Modellering av avhengigheter i finansmarkeder

Transkript

1 Page 1 of 18 Modellering av avhengigheter i finansmarkeder Forfattere: Bård Støve, Dag Tjøstheim Publisert: 6/2014 s. ( ) Fagfellevurdert Sammendrag Det er velkjent at avkastninger i finansmarkeder ikke kan modelleres med normalfordelingen, og at avhengigheter mellom avkastninger ikke kan modelleres godt med korrelasjonskoeffisienter. Denne artikkelen gir en presentasjon av et nytt avhengighetsmål kalt lokal gaussisk korrelasjon, introdusert av Tjøstheim og Hufthammer (2013). Vi argumenterer for at det er bedre egnet til å beskrive avhengighetsstrukturer mellom avkastninger enn eksisterende metoder, og at det også kan anvendes for å beskrive i hvilken grad finansielle kriser spres mellom land. En beskrivelse av metodikken er gitt, og noen eksempler på bruk presenteres. Videre foreslår vi et nytt mål for risikoberegninger, lokal Value-At-Risk, som hensyntar den økte avhengigheten mellom avkastninger i krisetider, og dermed gir en mer presis beregning av risiko enn metoder som baseres på vanlige korrelasjonskoeffisienter. Bakgrunn I porteføljeteori spiller korrelasjonskoeffisienter, som måler avhengigheter mellom avkastninger, det vil si prisendringer, fra ulike aktiva eller aktivaklasser, en sentral rolle. Regelen er enkel: Lavt korrelerte aktiva gir høy diversifisering, mens høyt korrelerte aktiva eller aktivaklasser bør unngås i en portefølje. Dette er et velkjent resultat fra teorien Markowitz utviklet for over seksti år siden, se Markowitz (1952). Denne teorien baserer seg på at avkastningene fra disse aktivaene er normalfordelte (også kjent som gaussisk fordelte). Det er en rekke andre teorier i finans utover Markowitz teori for porteføljeoptimering som hviler på denne antagelsen om Gaussisk fordelte avkastninger, blant annet Black og Scholes formel for opsjonspriser, kapitalverdimodellen for prising av investeringer og i noen grad Value-At-Risk 1 -begrepet for å kvantifisere risiko. En av grunnene til at den gaussiske fordelingen har en slik fremtredende plass, er dens matematiske enkelhet, for eksempel vil en lineær kombinasjon av variabler som inngår i en multivariat gaussisk fordeling, igjen være Gaussisk fordelt, og kanskje dens viktigste egenskap, avhengigheten mellom variabler som følger en multivariat gaussisk fordeling, vil være fullstendig beskrevet av korrelasjonskoeffisientene mellom alle par av variabler. Det har imidlertid vist seg at avkastninger sjeldent er gaussisk fordelt, i hvert fall om man betrakter avkastninger for relativt korte tidsintervall, for eksempel daglige avkastninger, se blant annet Rydberg (2000). Det er en relativt høy sannsynlighet for ekstreme negative avkastninger, også kjent som tunge haler. I slike tilfeller vil ikke den gaussiske fordelingen være en god modell, og den vil underestimere sannsynligheten for å oppleve nettopp slike ekstreme negative avkastninger. 2 Dette er spesielt tema for Nassim N. Talebs (2007) bok The Black Swan: the impact of the highly improbable, hvor forfatteren

