Leksjon 2: Transformasjoner

Transkript

1 Lineær algebra med grafiske anvendelser Leksjon 2: Transformasjoner Fra modell til tegning på skjerm side 2 Modell Plantransformasjoner/translasjon side 3 Modell Plantransformasjoner/skalering side 4 Modell Plantransformasjoner/rotasjon side 5 Modell Transformasjonsligningen på matriseform side 6 Modell Romtransformasjoner: Homogene koordinater side 7 Modellkoordinatsystem: OpenGL metode-/kommandosyntaks side 8- View koordinatsystem side -2 Projeksjonstransformasjoner side 3-5 Viewport: Uttegningsvindu side 6 Programeksempel: Transformert kube/terning side 7-9 Effekt av parameterendringer. Noen kjørbare eksempler side 2 V28 Jan H. Nilsen Leksjon 2 Side Fra Modell til tegning på skjerm OpenGL metoder: Steg : gl.gltranslate(); gl.glrotate(), gl.glscale() Steg 2: glu.glulookat() Steg 3 og 4: gl.gfrustum(), gl.glortho(), glu.gluperspective(), glu.gluortho2d() Steg 5: gl.glviewport() V28 Jan H. Nilsen Leksjon 2, side 2

2 Modell. Plantransformasjoner:Translasjon Tre grunnleggende operasjoner i planet: translasjon, skalering og rotasjon. Translasjon Med translasjon forstår vi å flytte, eller parallellforskyve, en figur. Vi tar utgangspunkt i et enkelt punkt. Dette er en enkel operasjon som er lett å formulere matematisk. Vi vil flytte punktet P til en ny posisjon P2. P(x,y)(3,3) P2(,)(8,5) Vi ser uten videre at x+5 y+2 V28 Jan H. Nilsen Leksjon 2, side 3 Modell. Plantransformasjoner: Skalering P(x,y)(3,3) Vi "skalerer" punktet ved å multiplisere med en skaleringsfaktor i x-retningen, sx2, og en i y-retningen, sy3, og får P2(,)(6,9) Sammenhengen er altså: sx x sy y Ved skalering av et polygon, vil i tillegg til at hjørnepunktene flyttes, også vinkler og areal endres. Skalering er uttrykt i forhold til origo V28 Jan H. Nilsen Leksjon 2, side 4

3 Modell. Plantransformasjoner: Rotasjon P(x,y)(r cos(v),r sin(v)) P2(,)(r cos(v+v2),r sin(v+v2)) sin (a+b) cos(a) sin(b)+sin(a) cos(b) cos (a+b) cos(a) cos(b)-sin(a) sin(b) P((r cos(v), r sin(v) ) P2(r cos(v) cos(v2)-r sin(v) sin(v2), r cos(v) sin(v2)+r sin(v) cos(v2)) xr cos(v) yr sin(v) x cos(v2)-y sin(v2) x sin(v2)+y cos(v2) V28 Jan H. Nilsen Leksjon 2, side 5 Modell: Transformasjonsligningene på matriseform De tre basistransformasjonene i 2D kan beskrives ved følgende likningssett: Translasjon bestemt ved tx og ty: x+tx, y+ty Skalering bestemt ved sx og sy: sx x, sy y Rotasjon bestemt ved v: x cos(v)-y sin(v), x sin(v)+y cos(v) På matriseform kan disse likningene skrives: Translasjon: Skalering: Rotasjon x tx + y ty På homogen-koordinatform: sx x sy y sin v sin v x cos v y tx x ty y sx sy x y sin v sin v x y Alle tre basistransformasjonene kan dermed skrives på samme form: P2 M P V28 Jan H. Nilsen Leksjon 2, side 6

4 Modell. Romtransformasjoner: Homogene koordinater Romtransformasjoner på matriseform: P2 M P Translasjon Skalering gl.gltranslatef(txf,tyf,tzf); gl.glscalef(sxf,syf,szf); z2 tx x ty y tz z sx z2 sy sz x y z Rotasjon rundt: Z-aksen X-aksen Y-aksen gl.glrotatef(vf,.f,.f,.f) gl.glrotatef(vf,.f,.f,.f) gl.glrotatef(vf,.f,.f,.f) cos v sin v z2 sin v x y z z2 sin v sin v x y z z2 sin v sin v x y z V28 Jan H. Nilsen Leksjon 2, side 7 Modellkoordinatsystem: OpenGL metode-/kommandosyntaks Translasjon: gl.gltranslate{fd}( Type x, Type y, Type z) Mulitipliserer den gjeldende matrisen med en translasjonsmatrise som forflytter objektet med de angitt x,y,z-verdiene i WC. Figure 3-5 : Translering av et objekt V28 Jan H. Nilsen Leksjon 2, side 8

