Fysikk for ingeniører. 4. Arbeid og energi. Løsninger på blandede oppgaver. Side 4-1

Transkript

1 4 rbeid o eneri Løsniner på blandede oppaer Side 4 - Løsniner på blandede oppaer Oppae 4: a) Je et at når riksjonstallet er µ, er størrelsen a riksjonskraten = µ N der N er normalkraten ra underlaet Siden bilen kjører på horisontal ei, er N m = N = m slik at = µ m Når problemet skal løses med beeelseslikniner, benytter i at riksjonskraten er den eneste kraten som irker i beeelsesretninen Med beeelsesretninen som positi retnin il riksjonskraten bli neati, slik at a = ma µ m = ma µ = For å inne akselerasjonen bruker je ormelen ( m/s) ( m/s ) = a( x x) a = = = 5 m/s ( x x ) ( m m) m Her har je benyttet at 6 km/h = 6 = m/s 6s Da blir a ( 5m/s ) µ = = = 55 98m/s Når i benytter eneri, år i: m W = m W = m ordi = m/s Men W = L = µ m L, slik at m/s µ ml = m µ = = = 55 L 98m/s m b) Når du bremser i en unnabakke, har du et riksjon-på-skråplan -problem Vi dekomponerer deror kretene som ist på iuren nedenor til enstre, o setter opp Newtons lo: Gx a N m N G = y F Likninen or y-komponenten ir N G G y = N = m cos x y Likninen or x-komponenten ir nå G y Gx = m a x Dessuten et i at G=m F = µ N = µ m cos

2 4 rbeid o eneri Løsniner på blandede oppaer Side 4 - Dermed år i a = ( Gx ) = ( m sin µ m cos) = ( sin µ cos) m m = 98m/s sin 55cos = 76 m/s Finner bremsestrekninen x a ormelen = a x x der x = m er startpunktet or oppbremsinen, = m/s er startarten o = m/s er sluttarten Je år = a x x x = x + = m + m/s m/s = 658m a 76 m/s Så skal i løse problemet med å benytte eneri Med en bremsestreknin x blir høydeorskjellen mellom start- o sluttniå or bremsestrekninen h= xsin, slik at når sluttarten er lik null, o nullniået or potensiell eneri lees der bilen stopper, blir enerilikninen: mh + m F x = m xsin + m µ m cos x = x( sin µ cos) + = ( µ ) ( m/s) x = = = 658m cos sin 98m/s 55 cos sin ( ) c) Vår enn med dårlie dekk har et riksjonstall på µ = 8 55 = 4 Når i skal berene bremsestrekninene, er det lettest å benytte de ormlene i ant ed å benytte eneri På horisontal ei: m/s µ ml = m L = 5m µ = 4 98m/s = I unnabakke blir det erre Der ant i at bremsestrekninen er ( m/s) x = = = 87 m µ cos sin 98m/s 4 cos sin Vi ser at mens bremsestrekninen på horisontal ei bare øker ra m til 5 m når dekkene blir litt dårliere, il bremsestrekninen i år unnabakke med helninsinkel på nesten tredobles ra 658 m til 87 m Kanskje på tide å kjøpe nye interdekk? d) Vi shopper ormler ra det i allerede har jort, o benytter eneriresonnementet Med en bremsestreknin x blir mh + m x = der h= xsin o F = µ N = µ m cos Setter inn o ordner:

3 4 rbeid o eneri Løsniner på blandede oppaer Side 4 - ( µ ) m xsin + m µ m cos x = x µ cos sin = x = cos sin Vi må kree at bremsestrekninen x er positi, slik at sin µ cos sin > µ > = tan cos Oppae 4: h D D,x h a) Leer nullniå or potensiell eneri jennom Da blir enerilikninen: mh + m = mh + m = = = = = b) Nå lønner det se å lee nullniå or potensiell eneri jennom Høydeorskjellen mellom o er h = sin = Den mekaniske enerien er den samme i som i, slik at mh + m = m h + m = = = = = c) Siden det ikke er noen akselerasjon i horisontal retnin ra til D, er D =,x = sin = Leer nullniå or potensiell eneri jennom Den mekaniske enerien er den samme i D som i, slik at enerilikninen blir: mh + m = mh + m = D = 7 D = h + = h + = h + h = = Oppae 4: I ytterposisjonene har klossen inen kinetisk eneri Den potensielle enerien i tyndeeltet er like stor i bee posisjoner Normalkraten ra underla mot kloss er N = m slik at riksjonskraten blir = µ N = µ m Denne riksjonskraten irker oer en streknin s = x+ x, o utører et arbeid W = F s = µ m x + x