2 Page 2 of 18 kritiserer finans- og statistikkmiljøet for å være for opphengt i bruk av den gaussiske fordelingen og lineære modeller. Videre har flere studier dokumentert at det ofte er sterkere avhengigheter mellom avkastninger (for eksempel mellom indekser i ulike land) når markedet generelt er fallende, et såkalt bear market, enn når markedet er stabilt eller stigende (bull market), se for eksempel Campell mfl. (2002) og Okimoto (2008). Med andre ord vil det i et fallende marked være atskillig høyere korrelasjon mellom avkastninger fra ulike aktiva, og denne korrelasjonen vil kunne gå mot 1 i en fullstendig markedskollaps, som vil være totalt ødeleggende for diversifiseringseffekten i en portefølje. Men denne intuitive forståelsen av slike såkalte asymmetriske eller ikke-lineære avhengigheter lar seg ikke enkelt formulere matematisk. Spesielt vil vår velkjente korrelasjon ikke være et godt avhengighetsmål i dette tilfellet, det kan faktisk være villedende, som vi skal se i neste avsnitt. Avhengighetsforholdet mellom ulike finansielle aktiva kan altså ikke beskrives godt ved hjelp av et vanlig korrelasjonsmål som tar utgangspunkt i en gaussisk fordeling mellom avkastningene. Dette problemet har inspirert oss til å utvikle et alternativt mål for avhengighet, kalt lokal gaussisk korrelasjon. I denne artikkelen presenterer vi noe av teorien som er utviklet, samt eksempler på bruk. For mer detaljer viser vi til Tjøstheim og Hufthammer (2013), Støve og Tjøstheim (2014), Støve, Tjøstheim og Hufthammer (2014). Artikkelen er strukturert som følger: I neste avsnitt vil vi presentere noen av de alternative metodene for modellering av avkastninger og avhengigheter mellom dem. Deretter vil vi presentere det nye avhengighetsmålet, lokal gaussisk korrelasjon, og eksempler på bruk av dette målet. Spesielt introduserer vi et nytt risikomål, lokal Value-At-Risk. Avslutningsvis vil vi trekke noen konklusjoner samt peke på fremtidige forskningstemaer. Eksisterende metoder for modellering av avkastninger og avhengigheter Fra forrige avsnitt så vi at det er to relaterte problemer knyttet til bruk av den gaussiske fordelingen til å modellere avkastninger. Det første problemet er at ekstremhendelser ikke er så usannsynlig som modeller basert på den gaussiske fordelingen skulle tilsi (det vil si tunge haler), og det andre problemet er at avhengigheter mellom avkastninger fra ulike aktiva ikke kan beskrives med korrelasjoner som er basert på den multivariate gaussiske fordelingen. Vi er med andre ord i en situasjon der avkastninger må modelleres med ikke-gaussiske fordelinger og ikke-lineære (asymmetriske) avhengigheter. Det første problemet med tunge haler kan relativt enkelt omgås ved bruk av andre sannsynlighetsfordelinger enn den gaussiske. To eksempler på alternativer er den skjeve t-fordelingen og den generaliserte hyperbolske fordelingen, se Barndorff-Nielsen (1978). Ved å anta at en avkastningsserie følger en av disse fordelingene, vil sannsynligheten for ekstreme avkastninger øke betraktelig i forhold til sannsynligheten som fremkommer ved bruk av en gaussisk fordeling, og stemme bedre overens med de empiriske fakta. En ytterligere kompliserende faktor ved modellering av avkastninger er typisk at store endringer vil klumpe seg sammen, det vil si såkalte volatilitetsklustre. Slike klustre kan imidlertid la seg modellere ved bruk av GARCH-modeller, se for eksempel Bollerslev mfl. (1992). Imidlertid løser ikke dette umiddelbart det andre problemet, nemlig hvordan en skal ta hensyn til de ikke-lineære (asymmetriske) avhengighetene mellom avkastninger. Det eksisterer flere forslag for å modellere en slik situasjon. Men før vi presenterer eksisterende metoder for dette, vil vi klargjøre hva som menes med ikke-lineære eller asymmetriske avhengigheter. La oss ta utgangspunkt i definisjonen av korrelasjonskoeffisienten ρ mellom to variabler (for eksempel avkastninger fra to ulik aksjer) X og Y med standardavvik gitt ved henholdsvis σx og σy. Da er korrelasjonskoeffisienten gitt ved

3 Page 3 of 18 der Cov(X,Y) er kovariansen mellom X og Y. Merk at korrelasjonskoeffisienten ρ er et lineært mål på avhengighet og tar verdier mellom 1 og 1, der 1 og 1 betyr at observasjonene fra X og Y vil være på en rett linje. Men i en generell situasjon er det et spørsmål om et enkelt tall, korrelasjonskoeffisienten ρ, er tilstrekkelig for å beskrive avhengighetsstrukturen mellom de to variablene X og Y. Betrakt eksempelet der X er en standard normalfordeling og Y = X2. I dette tilfellet er altså sammenhengen mellom X og Y ikkelineær. Det kan vises at for dette eksempelet vil korrelasjonskoeffisienten ρ være eksakt lik 0, til tross for at X og Y er fullstendig avhengig av hverandre! Det samme er tilfellet med en regresjonsmodell Y = X2 + ε. Vi kan altså konkludere med at ρ ikke klarer å beskrive denne ikke-lineære avhengigheten mellom X og Y. Tilsvarende kan vi nå se på hvordan man har forsøkt å beskrive den asymmetriske avhengigheten mellom avkastninger, det vil si at avkastninger har høyere korrelasjon når markedet faller, enn når markedet er stabilt eller stigende. En populær metodikk har vært å benytte betinget korrelasjon. Den betingede korrelasjonen mellom X og Y beregnes som den ordinære korrelasjonen, men at X og Y må være begrenset til visse verdier i et område A, det vil si Området A kan velges på mange måter, for eksempel kan vi kun betrakte negative verdier av X og Y. Vi benytter altså kun observasjoner som er inneholdt i området A for å beregne den betingede korrelasjonskoeffisienten. Imidlertid viser det seg at en slik oppsplitting av observasjonene ikke er uproblematisk, og det vil faktisk føre med seg en såkalt skjevhetseffekt i den beregnede betingede korrelasjonen, se Boyer mfl. (1999). La oss se på et eksempel. Anta at vi har en bivariat gaussisk fordeling med korrelasjon ρ = 0,40 for to avkastningsserier. Om vi betinger at en av seriene er større enn 75- prosentskvantilen, altså A = {(X,Y) X > q75 3 }, er den betingede korrelasjonen redusert til ρa = 0,21 (og den vil videre gå mot null for økende kvantiler). I praksis vil man da ved å analysere avkastningsserier hvor man finner slike korrelasjonsverdier, kunne bli forledet til å tro at avhengigheten har vært lavere i perioder med høye X-avkastninger, og at avhengigheten vil gå mot null når X blir svært stor. Det har vært gjort forsøk på å kontrollere for denne skjevhetseffekten, se for eksempel Campbell mfl. (2002), men det er fremdeles ikke en metodikk som gir enkle tolkninger. Dermed gir ikke betinget korrelasjon et riktig bilde av avhengigheten mellom finansielle aktiva, spesielt i ekstreme situasjoner. Det finnes flere alternative metoder for å studere denne asymmetriske (eller ikke-lineære) avhengigheten mellom finansielle avkastninger. En populær metode for å modellere ikke-lineære avhengigheter er bruk av copulateori. I slik modellering kan man tilpasse (ulike) sannsynlighetsfordelinger til de enkelte avkastningsserier hver for seg, og deretter modellere avhengigheten med en copulafunksjon, se for eksempel Nelsen (2006) eller Joe (2014). Imidlertid kan dette bli problematisk for høye dimensjoner. Varianter med par-copulateori er utviklet for dette formålet, se for eksempel Aas mfl. (2009). Videre har Silvapulle og Granger (2001) benyttet ulike kvantilmetoder, mens Longin og Solnik (2002) har brukt ekstremverditeori. Flere har undersøkt muligheten for å benytte såkalte regimebyttende metoder koblet med copulateori, se for eksempel Okimoto (2008) og Rodriguez (2007). I statistikklitteraturen har det vært gjort forsøk på å modellere lokal avhengighet, det vil si at avhengighetsmålet avhenger lokalt av de verdiene som X og Y til enhver tid tar. Bjerve og Doksum (1993) foreslo et mål basert på å lokalisere en regresjonsmodell, men dette målet lider under ikke å være symmetrisk i (X,Y), slik at korrelasjonen beregnet mellom X og Y ikke er den samme som beregnet mellom Y og X. Holland og Wang (1987) foreslo et symmetrisk mål basert på grenseargumenter fra en

