Kapittel 3: Symbolmanipulasjon

Transkript

1 Kapittel 3: Symbolmanipulasjon 3 Presentasjon av symbolmanipulasjon Bruke udefinerte eller definerte variabler Bruke eksakt, tilnærmet og automatisk modus Automatisk forenkling Forsinket forenkling for visse innebygde funksjoner Substituere verdier og begrense grunnmengden Oversikt over menyen Algebra Vanlige algebraiske operasjoner Oversikt over menyen Calc Vanlige operasjoner innen matematisk analyse (calculus) Brukerdefinerte funksjoner og symbolmanipulasjon Hvis du får meldingen Out-of-Memory Spesielle konstanter som brukes i symbolmanipulasjon Dette kapitlet gir en oversikt over grunnleggende bruk av symbolmanipulasjon for å utføre algebra og matematisk analyse. Du kan enkelt utføre symbolske beregninger fra Home-skjermbildet. Kapittel 3: Symbolmanipulasjon 45

2 Presentasjon av symbolmanipulasjon Løs ligningssystemet 2x ì 3y = 4 og ë x + 7y = ë 12. Løs den første ligningen slik at x uttrykkes som en funksjon av y. Sett utrykket for x inn i den andre ligningen og løs deretter for y. Til slutt setter du y-verdien tilbake i den første ligningen og løser for x. Fremgangsmåte Tastetrykk Skjermbilde 1. Åpne Home-skjermbildet og tøm kommandolinjen. Løs ligningen 2x ì 3y = 4 for x. 1 velger solve( fra menyen Algebra. Du kan også skrive inn solve( direkte fra tastaturet, eller trykke på ½og velge den. 2. Begynn å løse ligningen ë x + 7y = ë 12 for y, men ikke trykk på ennå. " MM 1 2X 3YÁ4 bxd 1 X «7YÁ 12bYd 3. Bruk with -operatoren (Í) til å sette inn uttrykket for x som du fant fra den første ligningen. Dette gir verdien til y. With -operatoren vises som på skjermen. Bruk autoinnliming til å merke det siste svaret i loggområdet og lime det inn på kommandolinjen. Í C 4. Merk ligningen for x i loggområdet. CCC 5. Autolim det merkede uttrykket inn på kommandolinjen. Deretter setter du inn verdien for y som du fant fra den andre ligningen. Løsningen er: x = ë 8/11 og y = ë 20/11 Í C Dette eksemplet er en demonstrasjon av symbolmanipulasjon. Det finnes også en ett-trinns funksjon for løsing av ligningssystemer. (Se side 61.) 46 Kapittel 3: Symbolmanipulasjon

3 Bruke udefinerte eller definerte variabler Når du utfører operasjoner innen algebra eller matematisk analyse (calculus), er det viktig at du forstår virkningen av å bruke udefinerte og definerte variabler. Hvis ikke, kan du få et tall som resultat i stedet for det algebraiske uttrykket du hadde forventet. Hvordan udefinerte og definerte variabler behandles Tips: Når du definerer en variabel, er det en god vane å bruke mer enn ett tegn i navnet. La ett-tegns navn være udefinerte for symbolske beregninger. Når du skriver inn et uttrykk som inneholder en variabel, behandler TI-89 variabelen på én av to måter. Hvis variabelen er udefinert, blir den behandlet som et algebraisk symbol. Hvis variabelen er definert (også hvis den er definert som 0), erstattes variabelen av verdien. For å se hvorfor dette er viktig, kan du anta at du vil finne den førstederiverte av xò med hensyn på x. Hvis x er udefinert, vil resultatet bli slik du sannsynligvis hadde forventet. Hvis x er definert, kan resultatet bli noe annen enn det du hadde forventet. Hvis ikke du visste på forhånd at 5 var lagret i x, kunne svaret 75 vært forvirrende. Avgjøre om en variabel er udefinert Metode: Skrive inn variabelens navn. Eksempel: Hvis den er definert, vises variabelens verdi. Obs! Bruk 2 hvis du vil se en liste over definerte variabler, slik det er beskrevet i Kapittel 21. Bruke funksjonen gettype. Hvis den er udefinert, vises variabelens navn. Hvis den er definert, vises variabelens type. Hvis den er udefinert, vises NONE. Kapittel 3: Symbolmanipulasjon 47

