A. Et sentralt tema blir hvordan denne salgsopsjonen skal prises uten at det fører til en arbitrasjemulighet for noen av partene. Den vanlige 2

6 måten å prise salgsopsjoner er å bruke Black & Scholes-modellen. Denne modellen er den desidert mest brukte på prising av opsjoner, men har noen begrensninger som følge av antagelser gjort i teorien den bygger på. Det er antatt det er mulig å låne penger til en risikofri rente, det er ingen avgift for kjøp og salg av verdipapir, det er ingen aksjeutbytte, det er mulig å selge aksjer man ikke eier (short selling) og verdipapir kan handles i brøkdeler. Spesielt er det antatt at markedet har en konstant volatilitet, som gjør at modellen ikke tar hensyn til store prisøkninger og prisfall over korte tidsperioder, slik som det for eksempel ble observert i den verdensomspennende finanskrisen i Når man benytter Black & Scholes til å finne opsjonspriser bruker man normalfordelingen i beregningene. Det er her antagelsen om konstant volatilitet kommer inn i bildet, siden normalfordelingen ikke fanger opp ekstremtilfeller. Hypotesen som blir diskutert i denne oppgaven er hvorvidt vi kan modifisere Black & Scholes-modellen slik at den fungerer bedre når det er høy volatilitet i markedet. Forslaget er å bruke en sannsynlighetsfordeling som faktisk kan fange opp ekstremtilfeller, og implementere elementer av denne fordelingen i Black & Scholes-modellen. Fordelingen vi skal se på er normalinvers gaussisk fordeling. A B K S 0 T Figur 1: Realisasjon 3

7 Diskusjon Definisjoner Vi tar utgangspunkt i at forsikringsselskapet investerer premiereserven i en aksjeportefølje, som vi kan representere med OBX-kursen fra Oslo Børs. OBX-kursen består av de 25 aksjene det handles mest for på hovedindeksen, OSEBX, og gir et passende bilde av en prisutvikling fra virkeligheten. Vi ser på den daglige aksjekursen for OBX over en femårsperiode fra april 2004 til april 2009, der vi kan se en forholdsvis vanlig prisstigning i perioden 0 til 1100 handledager, og den påfølgende finanskrisen der volatiliteten i markedet blir enorm. Kursutviklingen er avbildet i figur 2 på side 6. Den vanlige aksjeavkastningeny i til en aksje over en tidsperiodei 1 tili(her er en tidsperiode én dag) er gitt som i Benth[2] y i = s i s i 1, i N. s i 1 Dette gir den prosentvise endringen i aksjekursen fra dag til dag. I Black & Scholes-modellen ser vi derimot på den logaritmiske avkastningen, forkortet som logavkastningen. Det er logaritmen til den relative prisendringen fra dag til dag. Fra Benth[2] vet vi den er gitt som ( ) si x i = ln = ln(s i ) ln(s i 1 ), i N. s i 1 Ved å se på aksjekursen på denne måten, får vi et datasett som er normalfordelt med forventningsverdi µ N og standardavvik σ N. Vi setter N i subskriptet for å markere at disse parameterne hører til den opprinnelige normalfordelingen. Vi har beregnet logavkastningen til OBX-kursen og har plottet det i figur 3 på side 6. Denne kan sammenlignes med aksjekursen til OBX i figur 1, og vi kan se hvordan variasjonen i markedet slår ut på logavkastningen, og hvordan vi får opphav til ekstremtilfeller. Vi regner logavkastningen i programmet data_parametere.m som er vedlagt i Appendiksen. Forventningsverdien og standardavviket estimeres ut fra logavkastningen på vanlig måte. Logavkastningen er den stokastiske variabelen x i. µ N = 1 n x i σ N = 1 n n n 2 (x i µ N ) 2 i=1 Vi får også behov for tredje- og fjerdemomentet til normalfordelingen, henholdsvis skjevheten betegnet meds, og kurtosen betegnet medk. Vi i=1 4

8 finner uttrykk for disse i Løvås[3]. s= 1 n n ( xi µ N i=1 σ N ) 3 k= 1 n n ( ) xi µ 4 N 3 Ved utregningen av skjevheten og kurtosen (engelsk: skewness og kurtosis) benytter vi de innebygde funksjonene i Matlab, og kan også finnes i programmetdata_parametere.m. Vi har nå funnet de nødvendige parameterne som trengs for å konstruere en normalinvers gaussisk fordeling, heretter forkortet som NIG-fordelingen. NIG-fordelingen er en mer generell fordeling enn den vanlige normalfordelingen, der den viktigste forskjellen er at NIGfordelingen kan tilpasses bedre etter den observerte dataen. NIG-fordelingen har fire parametere betegnet med α,β,µ og δ. Parameteren µ er tilsvarende som forventningsverdien til en normalfordeling, den forteller oss hvor NIG-fordelingen er sentrert. Parameteren δ er tilsvarende som variansen for normalfordelingen, og gir oss skaleringen til fordelingen. β er skjevheten til fordelingen, der β > 0 tilsier at fordelingen heller mot høyre, med sterkere helling etter hvert som β blir større. β < 0 blir motsatt med helling mot venstre, og β = 0 tilsier en symmetrisk fordeling. Til slutt har vi α som er parameteren for haletyngden til NIG-fordelingen. For å beregne NIG-fordelingens parametere bruker vi forventningsverdienµ N, standardavviketσ N, skjevhetens og kurtosenk. For å forenkle uttrykkene, innfører viζ ogη. i=1 σ N ζ= 3k 4s 2 η=k 5 3 s2 NIG-fordelingens av fire parametere,α,β,µ ogδ, må oppfylleδ>0og 0 β α. Vi beregner parameterne. ζ α=, β= s, µ=µ N 3s σn 2 27ησN 2, δ= η η ζ ζ σ 2 N σ 2 N De nøyaktige verdiene for parameterne beregnes i Matlabprogrammet data_parametere.m. Vi plotter nå de observerte logavkastningene, den tilhørende normalfordelingen og NIG-fordelingen. Dette vises på figur 4 på side 8. For å fremheve forskjellene på disse plottene, ser vi på plottene til logaritmen av histogrammet til logavkastningen, logaritmen til normalfordelingen og logaritmen til NIG-fordelingen, som er vist på figur 5 på side 8. Logavkastningen, eller den observerte dataen, er markert med sorte punkter i plottet. Vi kan se normalfordelingen i Black & Scholesmodellen, markert i blått, og hvordan den er tilpasset i forhold til den 5

