Formlar og likningar

Transkript

1 36

2 Formlar og likningar Mål for opplæringa er at eleven skal kunne tolke, bearbeide og vurdere det matematiske innhaldet i ulike tekstar bruke matematiske metodar og hjelpemiddel til å løyse problem frå ulike fag og samfunnsområde rekne med potensar med rasjonal eksponent og tal på standardform, bokstavuttrykk, formlar, parentesuttrykk, rasjonale og kvadratiske uttrykk med tal og bokstavar, og bruke kvadratsetningane til å faktorisere algebraiske uttrykk omforme ei praktisk problemstilling til ei likning, ein ulikskap eller eit likningssystem, løyse dette og vurdere kor gyldig løysinga er

3 .1 Grafar Aviser og tidsskrift bruker ofte grafar i staden for formlar for å vise samanhengar. Grafen nedanfor viser kor stor del av ungdomskullet som konfirmerte seg i kyrkja i åra ANTALL KONFIRMERTE I KIRKEN ,0% 89,0% 85,0% ,4% Borgerlig konfirmasjon Grafikk: Aftenposten/Adresseavisen 75,4% 70,% 68,% 68,4% 67,5% 16,1% 16,1% 0 67,7% 17,1% 16,7% 04 Ut frå grafen ser det ut som prosenten av kyrkjekonfirmerte har gått ganske jamt nedover i heile perioden. Grafen viser samtidig at prosenten av ungdomar som vel borgarleg konfirmasjon, har auka i åra etter 000. Grafar kan vere eit godt hjelpemiddel til å sjå ei utvikling over tid. Men det er lett å la seg lure av grafen ovanfor. Vi legg merke til at det i peri oden frå 1960 til 1980 er 5 år mellom kvar strek på førsteaksen. Etter 1980 er det 1 år mellom kvar strek. I 1960 var det 93,0 % av ungdomane som vart konfirmerte i kyrkja. I 1980 var det 89,0 %. Nedgangen var dermed 93,0 89,0 0 = 4,0 0 = 0, prosentpoeng per år. I 000 var det 70, % som konfirmerte seg i kyrkja. Nedgangen frå 1980 til 000 var 89,0 70, 0 = 18,8 0 = 0,94 prosentpoeng per år. Vi ser at nedgangen var mykje kraftigare i perioden enn frå 1960 til Det kan vi ikkje sjå direkte av grafen.! Dersom ein graf skal vise ei utvikling på rett måte, er det viktig at det er jamn avstand mellom tala på aksane. På grafen ovanfor er nokre av prosenttala skrivne på sjølve grafen. Det er ikkje vanleg i matematikk. Som oftast må vi lese av grafen sjølv Sinus 1BA > Formlar og likningar

4 DØME Skal ei trapp vere god å gå i, må det vere ein samanheng mellom breidda av trinnet (inntrinnet) og høgdeskilnaden mellom trinna (opptrinnet). Grafen nadenfor viser samanhengen mellom opptrinnet o i millimeter og inntrinnet i i millimeter. a) Kor stort inntrinn må vi ha dersom opptrinnet skal vere 00 mm? b) Kor stort opptrinn må vi ha dersom inntrinnet skal vere 300 mm? mm 400 i Inntrinn Opptrinn o mm Løysing: a) Vi går ut frå talet 00 mm på førsteaksen (aksen med opptrinnet). Vi kjem fram til talet 0 på andreaksen. Inntrinnet må vere 0 mm. b) Når inntrinnet er 300 mm, går vi ut frå talet 300 på andreaksen og les av som vist på figuren ovanfor. Vi kjem fram til talet 160. Opptrinnet må vere 160 mm. 39

5 ? Oppgåve.10 Bruk grafen i dømet på førre sida i denne oppgåva. a) Finn inntrinnet når opptrinnet er 150 mm. b) Kor stort må opptrinnet vere dersom inntrinnet skal vere 50 mm? Oppgåve.11 Vi skal bore i ei hard treplate og må ha passe stor skjerefart. Grafen nedanfor viser samanhengen mellom diameteren d på boren og omdreiingstalet n målt i omdreiingar per minutt (r/min). r/min n d mm a) Finn omdreiingstalet når vi bruker ein bor på 10 mm. b) Kor tjukk bor må vi bruke dersom omdreiingstalet er 5000 r/min? Oppgåve.1 Figuren nedanfor viser kor mange tonn torsk som vart fiska per år i Canada frå 1850 og fram til Sinus 1BA > Formlar og likningar

6 a) Kor mange tonn torsk vart det fiska i 1900? b) Kva for nokre år vart det fiska tonn torsk per år? c) Kva for eit år vart det fiska mest torsk? Kor mange tonn vart det fiska det året? Korleis vil du beskrive resultatet av det fisket? d) Heilt fram til slutten av 1980-åra var det ikkje lov å fiske småtorsk. Korleis gjekk det då det forbodet vart oppheva? Oppgåve.13 I 005 lånte ein bilmekanikar bilen til ein kunde og prøvekøyrde han på offentlege vegar. Grafen nedanfor viser farten til bilen på forskjellige tidspunkt. a) Kor lenge varde køyreturen? b) Kva var den høgaste farten? c) Kor mange gonger stoppa mekanikaren heilt? d) Omtrent kor stor var gjennomsnittsfarten? e) Omtrent kor lang var køyreturen? f) Kva konsekvensar trur du denne køyreturen fekk for mekanikaren? 41

7 . Likningar Å løyse likninga x + = 7 er det same som å finne verdiar for talet x slik at høgre og venstre sida av likskapsteiknet får same verdi. Det er det same som å finne ut kva for eit tal som passar i den tomme ruta her: + = 7 Talet 5 er det einaste som passar. 5 + = 7 Likninga x + = 7 har då løysinga x = 5. Mange enkle likningar kan vi løyse på denne måten utan å bruke reknereglar for likningar. DØME Løys likningane utan å bruke reknereglar for likningar. a) 3x = 1 b) x + 1 = 5 Løysing: a) Vi lagar ei rute og ser kva for eit tal som passar. 3x = = 1 x = 4 b) x + 1 = = 5 x =? Oppgåve.0 Løys likningane utan å bruke reknereglane for likningar. a) x + 5 = 1 b) x 3 = 5 c) x = 8 d) 4x = 1 Oppgåve.1 Løys likningane utan å bruke reknereglane for likningar. a) x 1 = 3 b) 3x + 1 = 10 c) 5x 1 = 14 d) 6x 4 = Sinus 1BA > Formlar og likningar

8 Likninga x + = 7 kan vi òg løyse på denne måten: Ettersom tala på begge sidene av likskapsteiknet skal vere like, må vi kunne trekkje frå på kvar side av likskapsteiknet og framleis ha to like tal. x + = 7 x = 7 Vi ser at å trekkje frå på kvar side i likninga x + = 7 svarar til å flytte over på høgre sida og samtidig skifte forteikn på talet. På tilsvarande måte kan vi flytte alle ledd over på motsett side av likskapsteiknet når vi samtidig skiftar forteikn på ledda. Når vi løyser likningar, kan vi bruke desse reknereglane: Vi kan flytte eit ledd over på den andre sida av likskapsteiknet dersom vi samtidig skiftar forteikn på leddet.? x + = 7 3x = x + 5 x = 7 3x x = 5 Vi kan multiplisere eller dividere med det same talet på begge sidene av likskapsteiknet dersom talet ikkje er null. 1 x = x = 4 1 x = x = 4 Når vi har løyst ei likning, kan vi setje prøve på svaret. Vi set då løysinga inn i likninga og kontrollerer at begge sidene av likskapsteiknet har same verdien. DØME Løys likningane og set prøve på svaret. a) 5x + 3 = x 11 b) 1 x + 3 = 3 4 x 1 43