4 Slette en definert variabel Du kan gjøre en definert variabel udefinert ved å slette den. Hvis du skal slette: En eller flere angitte variabler Gjør du dette: Bruk funksjonen DelVar. Obs! Hvis du vil vite mer om mapper, kan du se Kapittel 5. Alle en-bokstavs variabler (a z) i den gjeldende mappen Du kan også slette variabler ved å bruke VAR-LINK-skjermbildet ( 2 ). Se Kapittel 21. Trykk på 2ˆ 1:Clear a-z fra Homeskjermbildet. Du vil bli bedt om å trykke på for å bekrefte slettingen. Overstyre en variabel midlertidig Ved å bruke Í til å skrive inn with -operatoren ( ), kan du: Midlertidig overstyre den definerte verdien til en variabel. Obs! Hvis du vil vite mer om operatoren, kan du se side 55. Midlertidig definere en verdi for en udefinert variabel. 48 Kapittel 3: Symbolmanipulasjon

5 Bruke eksakt, tilnærmet og automatisk modus Innstillingene for Exact/Approx-modus, som er kort omtalt i Kapittel 2, har direkte innvirkning på presisjonen og nøyaktigheten når TI-89 beregner et resultat. Denne delen beskriver disse modusinnstillingene i sammenheng med symbolmanipulasjon. EXACTinnstillingen Når Exact/Approx = EXACT, bruker TI-89 eksakt rasjonal aritmetikk med opptil 614 sifre i telleren og 614 sifre i nevneren. EXACTinnstillingen gjør følgende: Overfører irrasjonale tall til standardformer så mye som mulig uten å bruke tilnærmede verdier. Eksempel: 12 gjøres om til 2 3, og ln(1000) gjøres om til 3 ln(10). Konverterer flyttall til rasjonale tall. Eksempel: 0.25 gjøres om til 1/4. Funksjonene solve, csolve, zeros, czeros, factor,, fmin og fmax bruker bare eksakte, symbolske algoritmer. Disse funksjonen beregner ikke tilnærmede løsninger i EXACT-innstillingen. Noen ligninger, for eksempel 2 x = x, har løsninger som ikke kan uttrykkes med et endelig antall av de funksjonene og operatorene som finnes i TI-89. Med denne typen av ligninger, vil EXACT ikke finne tilnærmede løsninger. Eksempelvis har 2 x = x en tilnærmet løsning i x , men dette vises ikke med EXACT-innstillingen. Fordeler Resultatene er nøyaktige. Ulemper Når du bruker mer kompliserte rasjonale tall og irrasjonale konstanter, kan beregningene: Bruke mer minne, slik at minnet blir fullt før løsningen blir funnet. Ta lenger tid. Gi store, klumpete svar som er vanskeligere å tolke enn flyttall. Kapittel 3: Symbolmanipulasjon 49

6 APPROXIMATEinnstillingen Når Exact/Approx = APPROXIMATE, konverterer TI-89 rasjonale tall og irrasjonale konstanter til flyttall. Det finnes imidlertid noen unntak: Visse innebygde funksjoner som forventer at ett av argumentene er et heltall, vil konvertere det tallet til et heltall så sant det er mulig. Eksempel: d(y(x), x, 2.0) konverteres til d(y(x), x, 2). Hele flyttallseksponenter blir konvertert til heltall. Eksempel: x 2.0 konverteres til x 2 også med APPROXIMATE-innstillingen. Funksjoner som for eksempel solve og (integral) kan bruke både eksakte symbolske og tilnærmede numeriske teknikker. Disse funksjonene ignorerer noen av eller alle de eksakte symbolske teknikkene med APPROXIMATE-innstillingen. Fordeler Hvis det ikke er nødvendig med et helt nøyaktig resultat, kan dette spare tid og/eller bruke mindre minne enn EXACT-innstillingen. Tilnærmede resultater er ofte mer kompakte og lettforståelige enn eksakte resultater. Hvis du ikke har tenkt å bruke symbolske beregninger, minner tilnærmede resultater om de velkjente, tradisjonelle numeriske kalkulatorene. Ulemper Resultater med udefinerte variabler eller funksjoner gir ofte ufullstendig kansellering. Eksempelvis kan en koeffisient som egentlig er 0, vises som et lite tall, for eksempel E-11. Symbolske operasjoner, deriblant grenseverdier og integrasjon, gir ofte utilfredsstillende resultater med APPROXIMATE-innstillingen. Tilnærmede resultater er noen ganger mindre kompakte og lettforståelige enn eksakte resultater. Det kan for eksempel hende at du foretrekker 1/7 fremfor Kapittel 3: Symbolmanipulasjon