4 Page 4 of 18 kontingensmodell, men målet går ikke fra 1 til 1, og det reduseres ikke til den ordinære korrelasjonen i det bivariate gaussiske tilfellet. Målet er videreutviklet av Jones (1996, 1998) og Jones og Koch (2003). Et typisk fellestrekk for de fleste av disse alternative metodene er at man ender opp med en eller flere parametere som gir et indirekte mål på avhengigheten mellom avkastningsseriene, for eksempel en estimert parameter i en copulafunksjon. Slik sett har den ordinære korrelasjonen en enklere fortolkning, men dette målet har, som vi har sett, alvorlige begrensninger. I neste avsnitt vil vi presentere et avhengighetsmål som er basert på korrelasjonskonseptet, men på en helt annen måte enn den betingede korrelasjonen, og som dermed kan benyttes til å måle asymmetriske og ikke-lineære avhengigheter, nemlig lokal gaussisk korrelasjon. Lokal gaussisk korrelasjon Den klassiske korrelasjonskoeffisienten ρ gir primært mening for en bivariat gaussisk sannsynlighetstetthet. I dette tilfellet beskriver korrelasjonskoeffisienten ρ fullstendig avhengighetsstrukturen mellom par av variabler. I denne artikkelen betrakter vi par av avkastninger X og Y, og vi vil studere avhengigheten mellom dem. Som vi har beskrevet i innledningen, er den bivariate sannsynlighetstettheten f for to avkastningsserier X og Y (nesten) aldri gaussisk fordelt. Tanken med lokal gaussisk korrelasjon (LGK) er å utnytte de matematiske egenskapene til den gaussiske fordelingen med kunnskapen om at relasjonene mellom avkastninger er ikkegaussiske og ikke-lineære (asymmetriske). Selve ideen bak lokal gaussisk korrelasjon er ganske enkel. I nærheten av et punkt der (X,Y) tar verdien (X,Y) = (x,y), tilpasses en bivariat gaussisk fordeling, og vi kan dermed estimere den tilhørende korrelasjonskoeffisienten ρ(x,y). Denne korrelasjonskoeffisienten vil nå være et lokalt mål på avhengighet, siden den avhenger av hvor punktet (x,y) er lokalisert. Når vi nå beveger oss til et annet punkt (x,y ), vil vi tilpasse en annen bivariat gaussisk fordeling og dermed en annen korrelasjonskoeffisient ρ(x,y ). Det er disse korrelasjonskoeffisientene vi kaller lokal gaussisk korrelasjon. Sannsynlighetstettheten f vil nå være fullstendig beskrevet av familien av disse bivariate gaussiske fordelingene, og avhengigheten mellom avkastningene X og Y er beskrevet av de lokale gaussiske korrelasjoner. Det betyr også at eventuelle asymmetriske eller ikke-lineære avhengigheter mellom X og Y blir avslørt, i tillegg estimeres sannsynlighetstettheten f, slik at ikke-gaussiske fordelinger også tillates. Den matematiske teorien for lokal gaussisk korrelasjon er beskrevet i Tjøstheim og Hufthammer (2013). Vi henviser til denne artikkelen for teorien og hvordan estimeringen av de lokale gaussiske korrelasjoner matematisk foregår. For å illustrere metoden presenteres to eksempler med simulerte data. I det første eksempelet har vi trukket observasjoner fra en bivariat gaussisk fordeling med forventning null, varians lik en og en korrelasjon på 0,5. I figur 1a) er observasjonene plottet i et scatterdiagram, og i figur 1b) er de lokale gaussiske korrelasjonene, som er estimert for utvalgte gridpunkter, plottet. Vi ser at i dette tilfellet er alle de estimerte lokale gaussiske korrelasjoner ganske nær 0,5, som forventet, siden den samme gaussiske fordeling kan brukes overalt lokalt. Det vil selvsagt alltid være noe estimeringsusikkerhet på grunn av et endelig antall observasjoner, men vi ser klart at skjevhetsproblemet vi hadde med den betingede korrelasjonen, er unngått.

