Matematiske begreper. Inquiry. Mira Randahl

Transkript

1 Matematiske begreper. Inquiry. Mira Randahl

2 Innhold Begrepsforståelse med vekt på valg av oppgaver Hva betyr å forstå et matematisk begrep? Hvordan begreper utvikles og hvordan de bygger på hverandre? Hvilke oppgaver skal vi velge for å best mulig fremme begrepsforståelse hos elever? Det er problemstillinger vi skal jobbe med. De konkrete begreper vi tar utgangspunkt i er: en logaritme, en funksjon og den deriverte. Vi skal fokusere på valg og analyse av ulike inquiry oppgaver

3 Begrepsutvikling Læring starter gjerne med at vi gjør konkrete erfaringer: for eks. opplevelsen av blomst Men å erfare en blomst gir ikke i seg selv en god begrepsforståelse

4 Begrepsutvikling Vi trenger mange, konkrete erfaringer for å danne oss en slags abstrakt forståelse av! Abstraksjon: Kjenner igjen kriteriene som bestemmer om noe er en blomsterplante eller ikke. Det varige resultatet: Begrepet Blomst. (Vi begriper!)

5 Begrepsutvikling Hva mener vi så med et begrep? Hva er det som gjør at en blomst er en blomst? Et begrep er en egenskap eller et kompleks av egenskaper som karakteriserer eller avgrenser en klasse av ting.

6 . Begrepsutvikling

7 Matematiske begreper Hva er spesielt med matematiske begreper? Hvor kommer de fra? Hvorfor er de vanskelige?

8 Matematiske begreper Hva er matematikk? Ulike syn på matematikk Platon ( f. Kr): matematikken er perfekt, den oppdages, oppfinnes ikke Aristoteles ( f. Kr): skilte mellom induktiv og deduktiv kunnskap Induktiv kunnskap (empiri) - dannes ved generalisering fra erfaringer Deduktiv kunnskap - kan oppnås fra allerede kjent kunnskap ved hjelp av ren tenkning

9 Matematiske begreper Matematikk som skolefag Hva er matematikk relatert til skolematematikk en kunnskap som skal overføres? eller en menneskelig aktivitet?

10 Matematiske begreper Matematiske begreper er ofte abstrakte De er presentert ved hjelp av en definisjon Definisjon av logaritme Når a er et tall større enn null, er lg a tallet vi må opphøye 10 i for å få a: a = 10 lga Hvilken idè som ligger bak begrepet? Hvorfor var/er logaritmebegrepet nyttig?

11 Logaritmebegrepet Historisk perspektiv på logaritmer John Napier (1550) og Henry Briggs Med en logaritmetabell kan vi for eksempel utføre divisjon med store tall uten digitale verktøy.

12 Matematiske begreper Spørsmål: Hva er en logaritme? Forklar gjerne med egne ord. Eksempler på elevenes svar: noe med potenser tror jeg noe motsatt det er noe som er motsatt av en eksponent noe med funksjoner, tror det var logaritmefunksjoner. det som vi må opphøye 10 i for å få tallet

13 Matematiske begreper Her er det aktuelt å tenke på noen didaktiske teorier Vygotsky: begrepsinnhold og begrepsuttrykk Begrepsinnhold er begrepet slik det finnes inni hodet vårt, mens begrepsuttrykk er begrepet slik vi klarer å kommunisere det. Tall: concept image and concept definition Concept image Et (kompleks) set av ideer, assosjasjoner som eleven har dannet i forhold til begrepet.. Concept definition En matematisk definisjon en definisjon som er godkjent av mathematical community.

14 Matematiske begreper Skemp: relasjonell forståelse og instrumentell forståelse Instrumentell forståelse - innebærer å lære regler og formler som hjelper eleven til å finne løsningen på oppgaven Relasjonell forståelse innebærer å bygge opp begrepsmessige strukturer og se sammenhenger mellom begrepene Niss kompetanser andre

15 Matematiske begreper Richard Skemp, psykolog, pedagog og matematiker: 1. prinsipp: Begreper av høyere orden enn de en person allerede har, kan ikke kommuniseres til vedkommende ved en definisjon, men bare ved å la vedkommende få møte et passende utvalg eksempler. 2. prinsipp: Siden disse eksemplene i matematikken nesten alltid selv er begreper, må en først forsikre seg om at disse er dannet hos den som skal lære.