7 AUTO-innstillingen Når Exact/Approx = AUTO, bruker TI-89 eksakt rasjonal aritmetikk når alle operandene er rasjonale tall. Ellers brukes flyttallsaritmetikk etter at eventuelle rasjonale operander er konvertert til flyttall. Flyttall er med andre ord smittsomme. Eksempel: 1/2 1/3 transformeres til 1/6 men 0.5 1/3 transformeres til Denne "flyttallssmitten" strekker seg ikke over barrierer som for eksempel udefinerte variabler eller mellom elementer i lister eller matriser. Eksempel: (1/2-1/3) x + (0.5 1/3) y transformeres til x/ y og {1/2-1/3, 0.5 1/3} transformeres til {1/6, } Med AUTO-innstillingen finner funksjoner som for eksempel solve så mange løsninger som mulig så nøyaktig som mulig, og bruker deretter tilnærmede numeriske metoder om nødvendig for å finne flere løsninger. På samme måte bruker (integral) tilnærmede metoder etter behov dersom de eksakte symbolske metodene ikke fører frem. Fordeler Du får eksakte resultater når det er praktisk mulig, og tilnærmede numeriske resultater når eksakte resultater er upraktiske. Du kan ofte kontrollere formatet på et resultat ved å velge å oppgi noen koeffisienter som enten rasjonale tall eller flyttall. Ulemper Hvis du bare er interessert i eksakte resultater, vil denne innstillingen ofte kaste bort tid på å lete etter tilnærmede resultater. Hvis du bare er interessert i tilnærmede resultater, vil denne innstillingen ofte kaste bort tid på å lete etter eksakte resultater. Dette kan i tillegg overbelaste minnet. Kapittel 3: Symbolmanipulasjon 51

8 Automatisk forenkling Når du skriver inn et uttrykk på kommandolinjen og trykker på, forenkler TI-89 automatisk uttrykket i henhold til de innebygde standardreglene for forenkling. Standardregler for forenkling Alle disse reglene brukes automatisk. Du vil ikke se noe mellomresultat av enkelte av dem. Hvis en variabel har en definert verdi, erstattes variabelen av den verdien. Hvis variabelen er definert med hensyn på en annen variabel, erstattes variabelen med verdien på det å slå opp (uendelig mange ganger). Obs! Hvis du vil vite mer om mapper, se Kapittel 5. Obs! Se Forsinket forenkling for visse innebygde funksjoner på side 54. Standard forenkling endrer ikke variabler som bruker banenavn for å indikere en mappe. Eksempel: x+class\x blir ikke forenklet til 2x. For funksjoner: Argumentene blir forenklet. (Noen innebygde funksjoner forsinker forenklingen av noen av argumentene.) Hvis funksjonen er innebygd eller brukerdefinert, brukes funksjonsdefinisjonen på de forenklede argumentene. Deretter erstattes funksjonsformen med dette resultatet. Numeriske deluttrykk settes sammen. Produkter og summer sorteres. Produkter og summer med udefinerte variabler sorteres etter den første bokstaven i variabelnavnet. Udefinerte variabler fra r til z antas å være sanne variabler, og plasseres i alfabetisk rekkefølge i begynnelsen av summen. Udefinerte variabler fra a til q antas å representere konstanter, og plasseres i alfabetisk rekkefølge på slutten av summen (men foran eventuelle tall). Lignende faktorer og lignende ledd samles. 52 Kapittel 3: Symbolmanipulasjon

9 Identiteter som involverer nuller og enere løses opp. Dette flyttallet gjør at numeriske resultater vises som flyttall. Hvis et helt flyttall oppgis som eksponent, blir det behandlet som et vanlig heltall (og produserer ikke et flyttallsresultat). Største polynome fellesnevner blir forkortet. Polynomer blir utvidet når det ikke kan foretas ytterligere eliminasjon. Fellesnevnere blir funnet når det ikke kan foretas ytterligere eliminasjon. Kan ikke eliminere mer Kan ikke eliminere mer Funksjonelle likheter utnyttes. Eksempel: ln(2x) = ln(2) + ln(x) og sin(x)ñ + cos(x)ñ = 1 Hvor lang tid tar forenklingen? Avhengig av kompleksiteten til kommandoen, resultatet eller et mellomresultat, kan det ta lang tid å utvide et uttrykk og eliminere fellesnevnere slik at forenklingen blir så fullstendig som mulig. Hvis du vil avbryte en forenklingsprosess som tar for lang tid, trykker du på. Deretter kan du forsøke å forenkle en del av uttrykket. (Autolim hele uttrykket inn på kommandolinjen og slett de uønskede delene.) Kapittel 3: Symbolmanipulasjon 53

