Stokastiske prosesser i kontinuerlig tid

Transkript

1 Stokastiske prosesser i kontinuerlig tid Kjell Arne Brekke October 29, Brownsk bevegelse Vi starter med å definere en Brownsk bevegelse. Denne prosessen bruker vi så senere til å definere en større klasse av prosesser. Vi starter som i de binomiske modellene vi har studert, på tidspunkt t har prosessen verdi W t (Da vi har brukt B t som betegnelse på en obligasjonsfond, bruker jeg her betegnelsen W t for wienerprosess som betegnelse på denne prosessen. B t for Brownsk Bevegelse.) I hver periode øker eller avtar prosessen, begge deler med lik sannsynlighet. Tidspunkt t svarer til periode n der t = n t, og t er periodelengden. Verdien i perioden etter er da W t + t) Med sannsynlighet 1/2 W t+ t = W t t) Med sannsynlighet 1/2 Det følger nå at W s W t = X n t (n Xn ) t) r s t = 2 n (X n n/2) 1

2 der n nå er slik at s t = n t, ogx n er antall ganger prosessen har gått opp idisseden. X n er da en stokastisk variabel, X n = P n i=1 Z i. Z i er 0 eller 1 med lik sannsynlighet, og som i det binomiske treet antar vi at tilvekstene er uavhengige, og E(Z i )=1/2, ogvar(z i )=1/4. Ved sentralgrenseteoremet følger det da at X n n/2 n konvergerer mot en normalfordeling N(0, 1/4), og dermed følger det også at W s W t N(0,s t) Da tilvekstene er uavhengige følger det også at om s>t s 0 >t,såer W s W t uavhengig av W s W t Brownsk Bevegelse med drift La oss nå se på en prosess Z t gitt som µ t + σ t) Med sannsynlighet 1/2 Z t+ t Z t = µ t σ t) Med sannsynlighet 1/2 Merk at denne prosessen kan skrives som Z t+ t Z t = Z t = µ t + σ W t da + t) Med sannsynlighet 1/2 W t = W t+ t W t = t) Med sannsynlighet 1/2 og når periodelengden går mot null, skriver vi det som dz t = µdt + σdw t. 2

3 Vi finner nå at Z s Z t = µ(s t)+x n σ t (n X n )σ t) r s t = µ(s t)+2 n σ(x n n/2) som gir, på samme måte som ovenfor at Z s Z t N(µ(s t), σ 2 (s t)) Mer generelt kan en tenke seg at µ og σ ikke er konstant, men gitt som f.eks. dz t = µ(t, Z t )dt + σ(t, Z t )dw t. Å karakterisere en slik prosess er langt fra like enkelt. Tilvekstene i prosessen trenger ikke lenger å være normalfordelt. Men løsningen av slike ligninger faller utenfor rammen av dette kurset. 1.2 Ito s regel Vi kan nå bruke en slik prosess til å definere en ny prosess, Da gjelder det at X t f f t + t Z Z t = f f t + = X t = f(t, Z t ) 2 f Z ( Z t) 2 2 Z (µ t + σ W t)+ 1 2 f 2 Z (µ t + σ W t) 2 2 t + f Z σ W t + R t f t + f Z µ σ2 2 f Z 2 der R er ledd av formen t W og ( t) 2. Begge to leddene vil gå mot null mye raskere enn t, slik at disse leddene kan ignoreres for t liten nok. Vi 3

4 har også brukt at enten prosessen går opp eller ned, så er ( W ) 2 = t. Når vi lar periodelengden gå mot null så får vi Theorem 1 (Itos formel) Dersom dz t = µdt + σdw t. og X t = f(t, Z t ),sågjelder f dx t = t + f Z µ f 2 σ2 dt + f Z 2 Z σdw t 1.3 Geometrisk Brownsk Bevegelse Vi husker at i Black og Scholes modellen der prisen ble definert ved ligningen s t exp(µ t + σ t) om kursen går opp, sh 1/2 s t+ t = s t exp(µ t σ. t) om kursen går ned, sh 1/2 Vi ser da at om Z t =ln(s t ) så vil Z være gitt ved ligningen dz t = µdt + σdw t. Hva slags ligning gjelder så ligningen for prosessen selv? Merk da at S t = f(z t )=exp(z t ) og vi kan bruke Itos formel. Merk da at f Z = 2 f = S Z 2 t ds t = Sµ + 12 σ2 S t dt + S t σdw t µ = S t µ σ2 dt + σdw t 4

5 eller ds t S t = µµ + 12 σ2 dt + σdw t = ˆµdt + σdw t. der ˆµ = µ σ2. Denne prosessen kalles en geometrisk browns bevegelse, da den relative tilveksten er som en brownsk bevegelse med drift. Det er interessant å merke seg at sett fra tidspunkt 0, så er ES t = S 0 exp (ˆµt) forventet avkastningsrate er altså ˆµ. Vi husker fra Black og Scholes modellen at prosessen Z t = S t /B t skal være en Q martingal. Det viser seg at prosessen også under det alternative målet blir en geometrisk browns bevegelse med samme risiko, Det følger da direkte at med Q målet må prosessen bli ds t = rs t dt + σs t dw t. Når vi sammenligner med den opprinnelig prosessen ds t = µµ + 12 σ2 S t dt + σs t dw t så ser vi at også her har µ blitt byttet med r 1 2 σ F t Tilpassede prosesser Vi husker at vi tidligere definerte en prosess som en serie av stokastiske variable. En stokastisk variabel er en avbildning S t : Ω 7 <. 5