5 Page 5 of 18 Figur 1a Scatterdiagram av observasjonene fra en simulert bivariat gaussisk fordeling

6 Page 6 of 18 Figur 1b Tilhørende estimert lokal gaussisk korrelasjon I det neste eksempelet studerer vi den ikke-lineære regresjonsmodellen Y = X2 + ε, hvor X og ε er uavhengige standard normalfordelte variabler. Som vi så i forrige avsnitt, er den ordinære korrelasjonskoeffisienten lik null i dette eksempelet, selv om Y og X klart er avhengige. Vi simulerer 500 observasjoner fra denne modellen, som er plottet i figur 2a, videre er de estimerte lokale gaussiske korrelasjoner gitt i figur 2b for utvalgte gridpunkter. Figuren viser tydelig negativ korrelasjon for negative verdier av X og positiv korrelasjon for positive verdier av X. Med andre ord klarer den lokale gaussiske korrelasjonen å beskrive avhengigheten som eksisterer mellom Y og X på en korrekt måte.

7 Page 7 of 18 Figur 2a Scatterdiagram av observasjonene fra en simulert modell Y = X2+ε

8 Page 8 of 18 Figur 2b Tilhørende estimert lokal gaussisk korrelasjon Vi oppsummerer fordelene ved å bruke lokal gaussisk korrelasjon, ρ(x,y) som avhengighetsmål mellom variablene X og Y med en sannsynlighetstetthet f i følgende liste: Avhengighetsmålet er basert på en familie av gaussiske fordelinger, og disse vil approksimere sannsynlighetstettheten f omkring ethvert punkt (x,y). Egenskaper som gjelder for den ordinære korrelasjonskoeffisienten, kan bli overført lokalt omkring punktet (x,y). Ved å benytte lokal gaussisk likelihood-teori, se Tjøstheim og Hufthammer (2013), kan vi konstruere konfidensintervaller for ρ(x,y), som gir oss anledning til å bestemme hvorvidt en asymmetrisk eller ikke-lineær avhengighet er statistisk signifikant. I motsetning til betinget korrelasjon og tilsvarende lokale avhengighetsmål, dersom f selv er gaussisk, vil ρ(x,y)= ρ overalt, hvor ρ er den ordinære korrelasjonen for f. Dette følger av definisjonen av ρ (x,y), og vi har allerede sett et praktisk eksempel på dette ovenfor. Lokal gaussisk korrelasjon er i stand til å oppdage og kvantifisere asymmetriske avhengigheter mellom finansielle avkastningsserier. Eksempler på dette vil bli gitt i neste avsnitt.

9 Page 9 of 18 Det er mulig å generalisere lokal gaussisk korrelasjon fra det bivariate tilfellet til d finansielle avkastningsserier, (X1,, Xd), som har en simultan sannsynlighetstetthet f. En nærmere beskrivelse av dette blir gitt i siste avsnitt. Lokal gaussisk korrelasjon eksempler I dette avsnittet analyserer vi ulike finansielle avkastningsserier. Først viser vi et eksempel på hvordan avhengigheter mellom to avkastninger kan modelleres ved hjelp av lokal gaussisk korrelasjon, deretter gir vi et eksempel på hvordan man kan teste for finansiell smitte mellom land, før vi avslutter med å introdusere et nytt mål for risikoberegninger, lokal Value-At-Risk. Asymmetriske avhengigheter Her benytter vi daglige avkastninger fra to aksjer fra Oslo Børs, Statoil og DNB, fra 7. juli 2009 til 3. juli 2014, totalt observasjoner. Vi har beregnet avkastningen som 100 ganger endring i naturlig logaritme for hver aksjepris. I figur 3 er avkastningene fra hver aksje plottet. Figur 3 Avkastningene fra DNB (øverst) og Statoil (nederst) Den beregnede globale korrelasjonen, ρ, mellom disse to aksjene er 0,49. I tabell 1 er deskriptiv statistikk av avkastningene gitt. Spesielt merker vi oss at eksess kurtose 4 er over 0, noe som indikerer at normalfordelingen ikke er en passende fordeling for avkastningene. Figur 4a viser beregnede lokale gaussiske korrelasjoner for et utvalg av gridpunkter. Vi ser tydelig at korrelasjonene varierer, og at korrelasjonene er om lag 0,6 for store negative avkastninger. Det er betydelig høyere enn den globale korrelasjonen. Tilsvarende øker korrelasjonen igjen når avkastningene blir store og positive. I figur 4b er korrelasjonene kun plottet for diagonale gridpunkter, hvor x = y, noe som synliggjør at avhengigheten mellom disse to avkastningsseriene er asymmetrisk. Et slikt bilde på avhengigheten er typisk for daglige avkastningsserier. Vi ser altså at den vanlige korrelasjonen gir et misvisende bilde av avhengigheten mellom avkastningene, spesielt når vi har store bevegelser i aksjekursene for de to