9 Løysing: a) Vi bruker reknereglane for likningar. 5x + 3 = x 11 5x + x = x = 14 7x 7 = 14 7 x = Flytt alle ledd med x over på venstre sida og alle tal over på høgre sida. Trekk saman ledda på kvar side. Divider med talet framfor x. Vi kontrollerer løysinga x = ved å setje prøve. Venstre side: 5x + 3 = 5 ( ) + 3 = = 7 Høgre side: x 11 = ( ) 11 = 4 11 = 7 Venstre og høgre side er like. Løysinga er altså rett. b) Samnemnaren for brøkane 1 og 3 er 4. Vi multipliserer med 4 4 på begge sidene av likskapsteiknet for å få bort brøkane. 1 x + 3 = 3 4 x x = x 4 1 Multipliser alle ledda med 1 x + 1 = 3x 4 x 3x = 4 1 x = 16 x = 16 1 samnemnaren, som her er 4. Flytt over ledd og trekk saman ledda på kvar side. Når x = 16, er x = 16. Vi kontrollerer løysinga x = 16 ved å setje prøve. 1 Venstre side: x + 3 = = = 11 3 Høgre side: 4 x 1 = = 1 1 = 11 4 Venstre og høgre side er like. Løysinga er altså rett.? Oppgåve. Løys likningane og set prøve på svaret. a) x + 3 = 7 b) x + 3 = 11 c) x = x + 3 d) 4x 1 = x + 7 Oppgåve.3 Løys likningane. a) 3x 1 = x + 4 b) 5x + 1 = x 3 c) x + 1 = x + 7 d),5x + = 5x Sinus 1BA > Formlar og likningar

10 .3 Likningar med brøkar Når vi skal løyse ei likning som inneheld brøkar, kan det ofte svare seg å bruke denne framgangsmåten: 1 Multipliser med samnemnaren på begge sidene av likskapsteiknet dersom det finst brøkar. Trekk saman ledda på begge sidene av likskapsteiknet. 3 Samle alle ledda med den ukjende på den venstre sida og alle andre ledd på den høgre sida. 4 Trekk saman ledda på begge sidene av likskapsteiknet. 5 Finn løysinga ved å dividere med det talet som står framfor den ukjende. DØME Løys likninga x x 3 = x Løysing: x x 3 = x x 6 3 x 3 6 = x x x = 6x + 7 x = 6x + 7 x + 6x = 7 Tala viser til nummera i framgangsmåten ovanfor. 6 6 Samnemnaren er 6. 7x = 7 7x 7 = 7 7 Vi dividerer med 7. x = 1 1? Oppgåve.30 Løys likningane og set prøve på svaret. a) 1 3 x + = 1 x 1 b) x = x 1 x c) = x d) 1 x = 4 + x 5 5 I nokre likningar finn vi den ukjende i nemnaren. I slike tilfelle bruker vi reknereglane slik vi nettopp har gjort, men då må vi alltid kontrollere den løysinga vi kjem fram til. Nokre gonger kan vi då få null i ein nemnar. Då kan vi ikkje bruke løysinga. 45

11 DØME Løys likningane. a) 5 x + 3 = 1 x + 1 b) x 1 x = 3 1 x Løysing: a) Vi multipliserer med x på begge sidene av likskapsteiknet. 5 x + 3 = 1 x + 1 x 5 x x + 3x = 1 x x + x 5 + 3x = 1 + x 3x x = 1 5 x = 4 x = x = gir ikkje null i nokon nemnar og er dermed ei løysing. b) Samnemnaren er 3x. Vi multipliserer derfor med 3x på begge sidene av likskapsteiknet. x 1 = x 3 1 x 3x x 1 3x = x 3 3x 1 x 3x (x 1) 3 = x 3 3x 3 = x 3 3x x = x = 0 x = 0 gir null i to av nemnarane i likninga i oppgåva. Då kan vi ikkje setje inn x = 0. Likninga har inga løysing.? Oppgåve.31 Løys likningane. a) c) x + 3 = 0 x 1 x + = 1 x d) b) 5 x 3 = 8 x 1 x + = 3 x Sinus 1BA > Formlar og likningar

12 .4 Formlar Dersom ei trapp skal vere god å gå i, må det vere ein samanheng mellom inntrinnet i og opptrinnet o. o i Vi kan bruke ein formel som gir storleiken på inntrinnet når vi kjenner opptrinnet. Det finst flere slike formlar. Ein formel som er mykje brukt, er trappeformelen i = 60 o Når opptrinnet o er i millimeter, gir denne formelen inntrinnet i i millimeter. DØME Bruk trappeformelen til å finne inntrinnet når opptrinnet er a) 150 mm b) 17 cm Løysing: a) Her er o = 150 mm. Inntrinnet i millimeter blir då i = 60 o = = = 30 Inntrinnet bør vere 30 mm. b) Vi må først gjere opptrinnet om til millimeter. o = 17 cm = 170 mm Inntrinnet i millimeter blir då i = 60 o = = = 80 Inntrinnet bør vere 8 cm.? Oppgåve.40 a) Kor stort bør inntrinnet i ei trapp vere når opptrinnet er 160 mm? b) Kor stort bør inntrinnet i ei trapp vere når opptrinnet er 1,3 dm? 47

13 ? Oppgåve.41 Du skal lage ei rettløpstrapp som skal vere 300 mm lang (alle inntrinna skal vere 300 mm til saman). Etasjehøgda er 600 mm (alle opptrinna skal vere 600 mm til saman). a) Lag ei skisse av ei slik trapp. Legg merke til at det blir eitt opptrinn meir enn det er inntrinn. b) Finn ut kor mange opptrinn du må ha for at opptrinnet o og inntrinnet i skal passe best mogleg med trappeformelen. Prøv deg fram. I alle hus er det varmetap gjennom yttervegger og vindaugo. La Q vere den varme - mengda som på eitt sekund passerer gjennom 1 m av ein vegg eller eit vindauga. Måleininga for Q er watt per kvadratmeter (W/m ). Varmemengda Q heng saman med skilnaden t mellom innetemperaturen og utetemperaturen. Vi har denne formelen: Q = u t Talet u kallar vi u-verdien til veggen eller vindauga. Denne u-verdien fortel kor godt isolert veggen eller vindauga er. Talet Q er varmetapet per kvadratmeter vegg. Dersom veggen har arealet A, er samla varmetap P gjennom veggen gitt ved formelen P = Q A Varmetapet P har måleininga watt (W). DØME I eit rom er det ein yttervegg på 10 m og eit vindauga på 1,0 m. Veggen har ein u-verdi på 0,5 W/(m grad), og vindauga har ein u-verdi på,0 W/(m grad). Innetemperaturen er 1 C, og utetemperaturen er 7 C. a) Finn varmetapet gjennom veggen. b) Finn varmetapet gjennom vindauga. c) Kor mykje varme må vi bruke for å halde romtemperaturen på 1 C? Vi reknar ikkje med nokon varmegjennomgang gjennom innervegger, tak og golv Sinus 1BA > Formlar og likningar

14 Løysing: a) Temperaturskilnaden i gradar er t = 1 ( 7) = = 8 Varmetapet Q gjennom veggen målt i watt per kvadratmeter er Q = u t = 0,5 8 = 7 Varmetapet gjennom veggen er 7 W/m. Samla varmetap P gjennom veggen blir P = Q A = 7 W/m 10 m = 70 W b) Varmetapet Q gjennom vindauga målt i watt per kvadratmeter er Q = u t =,0 8 = 56 Det er 56 W/m. Samla varmetap P gjennom vindauga blir P = Q A = 56 W/m 1,0 m = 56 W c) Det samla varmetapet frå rommet er 70 W + 56 W = 16 W. Om ikkje temperaturen skal falle, må vi tilføre rommet 16 W. Vi treng 16 W for å halde temperaturen på 1 C.? Oppgåve.4 I ei stove er det 30 m yttervegg og 8,0 m vindaugo. Veggene har ein u-verdi på 0,0 W/(m grad), og vindaugo har ein u-verdi på,5 W/(m grad). Inne temperaturen er 0 C, og utetemperaturen er 15 C. a) Finn varmetapet gjennom ytterveggene. b) Finn varmetapet gjennom vindaugo. c) Kor mykje varme må vi bruke for å halde temperaturen i stova på 0 C? Vi reknar ikkje med nokon varmegjennomgang gjennom innervegger, tak og golv. Når vi borar, er skjerefarten den farten sponen har idet han fer bort frå arbeidsstykket. Vi finn skjerefarten v målt i meter per minutt (m/min) ved hjelp av formelen v = d n 1000 der d er diameteren i millimeter til boren og n er talet på omdreiingar per minutt (r/min). 49

