Livsforsikring et eksempel på bruk av forventningsverdi

Transkript

1 et eksempel på bruk av forventningsverdi Ø. Borgan og A.B. Huseby Department of Mathematics University of Oslo, Norway STK 1100

2 Beregning av rettferdig forsikringspremie Vi skal benytte forventninger av stokastiske variable og funksjoner av disse til å beregne en rettferdig premie for en livsforsikringspolise. Med rettferdig premie mener vi her en årlig pris som i løpet av polisens varighet vil dekke selskapets forventede kostnader knyttet til utbetaling til kundens etterlatte.

3 Grunnleggende antagelser Vi regner med en fast rente på 3% pr. år Vi ser bort fra forsikringsselskapets omkostninger og fortjeneste Vi benytter dødlighetsopplysninger fra Statistisk sentralbyrå over dødligheten i den norske befolkningen i perioden (i stedet for dødligheten blant forsikrede) Vi forenkler problemet til å anta at inn- og utbetalinger bare kan skje én gang hvert år

4 Spesifikke antagelser En 30 år gammel kvinne tegner en livsforsikring Forsikringen vil gi hennes etterlatte en erstatning på 1 mill. kroner dersom hun dør før hun fyller 65 år Hvis hun blir minst 65 år, utbetales ingen erstatning Hvert år fra hun er 30 år til hun er 64 år innbetaler hun en premie på K kroner

5 Spesifikke antagelser (forts.) Hvor mye hun innbetaler totalt, og hvor mye hennes etterlatte eventuelt får utbetalt, er stokastiske størrelser siden de avhenger av hvor gammel hun blir Den årlige premien (prisen) beregnes slik at forventningsverdien til nåverdien av de totale premieinnbetalingene blir lik forventningsverdien til nåverdien av erstatningsutbetalingen

6 Gjenværende levetid for kvinnen Vi innfører følgende stokastiske variabel: X = Kvinnens gjenværende levetid i hele år. X er altså lik kvinnens alder (i hele år) når hun dør fratrukket de 30 år hun allerede har levd. Vi ønsker å bestemme den kumulative fordelingsfunksjonen, F(x) = P(X x), basert på en tabell over ett-årige dødssannsynligheter.

7 Innlesning av data i MATLAB Vi importerer dødlighetstabellen i filen dodelighet.txt ved å klikke knappen Import data: Deretter navigerer vi oss frem til den aktuelle datafilen. Til slutt klikker vi på knappen Import selection:

8 Ett-årige dødssannsynligheter Datafilen inneholder to kolonner med tall: ald og dod. Den første kolonnen inneholder tallene fra 0 år opp til 106 år. Den andre kolonnen inneholder tilhørende ett-årige dødssannsynligheter i promille: ald dod

9 Ett-årige dødssannsynligheter (forts.) Vi betegner de ett-årige dødssannsynlighetene med q 0, q 1,..., q 106. Vi har altså at: q k = P(En k år gammel kvinne dør i løpet før hun blir (k + 1) år). F.eks. finner vi i tabellen at: q 30 = 0.54/1000 = For å beregne vektoren q benytter vi MATLAB-kommandoen: >> qk=dod/1000;

10 Overlevelsessannsynlighet Når vi har funnet q 30, q 31,..., q 106, kan vi beregne sannsynligheten for at den 30 år gamle kvinnen overlever x år: P(X > x) = x (1 q 30+y ). y=0 Vi finner også den kumulative fordelingsfunksjonen til X: F(x) = 1 P(X > x) = 1 x (1 q 30+y ). y=0 I MATLAB kan vi finne F(x) ved å benytte kommandoen: >> Fx=1-cumprod(1-qk(31:107));

11 Plotting av den kumulative fordelingsfunksjonen Legg merke til at Fx(1) = F(0), Fx(2) = F(1), osv. Vi benytter så MATLAB til å lage et plott av den kumulative fordelingsfunksjonen til X: >> stairs(0:76,fx) >> xlabel( Gjenstaaende levetid ) >> title( Kumulativ fordeling )

12 Kumulativ fordeling 1 Kumulativ fordeling Gjenstaaende levetid

13 Beregning av punktsannsynlighet Når vi har den kumulative fordelingsfunksjonen til X, kan vi også finne punktsannsynligheten til X for x = 0, 1,..., 76: p(x) = P(X = x) = P(X x) P(X x 1) = F(x) F(x 1). I MATLAB kan vi få til dette ved å benytte følgende kommando: >> px=fx-[0;fx(1:76)]; Her er Fx en 77 1 kolonnevektor. Det samme blir [0;Fx(1:76)], men her er innholdet fra Fx flyttet ett hakk nedover, og den første koordinaten er satt til 0. Legg merke til at px(1) = p(0), px(2) = p(1), osv.