10 Page 10 of 18 selskapene. Dette betyr også at risikoen i en portefølje bestående av disse to aksjene underestimeres om man benytter et risikomål som er basert på den vanlige korrelasjonskoeffisienten. Dette diskuteres også i avsnittet om lokal Value-At-Risk. Se også Støve og Tjøstheim (2014) for flere analyser av spesielt internasjonale indeksdata, som viser noe av det samme mønsteret. Figur 4a Lokal gaussisk korrelasjon mellom DNB og Statoil

11 Page 11 of 18 Figur 4b Lokal gaussisk korrelasjon på diagonalen Finansiell smitte I de seneste tiårene har de internasjonale finansmarkedene blitt stadig mer knyttet sammen. Av spesiell interesse er om en finansiell krise, for eksempel et kraftig fall i aktivapriser, i et land kan spre seg til andre land. Denne effekten kalles ofte finansiell smitte (eng. contagion), og det har vært gjort mange forsøk på å modellere og formelt teste om en slik effekt har vært til stede. Noen av de første studiene innen finansiell smitte, for eksempel King og Wadhwani (1990), fokuserte på å beregne korrelasjoner mellom markeder før en krise inntraff (i en stabil tidsperiode), og sammenligne disse korrelasjonene med korrelasjoner beregnet under krisen. Om korrelasjonene i kriseperioden har økt signifikant i forhold til korrelasjonene i den stabile perioden, er dette en indikasjon på at smitte har skjedd. Dette blir ofte også kalt correlation breakdown. Som vi har sett tidligere, vil en slik oppdeling imidlertid kunne føre med seg problemene med skjevhet i korrelasjonskoeffisentene. Dermed kan man risikere å feilaktig påstå at det har vært smitte. Videre er ofte volatiliteten høyere i en kriseperiode, og dette vil også påvirke de beregnede korrelasjonskoeffisienter. Forbes og Rigobon (2002) kontrollerte for disse to effektene og konkluderte med at det ikke var noen smitte fra 1987-kollapsen i USA, den meksikanske devalueringen i

12 Page 12 of og den østasiatiske krisen i De bemerket imidlertid at det var høy grad av avhengighet mellom markedene. Denne studien er blitt en klassiker innen området, men har i ettertid fått en del kritikk. Spesielt knytter det seg til at avhengigheter mellom avkastninger ikke nødvendigvis er lineære, som vi har sett eksempel på, se også Rodriguez (2007). Det er foreløpig altså ikke konsensus om hvordan man best kan definere, måle og tolke finansiell smitte. Dette har inspirert oss til å introdusere en ny test for finansiell smitte basert på lokal gaussisk korrelasjon, se Støve, Tjøstheim og Hufthammer (2014). Her presenterer vi kort testen og illustrerer bruken av den i finanskrisen Vi benytter Forbes og Rigobons (2002) definisjon av finansiell smitte: «en signifikant økning i avhengigheter mellom markeder etter et sjokk i et av markedene (eller en gruppe av markeder)». La Yt være avkastningene fra aksjemarkedet i landet som har opplevd en krise, og Xt være avkastningene fra aksjemarkedet i et annet land. For å fjerne volatilitetseffekter må det benyttes en filtrering av disse avkastningene, for eksempel en såkalt GARCH(1,1)-modell. De standardiserte avkastningene etter filtreringen kalles dt = (Xt,Yt ). Dataene splittes så opp i en stabil periode (NC) og en kriseperiode (C). Finansiell smitte er til stede om de lokale gaussiske korrelasjoner for kriseperioden er signifikant over de lokale gaussiske korrelasjoner for den stabile perioden. Se Støve, Tjøstheim og Hufthammer (2014) for en formell beskrivelse av testen. For å illustrere bruken av testen ser vi nå på finanskrisen og vil undersøke om det har vært en smitteeffekt fra USA, der krisen oppsto, til Norge. Vi bruker daglige avkastninger fra 1. januar 2005 til 7. august 2009, totalt observasjoner fra S&P 500-indeksen i USA og OBX-indeksen i Norge. Vi definerer den stabile perioden fra 1. januar 2005 til 8. august 2007 og kriseperioden fra 9. august til 7. august Vi filtrerer disse avkastningene med en GARCH(1,1)-modell, før vi analyserer dataene videre. Denne modelltilpasningen viser seg å være rimelig, se Støve, Tjøstheim og Hufthammer (2014) for ytterligere detaljer. Vi beregner deretter de lokale gaussiske korrelasjoner mellom de standardiserte avkastningene fra USA og Norge lokalt langs diagonalen hvor X = Y for den stabile perioden og kriseperioden hver for seg. I figur 5 er disse to kurvene vist. Som vi ser, ligger kurven for kriseperioden over kurven for den stabile perioden, og vi ser antydninger til asymmetriske avhengigheter. Ved å benytte testen beskrevet i appendiks finner vi at kurven for kriseperioden ligger signifikant over den stabile periodens kurve, med en p-verdi på 0,031. Vi konkluderer dermed at det har vært smitte fra USA til Norge under denne krisen. I Støve, Tjøstheim og Hufthammer (2014) er finanskrisen studert ytterligere, blant annet hvor robuste resultatene er, og andre tidligere kriser er også analysert ved hjelp av denne nye testen.