9 Kurs Antall dager Figur 2: Dagskursen til OBX Logavkastning Antall dager Figur 3: Logavkastningen til OBX 6

10 observerte dataen. I området til 0.05, stemmer normalfordelingen ganske bra med den observerte dataen, men etter hvert som observasjonene blir mer ekstreme blir overensstemmelsen dårligere. I motsetning til normalfordelingen som alltid har den karakteristiske klokkeformen, er NIG-fordelingen mye mer fleksibel, og kan som sagt tilpasses bedre til et bredt spekter med data. I vårt tilfelle ser vi at NIG-fordelingen, markert i rødt, både stemmer bedre i den normale delen av markedet, og at den tar bedre hensyn til de «tunge halene» vi ser den observerte dataen har. Sagt på en annen måte, NIG-fordelingen er bedre egnet til å fange opp ekstrempunkter, eller store variasjoner i markedet. Ny Normalfordeling Selv om vi har funnet en sannsynlighetsfordeling som er bedre tilpasset aksjepriser i et unormalt marked, er vi fortsatt bundet av kravet om at vi må ha en normalfordeling i Black & Scholes-modellen. En eventuell formel for opsjonsprising med NIG-fordelingen ville krevd en helt annen modell for å prise aksjer, noe som ligger godt utenfor omfanget til denne diskusjonen da en slik modell ikke finnes. Det vi gjør er å innføre en ny normalfordeling, som har forventningsverdi og standardavvik lik NIGfordelingens forventningsverdi og standardavvik. På denne måten får bi brukt NIG-fordelingen indirekte i Black & Scholes-formelen. Vi setter altså at forventningsverdien og standardavviket til den stokastiske variabelens T skal være lik under de forskjellige fordelingene: «ny» for Ny normalfordeling og NIG for NIG-fordelingen. Dette kan vi skrive som et ligningssystem. (I) E[S ny T ]=E[SNIG T ] (II) Var[S ny T ]=Var[SNIG T ] Parameterne til den nye normalfordelingen er ukjente, og vi betegner de med µ ny og σ ny. De øvrige parameterne er kjente, og ved å løse ligningssystemet på hensyn av de ukjente parameterne, får vi de uttrykt ved kjente parametere. Den stokastiske variabelen S T kan skrives uttrykt ved startverdien S 0. Vi har S T = S 0 e X T, der X T er en stokastisk variabel under en av fordelingene vi jobber med. Vi ser nærmere på høyresiden i ligning(i), og skriver det om. E[S NIG T ]=E[S 0 e XNIG T ]=S 0 E[e XNIG T ] Fra Rice[6] vet vi ate(e tx )=M X (t), derm X (t) er den momentgenererende funksjonen. For NIG-fordelingen vet vi fra Barndorff-Nielsen[1] at 7

11 40 35 Histogram Normalfordeling NIG fordeling Figur 4: Plott av Logavkastningen 6 4 Histogram Normalfordeling NIG fordeling Figur 5: Plott av loggen til Logavkastningen 8

12 den momentgenererende funksjonen er som gitt under. M X (t)=e µt+δ α 2 β 2 δ α 2 (β+t) 2, t R Vi ser på prisutviklingen over et år, og må da gange parameterneδogµ medt. Vi ser også att= 1 fra høyresiden av ligning(i), og har funnet uttrykket. E[S NIG T ]=S 0 e Tµ+Tδ α 2 β 2 Tδ α 2 (β+1) 2 (1) Vi tar samme fremgangsmåte på venstresiden i ligning(i). E[S ny T ]=E[S 0e Xny T ]=S 0 E[e Xny T ] Fra Rice[6] har vi den momentgenererende funksjonen for normalfordelingen. M X (t)=e µ nyt e σ 2 ny t2 2 Igjen må vi gange opp parameterne siden vi ser på utviklingen over et år. Her ganger viµ ny ogσ ny medt, og får igjent= 1 fra ligning(i). Vi har dermed funnet et uttrykk for venstresiden i(i). E[S ny T ]=S 0e µ nyt e σ 2 ny T 2 (2) Ved å bruke (1) og (2) har vi høyre- og venstresiden til ligning(i). E[S ny T ]=E[SNIG T ] S 0 e µ nyt e σ 2 ny T 2 =S 0 e Tµ+Tδ α 2 β 2 Tδ α 2 (β+1) 2 e µ nyt+σny 2 T 2 =e Tµ+Tδ α 2 β 2 Tδ α 2 (β+1) 2 µ ny T+T σ ny 2 2 =Tµ+Tδ α 2 β 2 Tδ α 2 (β+1) 2 µ ny + σ ny 2 2 =µ+δ α 2 β 2 δ α 2 (β+1) 2 Vi ser nå nærmere på ligning (II), og konsentrerer oss i første omgang om høyresiden. Vi vet at variansen til en stokastisk variabel kan skrives uttrykt ved forventningsverdien. Var[S NIG T ]=E[(S NIG T ) 2 ] E[S NIG T ] 2 Det siste leddet er kvadratet av uttrykket vi fant i (1). Det første leddet utledes på følgende måte. E[(ST NIG ) 2 ]=E[(S 0 e XNIG T ) 2 ]=E[S0 2 e2xnig T ]=S0 2 E[e2XNIG T ] 9