15 DØME Når vi borar i kopar med ein hurtigstålbor, skal skjerefarten vere mellom 30 m/min og 70 m/min. Vi borar no med ein bor der diameteren d = 30 mm og talet på omdreiingar n = 750 r/min. Gir dette ein passe stor skjerefart? Løysing: Vi reknar ut skjerefarten i meter per minutt: v = d n = = Skjerefarten er 71 m/min. Skjerefarten er litt for høg.? Oppgåve.43 Når vi borar med ein hardmetallbor i herda stål, må skjerefarten vere 8 1 m/min. Vi bruker ein hardmetallbor der diameteren er 8 mm. Omdreiingstalet er 400 r/min. a) Finn skjerefarten. b) Er dette ein passe stor skjerefart? Oppgåve.44 Når vi borar med ein hurtigstålbor i sprø massing, må skjerefarten vere m/min. Vi bruker ein hurtigstålbor der diameteren er 5 mm. Omdreiings talet er 750 r/min. Gir dette ein passe stor skjerefart?.5 Praktisk bruk av likningar Trappeformelen gir denne samanhengen mellom inntrinnet i og opptrinnet o: i = 60 o Når vi set inn opptrinnet o i millimeter, gir denne formelen inntrinnet i i millimeter Sinus 1BA > Formlar og likningar

16 DØME Snikkar Andersen skal lage ei trapp der inntrinnet skal vere 300 mm. Kor stort bør opptrinnet vere? Løysing: Formelen for inntrinnet i millimeter er i = 60 o Vi set i = 300 og reknar ut o. 300 = 60 o o = 60 o = o = 30 o = 30 o = 160 Opptrinnet bør vere 160 mm.? Oppgåve.50 Tor M. Hamaren skal lage ei trapp der inntrinnet skal vere 34 cm. Finn opptrinnet i centimeter. Oppgåve.51 Snikkar Tom E. Stokken lagar ei trapp der inntrinnet er 0,1 m. a) Kor stort opptrinn bør det vere i denne trappa? b) Kva meiner du om denne trappa? DØME I eit lagerrom utan vindauga er det i alt 56 m yttervegg. Det er ikkje noko varmetap gjennom taket og golvet. Ein vinterdag er utetemperaturen 1 C. Vaktmeisteren finn ut at han må tilføre rommet 370 W varme for å halde innetemperaturen på 18 C. a) Finn varmetapet Q per kvadratmeter vegg. b) Finn u-verdien for veggen. 51

17 Løysing: a) Varmetapet gjennom 56 m vegg er 370 W. Varmetapet per kvadratmeter blir då Q = 370 W = 6,6 W/m 56 m b) Temperaturskilnaden t mellom inne- og utetemperaturen målt i gradar er t = 18 ( 1) = = 30 Formelen for varmetapet per kvadratmeter er Q = u t Vi set Q = 6,6 og t = 30. Det gir denne likninga: 6,6 = u 30 u 30 = 6,6 u 30 = 6, u = 0, Vi let uttrykka byte side. Veggen har u-verdien 0, W/(m grad).? Oppgåve.5 I eit lagerrom utan vindauga er det i alt 10 m yttervegg. Det er ikkje noko varme tap gjennom taket og golvet. Ein vinterdag er utetemperaturen 3 C. Vi må tilføre rommet 400 W varme for å halde innetemperaturen på C. a) Finn varmetapet Q per kvadratmeter vegg. b) Finn u-verdien for veggen. Oppgåve.53 I ei stove er det mange store vindaugsflater. Til saman er det 1,0 m vindaugo. Vi reknar med at 80 % av varmetapet frå dette rommet er gjennom vindaugo. Vindaugo har u-verdien,5 W/(m grad). Ein dag må vi bruke 1500 W med varme for å halde innetemperaturen på C. a) Finn varmetapet Q gjennom vindaugo. b) Finn utetemperaturen denne dagen. 5 5 Sinus 1BA > Formlar og likningar

18 På side 49 såg vi at skjerefarten målt i meter per minutt er gitt ved formelen v = d n 1000 der d er diameteren i millimeter og n er omdreiingane per minutt (r/min). DØME Vi skal frese ei stålplate med ein fres som har diameteren 5 mm. Skjerefarten skal vere 0 m/min. Finn det omdreiingstalet som vi må stille inn fresen på. Løysing: Først snur vi formelen for skjerefarten for å få det ukjende omdreiingstalet n på den venstre sida av likskapsteiknet. Deretter set vi inn v = 0, d = 5 og = 3,14 og finn omdreiingstalet n. d n = v ,14 5 n = ,5 n 1000 = ,5 n = ,5 n = ,5 78,5 n = 55 Vi stiller inn fresen på 55 r/min.? Oppgåve.54 Vi skal bore eit hol i ei koparplate. Diameteren i holet skal vere 1 mm, og skjerefarten bør vere 50 m/min. Kva for eit omdreiingstal må vi stille inn boren på? Oppgåve.55 Vi skal bore i ei hard treplate med ein bor som har omdreiingstalet 5000 r/min. Skjerefarten bør vere mellom 100 m/min og 150 m/min. a) Finn diameteren på den største boren vi kan bruke. b) Finn diameteren på den minste boren vi kan bruke. 53

19 .6 Omforming av formlar Trappeformelen gir denne samanhengen mellom inntrinnet i og opptrinnet o: i = 60 o Snikkar Andersen vil gjerne ha ein formel som kan gi opptrinnet o når han kjenner inntrinnet i. Han går fram på denne måten: i = 60 o i + o = 60 o = 60 i o = 60 i o o = 60 i i Andersen kan bruke formelen ovanfor når han skal rekne ut opptrinnet. DØME Finn opptrinnet i ei trapp der inntrinnet er 50 mm. Løysing: Opptrinnet i millimeter blir o = 60 i = Opptrinnet må vere 185 mm. = 370 = 185? Oppgåve.60 Bruk formelen for opptrinnet o. a) Finn opptrinnet når inntrinnet er 30 mm. b) Finn opptrinnet når inntrinnet er 80 mm. Oppgåve.61 Snikkar Andersen har ein mobiltelefon. Dersom han ein månad ringjer i x minutt, blir utgiftene i kroner U = 0,89 x a) Finn telefonutgiftene når han ein månad ringjer i 1 timar. b) Kor mange minutt har Andersen ringt dersom utgiftene er 500 kr? c) Finn ein formel for ringjetida x. d) Bruk formelen i oppgåve c til å kontrollere svaret i oppgåve b Sinus 1BA > Formlar og likningar

20 DØME a) Finn ein formel som vi kan bruke til å finne u-verdien for ein vegg når vi kjenner varmetapet Q per kvadratmeter og skilnaden t mellom inne- og utetemperaturen. b) Varmetapet gjennom ein vegg på 140 m er 1680 W når utetemperaturen er C og innetemperaturen er C. Bruk mellom anna formelen i oppgåve a til å finne u-verdien for veggen. Løysing: a) Formelen for varmetapet per kvadratmeter er Q = u t der t er skilnaden på inne- og utetemperaturen. Vi let uttrykka skifte side: u t = Q u t t = Q t u = Q = t b) Først finn vi varmetapet Q per kvadratmeter. Q = 1680 W = 1 W/m 140 m Deretter finn vi skilnaden på inne- og utetemperaturen målt i gradar. t = = 0 Vi set inn Q = 1 og t = 0 i formelen i oppgåve a. u = Q t = 1 0 = 0,6 Veggen har u-verdien 0,6 W/(m grad).? Oppgåve.6 Varmetapet gjennom eit vindauga på 6,0 m er 480 W når innetemperaturen er 3 C og utetemperaturen er C. Bruk formelen ovanfor til å finne u-verdien for dette vindauga. 55