13 Page 13 of 18 Figur 5 Lokale gaussiske korrelasjoner mellom avkastninger fra USA og Norge i den stabile perioden (orange kurve) og i kriseperioden (blå kurve) Lokal Value-At-Risk Vi har tidligere sett at det eksisterer asymmetriske avhengigheter mellom avkastninger, spesielt at avhengigheten er høyere mellom aktiva når markedet er fallende. I dette avsnittet vil vi evaluere den økonomiske betydningen dette har på risikoberegninger ved bruk av Value-At-Risk (VaR). Value-At-Risk (VaR) er et mye brukt risikomål for å kvantifisere og styre markedsrisiko, for eksempel risikoen i en portefølje av aksjer. VaR er en grense slik at tapet i en valgt tidsperiode er mindre enn denne grensen med sannsynlighet lik et valgt konfidensnivå. Hvis en forvalter for eksempel har en 1-dags VaR på 1 MNOK ved et 95 prosents konfidensnivå, betyr det at forvalteren forventer med 95 prosent sikkerhet at vedkommendes portefølje i løpet av en dag maksimalt vil tape 1 MNOK. Det eksisterer en rekke metoder for å beregne VaR, se for eksempel Jorion (2001). Som et illustrativt eksempel ser vi på en portefølje av to aktiva, med vekt w1 på det første aktivum og w2 = 1 w1 på det andre. La σ1 og σ2 være standardavviket tilhørende avkastningene for henholdsvis aktivum 1 og 2, og ρ er korrelasjonen mellom avkastningene. La oss videre anta at forventet avkastning i en kort tidshorisont er neglisjerbar for begge aktivaene. Basert på disse antagelsene vil porteføljevariansen σp2 da være lik Anta så at disse avkastningene er bivariat gaussisk fordelt. Med en initiell investering på I0 og konfidensnivå α, vil

14 Page 14 of 18 der zα 6 er α-kvantilen i standardnormalfordelingen. Dette er en velkjent og enkel metodikk for å beregne VaR. Korrelasjonen, ρ, og variansene, σ12 og σ22, er helt sentrale for å beregne porteføljens varians, σp2. Siden vi har dokumentert asymmetriske avhengigheter mellom avkastningsserier, det vil si endringer i lokal gaussisk korrelasjon, foreslår vi å benytte lokale korrelasjoner og lokale varianser til å beregne porteføljens varians. Det vil si at porteføljens varians også beregnes lokalt, og i denne omgang begrenser vi oss til utregninger på diagonalen. La x = (x,x) være et punkt på diagonalen, da er den lokale porteføljevariansen i dette punktet lik Disse lokale porteføljevariansene vil så bli brukt i ligning (1). Vi ender dermed opp med flere VaR-estimater langs diagonalen, og i prinsippet kan disse selvsagt utvides til alle ønskelige gridpunkter. Det er disse estimatene vi kaller lokal VaR. La oss nå se på et eksempel. Vi bruker avkastningsdata fra USA og Storbritannia og beregner VaR på den klassiske måten og lokalt. Dataene vi benytter, er månedlige avkastningsdata fra perioden februar 1973 til september 2009, i alt 440 observasjoner. Dataene er total markedsindeks hentet fra DataStream for disse to landene. Vi beregner avkastningene som før, det vil si 100 ganger endring i naturlig logaritme for hver indeks. Den globale korrelasjonen, ρ, mellom disse avkastningene er beregnet til 0,66. La oss nå anta at vi har en investering på ti millioner dollar i en portefølje som består av 50 prosent investert i USA og 50 prosent i Storbritannia. Fra avkastningsseriene beregner vi porteføljens varians, og ved bruk av formel (1) beregner vi en VaR med 99 prosents konfidensnivå, det vil si VaR(0,01), med en måneds tidshorisont, lik 1,09 millioner dollar. Vi ser så på den lokale varianten. Først estimeres de lokale parameterne, og i figur 6a er de lokale gaussiske korrelasjoner mellom avkastningene vist. Det er tydelig høyere korrelasjoner mellom avkastningene for store negative avkastninger, fra om lag 5 prosent og lavere. Den lokale korrelasjonen er på sitt største, i overkant av 0,8, for månedlige avkastninger på rundt 10 prosent. Når de månedlige avkastningene er på over +10 prosent, ser vi at lokal korrelasjon faller til under 0,5. Med andre ord er asymmetrisk avhengighet mellom avkastningene til stede i dette tilfelle.