5 Modellkoordinatsystem: OpenGL metode-/kommandosyntaks Rotasjon gl.glrotate{fd}(type angle, TYPE x, TYPE y, TYPE z); Multipliserer den gjeldende matrisen med en rotasjonsmatrise som roterer et objekt i en vinkel angle i retning mot urviseren rundt aksen gitt ved vektoren fra origo til punktet (x,y,z) Effekten av gl.glrotatef(45.f,.f,.f,.f), som er en rotasjon på 45 grader mot urviseren, rundt z-aksen er vist i figuren. V28 Jan H. Nilsen Leksjon 2, side 9 Modellkoordinatsystem: OpenGL metode-/kommandosyntaks Skalering gl.glscale{fd}(typex, TYPE y, TYPEz) Multipliserer den gjeldende matrisen med en matrise som strekker, krymper eller speiler et objekt langs aksene i WC. Alle (x,y,z) koordinatene på alle punktene på objektet blir multiplisert med de respektive x,y,z verdiene angitt i parameterlista til metoden TYPE x, TYPE y, TYPE z. gl.glscale er den eneste av modelltransformasjonene som endrer størrelsen på et objekt. Figure 3-7 Viser effekten av gl.glscalef(2.f, -.5f,.f). V28 Jan H. Nilsen Leksjon 2, side

6 View koordinatsystemet Viewing systemet, beskrevet med aksene (u,v,n), spesifiserer hvorfra og hvordan vi retter kameraet vårt når vi skal ta et bilde av modellobjektet vårt. Dette systemet er bestemt ut fra følgende spesifikasjoner av hvordan vi ser modellen: View Reference Point, VRP, som er et punkt i et plan parallelt med projeksjonsplanet. Vi kan godt tenke på dette planet som projeksjonsplanet. View Reference Normal, VRN, som er en normal til projeksjonsplanet, oppreist i VRP. VRN faller sammen med n-aksen i det nye koordinatsystemet Et øyepunkt som ligger på VRN. Dersom vi har en parallellprojeksjon ligger øyepunktet uendelig lang ute på VRN En angivelse av hva som er opp, VUP. Dette for å skille de to andre aksene, u og v. De gis retninger slik at u,v,n er et høyrehåndssystem. V28 Jan H. Nilsen Leksjon 2, side View koordinatsystemet: glu.glulookat(gldouble eyex, GLdouble eyey, GLdouble eyez, GLdouble centerx, GLdouble centery, GLdouble centerz, GLdouble upx, GLdouble upy, GLdouble upz); glu.glulookat() er sammensatt av gl.gltranslate() og gl.glrotate() metoder. Samme effekt kan oppnås ved å benytte gl.gltranslate() og eller gl.glrotate() direkte: Eks: Se figur 3-. gl.gltranslatef(.f,.f, -5.f); glu.glulookat(.,., 5.,.,.,.,.,.,.); V28 Jan H. Nilsen Leksjon 2, side 2

7 Projeksjonstransformasjoner: Bestemmer synspyramiden /synsvolumet Bestemmer hvordan objektet blir projisert ned på skjermen. OpenGL tilbyr to typer projeksjonstransformasjoner: Perspektiv- og ortogonaltransform. Perspektivtransformasjon: gl.glfrustum(gldouble left, GLdouble right, GLdouble bottom, GLdouble top, GLdouble near, GLdouble far); V28 Jan H. Nilsen Leksjon 2, side 3 Perspektivtransformasjon: Projeksjonstransformasjoner: Figure 3-2 : The Perspective Viewing Volume Specified by glu.gluperspective() glu.gluperspective(gldouble fovy, GLdouble aspect, GLdouble znear, GLdouble zfar); V28 Jan H. Nilsen Leksjon 2, side 4