16 Matematiske begreper Hva er matematiske begreper, hvor kommer de fra? Historisk sett: 1. En idè 2. Praktisk tilnærming 3. En definisjon

17 Matematiske begreper Introduksjon av et begrep: Ved definisjon Ved eksempler Praktisk kontekst Utforskende arbeidsmåter

18 Logaritmebegrepet Ark med oppgaver Innføring av logaritmebegrepet fra prosjektet Learning Communities in Mathematics ved UiA Arbeid i grupper på 2-3 personer Hvordan kan vi beskrive denne måten å jobbe med et nytt begrep?

19 Innføring av logaritmebegrepet Logaritmebegrepet Vi starter med å gi elevene en introduksjonsoppgave : Vi velger et tall, la oss si tallet 20. Når vi skriver lg20, sier vi at vi finner logaritmen til tallet 20. Altså er lg20 = 1,30. Sjekk at dere får dette selv ved kalkulatoren. Hva er det logaritmen til et tall betyr? Hvordan henger tallet 20 sammen med tallet 1,30 (som vi fikk ved å ta logaritmen til 20)? Dette skal dere prøve å besvare i neste oppgaven Regning i fag

20 Innføring av logaritmebegrepet Oppgave 1 Finn logaritmen til tallene ved å bruke lommeregner 100. Skriv lg 100 = lg 1000 = lg = 0,01. lg 0,01 = 10. lg 10 = 1. lg 1 = Hva observerer dere? Hva er sammenhengen mellom det tallet dere finner logaritmen til, og det svaret dere får? Finn på samme måte logaritmen til tallene 7, 9, 11 og 13. Sammenlign med svaret i 1e. Prøv å lage en skriftlig konklusjon der dere kommer med en generell regel om hva vi mener med logaritmen til et vilkårlig tall a (lg a)

21 Innføring av logaritmebegrepet Oppgave 2 Prøv å regne ut lg (-2) med lommeregneren. Hvordan går det? Hvorfor er det slik? Oppgave 3 Hvilke tall kan a være for at lga skal være a) mellom 0 og 1? b) negativ? Oppgave 4 Svar uten å bruke lommeregner: Hva er størst av lg 500 og 2? Oppgave 5 Svar uten å bruke lommeregner: Hvilke av følgende tall vil bli mellom 1 og 2: lg 7, lg 14, lg 90, lg 110, lg 1500? Oppgave 6 a) Finn lg 2 på lommeregneren. Skriv tallet her: lg 2 =. b) Fyll ut ved å bruke lommeregneren: lg 8 =.. lg 16 = lg 32 =. Hva er sammenhengen mellom verdiene til lg 8, lg 16 og lg 32 og verdien til lg 2? Ser dere et mønster? (Hint: 8=2 3 )

22 Inquiry Inquiry - en prosess der forståelsen utvikles gjennom utforskende arbeidsmåter og refleksjon Elevene skal: stille spørsmål utforske undersøke resonnere reflektere stille flere spørsmål se kritisk på hva de har funnet..

23 Utforskende arbeidsmåter Hva sier læreplan? I læreplanen heter det: Opplæringen veksler mellom utforskende, lekende, kreative og problemløsende aktiviteter og ferdighetstrening.