10 Forsinket forenkling for visse innebygde funksjoner Vanligvis blir variablene automatisk forenklet til lavest mulig nivå før de sendes til en funksjon. For enkelte funksjoner blir imidlertid forenklingen forsinket til etter at funksjonen er utført. Funksjoner som bruker forsinket forenkling Funksjoner som bruker forsinket forenkling har et obligatorisk varargument som utfører funksjonen med hensyn på en variabel. Disse funksjonene har minst to argumenter på følgende generelle form: funksjon(uttrykk, var [,... ]) Obs! Ikke alle funksjoner som bruker et var-argument bruker forsinket forenkling. Obs! Du vil muligens eller muligens ikke definere en numerisk verdi for var, avhengig av den aktuelle situasjonen. For eksempel: solve(x^2ì xì 2=0,x) d(x^2ìxì2,x) (x^2ì xì 2,x) limit(xñ ì xì 2,x,5) Følgende skjer med en funksjon som bruker forsinket forenkling: 1. Variabelen var blir forenklet til det laveste nivået der den forblir en variabel (selv om det skulle være mulig å forenkle den videre til en verdi som ikke er en variabel). 2. Funksjonen utføres med denne variabelen. 3. Hvis var kan forenkles ytterligere, blir den verdien så satt inn i resultatet. Eksempel: x kan ikke forenkles. Obs! Eksemplet til høyre finner den deriverte av xò i x=5. Hvis xò hadde blitt forenklet til 75, ville du ha funnet den deriverte av 75, som ikke er det du er ute etter. x forenkles ikke. Funksjonen bruker xò, og setter deretter 5 inn for x. x forenkles til t. Funksjonen bruker tò. x forenkles til t. Funksjonen bruker tò, og setter deretter inn 5 for t. 54 Kapittel 3: Symbolmanipulasjon

11 Substituere verdier og begrense grunnmengden Med with -operatoren ( ) kan du midlertidig substituere verdier i et uttrykk eller definere begrensninger på grunnmengden. Skrive inn With - operatoren Substituere for en variabel Når du skal skrive inn with -operatoren ( ), trykker du på Í. For hver forekomst av en bestemt variabel, kan du sette inn en numerisk verdi eller et uttrykk. Førstederiverte av xìò i x = 5 Hvis du skal substituere for flere variabler samtidig, bruker du den Boolske operatoren and. Substituere for et enkelt uttrykk Obs! acos(x) er forskjellig fra a*cos(x). For hver forekomst av et enkelt uttrykk, kan du sette inn en variabel, en tallverdi eller et annet uttrykk. Ved å erstatte en mye brukt (eller lang) komponent, kan du vise resultatet på en mer kompakt form. Ved å sette inn s for sin(x) kan du se at uttrykket er polynomisk med hensyn på sin(x). Substituere komplekse verdier Obs! Du finner en oversikt over komplekse verdier i Tillegg B. Tips: Trykk på 2) for å skrive inn den komplekse i. Ikke tast j [I] på tastaturet. Du kan substituere komplekse verdier på samme måte som andre variabler. Alle udefinerte variabler blir behandlet som reelle tall i symbolske beregninger. Hvis du skal utføre kompleks symbolsk analyse, må du definere en kompleks variabel. Eksempel: x+yi! z Deretter kan du bruke z som en kompleks variabel. Du kan også bruke z_. Hvis du vil vite mer om dette, kan du se under _ (understrek) i Tillegg A. Kapittel 3: Symbolmanipulasjon 55

12 Vær oppmerksom på begrensningene ved substitusjon Substitusjon gjøres bare der den passer nøyaktig. Bare x 2 ble erstattet, ikke x 4. Det kan oppstå uendelige rekursjoner hvis du definerer en variabel med hensyn på seg selv. sin(x) x=x+1 Definer substitusjonen med enklere komponenter for en mer komplett substitusjon. Substituter sin(x+1), sin(x+1+1), sin(x+1+1+1), osv. Følgende skjer hvis du oppgir en substitusjon som fører til en uendelig rekursjon: En feilmelding vises. Når du trykker på N, vil du se en feil i loggområdet. Internt sorteres et uttrykk i henhold til de automatiske reglene for forenkling. Derfor vil produkter og summer muligens ikke vises i samme rekkefølge som du skrev dem inn. Tips: Bruk funksjonen solve som en hjelp til å finne substitusjonen av en enkel variabel. Som en tommelfingerregel bør du substituere for én enkel variabel. Substitusjon for mer generelle uttrykk (enten mø cñ =e eller cñøm=e) vil kanskje ikke fungere som forventet. Ingen substitusjon 56 Kapittel 3: Symbolmanipulasjon