21 ? Oppgåve.63 a) Finn ein formel for skilnaden t på innetemperaturen og utetemperaturen når vi kjenner varmetapet Q per kvadratmeter og u-verdien for veggen. b) I eit lagerbygg utan vindauga er det 40 m med tak og vegger. Både taket og veggene har u-verdien 0,50 W/(m grad). I bygget er det ein omn som gir 3000 W. Finn innetemperaturen t i når utetemperaturen er 1 C. DØME a) Bruk formelen for skjerefarten v til å finne ein formel for omdreiingstalet n når vi kjenner diameteren d og skjerefarten v. b) Finn omdreiingstalet når vi bruker ein bor på 8 mm og skjerefarten skal vere 40 m/min. Løysing: a) Først snur vi formelen, og deretter gongar vi med 1000 på begge sidene av likskapsteiknet. d n = v d n 1000 = v d n = 1000v d n d = 1000v d n = 1000v d b) Når diameteren d = 8 mm og skjerefarten v = 40 m/min, må talet på omdreiingar per minutt vere n = 1000v = = 159 d 8? Oppgåve.64 Bruk formelen ovanfor til å finne det omdreiingstalet vi må stille inn boren på når diameteren i holet skal vere 8 mm og skjerefarten bør vere 50 m/min. Oppgåve.65 a) Bruk formelen for skjerefarten til å finne ein formel for diameteren d. b) Når vi borar i manganstål med ein hardmetallbor, må skjerefarten vere mellom 10 m/min og 0 m/min. Vi borar med 1000 r/min. Finn diameteren på den minste og på den største boren vi då kan bruke Sinus 1BA > Formlar og likningar

22 .7 Ulikskapar I mange praktiske samanhengar har vi bruk for å vite om ein storleik er større enn eller mindre enn ein annan storleik. I matematikken kallar vi slike problem ulikskapar. Vi har fire forskjellige ulikskapssymbol. Det er < (mindre enn), (mindre enn eller lik), > (større enn) og (større enn eller lik). Når vi skriv x < 3, betyr det at x er eit tal som er mindre enn 3. Uttrykket x 5 fortel at x er eit tal som er større enn eller lik 5. Vi legg merke til at opninga i ulikskapsteiknet alltid peikar mot det største talet. Ulikskapar løyser vi omtrent som likningar. Vi har desse reknereglane: Vi kan leggje til eller trekkje frå det same talet på kvar side av ulikskapsteiknet. Vi kan flytte eit ledd over på den andre sida av ulikskapsteiknet dersom vi skiftar forteikn på leddet. Vi kan multiplisere eller dividere med eit tal som ikkje er null, på begge sidene av ulikskapsteiknet. Dersom talet er negativt, må vi snu ulikskapsteiknet. DØME Løys ulikskapane. a) 3x + 4 < x + 8 b) x (4 x) 5x + Løysing: a) 3x + 4 < x + 8 3x x < 8 4 x < 4 x < 4 x < b) x (4 x) 5x + x 8 + x 5x + x + x 5x + 8 x 10 x 10 x 5 Vi dividerer med på begge sidene av ulikskapsteiknet. Då må vi snu teiknet. 57

23 ? Oppgåve.70 Løys ulikskapane. a) 3x + > 8 b) x + 5 > x 1 c) x 3 < 3x 1 d) (x 1) 3(x 6) Oppgåve.71 Løys ulikskapane. a) x 5 > 4x + 1 b) (3 x) < + 3(x 1) c) + 3x 6(1 x ) > 0 d) 3 5 x < 1 3 x e) 5 x 1 6 > x Vi har til no arbeidt med ferdig oppsette ulikskapar. I praktiske oppgåver må vi stille opp ulikskapane sjølv. DØME I Øverbygda er det 10 cm snø i påska. Etter påske minkar snømengda med 4 cm per dag. Kva tid er det mindre enn 40 cm snø i Øverbygda? Løysing: Etter x dagar er snømengda s målt i centimeter gitt ved formelen s = 10 4x Vi skal finne ut kva tid snømengda er mindre enn 40 cm. Det er det same som at s < 40 Ettersom s = 10 4x, gir det ulikskapen 10 4x < 40 4x < x < 80 4x 4 > 80 4 x > 0 Når det har gått meir enn 0 dagar, er snømengda mindre enn 40 cm Sinus 1BA > Formlar og likningar

24 ? Oppgåve.7 La x vere lengda av ein drosjetur målt i kilometer. Prisen U i kroner er gitt ved U = 9,40x + 0 a) Kor langt kan vi køyre dersom prisen skal vere mindre enn 55 kr? b) Kor langt kan vi køyre dersom prisen skal vere større enn 30 kr? Oppgåve.73 Temperaturen i ei bestemt termosflaske er 86 C og fell med,5 gradar per time. a) Når er temperaturen over 61 C? b) Når er temperaturen under 71 C? Oppgåve.74 Anne og Einar er på tur. Anne har med seg 100 kr og bruker 60 kr per dag. Einar har med seg 1000 kr og bruker 40 kr per dag. Kva tid har Einar meir pengar enn Anne? Oppgåve.75 Løys ulikskapane. a) 8 (a 1 c) ) < 3 a 3( a ) b) 6 4(t 8) + t > 34 6t 3 s + 1 4(s 1) < 1.8 Likningssett Mari har ein mobiltelefon som ho bruker mykje. Ho betaler 150 kr i fast avgift per månad og 0,89 kr per minutt når ho ringjer. Dersom ho ein månad ringjer i x minutt, blir utgiftene y kroner, der y = 0,89 x Dersom ho ein månad ikkje ringjer, er x = 0. Då er utgiftene i kroner y = 0, = 150 Dersom ho ein månad ringjer i 400 minutt, er utgiftene i kroner denne månaden y = 0, = 506 Vi samlar utrekningane i ein tabell og teiknar deretter ein graf som viser utgiftene. Sjå den raude linja på figuren på neste side. 59

25 x x y y kr 600 y y = 1,39x + 50 y = 0,89x x minutt Mari tykkjer at telefonrekninga blir stor. Ho vurderer derfor eit anna abonnement der ho betaler 50 kr per månad i fast avgift og 1,39 kr per minutt når ho ringjer. Dersom ho ein månad ringjer i x minutt, blir utgiftene y i kroner y = 1,39 x + 50 Kor mykje må ho ringje per månad for at det skal løne seg å ha det første abonnementet? Vi lagar ein tabell (sjå øvst på sida) og teiknar ei blå linje saman med den raude linja ovanfor. Avlesinga på figuren ovanfor viser at begge abonnementa kostar like mykje dersom Mari ringjer i 00 minutt per månad. Dersom ho ringjer meir enn det, svarar det seg å ha abonnementet med høgast fast avgift. Vi kan òg finne ut ved rekning kor mykje ho må ringje for at dei to abonnementa skal koste like mykje. Utgiftene y er like for dei to abonnementa dersom 1,39x + 50 = 0,89x ,39x 0,89x = ,50x = 100 x = 100 0,50 = 00 Dei to abonnementa kostar like mykje dersom Mari ringjer i 00 minutt per månad. Når vi skal finne utgiftene, set vi inn i ei av likningane. y = 1, = 38 Begge abonnementa kostar då 38 kr Sinus 1BA > Formlar og likningar