13 Vi ganger parameterne µ og δ med T, og ser fra uttrykket over at t = 2. Vi setter til slutt inn den momentgenererende funksjonen for NIG-fordelingen. E[(S NIG T ) 2 ]=S 2 0 e2µt+δt α 2 β 2 δt α 2 (β+2) 2 (3) Til slutt finner vi venstresiden i ligning (II), med nesten identisk utledning som høyresiden. Var[S ny T ]=E[(Sny T )2 ] E[S ny T ]2 Det siste leddet er kvadratet av uttrykket vi fant i (2). E[(S ny T )2 ]=E[(S 0 e Xny T ) 2 ]=E[S0 2 e2xny T ]=S0 2 E[e2Xny T ] Ved den momentgenererende funksjonen til normalfordelingen, får vi E[(S ny T )2 ]=S 2 0 e2µ nyt+2σ 2 nyt (4) Ser vi nå på ligning(ii), har vi Var[S ny T ]=Var[SNIG T ] E[S ny2 T ] E[S ny T ]2 =E[S NIG2 T ] E[S NIG T ] 2 Fra ligning(i), observerer vi at Vi kan da skrive det vi har over som Ω=E[S ny T ]=E[SNIG T ] E[(S ny T )2 ] Ω 2 =E[(S NIG T ) 2 ] Ω 2 E[(S ny T )2 ]=E[(S NIG T ) 2 ] Vi har høyre- og venstresiden i (3) og (4). Vi setter inn, og kan forenkle ligningen. S 2 0 e2µ nyt+2σ 2 nyt =S 2 0 e2µt+δt α 2 β 2 δt α 2 (β+2) 2 e 2µ nyt+2σ nyt 2 = e 2µT+δT α 2 β 2 δt α 2 (β+2) 2 2µ ny T+ 2σnyT 2 = 2µT+δT α 2 β 2 δt α 2 (β+2) 2 2µ ny + 2σny 2 = 2µ+δ α 2 β 2 δ α 2 (β+2) 2 Vi har nå et eksplisitt uttrykk for ligningssystemet med de to ukjente parameterneµ ny ogσ ny. (I) µ ny + σ ny 2 2 =µ+δ α 2 β 2 δ α 2 (β+1) 2 (II) 2µ ny + 2σny 2 = 2µ+δ α 2 β 2 δ α 2 (β+2) 2 10

14 Løser(I) med hensyn påµ ny µ ny =µ+δ α 2 β 2 δ α 2 (β+1) 2 σ ny 2 2 Setter dette inn forµ ny i(ii). 2µ+ 2δ α 2 β 2 2δ α 2 (β+1) 2 σny+ 2 2σny 2 = 2µ+δ α 2 β 2 δ α 2 (β+2) 2 Trekker sammenσ ny på venstresiden, og flytter over leddene og trekker sammen. Vi har funnet et uttrykk for den første ukjente parameteren. σny 2 = δ α 2 β 2 + 2δ α 2 (β+1) 2 δ α 2 (β+2) 2 Setter så dette uttrykket tilbake i ligning(i) forσ ny. µ ny =µ+δ α 2 β 2 δ α 2 (β+1) 2 ( ) δ α 2 β 2 + 2δ α 2 (β+1) 2 δ α 2 (β+2) 2 2 µ ny =µ+ 3 α 2 δ 2 β 2 2δ α 2 (β+1) δ α 2 (β+2) 2 Vi har nå den nye forventningsverdien og variansen uttrykt med kjente parametere. Vi regner disse verdiene i Matlab, og får: µ ny = , σ ny = Vi merker oss at det ikke er så drastiske endringer i parameterne sammenlignet med forventningsverdien og standardavviket for den opprinnelige normalfordelingen. µ N = , σ N = Risikonøytralt Sannsynlighetsmål Vi jobber med tre forskjellige modeller. Normalfordelingen til Black & Scholes-modellen, NIG-fordelingen og en ny normalfordeling vi har konstruert ut fra NIG-fordelingen. Før vi kan prise opsjonen under de forskjellige fordelingene, må vi innføre et risikonøytralt sannsynlighetsmål. Dette gjør vi for å unngå arbitrasjemuligheter for noen av aktørene involvert i salgsopsjonen. Vi har parameterne vi har funnet til nå, i virkelighetens sannsynlighetsmålp, gitt i tabell 1. 11

15 Tabell 1: Parametere underp Modell S N T S NIG T S ny T Parametere µ N,σ N α,β,µ,δ µ ny,σ ny Under det risikonøytrale sannsynlighetsmålet Q, vil parameterne endres. For normalfordelingene kan vi ta for gitt at standardavvikene forblir uendret, mens forventningsverdien erstattes med ρ, der ρ er bankens risikofrie rente: i denne oppgaven antatt til å være ρ = 0.05 over et år. For mer informasjon om parametere under et risikonøytralt sannsynlighetsmål kan man se Benth[2]. De eventuelle endringene i NIG-fordelingen må vi se nærmere på. Vi begynner med å se på den forventede verdien til opsjonen underq, og ser på verdien skrevet som et integral. E Q [(K S T ) +] (K S T ) + dq Vi kjenner ikke Q, og for å kunne regne på integralet, innfører vi den Radon-Nikodym deriverte. En forenklet måte å tenke på dette er å skrive integrasjonsvariabelen på følgende måte. (K S T ) +dq dp dp Hvis vi nå larx T -parameteren is T være NIG-fordelt ogθvære et reelt tall, er den Radon-Nikodym deriverte gitt som dq dp =eθx T mgf(θ)t der høyresiden av uttrykket er resultatet av en Esscher-transform fra sannsynlighetsmålet P til Q, slik som den er spesifisert i Raible[5]. Funksjonen mgf er den momentgenererende funksjonen til NIG-fordelingen som vi allerede har tatt for oss. Vi kan skrive det som: mgf(θ)=θµ+δ α 2 β 2 δ α 2 (β+θ) 2 Vi kan da finne forventningen til NIG-fordelingen under det risikon- 12