13 Angi begrensninger på grunnmengden Mange likheter og transformasjoner er bare gyldige innenfor en avgrenset grunnmengde. Eksempel: ln(xù y) = ln(x) + ln(y) sinê (sin(q)) = q bare hvis x og/eller y ikke er negativ(e) bare hvis q ë p/2 og q p/2 radianer Bruk with -operatoren til å definere grunnmengden. Tips: Skriv inn ln(xù y) i stedet for ln(xy); ellers blir xy tolket som én variabel med navnet xy. Tips: For å skrive inn eller, trykk à eller Â. Du kan også bruke 2I8 eller 2 2 til å velge dem fra en meny. Q Siden ln(xùy) = ln(x) + ln(y) ikke alltid er gyldig, blir logaritmene ikke kombinert. Med en avgrenset grunnmengde er likheten gyldig, og uttrykket forenkles. Siden sinê(sin(q)) = q ikke alltid er gyldig, blir uttrykket ikke forenklet. Med en avgrenset grunnmengde kan uttrykket forenkles. Bruke substitusjoner eller definere en variabel I mange tilfeller kan du oppnå det samme som en substitusjon ved å definere variabelen. Substitusjoner er imidlertid å foretrekke i de fleste tilfeller siden variabelen bare defineres for den inneværende beregningen, og kan ikke ha utilsiktet innvirkning på senere beregninger. Substitusjon av x=1 har ingen innvirkning på den neste beregningen. Advarsel: Når x er definert, kan den ha innvirkning på alle beregninger som involverer x (til du sletter x). Lagring av 1!x virker inn på de etterfølgende beregningene. Kapittel 3: Symbolmanipulasjon 57

14 Oversikt over menyen Algebra Du kan bruke verktøylinjemenyen Algebra til å velge de mest vanlige algebraiske funksjonene. Algebra-menyen Fra Home-skjermbildet trykker du på for å vise følgende: Obs! For en fullstendig beskrivelse av hver funksjon og dens syntaks, viser vi til Tillegg A. Denne menyen er også tilgjengelig fra menyen MATH. Trykk på 2Iog velg 9:Algebra. Menyoppføring solve factor expand zeros approx comdenom propfrac nsolve Beskrivelse Løser et uttrykk for en bestemt variabel. Dette returnerer bare reelle løsninger, uansett innstilling for modusen Complex Format. Viser svarene med forbindelsesløsninger med "and" og "or". (For komplekse løsninger velger du A:Complex fra menyen Algebra.) Faktoriserer et uttrykk med hensyn på alle variablene eller bare med hensyn på en spesifisert variabel. Utvider et uttrykk med hensyn på alle variablene eller bare med hensyn på en spesifisert variabel. Finner verdiene for en angitt variabel som gjør at et uttrykk blir null. Viser resultatet i en liste. Evaluerer et uttrykk ved hjelp av flyttallsaritmetikk, dersom det er mulig. Dette er det samme som å bruke 3 til å sette Exact/Approx = APPROXIMATE (eller bruke til å evaluere et uttrykk). Finner en fellesnevner for alle leddene i et uttrykk og transformerer uttrykket til en redusert brøk med en teller og nevner. Returnerer et uttrykk som et ekte brøkuttrykk. Finner én løsning på en ligning som et flyttall (til forskjell fra solve, som kan finne flere løsninger og vise dem på rasjonal eller symbolsk form). 58 Kapittel 3: Symbolmanipulasjon

15 Menyoppføring Trig Beskrivelse Åpner denne undermenyen: Complex texpand tcollect Utvider trigonometriske uttrykk med vinkelsummer og flere vinkler. Samler produktene av heltallspotenser av trigonometriske funksjoner til vinkelsummer og flere vinkler. tcollect er det motsatte av texpand. Åpner denne undermenyen: Extract Disse er de samme som solve, factor og zeros, men de finner også komplekse resultater. Åpner denne undermenyen: Obs! Funksjonene left og right kan også brukes til å trekke ut et bestemt antall elementer eller tegn fra venstre eller høyre side av en liste eller tegnstreng. getnum Utfører comdenom og returnerer den resulterende telleren. getdenom Utfører comdenom og returnerer den resulterende nevneren. left right Returnerer venstre side av en ligning eller ulikhet. Returnerer høyre side av en ligning eller ulikhet. Kapittel 3: Symbolmanipulasjon 59

16 Vanlige algebraiske operasjoner Denne delen inneholder eksempler på noen av funksjonene som er tilgjengelig fra verktøylinjemenyen Algebra. Hvis du vil vite mer om de enkelte funksjonene, kan du se Tillegg A. Noen algebraiske operasjoner krever ikke en spesialfunksjon. Addere eller dividere polynomer Du kan addere og dividere polynomer direkte, uten å bruke en spesialfunksjon. Faktorisere og utvide polynomer Bruk funksjonene factor ( 2) og expand ( 3). factor(uttrykk [,var]) for faktorisering med hensyn på en variabel expand(uttrykk [,var]) for delvis utvidelse med hensyn på en variabel Faktoriser x 5 ì 1. Deretter utvider du resultatet. Legg merke til at factor og expand utfører motsatte operasjoner. Finne primtallsfaktorer til et tall Funksjonen factor ( 2) kan brukes til mer enn bare enkel faktorisering av et algebraisk polynom. Du kan finne primtallsfaktorene til et rasjonalt tall (enten det er et heltall eller en brøk av heltall). Finne delvise utvidelser Med den valgfrie var-prameteren til funksjonen expand ( 3), kan du utføre en delvis utvidelse som samler lignende potenser av en variabel. Utfør en full utvidelse av (xñìx) (yñìy) med hensyn på alle variablene. Deretter utfører du en delvis utvidelse med hensyn på x. 60 Kapittel 3: Symbolmanipulasjon