26 Vi har no løyst likningssettet y = 0,89x og y = 1,39x + 50 både grafisk og ved rekning.!? Å løyse eit likningssett med to ukjende er det same som å finne verdiar for x og y som passar i begge likningane samtidig. Oppgåve.80 Per er 140 cm høg og veks 5 cm per år. Om x år er høgda i centimeter gitt ved formelen y = 5x a) Kor høg er Per om 5 år? b) Høgda i centimeter til Anne om x år er gitt ved formelen y = x Kor høg er Anne no, og kor mykje veks ho per år? c) Lag eit koordinatsystem og teikn linjer som viser høgda til Per og høgda til Anne dei neste 10 åra. d) Bruk linjene til å finne ut kva tid Per og Anne er like høge. e) Finn ved rekning kva tid Per og Anne er like høge. Oppgåve.81 Ved lønsforhandlingane i eit datafirma får ein seljar velje mellom to lønstilbod: 1) Ei fast månadsløn på kr pluss 500 kr for kvar datamaskin han sel. ) Ei fast månadsløn på kr pluss 50 kr for kvar datamaskin han sel. a) Set opp to formlar for løna når han sel x datamaskinar per månad. b)finn grafisk kor mange maskinar han må selje for at dei to tilboda skal vere like gode. Kva er månadsløna i dette tilfellet? Oppgåve.8 Løys likningssetta grafisk og ved rekning. a) y = x + 1 b) y = x + 4 c) y = 1 x 4 y = x + 4 y = x y = 3 x No skal vi løyse likningssettet 5x y = 4 x + y = 5 ved rekning. Då bruker vi ein metode som vi kallar innsetjingsmetoden. Først finn vi eit uttrykk for anten x eller y i ei av likningane og set dette uttrykket inn i den andre likninga. Her vel vi å finne eit uttrykk for x frå den andre likninga. x + y = 5 x = 5 y 61

27 Deretter set vi inn dette uttrykket for x i den første likninga: 5x y = 4 5 (5 y) y = 4 5 5y y = 4 7y = 4 5 7y = 1 Divider med 7. y = 3 Til slutt finn vi x ved å setje inn i uttrykket x = 5 y. x = 5 y = 5 3 = Løysinga blir x = og y = 3. DØME Løys likningssettet x y = 8 3x + 4y = 1 Løysing: Vi vel å finne eit uttrykk for y frå den første likninga. x y = 8 y = x + 8 Multipliser alle ledda med 1. y = x 8 Dette uttrykket for y set vi inn i den andre likninga. 3x + 4y = 1 3x + 4(x 8) = 1 3x + 8x 3 = 1 11x = 33 x = 3 Vi finn y ved å setje x = 3 inn i uttrykket for y. y = x 8 = 3 8 = 6 8 = Løysinga er x = 3 og y =.? Oppgåve.83 Løys likningssetta ved rekning. a) x + y = 5 b) 3x + 4y = 1 c) x y = 4 d) x + y = x + y = 6x + y = 7 3x y = 3 1 x + y = Sinus 1BA > Formlar og likningar

28 SAMANDRAG Reknereglar for likningar Vi kan trekkje frå eller leggje til det same talet på begge sidene av likskapsteiknet. Vi kan multiplisere eller dividere med det same talet på begge sidene av likskapsteiknet dersom talet ikkje er null. Vi kan flytte eit ledd over på den andre sida av likskapsteiknet dersom vi samtidig skiftar forteikn på leddet. Framgangsmåte når vi løyser likningar 1 Multipliser med samnemnaren på begge sidene av likskapsteiknet dersom det finst brøkar. Trekk saman ledda på begge sidene av likskapsteiknet. 3 Samle alle ledda med den ukjende på den venstre sida og alle andre ledd på den høgre sida. 4 Trekk saman ledda på begge sidene av likskapsteiknet. 5 Finn løysinga ved å dividere med det talet som står framfor den ukjende. Reknereglar for ulikskapar Vi kan leggje til og trekkje frå det same talet på begge sidene av ulikskapsteiknet. Vi kan flytte eit ledd over på den andre sida av ulikskapsteiknet dersom vi skiftar forteikn på leddet. Vi kan multiplisere eller dividere med eit tal som ikkje er null, på begge sidene av ulikskapsteiknet. Dersom talet er negativt, må vi snu ulikskapsteiknet. Innsetjingsmetoden Når vi skal løyse eit likningssett ved rekning, finn vi eit uttrykk for x eller y i ei av likningane. Dette uttrykket set vi inn i den andre likninga. Det gir oss ei likning med éin ukjend som vi løyser. 63

29 Formlar og likningar KATEGORI 1.1 Grafar Oppgåve.110 Petter tek ofte drosje. Grafen nedanfor viser samanhengen mellom prisen i kroner på ein drosjetur og lengda på turen målt i kilometer. kr y km a) Ein dag køyrde han 16 km med drosje. Kva måtte han betale for den turen? b) Omtrent kor mange kilometer kan han køyre for 300 kr? x Oppgåve.111 Gunnar målar hus om sommaren. På grafen nedanfor kan du lese av kor mange liter måling han treng når han kjenner arealet av veggene til eit hus. liter Volum Areal m a) Kor mange liter måling treng han til 90 m? b) Kor stort areal kan han måle med 10 liter måling? c) Kor mange kvadratmeter kan han måle med éin liter måling? 195

30 Oppgåve.11 Frida har mobiltelefon. På ein graf kan ho lese av utgiftene per månad til bruk av telefonen når ho berre bruker han til samtalar. kr y min a) Ein månad snakka ho samanlagt i to timar. Kor store var telefonutgiftene? b) Ein annan månad hadde ho ikkje råd til å bruke meir enn 150 kr. Kor mange minutt kunne ho då snakke til saman? Oppgåve.113 Grafen viser fuktgraden i prosent i eit parti trematerial som er lagt til tørk. % Fukt timar a) Kor stor er fuktgraden etter 40 timar? b) Når er fuktgraden 15 %? c) Kva var fuktgraden då tørkinga begynte? d) Etter 60 timar er det 10 kg fukt igjen i materialen. Kor mange kilogram fukt var det i materialen då tørkeprosessen tok til? x Tørketid Oppgåve.114 Lise skal køyre langt med bilen og fyller bensintanken heilt opp før start. Grafen viser korleis bensinmengda minkar med avstanden. liter y mil a) Kor mykje tek bensintanken? b) Kor mykje er det att på tanken når Lise har køyrt 50 mil? c) Kor langt har ho køyrt når det er 40 liter bensin att? d) Kor langt kan Lise køyre før tanken er tom?. Likningar Oppgåve.10 Løys likningane. a) x 3 = 1 b) x + = 4 x c) 3 + x = 1 d) 5 x = x 4 Oppgåve.11 Løys likningane. a) 4 + 4x = x + 8 b) 5x 6 = 4x 5 c) 1 x = x + 1 d) 3 3x = x 5 Oppgåve.1 Løys likningane. a) x + x = 3 x b) 4 5x = x 14 c) 3x 1 = 4x + 4 d) x + 3x = 0 x 196 Sinus 1BA > Formlar og likningar

31 Oppgåve.13 Løys likningane. a) x = 4x 10 b) 3x 8 = 4 + x 6 c) x + x = x Likningar med brøkar Oppgåve.130 Løys likningane. a) 1 x = 1 c) b) 3 x + 3 = x 5 x = 1 d) 1 x = 6 3 x Oppgåve.131 Løys likningane. a) 1 + = 3 x b) 1 x = 5 x c) 1 3 x = d) x = 3.4 Formlar Oppgåve.140 Formelen for arealet A av eit rektangel er A = g h. g Rekn ut arealet når a) g = 6 m og h = 8 m b) g = 10 mm og h = 8 mm c) g = 0, cm og h = 3,1 cm h Oppgåve.141 La s vere den strekninga i kilometer som du har køyrt med bil på t timar. Dersom du held jamn fart på 60 km/h, er s = 60 t a) Kor langt køyrer du på timar? b) Kor langt køyrer du på 3,5 timar? Oppgåve.14 Bruk trappeformelen på side 47 til å finne inntrinnet når opptrinnet er a) 180 mm b) 148 mm c) 18,5 cm Oppgåve.143 Ein snikkar bruker denne samanhengen mellom inntrinnet i og opptrinnet o målt i millimeter for ei trapp: i = 630 o o Finn inntrinnet når opptrinnet er a) 145 mm b) 17, cm Oppgåve.144 Eit rom har ein yttervegg med ein u-verdi på 0,35 W/(m grad). a) Finn varmetapet per kvadratmeter når innetemperaturen er 0 C og utetemperaturen er 4 C. b) Kor stort er det totale varmetapet gjennom veggen når arealet av veggen er 14 m? c) Kor mykje varme må vi bruke for å halde romtemperaturen på 0 C? Vi reknar ikkje med nokon varmegjennomgang gjennom innervegger. i 197