6 FordediskreteprosesseneerΩ typisk mengden av alle mulige baner, og verdien av prosessen på tidspunkt t avhenger av hvilken bane vi følger. Vi måtte videre kreve at prosessen på tidspunkt t bare var avhengig av historien inntil da h t, det vil si at prossessen skulle være tilpasset tilgjengelig informasjon. Dette gjelder akkurat på samme måte i kontinuerlig tids prosesser, men det blir litt mer teknisk. Jeg skal ikke gå inn i alle detaljene, men først skal vi se på en annen måte å formulere det diskrete tilfellet. Vi husker at vi krevde at S t (ω 0 )=S t (ω) dersom h t (ω 0 )=h t (ω) Altså, om vi ser på to baner som ikke har skilt lag på tidspunkt t, såskal prosessen ha samme verdi på tidspunkt t langs begge banene. La nå F t være en famile av delmengder av Ω, med følgende egenskap. For alle mengder av formen A = {ω Ω h t (ω 0 )=h t (ω)}, så er A F t. Videre gjelder at F t ikke har noen ekte delmengder av A, og at om A, B F t,såera B F t. En annen måte å si at prossessen er tilpasset historien er nå at for alle tall a er {ω Ω S t (ω) a} F t. En sier nå at S t er F t målbar. Dette lar seg generalisere til kontinuerlig tid, når vi skal betinge på tilgjengelig informasjon skriver vi da f.eks. E [S τ F t ]. På samme måten som i diskret tid, kan vi, i stedet for å snakke om sannsynligheten for at prosessen går opp eller ned, kan vi angi sannsyn- 6

7 lighetene direkte over Ω. På samme måten som tidligere kan vi skifte sannsynlighetsfordeling over Ω fra P til Q slik at prosessen Z t = S t /B t blir en margingal, dvs at E Q [Z τ F t ]=Z t for τ >t. Vi har også et margingalrepresentasjonsteorem, som sier at dersom M t og N t er to Q martingaler, så finnes en predikerbar prosess φ t slik at N t = N 0 + Z t 0 φ t dm t og dette kan igjen brukes til å konstruere replikerende porteføjer, akkurat som i det diskrete tilfellet. 2 Realopsjoner Diskusjonen av realopsjoner i diskret tid ble begreset til noen enkle eksempler. La oss nå se litt nærmere på et tilfelle, en utbygging av et oljefelt. Feltet har en produksjon på Q s t. Vi antar at vi kan justere sannsynlighetsmål slik at vi kan glemme riskojustering av avkastnngskravet, og at etter en slik justereing er oljeprisen gitt ved ligningen ds t = S t µdt + σs t dw t. der µ<r. Vi skal komme litt tilbake til denne betingelsen. 7

8 Verdien av feltet, neddiskontert til tidspunktet der utbygging blir besluttet blir P t = Z t Q s t S s e r(s t) ds Z = S t Q s e (r µ)s ds = S t V 0 der V er en konstant. Det er lett å sjekke fra Itos formel at dette medfører at dp t = P t µdt + σp t dw t. på tidspunkt s dersom investeringsbeslutningen fattes ved tidspunkt t. Dersom nåverdien av investeringskostnadene og andre kostnader blir C, så gjelder det å velge en strategi for utbygging, der vi bygger på et tidspunkt τ, der vi velger den strategi som maksimerer E [(P τ C)e rτ F 0 ]. Vi skal avgrense oss til en bestemt type strategier, nemmelig de som går ut på å vente til første gang verdien når et terskelnivå, p. Dvs τ er første tidspunkt der P τ = p. Uttrykketviskalmaksimereblirda E [(P τ C)e rτ F 0 ] = (p C)E [e rτ F 0 ] = (p C)D(p,P 0 ). Her er D(p,P 0 )=E [e rτ F 0 ] 8

9 forventet verdi av diskonteringsfaktoren, gitt at vi skal vente til P t når verdien p og at verdien nå er P 0. Det kan vises at D(p,P 0 )= µ γ P0 der γ er roten av ligningen µµ 12 σ2 γ σ2 γ 2 = r. p Merk at det finnes to løsninger av denne andregradslignigen, og vi skal bruke den positive roten dersom P 0 <p, men den negative dersom P 0 >p. I vårt tilfelle ser vi på at vi skal vente på en høy verdi, mens vi investerer straks P t >p. Det interessante tilfellet er derfor når P 0 er mindre enn teskelverdien og vi fortsatt ønsker å vente. Dersom vi setter terskelverdien tol p, blir verdien av investeringsopsjonen da µ γ P0 (p C)D(P 0,p)=(p C). p Vi velger så p for å maksimere denne, det gir 1. ordens betingelse γ(p C)p γ 1 = p γ γ(p C) = p p = γ γ 1 C>C Legg merke til at løsningen blir uavhengig av P 0. 9