8 Ortogonaltransformasjoner: Projeksjonstransformasjoner: Figure 3-3 : The Orthographic Viewing Volume spesifisert ved gl.glortho() gl.glortho(gldouble left, GLdouble right, GLdouble bottom, GLdouble top, GLdouble near, GLdouble far); glu.gluortho2d(gldouble left, GLdouble right, GLdouble bottom, GLdouble top); -. < z <. (2D- bildet projiseres ned på skjermen) V28 Jan H. Nilsen Leksjon 2, side 5 Viewport:Uttegningsvindu Viewport: Angir størrelsen på det rektangulære vinduet på skjermen der bildet skal presenteres Måles i skjermkoordinater, dvs pixler Figure 3-5 : Mapper the Viewing Volume til the Viewport gl.glviewport(glint x, GLint y, GLsizei width, GLsizei height); Eks: Disse to OpenGL-metodekallene vil tegne det som ligger innenfor en kvadratisk synspyramide, som et kvadratisk bilde på skjermen: glu.gluperspective(myfovy,., mynear, myfar); gl.glviewport(,, 4, 4); V28 Jan H. Nilsen Leksjon 2, side 6

9 Programeksempel: Transformert kube/terning import com.sun.opengl.util.glut; private GLU glu new GLU(); private GLUT glut new GLUT(); / void init(glautodrawable gldrawable) / public void init(glautodrawable gldrawable) { GL gl gldrawable.getgl(); gl.glmatrixmode(gl.gl_projection); // Select The Projection Matrix gl.glloadidentity(); // Reset The Projection Matrix glu.gluperspective(6.,.,.,.); // Calculate The Aspect Ratio Of The Window // glu.gluortho2d(., 4.,., 4.); // gl.glortho(., 4.,.,4.,., 2.); gl.glmatrixmode(gl.gl_modelview); // Select The Modelview Matrix gl.glloadidentity(); // Reset The ModelView Matrix } V28 Jan H. Nilsen Leksjon 2, side 7 Programeksempel: Transformert kube/terning import com.sun.opengl.util.glut; public void drawglscene( GLAutoDrawable gldrawable) { GL gl gldrawable.getgl(); gl.glclear(gl.gl_color_buffer_bit GL.GL_DEPTH_BUFFER_BIT); gl.glloadidentity(); gl.glcolor3f(.f,.f,.f); gl.glloadidentity(); glu.glulookat(.,.,9.,.,.,.,.,.,.); gl.glrotatef( 45.f,.f,.f,.f ); // 3. M(Rotate) gl.gltranslatef(.f,.f,.f ); // 2. M(Translate) gl.glscalef(.f,2.f,.f ); //. M(Scale) glut.glutwirecube(3.f); } / void display() Draw to the canvas. / // Purely a Java thing. Simple calls DrawGLScene3 once GL is initialized public void display(glautodrawable gldrawable) { GL gl gldrawable.getgl(); drawglscene(gldrawable); // Calls DrawGLScene3 gldrawable.swapbuffers(); //Swap buffers (double buffering) gl.glflush(); // Tvinger tidligere buffrede OpenGL kom. til å utføres med en gang. } V28 Jan H. Nilsen Leksjon 2, side 8

10 Programeksempel: Transformert kube/terning Rekkefølgen matriseoperasjonene utføres i har betydning for resultatet: gl.glrotatef( 45.f,.f,.f,.f ); gl.gltranslatef( 2.f,.f,.f ); gl.gltranslatef( 2.f,.f,.f ); gl.glrotatef( 45.f,.f,.f,.f ); gl.glscalef(.f,2.f,.f ); gl.glscalef(.f,2.f,.f ); P2 Mr Mt Ms P P2 Mt Mr Ms P V28 Jan H. Nilsen Leksjon 2, side 9 Noen kjørbare eksempler Nate Robins har samlet et fint sett med tutorials som viser effekten av parameterendringer for en rekke metoder. Det er vist eksempler på ulik bruk av tegneprimitiver, transformasjoner, projeksjoner, lysposisjoner, interaksjoner mellom lys og materialegenskaper, tåkelegging og tekstur. Last ned og kjør programmene fra web-siden: V28 Jan H. Nilsen Leksjon 2, side 2