16 øytrale sannsynlighetsmålet. ] E Q [e sx T =E [e sx T e θx T θµt δt α 2 β 2 +δt α 2 (β+θ) 2] [ ] =E e (s+θ)x T e θµt δt α 2 β 2 +δt α 2 (β+θ) 2 =e µt(s+θ)+δt( α 2 β 2 α 2 ) (β+θ+s) 2 θµt δt( α 2 β 2 α 2 (β+θ) 2 ) =e µts+δt α 2 (β+θ) 2 δt α 2 (β+θ+s) 2 Vi ser at vi har samme form på den momentgenererende funksjonen under sannsynlighetsmålet Q som vi hadde i P, og vet da at vi fortsatt har en NIG-fordeling. Den eneste endringen er én forandring i parameterne: β erstattes med ˆβ = β+θ, der θ foreløpig er ukjent. De andre parameterne forblir uendret. Vi har da alle parameterne til de tre fordelingene under det risikonøytrale sannsynlighetsmålet Q, og har listet de opp i tabell 2. Tabell 2: Parametere underq Modell S N T S NIG T S ny T Parametere ρ,σ N α, ˆβ,µ,δ ρ,σ ny For å finne θ tar vi utgangspunkt i at den neddiskonterte variabelen under Q er en martingal. Som vi vet fra Pliska[4] betyr det at under sannsynlighetsmåletq, skal forventningsverdien til den neddiskonterte stokastiske variabelens T være lik den opprinnelige verdiens 0. E Q [ e ρt S T ] =S0 Vi kan skrive litt om på venstresiden først. [ E Q e ρt ] [ S T =EQ e ρt S 0 e XNIG T ] =S0 e ρt E Q [ e X NIG T Vi kan jobbe litt videre med det opprinnelige uttrykket. S 0 e ρt [ E Q e XT NIG ] =S0 [ E Q e XT NIG ] = e ρt e µt+δt α 2 (β+θ) 2 δt α 2 (β+θ+1) 2 = e ρt µt+δt α 2 (β+θ) 2 δt α 2 (β+θ+ 1) 2 =ρt µ+δ α 2 (β+θ) 2 δ α 2 (β+θ+ 1) 2 =ρ ] 13

17 Vi har nå kommet frem til en ligning der vi kjenner alle verdier unntattθ. Vi løser denne i Matlab slik som vist i programmetligning.m i Appendiksen, og kjøringen skrevet opp før og etter. Vi ender opp med θ uttrykt med kjente parametere. ( 1 θ= 2δ( 2µρ+δ 2 +µ 2 +ρ 2 2δ 3 β+δ 3 +2δρ 2 β+δρ 2 +δµ 2 2δµρ+2δµ 2 β ) ( 4δµρβ+ (µ ρ) 2 (ρ 2 +δ 2 +µ 2 2µρ)(µ 2 2µρ+ρ 2 4α 2 δ 2 +δ 2 ) Under antagelsen om at ρ = 0.05/250, beregner vi uttrykket over med Matlab og får atθ= ) 1 2 ) Finner Opsjonsprisen Vi skal finne opsjonsprisen under de tre forskjellige modellene vi jobber med: normalfordelingen, NIG-fordelingen og den nye normalfordelingen. NIG-fordelingen må vi simulere opsjonsprisen til, mens vi for normalfordelingene kan bruke Black & Scholes-formelen for en salgsopsjon. For den opprinnelige normalfordelingen får vi «den vanlige» opsjonsprisen slik den hadde vært fra Black & Scholes-modellen. Den simulerte opsjonsprisen vi får fra NIG-fordelingen vil være en bedre opsjonspris grunnet NIG-fordelingens evne til å ta hensyn til variasjon i markedet. Den nye normalfordelingen gir oss en alternativ opsjonspris som etter hypotesen ligger nærmere den simulerte prisen. Vi kjører Matlab-programmet simulering.m, som er vedlagt i Appendiksen, og finner den forventede verdien til opsjonen underq. [ E Q (K ST NIG ) +] = Vi neddiskonterer og finner da opsjonsprisen under NIG-fordelingen. Dette er prisen for opsjonen per krone i premiereservens 0. [ π0 NIG = e ρt E Q (K ST NIG ) +] = Black & Scholes-formelen for en salgsopsjon er gitt ved: π 0 =Ke rt Φ( u 2 ) S t Φ( u 1 ) der Φ er den kumulative fordelingsfunksjonen til en standard normalfordeling. Parameterneu 1 ogu 2 er definert nedenfor. u 1 = ln(s t/k)+(r+ 1 2 σ 2 )(T t) σ T t 14

18 u 2 = ln(s t/k)+(r 1 2 σ 2 )(T t) σ T t Vi gjentar de kjente parameterne. T = 250, som vi antar er antall handledager i løpet av ett år. Vi har forsikringsselskapets garanterte renter = 0.05/250, startdagent= 0,K=S 0 (1+r 250)=1.05, siden vi ser på utviklingen over et år. Standardavviket σ avhenger av hvilken normalfordeling vi bruker. Vi regner ut prisen på opsjonen for den opprinnelige normalfordelingen først. Her erσ =σ N = u N 1 = ln(1/1.05)+250(0.05/250+(0.0195)2 /2) = u N 2 = ln(1/1.05)+250(0.05/250 (0.0195)2 /2) = Endelig kan vi finne opsjonsprisen under normalfordelingen. π N 0 = 1.05e 0.05 Φ( u N 2 ) Φ( un 1 )= Vi beregner til slutt opsjonsprisen for den nye normalfordelingen. Det er kun én liten endring:σ =σ ny = u ny 1 = ln(1/1.05)+250(0.05/250+(0.0194)2 /2) = u ny 2 = ln(1/1.05)+250(0.05/250 (0.0194)2 /2) = Vi finner så opsjonsprisen under den nye normalfordelingen. π ny 0 = 1.05e 0.05 Φ( u ny 2 ) Φ( uny 1 )= Vi ser fra resultatene at den nye normalfordelingen ga oss en opsjonspris som ble lik den vi simulerte med NIG-fordelingen. Ikke overraskende ble det svært liten forskjell fra den opprinnelige opsjonsprisen, siden standardavvikene var så like. Vi merker oss derimot at selv om forskjellen er liten, ga den nye normalfordelingen oss en opsjonspris som kan betraktes som bedre enn «den vanlige» Black & Scholes-modellen produserte. 15