15 Page 15 of 18 Figur 6a Estimerte lokale korrelasjoner mellom månedlige avkastninger fra USA og Storbritannia

16 Modellering av avhengigheter i finansmarkeder - Magma Page 16 of 18 Figur 6b Estimert lokal VaR og klassisk VaR (rett linje) Basert på estimerte lokale varianser og korrelasjoner beregnes lokal VaR som over. De lokale VaR er vist i figur 6b. Den klassiske VaR er vist som en rett linje i figuren som sammenligningsgrunnlag. Vi ser tydelig at økte korrelasjoner for negative avkastninger fører til en økning i lokal VaR, med den største lokale VaR på om lag 1,5 millioner dollar. Merk at helt til høyre i plottet øker lokal VaR, til tross for at lokale korrelasjoner minker (jf. figur 6a). Dette skyldes at de lokale varianser har økt i disse gridpunktene. Vi konkluderer med at en risikoanalytiker som kun estimerer den klassiske VaR, vil underestimere risikoen i porteføljen betraktelig, og denne underestimeringen kommer nettopp av den økte avhengigheten mellom store negative avkastninger. Avslutningsvis gjør vi oppmerksom på at det allerede eksisterer metoder som hensyntar økte avhengigheter ved beregning av VaR, for eksempel betinget VaR-x, se Pownall og Koedijk (1999). Gorieroux og Jasiak (2010) benytter metoder som er tilsvarende det vi har presentert, og en større studie behøves for å sammenligne vår metodikk med disse eksisterende metodene. Avsluttende merknader I denne artikkelen har vi presentert og benyttet et nytt mål på avhengighet, lokal gaussisk korrelasjon, for å studere avhengigheter mellom avkastninger i finansmarkedet. En rekke studier har dokumentert at avkastninger, i hvert fall med kort tidshorisont, ikke er normalfordelte, og at avhengigheten mellom dem er asymmetrisk (ikke-lineær). Utfordringen er imidlertid at man må være forsiktig når man studerer dette, fordi

17 Modellering av avhengigheter i finansmarkeder - Magma Page 17 of 18 flere metoder har vist seg å gi lite tilfredsstillende svar. Blant annet vil korrelasjonen som er beregnet betinget av at variabler er negative eller positive, være en skjev estimator, og det vil dermed være vanskelig å konkludere om asymmetri er til stede eller ikke. Lokal gaussisk korrelasjon vil imidlertid unngå dette problemet, og for ikke-gaussiske data vil den gi en mer korrekt beskrivelse av avhengighetsstrukturen mellom finansielle variabler enn den vanlige korrelasjonskoeffisienten. Vi har dokumentert asymmetri mellom noen norske aksjeavkastninger og videre illustrert hvordan finansiell smitte mellom land kan testes for ved bruk av lokal gaussisk korrelasjon. I tillegg har vi introdusert et nytt risikomål, lokal VaR, som vil gi en mer presis risikoberegning enn metoder som baseres på vanlige korrelasjonskoeffisienter, da lokal VaR hensyntar økt avhengighet mellom avkastninger i krisetider. Spesielt merker vi oss at metoder basert på vanlige korrelasjonskoeffisienter vil underestimere risikoen i en finansiell portefølje. Merk at denne nye metodikken også kan benyttes til å vurdere modelltilpasning, ved å sammenligne lokal gaussisk korrelasjon beregnet på observerte data med lokal gaussisk korrelasjon beregnet på en tilpasset modell. I Berentsen mfl. (2014) er denne metodikken benyttet i copulateori, og en modelltilpassnings-test er utviklet. I en stor simuleringsstudie vises det at denne nye testen er overlegen eksisterende tester. Berentsen og Tjøstheim (2014) benytter metodikken til å utvikle en forbedret uavhengighetstest. I denne artikkelen har vi begrenset oss til å studere bivariate problemstillinger, men en utvidelse til det multivariate tilfellet er mulig under noen forenklinger. Otneim og Tjøstheim (2014) presenterer den multivariate utvidelsen i detalj. I prinsippet kan finansielle eller økonometriske analyser som avhenger av en kovariansmatrise, bli analysert ved hjelp av en lokal gaussisk kovariansanalyse, og for øyeblikket arbeider vi med en rekke utvidelser av bruksområde for denne teorien. Avslutningsvis gjør vi oppmerksom på at det er utviklet en programvarepakke for statistikkprogrammet R, hvor koder for estimering og plotting av lokal gaussisk korrelasjon er tilgjengelig, se Berentsen, Kleppe og Tjøstheim (2014). Pakken kan lastes ned på hjemmesiden til CRAN, Dette arbeidet har blitt støttet av KOV-prosjektet, nr. 1330, og Finansmarkedsfondet. Vi takker redaktørene for innspill som har forbedret presentasjonen. 1: Se siste avsnitt av artikkelen for en presis definisjon. 2: Se bl.a. Kjersti Aas kronikk i Dagens Næringsliv 13. desember 2008: Hvor mange sorte svaner? 3: q75 er den verdi av X som er slik at 25 prosent av X-observasjonene ligger over q75. 4: Et mål for haletyngde. 5: Likviditetskrisen kan dateres til 7. august 2007, se f.eks juni : Dersom Z er standard normal, er zα den verdien som er slik at P(Z zα) = α. Aas, K., C. Czado, A. Frigessi og H. Bakken (2009). Pair-copula constructions of multiple dependence. Insurance Matematics & Economics, 44(2): Barndorff-Nielsen, O. (1978). Hyperbolic distributions and distributions on hyperbolae. Scandinavian Journal of Statistics, 5: Berentsen, G.D., T. Kleppe og D. Tjøstheim (2014). Introducing localgauss, an R package for estimating and visualizing local Gaussian correlation. Journal of Statistical Software, 56(12). Berentsen, G.D. og D. Tjøstheim (2014). Recognizing and visualizing departures from independence in bivariate data using local Gaussian correlation. Statistics & Computing, 24(5): Berentsen, G.D., B. Støve, D. Tjøstheim og T. Nordbø (2014). Recognizing and visualizing copulas: an approach using local Gaussian approximation. Insurance Mathematics & Economics, 57: Bjerve, S. og K. Doksum (1993). Correlation curves: measures of association as functions of covariate values. Annals of Statistics, 21(2): Bollerslev, T., R.Y. Chou og K.F. Kroner (1992). ARCH modeling in finance: a review of the theory and empirical evidence. Journal of Econometrics, 52(1 2):5 59. Boyer, B.H., M.S. Gibson og M. Loretan (1999). Pitfalls in tests for changes in correlations. Discussion Paper 597, Federal Reserve. Campbell, R., K. Koedijk og P. Kofman (2002). Increased correlation in bear markets. Financial Analysts Journal, 58(1):87 94.