24 Inquiry Georgy Polya ( ) Hans mest kjente book heter How to solve it What you have been obligated to discover by yourself leaves a path in your mind which you can use again when the need arises (Polya, 1965)

25 Inquiry elever får problemstillinger de skal jobbe med læreren gir ingen svar, bare ledende og inspirerende spørsmål og hint elevene diskuterer seg fram til måter å løse problemet på ideen bak metoden er at elevene vil begynne å se mønstrene og sammenhengene selv det er innlæringen og forståelsen av metoden som er undersøkende etter at elevene har forstått det nye stoffet, begynner øvingen. Da er det mengdetrening og repetisjon som teller Men.. metoden er krevende for læreren

26 Lineære funksjoner Oppgaver fra læreboka Oppgave 1 Lag tabell og tegn linjene i det samme koordinatsystemet a) y 2x = 2 b) y x =2 c) y +x = 2 d) y + 2x = 2 Hvilket punkt går alle linjene gjennom? Oppgave 2 Lag tabell og tegn linjene i det samme koordinatsystemet a) y 2x = 3 b) y 2x = -1 c) y 2x = -1 d) y 2x = -3 Hvordan går linjene I forhold til hverandre? Oppgave 3...

27 Lineære funksjoner Opplegg med oppgavekort fra prosjektet Learning communities in Mathematics ved UiA Beskrivelse av opplegget: Elever i første klasse (16-åringer) ble delt inn i smågrupper. Der fikk de utdelt kort med små oppgaver de skulle løse og spørsmål de skulle svare på. Når gruppen var ferdig med ett kort, fikk den et nytt. Oppgavene og spørsmålene hadde en progresjon som gjorde at det elevene lærte på et kort, måtte brukes på det neste kortet. På den måten skulle hver elev bli ledet fram mot læringsmålet.

28 Oppgavekort med fokus på lineære funksjoner Kort 1 x + y =7 Skriv ned to hele tall som til sammen blir 7. Fins det flere slike tallpar? Hvor mange slike fins det? Tegn disse tallparene i koordinatsystemet Regning i fag

29 Oppgavekort med fokus på lineære funksjoner Kort 2 x + y =7 Hva skjer hvis x = 2 1? 2 Hva om y = 4,7? Hvor mange forskjellige tallpar er mulig nå? Tegn disse nye tallparene sammen med de du allerede har tegnet. Hva skjer hvis et av tallene er 9? Hva skjer med tegningen nå? Finn fire nye tallpar hvor det ene er større enn 9. Tegn disse også. Diskuter hva dere har funnet ut. Skriv ned minst to punkter. Regning i fag

30 Oppgavekort med fokus på lineære funksjoner Kort 3 x + y = 3 Finn tallpar som passer og tegn dem i samme koordinatsystem som før. Hvordan blir denne tegningen i forhold til den første? Finn likheter og forskjeller. Skriv ned. Gjør det samme som i punktene over med uttrykket x + y = 5 Hva ser du? Skriv ned. Regning i fag

31 Oppgavekort med fokus på lineære funksjoner Kort 4 2x + y = 9 Finn tallpar som passer og tegn disse inn i et nytt koordinatsystem Tegn tallparene som passer i uttrykket x + y = 7 på nytt inn i dette koordinatsystemet. Finn et tallpar som passer i begge uttrykkene. Hva har du gjort nå? Kan du skrive 2x + y = 9 på en annen måte slik at det blir lettere å finne tallpar som passer? Lag en tabell over tallparene dine. Regning i fag

32 Begrepsdannelse Å styrke den begrepsmessig delen: å forstå idéen bak begrepet/intuitiv forståelse Å kunne forklare med ord hva som menes med det konkrete begrepet å gi begrunnelse for påstander Vanskeligheter - begreper er ofte abstrakte - mangel på tidligere kunnskaper - misoppfatninger - ikke nok motivasjon

33 Å utvide en oppgave fokus på resonnering Oppgave fra prosjektet Learning communities in Mathematics ved UiA Oppgave 1 Even tenker på to tall. Summen av dem er 19. Differansen mellom dem er 5. Finn tallene

34 Å utvide en oppgave fokus på resonnering Oppgave Even tenker på to tall. Summen av dem er 19. Differansen mellom dem er 5. a)finn tallene b)hvordan kan du gjøre for å finne tallene? (vi ber om forklaring)