19 Prising I Forskjellige Markedssituasjoner Vi skal nå se hvordan de tre modellene fungerer i forskjellige markedssituasjoner. Vi tar OBX-kursen og ser på tre områder av spesiell interesse. Oppdelingen er vist på figur 6 på side 19. Område A, markert i rødt, viser en forholdsvis moderat prisøkning. I område B, markert i grønt, ser vi på en litt mer turbulent periode og til slutt, i område C, har vi veldig store variasjoner. Vi har egne plott for delplottene, og vi ser den tilhørende logavkastningen i figur 7 på side 19. Vi legger merke til at logavkastningen for A og B ser ut til å ha en konstant volatilitet. I område C ser volatiliteten ut til å være høy, men konstant, i begynnelsen før vi ser en stor endring ca to tredjedeler ut. I hvert av disse områdene, skal vi prise opsjonen med de tre modellene vi har diskutert frem til nå, med akkurat samme fremgangsmåte vi brukte for hele femårsperioden til OBX. I følge hypotesen vil vi se liten forskjell i opsjonsprisene i områdene A og B, men vi skal få en litt mer betydelig forskjell i område C. Det blir litt spredte beregninger i denne og den neste seksjonen, men resultatene oppsummeres i konklusjonen. Vi begynner med å se på område A. Vi beregner parameterne med Matlab-filen delplott_para.m vedlagt i Appendiksen. Kjøring av programmet gir oss: µ A N = , σa N = , µa ny= , σ A ny = I dette tilfellet blir standardavviket, som er den eneste parameteren som brukes i Black & Scholes salgsopsjonsformel, likt for begge normalfordelingene. Dette medfører at begge normalfordelingene gir samme pris. Vi beregner den med formelen gitt tidligere i oppgaven. Vi beholder de andre parameterne vi brukte forrige gang vi beregnet opsjonsprisen, blant annet att = 250. u A 1 = ln(1/1.05)+250(0.05/250+(0.0084)2 /2) = u A 2 = ln(1/1.05)+250(0.05/250 (0.0084)2 /2) = π A 0 = 1.05e 0.05 Φ( u N 2 ) Φ( un 1 )= Før vi kan simulere opsjonsprisen ved NIG-fordelingen, må vi finne θ A så vi kan prise i det risikonøytrale sannsynlighetsmålet. Bruker uttrykket vi fant tidligere i oppgaven. θ A =

20 Vi simulerer så med samme algoritme vi brukte i simulering.m, med de nødvendige endringene. Simuleringen gir prisen π A 0 = Vi ser at det er et avvik mellom prisene vi beregnet med Black & Scholes formel og prisen vi simulerte. I lys av det vi kom frem til for hele femårsperioden er dette resultatet som ventet. Det indikerer at den nye normalfordelingen vi kommer frem til ikke gjør noen forskjell i perioder med konstant volatilitet. Vi gjentar denne prosedyren for delplott B, og ser om vi får et lignende resultat. Vi kjører Matlab-programmer tilsvarende de for delplott A med de nødvendige endringene. Vi finner forventning og standardavvik for normalfordelingene i område B. µ B N = , σb N = , µb ny= , σ B ny = Vi ser at vi får litt forskjellige standardavvik, og må denne gangen beregne to forskjellige Black & Scholes-opsjonspriser. For normalfordelingen: π B 0 = 1.05e 0.05 Φ( u N 2 ) Φ( un 1 )= For den nye normalfordelingen: π B 0 = 1.05e 0.05 Φ( u ny 2 ) Φ( uny 1 )= Vi beregner såθ B, og simulerer opsjonsprisen til NIG-fordelingen. π B 0 = Dette er et oppsiktsvekkende resultat. Denne gangen gir den nye normalfordelingen et resultat som er lengre unna den simulerte prisen enn det vi fikk fra den opprinnelige normalfordelingen. Dette er motstridende med det vi fant frem til tidligere. Vi ser til slutt på område C. Parametere for område C finner vi med en ny runde Matlab-kjøring. µ C N = , σc N = , µc ny = , σc ny = Vi beregner så opsjonsprisene. Først for normalfordelingen. π C 0 = 1.05e 0.05 Φ( u N 2 ) Φ( un 1 )= Deretter for den nye normalfordelingen. π C 0 = 1.05e 0.05 Φ( u ny 2 ) Φ( uny 1 )= Vi merker oss at det er større forskjell på prisene denne gangen. Dette kommer av den store variasjonen vi ser i område C. Vi beregner til 17