17 Løse en ligning Bruk funksjonen solve ( 1 ) til å løse en ligning for en bestemt variabel. solve(ligning, var) Løs x + y ì 5 = 2x ì 5y for x. Legg merke til at solve bare viser det endelige resultatet. Hvis du vil se mellomresultater, kan du løse ligningen manuelt trinn for trinn. Obs! En operasjon som 2 p subtraherer 2x fra begge sider. x «y 5 Á 2x 5y 2 x y «5 p 1 Løse et system av lineære ligninger Betrakt et sett med to ligninger som hver har to ukjente: 2x ì 3y = 4 ë x + 7y = ë 12 Bruk en av disse metodene til å løse ligningssystemet. Obs! Matrisefunksjonene simult og rref står ikke på menyen Algebra. Bruk 2I4 eller ½. Metode Bruk funksjonen solve for å løse dem i ett trinn. Bruk funksjonen solve med substitusjon ( ) for trinnvis manipulering. Bruk funksjonen simult med en matrise. Eksempel solve(2xì3y=4 and ëx+7y=ë12,{x,y}) Se innledningen til dette kapitlet, der vi løste for x = ë 8/11 og y = ë 20/11. Skriv inn koeffisientene som en matrise og resultatene som en konstant søylematrise. Bruk funksjonen rref med en matrise. Skriv inn koeffisientene som en utvidet matrise. Kapittel 3: Symbolmanipulasjon 61

18 Finne nullpunktene til et uttrykk Tips: For eller taster du à eller Â. Du kan også bruke 2I8 eller 2 2 til å velge dem fra en meny. Bruk funksjonen zeros ( 4). zeros(uttrykk, var) Bruk uttrykket x ù sin(x) + cos(x). Finn nullpunktene med hensyn på x i intervallet 0 x og x 3. Bruk with -operatoren (Í) til å definere intervallet. Finne ekte brøker og fellesnevnere Bruk funksjonene propfrac ( 7) og comdenom ( 6). propfrac(rasjonalt uttrykk [,var]) comdenom(uttrykk [,var]) for ekte brøker med hensyn på en variabel for fellesnevnere som samler lignende potenser av den variabelen Obs! Du kan bruke comdenom med et uttrykk, en liste eller en matrise. Finn en ekte brøk for uttrykket (x 4 ì 2xñ + x) / (2xñ + x + 4). Deretter transformerer du svaret til en brøk med fullt utvidet teller og fullt utvidet nevner. Legg merke til at propfrac og comdenom utfører motsatte operasjoner. I dette eksemplet er: 31 x Hvis du utfører dette eksemplet på din TI-89, vil funksjonen propfrac rulle ut av skjermbildet. resten av x 4 ì 2xñ +x dividert med 2xñ +x+4. xñ 2 ì x ì 15/8 kvotienten Kapittel 3: Symbolmanipulasjon

19 Oversikt over menyen Calc Du kan bruke verktøylinjemenyen Calc til å velge vanlige funksjoner for matematisk analyse (calculus). Calc-menyen Fra Home-skjermbildet trykker du på for å vise: Obs!: For en fullstendig beskrivelse av hver funksjon og dens syntaks, viser vi til Tillegg A. Obs! Differensieringssymbolet d er et spesialsymbol. Det er ikke det samme som å skrive j [D] på tastaturet. Bruk 1 eller 2 =. Menyoppføring d differentiate Beskrivelse Denne menyen er også tilgjengelig fra menyen MATH. Trykk på 2I og velg A:Calculus. Differensierer et uttrykk med hensyn på en bestemt variabel. integrate Integrerer et uttrykk med hensyn på en bestemt variabel. limit G sum Π product fmin fmax arclen taylor nderiv nint desolve Finner grenseverdien til et uttrykk med hensyn på en bestemt variabel. Evaluerer et uttrykk ved diskrete variabelverdier i en intervall og finner deretter summen. Evaluerer et uttrykk ved diskrete variabelverdier i en intervall og finner deretter produktet. Finner kandidatverdier for en bestemt variabel som minimerer et uttrykk. Finner kandidatverdier for en bestemt variabel som maksimerer et uttrykk. Returnerer buelengden for et uttrykk med hensyn på en bestemt variabel. Beregner et Taylor-polynom som tilnærming til et uttrykk med hensyn på en bestemt variabel. Beregner den numeriske deriverte av et uttrykk med hensyn på en bestemt variabel. Beregner et integral som et flyttall ved å bruke kvadratur (en tilnærming som går ut på å bruke "vektbelastede" summer av integrandverdier). Løser symbolsk mange første og andre ordens differensialligninger, med eller uten initialbetingelser. Kapittel 3: Symbolmanipulasjon 63