14 Plotting av punktsannsynligheten Vi benytter MATLAB til å lage et plott av punktsannsynligheten til X: >> bar(0:76,px) >> xlabel( Gjenstaaende levetid ) >> title( Punktsannsynlighet )

15 Punktsannsynlighet Punktsannsynlighet Gjenstaaende levetid

16 Nåverdiberegning Vi regner som nevnt med en fast rente på 3% pr. år. Dette innebærer at nåverdien av B kroner som betales (inn eller ut) om k år blir: NPV (B) = B, k = 0, 1, 2, k Nåverdien av B er altså det beløpet vi må sette i banken idag for at vi skal ha B i banken etter k år, gitt at det beregnes renter og renters rente.

17 Forventet nåverdi av erstatningsutbetalingen HUSK: Hvis kvinnen dør før hun blir 65 år, dvs. hvis X 34, så skal selskapet betale en erstatning på 1 mill. kroner om X år. Hvis kvinnen blir minst 65 år, blir det ingen utbetaling. La h(x) betegne nåverdien av erstatningsbeløpet. Dermed er h(x) gitt av formelen: h(x) = { X for X 34 0 for X 35 Forventet nåverdi av erstatningsbeløpet er: p(x) E[h(X)] = h(x)p(x) = x. x=0 x=0

18 Forventet nåverdi av erstatningsutbetalingen (forts.) I MATLAB kan vi beregne forventet nåverdi av erstatningsbeløp, dvs. E[h(X)] ved å benytte følgende kommando: >> EhX=sum( *px(1:35)./1.03.ˆ(0:34) ); Her betyr./ elementvis divisjon. Dette innebærer at alle elementene i den 35 1 kolonnevektoren px divideres med de tilsvarende elementene i vektoren 1.03.ˆ(0:34). Denne siste vektoren er imidlertid en 1 35 radvektor, så vi må transponere denne til en 35 1 kolonnevektor for å få samsvarende vektorer. Når vi har utført alle divisjonene, summeres alle elementene i den resulterende vektoren og vi finner Ehx = 42798, dvs. tilnærmet kroner.

19 Nåverdi av premieinnbetalingene Vi antar at kvinnen betaler inn en årlig premie på K kroner fra og med sin 30-årsdag og til og med sin 64 årsdag, eller eventuelt til og med hennes siste fødselsdag dersom hun dør før hun fyller 64 år. Vi lar g(x) betegne nåverdien av kvinnens samlede premieinnbetalinger. Dermed er g(x) gitt ved formelen: g(x) = min(x,34) k=0 K 1.03 k = K 1 ( )min(x,34)+1 der vi har benyttet formelen for summen av en endelig geometrisk rekke. Legg merke til at g(x) = g(34), når X 35 siden kvinnen selvsagt ikke betaler inn premie fra og med sin 65 årsdag.,

20 Forventet nåverdi av premieinnbetalingene Vi kan så beregne forventet nåverdi av premieinnbetalingene: 76 E[g(X)] = g(x)p(x) = K x=0 76 x=0 p(x) 34 x=0 ( )x+1 p(x) 76 x=35 ( )34+1 p(x) 1 ( ) = K 1 34 x=0 ( )x+1 p(x) ( )35 P(X 35) 1 ( ) I MATLAB kan vi beregne verdien av brøken, dvs. E[g(X)/K ] som følger: >> EgX= (1-sum((1/1.03).ˆ(1:35).*px(1:35)) -(1/1.03)ˆ35*sum(px(36:77))) /(1-1/1.03);

21 Overskrift Vi finner at EgX, dvs. E[g(X)/K ], blir Premien K finnes til slutt ved å løse ligningen: E[g(X)] = K E[g(X)/K ] = K = E[h(X)] = 42800, Dette gir: K = 42800/21.76 = 1967 kroner.