104 m 16 m du spissen 6 m/s

Transkript

1 Lørdasverksted i fysikk. Institutt for fysikk, NTNU. Høsten Veilednin: 8. september kl 12:15 15:00. Løsninsforsla til øvin 1: Beveelse. Vektorer. Enheter. Oppave 1 a) Strekninen er s = 800 m o tiden brukt er t = 160 s, slik at jennomsnittsfarten blir v = s t = 800 m 160 s = 5 m/s Siden 1 m = 10 9 nm (nanometer) o 1 s = 10 6 µs (mikrosekund), har vi alternativt v = nm 10 6 µs = 5000 nm/µs Videre er 1 m = 10 3 km o 1 s = (3600) 1 h (h = hour = time), som betyr at v = km (3600) 1 h = 18 km/h b) Kulas hastihetsvektor må peke i samme retnin som forflytninen, nedover fra 1 til 2. Føleli er alternativ C rikti. c) Dette er situasjonen: 104 m 16 m du spissen 6 m/s 36 m Spissen bruker t s = s/v s = (36 m)/(6 m/s) = 6 s på å nå fram til 16-meteren. Du kan altså ikke bruke mer tid enn dette på samme distanse. Sammenhenen mellom din akselerasjon a (som her skal være konstant) o din hastihet v er a = dv dt Vi aner med dt o intererer på bee sider for å finne hastiheten v(t) ved tidspunktet t: v 0 dv = t 0 a dt v(t) = at 1

2 Sammenhenen mellom din posisjon x (der x = 0 på midtbanen o x = s = 36 m på 16-meteren) o din hastihet v er v = dx dt Vi setter inn v = at på venstre side, aner med dt på bee sider, o intererer på bee sider: s 0 dx = Her er s = 36 m o t s = 6 s, så vi finner ts 0 at dt s = 1 2 at2 s a = 2s t 2 s = m/s2 = 2 m/s 2 Kommentar: Du får nok ikke plass på landslaet. Toppfarten ser det ikke ut til å være noe i veien med, men rykket er for dårli. d) Ser vi på et vilkårli punkt n i et slik beveelsesdiaram, vil pilen fra punkt n til punkt n + 1 representere midlere (dvs jennomsnittlie) hastihet v n på denne strekninen, ettersom tidsintervallet t mellom to påfølende punkter er konstant. La oss for enkelhets skyld sette t = 1. Da vil midlere akselerasjon a n på beveelsen fra n 1 til n + 1 kunne skrives a n = v n v n 1 o vi kan tene inn akselerasjonspiler i de tre diarammene: A a=0 a=0 B C a=0 Eksempler på situasjoner som kan ha slike beveelsesdiaram: A: Bil som bremser med konstant akselerasjon. B: Kloss som sklir ned bakke uten friksjon. C: Ball som kastes på skrå oppover i tyndefeltet. e) Diarammet viser at beveelsen starter i en posisjon x > 0, o at den foreår med konstant neativ hastihet lans x-aksen. Graf C passer med dette. f) Vi har at v x (t) = dx/dt dvs stininskoeffisienten til kurven x(t). Denne er konstant o positiv i starten, deretter null en stund, deretter konstant o neativ, o endeli konstant o positiv. Graf D stemmer med dette. 2

3 ) Kurven for v x (t) skal tilsvare stininskoeffisienten til kurven x(t). Noe i denne duren: v x t h) Partikkelens hastihet er v x (t) = dx dt = 4x 0 t 0 3x 0t 2 t 3 0 = v 0 ( τ2 ) der vi har forenklet skrivinen ved å innføre v 0 4x 0 /t 0 o τ t/t 0. Bruker vi τ, kan vi oså skrive x(t) = x 0 ( 4τ τ 3 ) Skisser, med τ mellom -3 o 3: x/x 0 v x /v 0 τ τ i) Fra oppitt kurve ser vi at v x (t) = 10 5t med v x i enheten m/s o t i enheten s. Da er det umiddelbart klart at bilen snur når t = 2 s, for da er v x = 0. Vi ønsker å finne et uttrykk for bilens posisjon x som funksjon av t o starter med v x = dx/dt. Vi aner denne med dt o intererer: x x i dx = t 0 v x (t)dt = Her er startposisjonen x i = 30 (m), så vi finner t 0 (10 5t)dt = 10t 5 2 t2 x(t) = t 5 2 t2 Innsettin av t = 2 (s) ir posisjonen der bilen snur: x(2) = = 40 m 3