20 Vanlige operasjoner innen matematisk analyse (calculus) Denne delen inneholder eksempler på noen av funksjonene som er tilgjengelig på verktøylinjemenyen Calc. Hvis du vil vite mer om en bestemt funksjon, viser vi til Tillegg A. Integrering og differensiering Bruk funksjonene integrate ( 2) og d differentiate ( 1). (uttrykk, var [,nedre] [,øvre]) d (uttrykk, var [,orden]) lar deg angi grenser eller en integrasjonskonstant Obs! Du kan bare integrere ett uttrykk; du kan differensiere et uttrykk, en liste eller en matrise. Integrer xñùsin(x) med hensyn på x. Differensier svaret med hensyn på x. Finne en grenseverdi Obs! Du kan finne en grenseverdi for et uttrykk, en liste eller en matrise. Bruk funksjonen limit ( 3). limit(uttrykk, var, punkt [,retning])* Finn grenseverdien for sin(3x) / x når x går mot 0. Bruk 1 or 2 = for å skrive inn d. Ikke tast j [D] på tastaturet. negativ = fra venstre positiv = fra høyre utelatt eller 0 = begge deler Finne et Taylor-polynom Bruk funksjonen taylor ( 9). taylor(uttrykk, var, grad [,punkt]) hvis utelatt er ekspansjonspunktet 0 Viktig: Degreemodusskalering med p/180 kan føre til at resultater fra calculus-programmer vises på en annen form. Finn et 6. grads Taylorpolynom for sin(x) med hensyn på x. Lagre svaret som en brukerdefinert funksjon med navnet y1(x). Tegn så opp grafen til sin(x) og Taylorpolynomet. Graph sin(x):graph y1(x) 64 Kapittel 3: Symbolmanipulasjon

21 Brukerdefinerte funksjoner og symbolmanipulasjon Du kan bruke en brukerdefinert funksjon som et argument for de innebygde funksjonene i TI-89 for algebra og matematisk analyse (calculus). Informasjon om hvordan du lager en brukerdefinert funksjon Les følgende: Lage og evaluere brukerdefinerte funksjoner i Kapittel 5. Fremstille en graf av en funksjon definert i Home-skjermbildet og Fremstille en stykkevis definert funksjon grafisk i Kapittel 12. Skrive inn en funksjon i Kapittel 17. Udefinerte funksjoner Tips: For å velge d fra menyen Calc, trykk på 1 (eller 2 = på tastaturet). Funksjoner som består av ett uttrykk Tips: Trykk på 3 for å velge limit fra menyen Calc. Du kan bruke funksjoner som for eksempel f(x), g(t), r(q), osv., som ikke er definert. Disse udefinerte funksjonene gir symbolske resultater. Eksempel: Bruk DelVar for å forsikre deg om at f(x) og g(x) ikke er definert. Finn så den deriverte av f(x)ùg(x) med hensyn på x. Du kan bruke brukerdefinerte funksjoner som består av ett enkelt uttrykk. Eksempel: Bruk til å lage en brukerdefinert sekantfunksjon, der: sec(x) = 1 cos(x) Finn deretter grenseverdien til sec(x) når x går mot p/4. Bruk Define til å lage en brukerdefinert funksjon h(x), der: Tips: Trykk på 2 for å velge fra menyen Calc (eller trykk på 2 < på tastaturet). Trykk på 9 for å velge taylor. h(x)= 0 x sin(t) / t Finn deretter et 5. grads Taylorpolynom for h(x) med hensyn på x. Definer h(x)= (sin(t)/t,t,0,x). Kapittel 3: Symbolmanipulasjon 65