32 Oppgåve.145 Finn varmetapet Q per kvadratmeter gjen nom ein vegg når u = 0,35 W/(m grad), inne temperaturen er 1 C og utetemperaturen er 5 C. Oppgåve.146 Guri har eit mobilabonnement der ho betaler fast 59 kroner i månaden og ein minuttpris på 1,49 kr for samtalar. Dersom ho ein månad berre bruker mobiltelefonen til samtalar, er utgiftene U i kroner for x minutt med samtale U = 1,49x + 59 a) Kor store er utgiftene når ho ein månad snakkar i telefonen i 00 minutt? b) Kor store er utgiftene når ho ein månad snakkar i telefonen i 350 minutt? Oppgåve.147 For ein bor med ein diameter på 15 mm er formelen for skjerefarten v (m/min) v = 0,047 n der n er omdreiingstalet (r/min). a) Kva er skjerefarten ved 1000 omdreiingar per minutt? b) Kva er skjerefarten når omdreiingstalet er dobbelt så høgt som i a? c) Kva er omdreiingstalet når skjerefarten er 30 m/min? Prøv deg fram..5 Praktisk bruk av likningar Oppgåve.150 Formelen for inntrinnet i millimeter er i = 60 o. a) Kor stort er opptrinnet o når inntrinnet i er 00 mm? b) Kor stort er opptrinnet når inntrinnet er 18,0 cm? Oppgåve.151 Formelen for arealet A av eit rektangel er A = g h, der g er lengda av grunnlinja og h er høgda. a) Kor lang er grunnlinja når A = 30 cm og h = 7,5 cm? b) Finn høgda når A =,4 cm og g = 4,7 cm. Oppgåve.15 For ein bor med diameter på 10 mm er formelen for skjerefarten v (m/min) v = 0,0314 n der n er omdreiingstalet (r/min). a) Kva er skjerefarten ved 1000 omdreiingar per minutt? b) Kva er omdreiingstalet når skjerefarten er 35 m/min? Oppgåve.153 Folkemengda i verda var i 000 på 6,1 milliardar. Somme meiner at x år etter 000 vil folkemengda i milliardar vere F = 6,1 + 0,1 x a) Finn ved rekning kva tid folkemengda er 7,6 milliardar. b) Finn ved rekning kva tid folke mengda er dobla samanlikna med i 000. Oppgåve.154 Inga tek av og til drosje på dagtid. Prisen T i kroner for ein drosjetur på x kilometer er T = 13,70x + 31 a) Finn ved rekning kor lang drosjeturen er når prisen er 168 kr. b) Finn ved rekning kor lang drosjeturen er når prisen er 305 kr. 198 Sinus 1BA > Formlar og likningar

33 Oppgåve.155 Arealet av ytterveggen i ei kjellarbu er 6,0 m. Varmetapet for heile veggen er 75 W. a) Kor stort er varmetapet per kvadratmeter? b) Ytterveggen har ein u-verdi på 0,35 W/(m grad). Kor stor er skilnaden t mellom innetemperaturen og ute temperaturen? Oppgåve.156 Ola drikk ofte ein kopp varm te om morgonen. Når han lagar te, bruker han alltid varmt vatn med temperaturen 88 C. Ola let teen stå til avkjøling i koppen, og etter t minutt er temperaturen i teen målt i celsiusgradar T = 88 t a) Kva er temperaturen i teen etter 3,5 minutt? b) Ola liker best å drikke te med temperaturen 70 C. Finn ved rekning kor lenge han då må vente før han drikk teen. c) Ein dag gløymde han heile teen, og temperaturen i teen fall til 5 C. Finn ved rekning kor lang tid det då hadde gått frå han helte på vatnet..6 Omforming av formlar Oppgåve.160 Samanhengen mellom inntrinn og opptrinn i ei trapp er i = 60 o. a) Finn ein formel for opptrinnet o. b) Bruk formelen i a til å rekne ut opptrinnet når inntrinnet er 00 mm. c) Finn opptrinnet når inntrinnet er 18,5 cm. Oppgåve.161 Formelen for arealet A av eit rektangel er A = g h, der g er lengda av grunnlinja og h er høgda. a) Kor stort er arealet når g = 4 cm og h = 7 cm? b) Finn ein formel for grunnlinja g. c) Kor lang er grunnlinja når arealet er 7 cm og høgda er 9 cm? Oppgåve.16 La U vere prisen i kroner utan meirverdiavgift på ei vare, og la P vere prisen med meirverdiavgift. Dersom meirverdiavgifta er 5 %, er P = 1,5 U a) Finn ein formel for U uttrykt ved P. b) Ei vare kostar 45 kr med 5 % mva. Kva kostar denne vara utan mva.? c) Vis at vi kan skrive formelen i oppgåve a U = 4 5 P Oppgåve.163 Varmetapet per kvadratmeter gjennom ein vegg er Q = u t. a) Lag ein formel for u-verdien. b) Kva er u-verdien når Q er 5,0 W/(m grad) og t er 0 gradar? c) Lag ein formel for temperaturskilnaden t. 199

34 Oppgåve.164 Samanhengen mellom farten v, strekninga s og tida t for ein bil som køyrer med konstant fart, er gitt ved v = s t a) Finn ein formel for strekninga s. b) Ein bil køyrer i 60 km/h i 1,5 timar. Kor langt kjem bilen? c) Finn ein formel for tida t. d) Ein bil køyrer 75 km med farten 50 km/h. Kor lang tid tok bilturen? Oppgåve.165 For ein bor med ein diameter på 15 mm er formelen for skjerefarten v (m/min) v = 0,047 n der n er omdreiingstalet (r/min). a) Lag ein formel for omdreiingstalet n. b) Rekn ut omdreiingstalet når skjerefarten er 50 m/min..7 Ulikskapar Oppgåve.170 Løys ulikskapane. a) x > 4 b) x + 1 < 3 c) x + < x 4 d) 3 x > 3x + 11 Oppgåve.171 Løys ulikskapane. a) x + > x + 3 b) 3 x < 7 x c) 8 3x > 7 x d) 6 + (x + ) < 0 Oppgåve.17 Temperaturen T i ein bestemt tekopp etter t minutt er gitt ved T = 3,0t + 77 a) Når er temperaturen under 44 C? b) Når er temperaturen over 6 C?.8 Likningssett Oppgåve.180 Løys likningssetta ved rekning. a) y = x + 1 x + y = 7 b) x = y 1 3x y = Oppgåve.181 Eit lineært likningssett består av likningane for to rette linjer. Dei to rette linjene er teikna i koordinat systemet nedanfor y a) Finn løysinga av likningssettet. b) Likningssettet i oppgåva er 3x y = 4 y = x + 3 Løys likningssettet og kontroller svaret i oppgåve a. Oppgåve.18 Løys likningssetta både grafisk og ved rekning. a) y = x 1 y = x + 1 b) x = y + y + x = 1 x 00 Sinus 1BA > Formlar og likningar

35 KATEGORI.1 Grafar Oppgåve.10 Anne skal klippe ein stor plen. Ho arbeider i jamt tempo. Grafen viser kor mange kvadratmeter ho har igjen å klippe den næraste tida. m y min a) Kor stor er plenen ho skal klippe? b) Kor mange kvadratmeter har Anne igjen å klippe etter 40 minutt? c) Kor mange minutt har Anne klipt når det er att 300 m å klippe? d) Kor lang tid bruker ho på heile jobben? x Oppgåve.11 Grafen syner temperaturen x timar etter midnatt ei haustnatt. C y a) Kva var temperaturen kl ? b) Kva var temperaturen kl ? c) Kva tid var temperaturen lågast? Kva var temperaturen då? d) Når var temperaturen 1 C? x timar Oppgåve.1 Ein stein blir kasta rett opp i lufta. Grafen syner korleis høgda y forandrar seg med tida t. m y 0,5 1 1,5,5 a) Kor høgt er steinen etter 0,5 s? b) Kor høgt er steinen etter s? c) Kva tid er steinen høgast? Kor høgt over bakken er steinen då? d) Kva tid treffer steinen bakken? e) Frå kva høgd vart steinen kasta? f) Når er steinen 8 m over bakken? t s 01