4 Innsettin av x = 0 ir tidspunktet t 0 for bilens ankomst til posisjonen x = 0: 0 = t t2 0 Dette er en 2.radslinin for den ukjente t 0. Vi løser denne, o veler selvsat den positive løsninen: t 0 = s = 6 s 5 j) Vi har at a x (t) = dv x /dt dvs stininskoeffisienten til kurven v x (t). Graf B for v x stemmer med den itte akselerasjonen a x. k) For bee kulene er beveelsen vertikalt en beveelse med konstant akselerasjon a =, med samme starthøyde o starthastihet lik null. Kulene treffer derfor bakken samtidi. (Med runde kuler skulle det ikke bli mye forskjell på falltiden selv om vi tok hensyn til luftmotstand.) l) Skiløperen får en konstant akselerasjon nedover lans bakken, itt ved a = sin θ (se fiuren nedenfor). Setter vi t = 0 i det hun starter på toppen, med v = 0, kan vi skrive hastiheten som v(t) = at = t sinθ. Setter vi dessuten posisjonen s = 0 på toppen, får vi s = 1 2 at2 = 1 2 t2 sin θ Vi kan eliminere t fra disse uttrykkene ved å kvadrere v o deretter berene forholdet mellom v 2 o s: v 2 s = 2 t 2 sin 2 θ = 2 sin θ (1/2)t 2 sin θ Vi løser denne med hensyn på vinkelen θ o finner θ = arcsin v2 2s Nå kan vi sette inn tallverdier for, samt v o s nederst i bakken. Vi finner θ = arcsin = arcsin a = sin θ θ θ 4

5 m) Uansett om klossen er på vei oppover eller nedover skråplanet, vil den ha konstant akselerasjon, rettet nedover, o lik komponenten av tyndens akselerasjon lans planet, jfr forrie oppave. Fiuren viser at positiv s-retnin er oppover planet, så a s må ha en konstant neativ verdi. Altså raf D. Oppave 2 a) Størrelsen til kryssproduktet er per definisjon A B = A B sin α der α er vinkelen mellom de to vektorene. Vi ser fra fiuren nedenfor at B sin α er lik parallellorammets høyde, o arealet er jo nettopp lik bredden, som her er lik A anet med høyden. B α A b) Vi er her bedt om å vise at C = C = A 2 + B 2 ± 2 A B cos θ eller, om vi kvadrerer bee sider, C 2 = A 2 + B 2 ± 2 A B cosθ Vi har C = A ± B. Kvadrerin av bee sider ir C C = (A ± B) (A ± B) = A A + B B ± A B ± B A = A 2 + B 2 ± 2AB cos θ ettersom vi, per definisjon, har A B = B A = AB cos θ 5

6 Oppave 3 ˆx ˆx = 1 ˆx ẑ = 0 ŷ ẑ = ˆx ŷ ŷ = 0 (ˆx ŷ) ẑ = ẑ ẑ = 0 (ˆx ŷ) ˆx = ẑ ˆx = ŷ ˆx (ẑ ŷ) = ˆx ( ˆx) = 1 (ẑ ŷ) (ˆx ẑ) = ( ˆx) ( ŷ) = ˆx ŷ = ẑ Oppave 4 Vi ønsker å finne postbudets avstand fra postkontoret, altså D. Vi ser på avstandene postbudet har reist som vektorer o leer disse inn i et koordinatsystem der positiv x-akse er øst o positiv y-akse er nord. Avstanden til postkontoret vil være summen av de to vektorene D 1 o D 2. Vi dekomponerer derfor disse i x- o y-retnin o summerer komponentvis. Siden D 1 peker nordover, har denne inen x-komponent: D 1x = 0 D 1y = 22.0 km D 2 danner en vinkel 60 rader i forhold til x-retnin: D 2x = (47.0 km)(cos 60) = 23.5 km D 2y = (47.0 km)(sin 60) = 40.7 km Resultantvektoren D har komponentene: D x = D 1x + D 2x = 0 km km = 23.5 km D y = D 1y + D 2y = 22.0 km + ( 40.7) km = 18.7 km Lenden på D = Dx 2 + Dy 2 = (23.5 km) 2 + ( 18.7 km) 2 = 30.0 km 6