22 Funksjoner med ett eller flere uttrykk Funksjoner som består av flere uttrykk bør bare brukes som argumenter for numeriske funksjoner (for eksempel nderiv og nint). I noen tilfeller er det mulig å lage en ekvivalent funksjon som bare består av ett uttrykk. Se for eksempel på denne stykkevis definerte funksjonen med to deler. Når: Bruk uttrykket: x < 0 ë x x 0 5 cos(x) Tips: Du kan bruke tastaturet på datamaskinen til å skrive inn lengre tekststykker, og deretter bruke TI-GRAPH LINK til å sende teksten til TI-89. Se Kapittel 18 hvis du vil vite mer om dette. Tips: Trykk på j[b] for å velge nint fra menyen Calc. Lag en brukerdefinert funksjon på formen: Func If x<0 Then Return ë x Else Return 5cos(x) EndIf EndFunc Integrer så y1(x) numerisk med hensyn på x. Definer y1(x)=func:if x<0 Then:... :EndFunc Lag en ekvivalent brukerdefinert funksjon med ett uttrykk. Bruk den innebygde TI-89 -funksjonen when. Definer y1(x)=when(x<0,ëx, 5cos(x)) Tips: Trykk på 2 for å velge fra menyen Calc (eller trykk på 2 < på tastaturet). Integrer så y1(x) med hensyn på x. Trykk på for å se et flyttallsresultat. 66 Kapittel 3: Symbolmanipulasjon

23 Hvis du får meldingen "Out-of-Memory" TI-89 lagrer mellomresultater i minnet, og sletter dem når beregningen er fullført. Avhengig av beregningens kompleksitet, kan TI-89 komme til å fylle opp minnet før et resultat er beregnet. Frigjøre minne Slett unødvendige variabler, spesielt hvis de er store. Bruk 2 som beskrevet i Kapittel 21 til å vise og slette variabler. Gjør følgende i Home-skjermbildet: Tøm loggområdet (ƒ 8) eller slett unødvendige loggpar. Du kan også bruke ƒ 9 til å redusere antall loggpar som lagres. Bruk 3 til å sette Exact/Approx = APPROXIMATE. (For resultater som har mange sifre, bruker denne innstillingen mindre minne enn AUTO og EXACT. For resultater som bare har noen få sifre, bruker denne innstillingen mer minne.) Forenkle problemer Del opp problemet. Del solve(aù b=0,var ) inn i solve(a=0,var ) og solve(b=0,var ). Løs hver del og sett samme resultatene. Hvis det er flere udefinerte variabler i en viss kombinasjon, kan du erstatte den kombinasjonen med én enkelt variabel. Hvis m og c bare forekommer som mùcñ, setter du inn e for mùcñ. I uttrykket (a+b)ñ + (a+b)ñ, setter du inn c for (a+b) og 1 ì (a+b)ñ bruker cñ + cñ. I løsningen setter du inn (a+b) for c. 1 ì cñ For uttrykk som er satt sammen over en fellesnevner, kan du erstatte summene i nevnerne med unike, nye udefinerte variabler. I uttrykket x añ +bñ + c + y añ +bñ + c, setter du inn d for añ +bñ + c og bruker x d + y. I løsninger erstatter du d med d añ +bñ + c. Sett inn kjente tallverdier for udefinerte variabler på et tidlig tidspunkt, og spesielt hvis de er enkle heltall eller brøker. Omformuler et problem slik at du unngår brøkpotenser. Utelat forholdsvis små ledd slik at du finner en tilnærming. Kapittel 3: Symbolmanipulasjon 67

24 Spesielle konstanter som brukes i symbolmanipulasjon Resultatet av en beregning kan inkludere en av de spesielle konstantene som er beskrevet i denne delen. I noen tilfeller kan du også ha behov for å oppgi en slik konstant som en del av en kommando. true, false Disse uttrykkene indikerer resultatet av en likhet eller et Boolsk uttrykk. x=x er sant for enhver verdi av x. 5<3 Tips: Trykk på for å skrive Denne notasjonen indikerer et vilkårlig heltall som representerer et hvilket som helst helt tall. Når et vilkårlig heltall forekommer flere ganger i den samme økten, blir hvert av dem nummerert fortløpende. Når antallet når 255, starter den fortløpende nummereringen av de vilkårlige heltallene igjen Bruk 2 ˆ 2:NewProb hvis du vil tilbakestille Det finnes en løsning ved hvert heltallsmultiplum av p. representerer et vilkårlig heltall, men denne notasjonen identifiserer to vilkårlige heltall. ˆ, e Tips: Trykk på * for å skrive inn ˆ. Tips: Trykk på s for å skrive inn e. Dette er ikke det samme som å skrive j [E] på tastaturet. ˆ representerer uendelig, og e representerer konstanten (basen til den naturlige logaritmen). Disse konstantene brukes ofte både i kommandoer og resultater. undef Dette indikerer at resultatet er udefinert. Matematisk udefinert ˆ (ubestemt fortegn) Ikke entydig grenseverdi 68 Kapittel 3: Symbolmanipulasjon