36 Oppgåve.13 Bilar slepper ut karbondioksid (CO ). Kor mykje CO ein bil slepper ut, heng mellom anna saman med farten. Grafen nedanfor viser samanhengen mellom CO -utslepp og farten for ein viss bil. g/km y x km/h Karbondioksidmengda er målt i gram per kilometer (g/km), og farten er i kilometer per time (km/h). a) Kor mykje CO slepper bilen ut når farten er 40 km/h? b) Kor mykje CO slepper bilen ut når farten er 110 km/h? c) Kva for ein fart gir minst utslepp? Kva er utsleppet av CO då? d) Kva er farten når utsleppet er 150 g/km?. Likningar Oppgåve.0 Løys likningane. a) 5x + 1 = 15x b) 14s 6 + 7s = 15 c) 3t + 18 = 1t 5t + 68 d) 4 5(I ) + I = 0 Oppgåve.1 Løys likningane. a) 0,3x + 1,7x = 3,6 + 0,x b) 1,5x 0, = 1,3x + 0,6 c) 0,6 (0,x + 0,3) = 0,1x +,5.3 Likningar med brøkar Oppgåve.30 Løys likningane. a) 1 x 5 = ( x ) 1 6 b) 3 t 1 (7 t) = 0 c) ( 1 t ) t = 1 3 d) (1 4 5 s ) + s = 7 5 Oppgåve.31 Løys likningane. 1 a) x + 3 = 1 1 x b) 1 x x + 1 = 4 x c) x x x = 1 8 x + 1 Oppgåve.3 Løys likningane om det går an. a) x + 1 x b) c) + 3 = 1 x 1 x x + 1 x = x + 1 = 3 x + x 1 x(1 x) 0 Sinus 1BA > Formlar og likningar

37 Oppgåve.33 Løys likningane og set prøve på svaret. a) 3 (R + 1) 3 (1 + R) = 5 R b) 1 (I 1) 3 (1 I) = Formlar Oppgåve.40 Du skal lage ei rettløpstrapp. Etasjehøgda er 3000 mm (alle opptrinna skal vere 3000 mm til saman). o I denne oppgåva må du bruke trappeformelen på side 47. a) Kvifor er det eitt opptrinn meir enn inntrinn? b) Kvart opptrinn skal vere 00 mm. Kor mange trinn skal trappa ha? c) Kor langt blir då eitt inntrinn? d) Kor lang blir trappa (alle inntrinna til saman)? Oppgåve.41 Du skal lage ei rettløpstrapp som skal vere 3500 mm lang. Etasjehøgda er 850 mm. a) Lag ei skisse av trappa. b) Finn ut kor mange opptrinn du må ha for at opptrinnet o og inntrinnet i skal passe best mogleg med trappeformelen. Prøv deg fram. i Oppgåve.43 Vi fyller varmt drikke på ei termosflaske. Termosflaska held relativt godt på varmen, og etter x minutt er temperaturen T i celsiusgradar i termosflaska T = 90 1,6x a) Kva er temperaturen i den varme drikken til å begynne med? b) Kva er temperaturen i termosflaska etter 0 minutt? Oppgåve.44 I eit rom er det ein yttervegg på 1 m og eit vindauga på 1,0 m. Veggen har ein u-verdi på 0,0 W/(m grad), og vindauga har ein u-verdi på,3 W/(m grad). Innetemperaturen er 1 C, og ute tempera turen er 5 C. a) Finn varmetapet gjennom veggen. b) Finn varmetapet gjennom vindauga. c) Kor mykje varme må vi bruke for å halde romtemperaturen på 1 C? Vi reknar ikkje med nokon varmegjennom gang gjennom innervegger, golv og tak. Oppgåve.45 Ein bil har ein bensintank på 48 liter. Ein familie skal ut på langtur med bilen. Dei fyller tanken heilt full før køyreturen byrjar. Bilen bruker 0,60 liter per mil. a) Kor mange liter bensin er det igjen etter 3 mil? b) Finn eit uttrykk for bensinmengda B på tanken etter x mil. Oppgåve.4 Vi bruker ein bor med diameteren 4 mm. Rekn ut skjerefarten og fyll ut tabellen. Omdreiingstal (r/min) Skjerefart (m/min)

38 Oppgåve.46 Eit vindauga på 1, m har ein u-verdi på,3 W/(m grad). Innetemperaturen er C, og utetemperaturen er 8 C. a) Rekn ut varmetapet gjennom vindauga. b) Vi byter ut vindauga med eit nytt vindauga med u-verdi 1,3 W/(m grad). Kor stort er varmetapet no? c) Kor mange prosent vart varmetapet redusert med?.5 Praktisk bruk av formlar Oppgåve.50 Snikkar Finn Sagen bruker denne trappeformelen: i = 630 o. a) Kor stort er opptrinnet når inntrinnet er 19 cm? b) Kor stort er opptrinnet dersom opptrinnet og inntrinnet skal vere like store? c) Kor høg blir trappa dersom inntrinnet er 1 cm og trappa skal ha 14 inntrinn? Oppgåve.51 Skjerefarten for slipeskiver kan reknast ut ved v = d n der farten v er oppgitt i meter per sekund (m/s), omdreiingstalet n i omdreiingar per minutt (r/min) og diameteren d i millimeter (mm). Ei slipe skive har ein diameter på 00 mm og ein skjerefart på 30 m/s. a) Finn omdreiingstalet. b) Ei anna slipeskive har ein diameter på 30 mm. Skjerefarten skal liggje mellom 0 og 5 m/s. Finn det største og det minste omdreiings talet du kan bruke. Oppgåve.5 Vi bruker ein bor der diameteren er 6 mm. Omdreiingstalet er 000 r/min. a) Finn skjerefarten. b) Kva er omdreiingstalet når skjerefarten er 10 m/min? c) I hardt stål må ikkje omdreiingstalet vere for stort. Elles blir boren for varm, og eggen blir øydelagd. Kva er det største omdreiingstalet du kan bruke når skjerefarten ikkje skal vere større enn 1 m/min? Oppgåve.53 I eit stort lagerrom utan vindaugo er det i alt 84 m med yttervegg. Det er ikkje noko varmetap gjennom golvet og taket. Ein haustdag er utetemperaturen 4 C og innetemperaturen 0 C. På ein målar kan vi lese av at rommet får tilført ein effekt på 546 W slik at innetemperaturen skal halde seg konstant. a) Finn varmetapet Q per kvadratmeter gjennom ytterveggene. b) Finn u-verdien til veggen. Oppgåve.54 Ein bil har ein bensintank med 48 liter bensin. Etter x mil med jamn køyring er det att y liter på tanken, der y = 48 0,6x Bilen held fram med jamn køyring. a) Kor langt har bilen køyrt når det er att 39 liter på tanken? b) Kor langt har bilen køyrt når det er att 7 liter på tanken? 04 Sinus 1BA > Formlar og likningar