7 Vinkel med x-retnin blir θ = arctan(d y /D x ) = arctan( 0.796) = 38.5 rader. Kommentar: Her kunne vi ha benyttet oss av et av resultatene i oppave 2b. Sjekk dette selv, hvis du ikke allerede har jort det. Oppave 5 a) v BL (båt i forhold til land) er slik vi ønsker at båten skal bevee se. For å oppnå dette må vi kjøre i en vinkel θ mot strømmen. Vi ser av fiuren at sin(θ) = v V L v BV = Altså blir θ = arcsin(0.6486) = 40.4 rader m/s 1.85 m/s = b) Strømmen drar båten nedover elva. Båtens hastihet i forhold til land, v BL, er summen av båtens hastihet i forhold til vannet, v BV, o hastiheten av vannet i forhold til land, v V L (se fiur): v BL = v BV + v V L Siden v BV v V L finner vi v BL vha. pythaoras: v BL = v BV 2 + v2 V L = (1.85 m/s) 2 + (1.20 m/s) 2 = 2.21 m/s Vi finner vinkelen vha. trionometri: tan(θ) = v V L /v BV = Dette ir θ = 33 rader (Merk at denne er ulik den vi fant i (a). c) Gitt at bredden på elva er D = 110 m får vi t = D v BV = 110 m 1.85 m/s = 60 s På denne tiden har båten drevet d = v V L t = (1.20 m/s)(60 s) = 72 m nedover elva. 7

8 Oppave 6 a) La oss f.eks. si at sykkelhjulet har en diameter d = 72 cm. Da blir omkretsen O = 2πr = πd = 226 cm Hvis du sykler med en hastihet v s = 36 km/h = 1000 cm/s, betyr det at antall omdreininer hjulet foretar per sekund blir 1000 cm/s N = = 4.4 s cm b) Du ser et hjul som roterer med vinkelhastihet ω = 2πN = 27.8 rad/s Den hvite flekken i avstand r = 36 cm fra hjulets sentrum har da (tanentiell) hastihet v t = rω = cm/s = 1000 cm/s O det kunne vi vel ha sat uten å å veien om vinkelhastiheten ω, nemli at hjulkantens hastihet i forhold til de må være den samme som sykkelens hastihet i forhold til bakken: v t = v s. c) Tanken med denne oppaven var først o fremst at man skal tene opp hjulet med hastihetsvektorer for ulike posisjoner på periferien. Da innser en, i hvert fall hvis en har jort a o b rikti, for eksempel at flekkens hastihet må være null nede ved bakken, at den er 2000 cm/s med retnin framover øverst på hjulet, osv. Hvis vi tener opp hjulet i syklistens koordinatsystem, er det ikke så vanskeli å overbevise se om at hastiheten til den hvite flekken når den er i en posisjon tilsvarende en vinkel θ i forhold til x-aksen (dvs framoverretninen) må bli v t = ˆxv s sin θ ŷv s cosθ Syklisten beveer se med hastihet v s = v sˆx i forhold til kråka. Kråka ser dermed en hvit flekk som beveer se med hastihet v f = v s + v t = ˆxv s (1 + sin θ) ŷv s cosθ y v tx v s v ty θ v t θ v t x v f 8

9 Oppave 7 a) 8400 rpm innebærer 140 rps (revolutions per second). 1 rps tilsvarer en vinkelhastihet 2π radianer per sekund, så 8400 rpm tilsvarer en vinkelhastihet 280π 880 rad/s. Dette tilsvarer en hastihet, ved r i = 24 mm, v i = 280π m/s 21 m/s. Hvis dette oså skal være hastiheten til DVD-en over laseren når den er ved r y = 58 mm, må den da rotere /58 aner per minutt, dvs ca 3476 rpm. b) Her er vinkelhastiheten den samme hele tiden, tilsvarende 9200 rpm. Da har vi Hastihet ved r i : Hastihet ved r y : Akselerasjon ved r i : Akselerasjon ved r y : ω = Altså flere tusen aner tyndens akselerasjon. 2π 963 rad/s v i = r i ω 23 m/s v y = r y ω 56 m/s a i = v2 i r i = r i ω 2 22 km/s 2 a y = v2 y r y = r y ω 2 54 km/s 2 Oppave 8 a) b) 1 : v x = v, v y = 0 2 : v x = 0, v y = v 3 : v x = v, v y = 0 4 : v x = 0, v y = v 5 : v x = v sin α, v y = v cosα 1 : x = 0, y = 1 2 : x = 1, 2 y = : x = 1, 2 y = : x = cosα, y = sin α 9