35 Å utvide en oppgave fokus på resonnering Oppgave Even tenker på to tall. Summen av dem er 19. Differansen mellom dem er 5. a)finn tallene b)hvordan kan du gjøre for å finne tallene? (vi ber om forklaring) c) Hvorfor er det alltid mulig å finne to tall når vi kjenner summen og differansen? (vi ber om å utføre et resonnement, å generalisere for hvilket som helst sum og differanse)

36 Den deriverte Underliggende begreper: for eksempel en funksjon, en tangent, grenseverdi,.. Tangent: Tangentbegrepet har vært nevnt tidligere kun i forbindelse med sirkler Misoppfattelsen om at en tangent bare kan ha ett felles punkt med kurven Dette gjelder ikke for funksjoner

37 Den deriverte Ideen bak begrepet: den deriverte av en funksjon forteller hvor raskt funksjonen er i ferd med å forandre seg Forskning viser at elevene har problemer med å svare på følgende spørsmål: Vi har en funksjon f x = x Den deriverte f (x) til f (x) er lik 2x. Forklar hva den deriverte f (x) forteller oss om selve f (x) funksjonen. Vi kan finne verdien av den deriverte for en konkret x ; for eksempel for x=4 får vi f (4) = 8. Hva forteller tallet 8 oss?

38 Den deriverte Ulike aspekter ved et begrep Det lokale aspektet Det globale aspektet Den deriverte Den deriverte i et punkt Den deriverte som en ny funksjon

39 Den deriverte I Matematikk 1T (Aschehoug) Den deriverte av en funksjon f for en bestemt x-verdi er stigningstallet for tangenten i punktet med denne x-verdien. Men hva med den deriverte som en ny funksjon. Diskusjon

40 Å tolke en formel En sykkel er utstyrt med fartsmåler som måler farten v(t) ved tidspunkt t. Forklar den fysiske betydningen av størrelsene v( t ) v( t ) 2 1 t2 t t 0 1 og v( t t) v( t) lim t Tips: velg mellom begreper gjennomsnittlig fart, momentan akselerasjon, gjennomsnittlig akselerasjon, momentan fart.

41 Utforskende oppgave Aktivitet Gjør denne oppgaven, og se om du oppdager et mønster. Regn ut og forenkle uttrykkene: (i) (1+x) (x-1)= (ii) (1+x+x 2 )(x-1)= (iii) (1+x+x 2 +x 3 )(x-1) = (iv) (1+x+ x 2 +x 3 + x 4 )(x-1) = (v) Hvordan kan dette generaliseres? Hva ville resultatet bli i linje nr. k (vi) Er det noe som er kjent?

42 Utforskende oppgave Formel for den geometriske rekka 1+x+x 2 +x 3 +x x k = xk+1 1 x 1

43 Referanser 1. Grevholm, B. (2007). Om å bruke testdata i undervisning og læring av matematikk. I B. Jaworski, A.B. Fuglestad, R. Bjuland, T. Breiteig, S. Goodchild og B. Grevholm (red. ). Learning Communities in Mathematics. Caspar Forlag AS. 2. Lorentzen, L., Hole, A. og Lindstrøm. T. (2003). Kalkulus. Universitetsforlaget. 3. Mjølund, T.A. og Damsgård K. (2007). Å undersøke logaritmebegrepet. I B. Jaworski, A.B. Fuglestad, R. Bjuland, T. Breiteig, S. Goodchild og B. Grevholm (red. ). Learning Communities in Mathematics. Caspar Forlag AS. 4. Polya, G. (1965). Mathematical discovery. On understanding, learning and teaching problem solving (Vol. 2), New York: Willey. 5. Randahl, M. (under preparation). Inquiry approach to introduction of basic maths concepts in upper secondary school. 6. Skaar, B. og Syvertsen, H. T. (2007). Undersøkende aktiviteter med oppgavekort. I B. Jaworski, A.B. Fuglestad, R. Bjuland, T. Breiteig, S. Goodchild og B. Grevholm (red. ). Learning Communities in Mathematics. Caspar Forlag AS. 4. Tvete, K. og Petersen, V. B. (2010). I tallenes verden. Caspar Forlag AS. 5. Astrup, S. (2005). Begrepsdannelse. HiNT hefter Regning i fag