21 slutt θ C og kan finne den siste opsjonsprisen. Vi simulerer med NIGfordelingen. π C 0 = Resultatet for område C er mer som vi hadde forventet. Vi jobber generelt med veldig små forskjeller i opsjonsprisene vi finner med de forskjellige modellene, men det er klart at den nye normalfordelingen vi konstruerer gir bedre resultat når det er stor volatilitet. I områder med konstant volatilitet gir Black & Scholes-modellen en god nok pris, og ytterligere bearbeiding er overflødig. Alternative Metoder Da vi lagde den nye normalfordelingen så vi på forventningsverdien og variansen til NIG-fordelingen i det fysiske sannsynlighetsmålet P. Ved å bruke samme fremgangsmåte kan vi lage en tredje normalfordeling ved å bruke forventningsverdien og variansen til NIG-fordelingen i det risikonøytrale sannsynlighetsmålet Q. Vi får da et nytt sett forventningsverdi og standardavvik som vi betegner medµ N3 ogσ N3. Vi bruker uttrykkene vi brukte da vi utledet parameterne til den nye normalfordelingen (ny), men nå bruker vi ˆβ=β+θ i stedet forβ. µ N3 =µ+ 3 α 2 δ 2 ˆβ 2 2δ α 2 (ˆβ+1) δ α 2 (ˆβ+2) 2 σn3 α 2 = δ 2 ˆβ 2 + 2δ α 2 (ˆβ+1) 2 δ α 2 (ˆβ+2) 2 Vi regner ut de nøyaktige verdiene i Matlab, og tar for oss i første omgang hele femårsperioden til OBX-kursen. µ N3 = σ N3 = Vi får en ny forventningsverdi, mens standardavviket σ N3 er, i dette tilfellet, likt det vi fikk for den nye normalfordelingen (ny). Ved beregning av opsjonsprisen er det kun standardavviket som tas i betraktning, og derfor vil den tredje normalfordelingen gi oss de samme opsjonsprisene som den nye normalfordelingen. Vi bruker samme fremgangsmåte og lager en tredje normalfordeling for hver av områdene A, B og C og sammenligner opsjonsprisene vi får med de vi fikk tidligere. Vi beregner først parameterne for den tredje normalfordelingen i område A. µ A N3 = σa N3 =

22 Kurs B C A Antall dager Figur 6: Oppdeling av OBX-kursen Delplott av OBX Logavkastning A B C Figur 7: Delplott og logavkastning 19

23 Bruker vi dette standardavviket i Black & Scholes-formelen, får vi opsjonsprisen π A 0 = Sammenligner vi dette resultatet med de øvrige prisene vi regnet for A, stemmer dette veldig godt overens med den simulerte NIG-fordelingens pris, som var Vi ser på område B, og utfører de vanlige regneoperasjonene. µ B N3 = σb N3 = Vi merker at det resulterende standardavviket ligger et stykke unna dem vi fant for normalfordelingen (N) og den nye normalfordelingen (ny). Dette gir oss følgende opsjonspris. π B 0 = I forhold til opsjonsprisene vi fant med den opprinnelige normalfordelingen (N) og den nye normalfordelingen (ny), fikk vi nå en pris som var mye bedre tilpasset den simulerte prisen. Til slutt ser vi på område C. µ C N3 = σc N3 = Denne gangen ble standardavviket veldig likt de vi regnet oss frem til tidligere. Dette slår ut på opsjonsprisen vi får. π C 0 = Vi ser umiddelbart at dette er en dårligere approksimasjon enn vi fikk for den nye normalfordelingen (ny). Vi kan med en gang slå fast at den tredje normalfordelingen (N3) ikke er universelt bedre enn de vi jobbet med tidligere. En annen metode er å finne en alternativ måte å konstruere en normalfordeling ut fra NIG-fordelingen. I denne oppgaven lagde vi en ny normalfordeling ved å sette forventningsverdi og varians lik som for NIG-fordelingen, men vi antar vi kan finne en annen måte å lage en normalfordeling ut fra NIG-fordelingen. I programmet numerisk_norm.m gjør vi en numerisk tilnærming for å finne standardavviket som gir oss en opsjonspris nærmest mulig den simulerte NIG-fordelingsprisen. Dette kan vi tenke som standardavviket den tenkte, fjerde normalfordelingen ville fått. Vi ser vi i første omgang på hele femårsperioden. Vi har funnet frem til standardavvikeneσ N3 =σ N = ogσ ny = , og velger et vilkårlig intervall rundt disse verdiene og tar steg på Vi antar den tenkte normalfordelingen vil ha standardavvik i samme størrelsesorden 20

24 som de andre fordelingene vi fant. For hver σ-kandidat, beregner vi opsjonsprisen ved Black & Scholes-formelen. Vi skriver opp i tabell 3 utskriften vi fikk fra programmet, og kan lese av hva den besteσ-verdien blir. I tilfellet for hele femårsperioden til OBX, har vi allerede funnet at den beste verdien er: σ = , siden dette ga akkurat samme opsjonspris vi fikk ved simulering, nemligπ 0 = Tabell 3: Numerisk Opsjonspris σ Opsjonspris σ Opsjonspris Vi bruker samme program med noen små endringer til å finne de numeriske opsjonsprisene i de tre områdene A, B og C. For område A er målet å få en opsjonsprisπ0 A = Vi simulerer og finner at den numeriske opsjonsprisen vi oppnår er medσω= A , som resulterer i opsjonsprisen πω= A Vi bruker ω for å markere at det er et resultat av den numeriske beregningen. I dette tilfellet fant vi ikke den simulerte opsjonsprisen som var målet. Dette kommer av forutsetningen om at ikke σ- kandidaten kan velges helt fritt, men skal være omtrent som de andre standardavvikene. For område B var den simulerte NIG-opsjonsprisenπ0 B = Vi simulerer og finner at forσω= B får vi π B ω= Det nærmeste vi kom med de andre modellene var den tredje normalfordelingen (N3) der vi fikkπ0 B = Til slutt ser vi på område C. Der er den simulerte opsjonsprisen π0 C = Vi finner at forσc ω = får vi den numeriske prisen π C ω=