10 Oppave 9 La oss vele koordinatsystem med x-akse mot høyre, y-akse nedover o orio der ballen starter. Beveelsen horisontalt er beveelse med konstant hastihet v 0, dvs x(t) = v 0 t Beveelsen vertikalt er beveelse med konstant akselerasjon o null starthastihet, dvs y(t) = 1 2 t2 Vi bruker disse lininene til å bestemme tidsforbruket som ir y = L: L = 1 2 t2 t = Dette settes inn i lininen for x med x = 2L: 2L/ 2L = v 0 t v 0 = 2L/t = 2L x-komponenten av v er den samme hele tiden, v x = v 0 = 2L. Ved bakken er y-komponenten av hastiheten lik v y = t = 2L/ = 2L dvs den samme som v x. Det betyr at ballen treffer bakken under en vinkel 45 rader. Størrelsen på hastiheten når ballen treffer bakken er v = v 2 x + v 2 y = 4L Har uttrykkene rikti enhet? Enheten til L/ er m/(m/s 2 ) = s 2, som stemmer bra i forhold til t = 2L/. Enheten til L er m m/s 2 = (m/s) 2, som stemmer bra i forhold til v 0 = 2L. Setter vi inn L = 1.0 m o = 9.8 m/s 2, finner vi at v 0 = 4.4 m/s, v = 6.3 m/s o t = 0.45 s. Vi skal deretter finne den utansvinkelen α (i forhold til horisontalen) som jør at vi treffer hullet med minst muli starthastihet v 0. Vi starter med å se på beveelsen mens ballen er på vei oppover. La oss her vele positiv y oppover. Da har vi: Dette ir vertikalhastihet Toppen nås når v y = 0, dvs Horisontalt har vi da kommet fram til y(t) = tv 0 sin α 1 2 t2 v y (t) = dy dt = v 0 sin α t t topp = v 0 sin α x topp = v 0x t topp = v 0 cosα v0 sin α 10 = v2 0 sin α cosα

11 mens vi vertikalt er ved y topp = t topp v 0 sin α 1 2 t2 topp = v2 0 sin2 α 2 Herfra o ned til bakken er det en avstand y topp + L. Vertikalt, fra toppen o ned, har vi fritt fall, med null (vertikal) starthastihet. Tiden det tar å komme se ned til bakken skulle dermed bli 2(ytopp + L) t ned = = 2 ( L + v2 0 sin 2 ) α 2 Total tid for hele ballens flytur blir t total = t topp + t ned = v 0 sin α + 2 ( L + v2 0 sin 2 α 2 I løpet av denne tiden skal ballen komme se til x = 2L. Hastiheten horisontalt er hele tiden v 0 cosα. Dermed: 2L = t total v 0x = v 0 cosα v 0 sin α ) + 2 ( L + v2 0 sin 2 ) α 2 Denne lininen må vi nå løse med hensyn på (for eksempel) v0 2. Stratei: Flytt første ledd på høyre side over til venstre, kvadrer bee sider o ordne slik at bare v0 2 står ijen på venstre side. Hvis je har renet rikti, får vi da der vi har brukt at v 2 0 = 2L cos 2 α + sin 2α 2 sin α cosα = sin 2α Minimumsverdi for v0 2 (o dermed for v 0) finner vi til slutt ved å derivere v0 2 vinkelen α o sette lik null. Litt renin ir da svaret med hensyn på tan 2α = 2 dvs α = 1 arctan Oppave 10 a) Produktet av a o t står oppe i eksponenten o må være dimensjonsløst. Altså er a en invers tid, med enhet s 1. Produktet bt ir en vinkel, som (f.eks) måles i radianer, men som ikke eentli har noen enhet i den forstand. Enheten til b blir derfor 1/s. r 0 er en lende, med enhet m. 11

12 b) Innsettin av t = 0 ir r = r 0 o θ = 0. Polarkoordinatene r o θ anir hhv avstand fra orio o vinkel på posisjonsvektoren r i forhold til x-aksen. Partikkelen starter altså i (x, y) = (r 0, 0). Innsettin av t = ir r = 0. Partikkelen ender dermed i orio. c) Partikkelbanen vil avhene av forholdet mellom a o b. La oss anta at a er forholdsvis liten sammenlinet med b. Da vil partikkelen foreta flere runder rundt i planet, med stadi avtaende avstand til orio. Med andre ord, en spiralformet bane som ender opp i orio. y r 0 x d) Vi rener rett o slett ut: o v r = dr dt = ar 0e at v θ = r dθ dt = br Hastihetsvektoren kan dermed skrives, i polarkoordinater, v = ar 0 e atˆr + brˆθ 12