39 Oppgåve.55 Arealet A av ein trekant med grunnlinje g og høgd h er A = gh Høgda i ein trekant er 18 cm og arealet 16 cm. Finn grunnlinja i trekanten..6 Omforming av formlar Oppgåve.60 Arealet A av ein trekant med grunnlinje g og høgd h er A = gh Finn ein formel for høgda i ein trekant uttrykt ved arealet og grunnlinja. Oppgåve.61 Vi bruker ei sirkelsag der diameteren på sagbladet er 195 mm. Omdreiingstalet er 1000 r/min. a) Finn skjerefarten. b) Finn ein formel for omdreiingstalet uttrykt ved diameteren d og skjerefarten v. c) Kva blir omdreiingstalet når skjerefarten er 613 m/min? Stemmer dette svaret med svaret på oppgåve a? Oppgåve.6 Ellen treng ein leigebil nokre dagar. Det kostar 800 kr i faste utgifter og 5 kr per køyrde kilometer. a) Kva kostar det Ellen å køyre 10 km? b) Finn ein formel som viser kostnaden K i kroner for x køyrde kilometer. c) Finn ein formel for x uttrykt ved kostnaden K. d) Kor langt kan Ellen køyre for 1700 kr? Oppgåve.63 a) Finn ein formel for utetemperaturen t u når vi kjenner varmetapet Q per kvadratmeter for ein vegg, u-verdien for veggen og innetemperaturen t i. b) I eit lagerbygg utan vindaugo er det 60 m med tak og vegger. Både taket og veggene har u-verdien 0,4 W/(m grad). I bygget er det ein omn som gir effekten 4000 W. Kor låg er ute tempera turen når omnen står på fullt og inne temperaturen er 0 C? c) Lageret må haldast frostfritt. Kva er den lågaste verdien ute temperaturen kan ha før det blir minusgradar i bygget? Oppgåve.64 Jeppe har drukke alkohol og har ein promille på 1,8. Han reknar med at promillen minkar med 0,15 per time. a) Kor høg promille har Jeppe i kroppen etter 6 timar? b) Finn ein formel for promillen P som Jeppe har i kroppen etter x timar. c) Finn ein formel for x uttrykt ved P. d) Kor lang tid har det gått når promillen er 0,3? e) Kva tid er alkoholen heilt ute av kroppen hans? Oppgåve.65 Det samla varmetapet gjennom ein vegg med eitt vindauga kan reknast ut ved P = (u 1 A 1 + u A ) t der u 1 er u-verdien for veggen og u er u-verdien for vindauga. A 1 er arealet av veggen, og A er arealet av vindauga, og t er skilnaden mellom inne- og utetemperaturen. a) Bruk formelen ovanfor til å lage ein formel for temperaturskilnaden t. b) Finn ein formel for arealet A av vindauga uttrykt ved dei andre stor leikane i formelen ovanfor. 05

40 .7 Ulikskapar Oppgåve.70 Løys ulikskapane. a) 5x + 4 > x b) 3( x) < 3 x c) x + 3 (3 + x) < 5( x) d) (x 1) 3(1 x) < x + 3 e) 3(x + 1) (5 x) > 1 (x + 3) Oppgåve.71 Løys ulikskapane. a) x b) 7x c) x d) 3 5x 5 e) > x x 3 6 > 5 x > 1 + x 3 (x 1) x 3 + 3x 8 Oppgåve.7 Per har kr på konto og tek ut 740 kr kvar månad. Anne har kr på konto og set inn 540 kr kvar månad. Vi ser bort frå renter. Kva tid har Anne meir pengar enn Per på kontoen sin?.8 Likningssett Oppgåve.80 a) Løys likningssettet ved rekning. x y = 5 x + 3y = 5 b) Løys likningssettet grafisk. y = 1 x x + y = 4 Oppgåve.81 Løys likningssetta grafisk og ved rekning. a) x y = 3 b) x 3y = 4 x + y = 5 x + y = 1 c) x 3y = 3 d) 6x 3y = 8 x + y = 7 x + 3y = 4 Oppgåve.8 a) Løys likningssettet ved rekning. x y = 4 3 x y = 373 b) På ein vidaregåande skule opplyste 1 av jentene og 1 av gutane at dei 3 4 ikkje røykte. Det var 373 elevar som røykte. På skulen var det 4 fleire jenter enn gutar. Kor mange jenter og kor mange gutar er det på skulen? Oppgåve.83 Kari og Ola er til saman 6 år gamle. Om to år er Ola akkurat dobbelt så gammal som Kari. Kor gamle er dei i dag? Oppgåve.84 Ein vidaregåande skule har ein varmdrikk automat for te og kaffi. Ein kopp te kostar 6 kr, og ein kopp kaffi kostar 8 kr. Ein dag var det selt i alt 58 koppar te og kaffi, og det var akkurat 400 kr på automaten. Kor mange koppar te og kor mange koppar kaffi var det selt den dagen? 06 Sinus 1BA > Formlar og likningar

41 BLANDA OPPGÅVER Oppgåve.300 Ein familie skal ut på langtur med bilen. Dei fyller tanken heilt full før køyreturen. Etter x mil er det igjen B liter bensin, der B = 60 0,75x a) Teikn ein graf som viser samanhengen mellom x og B. b) Kor mange liter tek bensin tanken? c) Kor mange liter bensin er det igjen etter 30 mil? d) Finn ved rekning kor langt dei har køyrt når det er igjen 36 liter på tanken. e) Kor mange mil kan dei køyre før dei må fylle bensin igjen? Oppgåve.301 Grafen viser varmetapet gjennom ein ytter vegg for utetemperaturar mellom 0 C og 0 C W Varmetap Temperatur C a) Kor stort er varmetapet når utetemperaturen er 0 C? b) Kva er utetemperaturen når varmetapet er på 50 W? c) Kor mange watt går varmetapet ned når utetemperaturen stig med ein grad? d) Kor høg er innetemperaturen? Oppgåve.30 a) Løys likningssettet ved rekning. x + y = 4 x y = 5 b) Lise og Henrik er foreldra til Katrine. Til saman er familien 108 år. Lise er fire år yngre enn Henrik, og Henrik er akkurat tre gonger så gammal som Katrine. Kor gamle er kvar av familiemedlemene? Oppgåve.303 Ei kjellarbu har ein yttervegg med ein u-verdi på 0,39 W/(m grad). Arealet av veggen er 14,0 m. Utetemperaturen er 4 C, og innetemperaturen er C. a) Kor stort er varmetapet per kvadratmeter? b) Kor stort er varmetapet for heile veggen? c) Kor mange vindaugo på 1,0 m kan vi setje inn når varmetapet ikkje skal vere høgare enn 190 W? Vindaugo har ein u-verdi på 1,3 W/(m grad). Oppgåve.304 a) Løys likningane. 1) 3x = 5x 6 ) 1 (x ) = x b) I ei forretning er kiloprisen på eple kr høgare enn kiloprisen på appelsinar. Svein kjøper,5 kg eple og 3 kg appelsinar. Til saman betaler han 93 kr. Kva var kiloprisen på eple og kilo prisen på appelsinar i denne forretninga? 07

42 Oppgåve.305 Grafen viser korleis høgda på vatnet varierer gjennom eit døgn i eit område med tidvatn. På figuren svarar x = 0 til midnatt. m y timar a) Når på døgnet står vatnet høgast? b) Når på døgnet står vatnet lågast? c) Kor høgt står vatnet kl ? d) Kor høgt står vatnet kl ? Oppgåve.306 Tettleiken T av eit stoff finn vi av formelen T = m V der m er massen og V er volumet. Bruk tabellen nedanfor til å finne ut kva slags metall dette kan vere. Stoff Tettleik Aluminium,74 kg/dm 3 Stål 7,89 kg/dm 3 Magnesium 1,74 kg/dm 3 a) m = 1,79 kg, V = 1,03 dm 3 b) m = 0,8 kg, V = 0,104 dm 3 c) m = 4,8 kg, V = 15,6 dm 3 x Oppgåve.307 Løys likningssettet grafisk og ved rekning. x y = x + 4y = 8 Oppgåve.308 I ein kopp kaffi er temperaturen 68 C. Etter t minutt er temperaturen T målt i celsiusgradar i koppen T = 68 3,6t a) Kva tid er temperaturen i koppen meir enn 50 C? b) Kva tid er temperaturen i koppen mindre enn 3 C? Oppgåve.309 Vi skal bore i ei plate med ein bor som har omdreiingstalet 3000 r/min. Skjere farten bør vere mellom 70 m/min og 10 m/min. a) Finn ein formel for diameteren på boren. b) Kva er den største og den minste diameteren boren kan ha? Oppgåve.310 a) Løys likningane. 1) (x ) (1 x) = 7 ) 1 3 x 1 (1 x) = 17 6 b) Ein kuleforma vassdrope har diameteren D. Etter t sekund har fordampinga gjort at diameteren er d. Samanhengen mellom D, d og t er gitt ved d = D 0,01 t 1) Finn diameteren d når D =,1 mm og t = 60 s. ) Finn ein formel for t uttrykt ved dei andre storleikane. 3) Kor lang tid går det før vassdropen fordampar heilt når D =,1 mm? 08 Sinus 1BA > Formlar og likningar