25 Konklusjon Oppsummering Og Konklusjon Black & Scholes-modellen er som nevnt tidligere basert på antagelsen om at markedet har konstant volatilitet, og gir unøyaktige opsjonspriser når markedet varierer mye. Dette fører til at opsjonsprisene kan bli for høye eller for lave. Hypotesen vi har jobbet med er at vi kan forbedre Black & Scholes-modellen der vi modifiserer den ved å bruke NIG-fordelingen, slik at den faktisk tar høyde for variasjon i markedet. Vi har tatt for oss hvordan den vanlige Black & Scholes-modellen priser opsjoner, og sammenligner den med to alternative modeller som bruker NIG-fordelingen. Resultatene i selve opsjonsprisingen er oppsummert i tabell 4. Ut fra resultatene vi har sett kan vi konkludere med at vi oppnår en mer korrekt pris på opsjonen om vi benytter NIGfordelingen slik vi har gjort i oppgaven. Altså konkluderer vi med at hypotesen sann. Tabell 4: Resultater Opsjonsprising Område Modell N ny N3 Numerisk NIG OBX A B C Ved litt nærmere inspeksjon kan vi se på hvordan de tre modellene vi ser på, N, ny og N3, stiller seg i forhold til hverandre. For hele datasettet OBX er begge de nye alternativene bedre enn den opprinnelige normalfordelingen. For områdene A og B, der vi har liten variasjon, gir den tredje normalfordelingen (N3) en betydelig bedre pris enn begge de to andre. I område C, der vi har stor variasjon, er derimot den nye normalfordelingen marginalt bedre. Til tross for dette er konklusjonen at den tredje normalfordelingen, N3, er den modifiseringen av Black & Scholes-modellen som er det beste valget av det vi har tatt for oss. De simulerte prisene listet under NIG i tabellen har vi antatt er de beste prisene vi kan oppnå, men de to nye normalfordelingene vi konstruerte gir oss ikke like gode resultater. Da vi fant σ-verdien ved en numerisk tilnærming, fikk vi priser som var enda bedre tilnærmet de simulerte prisene. Basert på dette kan vi stille en ny hypotese. Vi postulerer at det er mulig å konstruere en fjerde normalfordeling ut fra 22

26 NIG-fordelingen på en annen måte enn å bruke forventningsverdien og variansen slik vi gjorde. En slik «optimal» normalfordeling skal i teorien kunne gi oss opsjonspriser tilnærmet de vi fant med simulering. Videre Arbeid I denne oppgaven er det gjort en del forenklinger, og et videre arbeid på denne problemstillingen vil være å fjerne disse. For eksempel har vi antatt at bankens risikofrie rente, ρ er lik forsikringsselskapets garanterte vekst r. For å gjøre dette mer som i virkeligheten kunne vi antatt at bankens renteρ var en stokastisk variabel. Vi har representert en portefølje ved å se på OBX-kursen, men kunne gått mer i dybden og valgt en samling med aksjer fra en ekte portefølje. Sannsynligvis ville den porteføljen være bedre sammensatt med tanke på risikofordeling. En naturlig fordypning ville også vært og gjøre forsøk på å finne den fjerde normalfordelingen omtalt tidligere. Ut fra NIG-fordelingens data er det mulig å prøve andre måter for å estimere parametere, som bootstrap-metoden eller maximum likelihood-metoden. En teknikk som kalles regimeskifte (regime switching) tar hensyn til endringer i en modell. Dette er noe vi kunne brukt i forbindelse med logavkastningen vi har i figur 3 på side 6. I begynnelsen har vi en forholdsvis konstant variasjon men får til slutt en tydelig endring, eller et regimeskifte, der variasjonen blir mye større. Dette kunne vært noe å implementere i videre arbeid. Når vi lager normalfordelingen teller all den observerte dataen like mye. Man kan diskutere om de observerte kursene for fem år siden bør få gjelde like mye som kursene man observerte den siste uken. Uavhengig av tidsintervallet man velger, burde de nyeste dataene være viktigere enn de eldste dataene. Et forsøk på å vekte de etter relevans kunne kanskje gjort modellene nøyaktige med tanke på den videre utviklingen. En viktig antagelse vi har gjort gjennom oppgaven er at den simulerte NIG-fordelingen gir oss den mest korrekte prisen. Hvis vi ser på figur 2 på side 6 ser vi derimot at selv om NIG-fordelingen tar bedre hensyn til de tunge halene enn normalfordelingen, ligger den fortsatt et stykke under den observerte dataen. En mulighet er å prøve ut andre fordelinger enn NIG-fordelingen som kanskje kunne bli tilpasset enda bedre til den observerte dataen, og som følge av dette kunne gitt oss enda mer nøyaktige priser. 23

27 Appendiks Matlab Her følger et utvalg av de viktigste Matlab-programmene for oppgaven. Programmene inkludert nedenfor og alle de andre programmene brukt i prosjektoppgaven kan lastes ned fra prosjektsiden. 1 % 2 % Hovedfil Program 1 - data_parametere.m 3 % Laster inn data og parametere. 4 % Krever filen OBX.txt 5 % 6 %Antall handledager i et år 7 T = 250; 8 9 %Definerer bankens daglige rente 10 rho = 0.05/T; %Leser inn data 13 OBX = load('obx.txt'); %Beregner logavkastningen 16 for i=2:length(obx) 17 logavk(i) = log(obx(i)) log(obx(i 1)); 18 end 19 logavk(1) = 0; %Finner første fjerdemoment 22 m = mean(logavk); 23 st = std(logavk); 24 v = st*st; 25 s = skewness(logavk); 26 k = kurtosis(logavk); %Hjelpevariabler 29 zeta = 3*k 4*s*s; 30 eta = k (5/3)*s*s; %Beregner NIG parametere 33 alfa = (sqrt(zeta))/(eta*sqrt(v)); 34 beta = s/(eta*sqrt(v)); 35 my = m ((3*s*sqrt(v))/zeta); 36 delta = (3^(3/2)*sqrt(eta*v))/zeta; 24