18 Modellering av avhengigheter i finansmarkeder - Magma Page 18 of 18 Forbes, K.J. og R. Rigobon (2002). No contagion, only interdependence: measuring stock market comovements. Journal of Finance, 57(5): Gourieroux, C. og J. Jasiak. (2010). Local likelihood density estimation and value-at-risk. Journal of Probability and Statistics:1 26. Hjort, N.L. og M.C. Jones (1996). Locally parametric nonparametric density estimation. Annals of Statistics, 24: Holland, P.W. og Y.J. Wang (1987). Dependence function for continuous bivariate densities. Communication in Statistics Theory & Methods, 16(3): Joe, H. (2014). Dependence modeling with copulas. Boca Raton, Florida, USA: Chapman & Hall/CRC. Jones, M.C. (1996). The Local Dependence Function. Biometrika, 83(4): Jones, M.C. (1998). Constant Local Dependence. Journal of Multivariate Analysis, 64(2): Jones, M.C. og I. Koch (2003). Dependence maps: local dependence in practice. Statistics & Computing, 13: Jorion, P. (2001). Value at Risk. New York, USA: McGraw-Hill. King, M. og S. Wadhwani (1990). Transmission of volatility between stock markets. Review of Financial Studies, 3:5 33. Longin, F. og B. Solnik (2001). Extreme correlation of international equity markets. Journal of Finance, 56(2): Markowitz, H. (1952). Portfolio selection. Journal of Finance, 7(1): Nelsen, R.B. (2006). Introduction to copulas. New York: Springer. Okimoto, T. (2008). New evidence of asymmetric dependence structures in international equity markets. Journal of Financial and Quantitative Analysis, 43(3): Otneim, H. og D. Tjøstheim (2014). Multivariate density estimation using local Gaussian correlation. Arbeidsdokument under utarbeiding. Pownall, R.A. og K.G. Koedijk (1999). Capturing downside risk in financial markets: the case of the Asian crisis. Journal of International Money and Finance, 18: Rodriguez, J.C. (2007). Measuring financial contagion: a copula approach. Journal of Empirical Finance, 14(3): Rydberg, T.H. (2000). Realistic statistical modelling of financial data. International Statistical Review, 68: Silvapulle, P. og C.W.J. Granger (2001). Large returns, conditional correlation and portfolio diversification: a value-at-risk approach. Quantitative Finance, 1(5): Støve, B. og D. Tjøstheim (2014). Measuring asymmetries in financial returns: An empirical investigation using local Gaussian correlation. I N. Haldrup, M. Meitz og P. Saikkonen (red.), Essays in Nonlinear Time Series Econometrics, s Oxford, Storbritannia: Oxford University Press. Støve, B., D. Tjøstheim og K. Hufthammer (2014). Using local Gaussian correlation in a nonlinear re-examination of financial contagion. Journal of Empirical Finance, 25: Taleb, N.N. (2007). The Black Swan. New York, USA: Random House. Tjøstheim, D. og K. Hufthammer (2013). Local Gaussian correlation: a new measure of dependence. Journal of Econometrics, 172:33 48.