28 Matlab >> syms alfa beta my delta rho theta >> THETA = solve( my + delta*sqrt(alfa^2 - (beta + theta)^2) - delta*sqrt(alfa^2 - (beta + theta + 1)^2) = rho, theta); Warning: Warning, solutions may have been lost >> THETA = simple(theta); >> THETA(2) ans = -1/2*(2*delta^3*beta+delta^3+2*delta*rho^2*beta+delta*rho^2+delta*my^2-2*delta*my*rho+2*delta*my^2*beta-4*delta*my*rho*beta+(-(my-rho)^2* (rho^2+delta^2+my^2-2*my*rho)*(my^2-2*my*rho+delta^2-4*alfa^2*delta^2 +rho^2))^(1/2))/(rho^2+delta^2+my^2-2*my*rho)/delta 1 %Laster inn data og parametere 2 data_parametere %egen m fil 3 format('short') 4 5 %Løsning 2 Program 2 - ligning.m 6 theta = 1/2*(2*delta^3*beta+delta^3+2*delta*rho^2*beta delta*rho^2+delta*my^2 2*delta*my*rho+2*delta*my^2*beta *delta*my*rho*beta+( (my rho)^2*(rho^2+delta^2+my^ *my*rho)*(my^2 2*my*rho+delta^2 4*alfa^2*delta^ rho^2))^(1/2))/(rho^2+delta^2+my^2 2*my*rho)/delta format('rat') 13 rho 14 venstresiden = my + delta*sqrt(alfa^2 (beta + theta)^2) delta*sqrt(alfa^2 (beta + theta + 1)^2) >> ligning Matlab theta = rho = 1/5000 venstresiden = 1/

29 1 %Laster inn data og parametere 2 data_parametere %egen m fil 3 betahat = beta ; 4 5 % M lik 10 millioner 6 M = 10^7; 7 Program 3 - simulering.m 8 % Finner vektoren ( X_T(1)^NIG,..., X_T(M)^NIG) 9 XT = nigrnd(alfa, betahat, 250*my, 250*delta, M, 1); S_0 = 1; %Vi ser på prisen per krone 12 S_T_NIG = S_0*exp(XT); %Simulert utfall 13 K = S_0*(1+250*rho); %Den garanterte prisøkningen %Beregner opsjonen og ser på gjennomsnittet 16 opsjon = max(k S_T_NIG, 0); 17 snitt = sum(opsjon)/length(opsjon); %Neddiskonterer og har resultatet 20 neddisk = exp( rho*250); 21 resultat = neddisk*snitt; 22 disp(resultat) Program 4 - numerisk_norm.m 1 %Definerer de vanlige parameterne 2 S0 = 1; 3 K = 1.05; 4 r = 0.05/250; 5 T = 250; S = [0.0179:0.0001:0.0200]; %Sigma array 9 N = length(s); %Lengde 10 O = zeros(1,n); %Opsjonspris array for i=1:n 13 sigma = S(i); u1 = (log(s0/k) + T*(r + sigma^2/2))/(sigma*sqrt(t)); 16 u2 = (log(s0/k) + T*(r sigma^2/2))/(sigma*sqrt(t)); %Black & Scholes formel for en salgsopsjon 19 opsjonspris = K*exp( r*t)*normcdf( u2) normcdf( u1); 20 O(i) = opsjonspris; 21 end %Skriver ut svar 24 SVAR = [S' O'] 26

30 1 2 %Laster inn data og parametere 3 data_parametere %egen m fil 4 5 %Avgrenset logavkastning for A 6 logavka = logavk(110:300); 7 8 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% 9 % Parametere for A % 10 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %Finner første fjerdemomentet 13 m_a = mean(logavka); 14 s_a = std(logavka); 15 v_a = s_a*s_a; 16 skjev_a = skewness(logavka); 17 kurt_a = kurtosis(logavka); 18 Program 5 - delplott_para.m 19 %Hjelpevariabler 20 zeta_a = 3*kurt_A 4*skjev_A*skjev_A; 21 eta_a = kurt_a (5/3)*skjev_A*skjev_A; %Beregner NIG_A parametere 24 alfa_a = (sqrt(zeta_a))/(eta_a*sqrt(v_a)); 25 beta_a = skjev_a/(eta_a*sqrt(v_a)); 26 my_a = m_a ((3*s*sqrt(v_A))/zeta_A); 27 delta_a = (3^(3/2)*sqrt(eta_A*v_A))/zeta_A; %Beregner my_nyn_a og sigma_nyn_a 30 m_a_ny = my_a + (3/2)*delta_A*sqrt(alfa_A^2 beta_a^2) *delta_A*sqrt(alfa_A^2 (beta_a + 1)^2) (1/2)*delta_A*sqrt(alfa_A^2 (beta_a + 2)^2); s_a_ny = sqrt( delta_a*sqrt(alfa_a^2 beta_a^2) *delta_A*sqrt(alfa_A^2 (beta_a+1)^2) delta_a*sqrt(alfa_a^2 (beta_a+2)^2)); disp('n i A my:') %Opprinnelig Normalfordeling (N) 39 disp(m_a); disp('n i A sigma:') 42 disp(s_a); disp('ny i A my:') %Ny Normalfordeling (ny) 45 disp(m_a_ny); disp('ny i A sigma:') 48 disp(s_a_ny); 27

31 Referanser [1] Ole E. Barndorff-Nielsen. Normal inverse gaussian distributions and stochastic volatility modelling. Scandinavian Journal of statistics, [2] Fred E. Benth. Matematisk Finans. Universitetsforlaget, [3] Gunnar G. Løvås. Statistikk. Universitetsforlaget, [4] Stanley R. Pliska. Introduction to Mathetmatical Finance. Blackwell Publishing, [5] Sebastian Raible. Lévy processes in finance: Theory, numerics, and empirical facts. Ph.D. thesis, Albert-Ludwigs-Universität, Freiburg, [6] John A. Rice. Mathematical Statistics and Data Analysis. Duxbury,