4 Da kan i sette opp enerilikninen kx µ m x + x = kx 4 rbeid o eneri Løsniner på blandede oppaer Side 4-4 kx k( x x ) k( x x ) ( x+ x) ( + ) ( + ) m ( x + x ) kx µ = = = m x x m x x ( ) 98N/m 6 m = = 5 8 k 98m/s ( x ) k x = m Oppae 44: Når helninsinkelen er =, o skråplanet har lenden l, blir h h h h sin = l = = = = h l sin sin a) m enytter Newtons lo under beeelsen ned skråplanet Da er m sin = m a a = sin = sin = Når startarten =, blir 4h 4h h h h l = h = at t = = = 8 t = 8 = a lternatit kan i bruke eneri or å inne arten ed oten a skråplanet: mh = m = h = h Når = blir = at a = t 4h 4h h l h at t t t t h b) N Når partikkelen bruker en tid t = 4 h ned skråplanet, blir F 4h 4h 4h l = h = at a = = = = h 4 t h 6 ( 4 ) Friksjonskraten er itt ed = µ N = µ m cos m Newtons lo or beeelsen på skråplanet ir nå m sin F = m a m sin µ m cos = m a µ = µ = µ = 4 4 Oppae 45: a) Leer nullniå or tyndens potensielle eneri i banens laeste punkt Siden hopperen ikke har startart, er den mekaniske enerien på toppen

5 4 rbeid o eneri Løsniner på blandede oppaer Side 4-5 Wtopp = m ( xmax + l ) I det laeste punktet på banen er det heller inen art, slik at i kun har potensiell eneri i strikken Denne potensielle enerien er itt ed Wbunn = kx max Siden i kan se bort ra lutmotstand, har i at Wtopp = Wbunn m ( xmax + l ) = kx max m ( x ) max + l 8k m/s 9 + m k = = = 58 N/m xmax ( 9m ) b) I det nederste punktet i banen påirkes hopperen a tyndekraten nedoer o strikkkraten oppoer Med positi retnin oppoer år i: F = k xmax m = ( 58 N/m ) ( 9 m ) ( 8k ) ( m/s ) = 44 N Da blir akselerasjonen F 44 N 544m/s a = = (eller ca 54) m 8k c) For hopperen med masse m = k, blir enerilikninen m ( x + l ) = kx der x er den nye orlenelsen a strikken Setter inn tall (o dropper beneniner): ( x + ) = 58 x x + = x x = 6 9 9x 6 ± 4 9 ( 6 ) ± 54 x = = 9 58 Vi kan åpenbart bare bruke plusstenet Da år i x m Oppae 46: a) m sin N F m cos Når klossen lir nedoer skråplanet, er riksjonskraten rettet oppoer lans skråplanet Når klossen ikke har akselerasjon, er m sin = = µ N = µ m cos sin µ = = tan = tan = 6 cos = m b) Problemet kan løses på to måter:

6 4 rbeid o eneri Løsniner på blandede oppaer Side 4-6 Med Newtons lo: Når klossen lir oppoer, irker riksjonskraten nedoer lans skråplanet Vi bruker samme iur, men snur retninen på riksjonskraten Med positi retnin oppoer år i: m sin = m a Setter inn at = µ m cos = tan m cos = m sin, o år m sin m sin = m a a = sin Da kan i bruke en beeelsesliknin, o husker at sluttarten = m/s : = as = as = ( sin ) s = 4s sin = ( 98m/s ) ( 89 m ) sin = 44 m/s Med eneri: Høydeorskjellen mellom start- o sluttpunkt er h = s sin Da kan i sette opp denne enerilikninen: m = F s + mh = m sin s + m ssin = mssin = 4s sin = 44 m/s Oppae 47: h m Dersom partikkelen skal ære i kontakt med renna i topp-punktet, må partikkelen der ha en art som minst er så stor at sentripetalkraten er lik tyndekraten: m = m = Da må partikkelen slippes ra en høyde h som minst er så stor at 5 mh = m + m h = + h = Oppae 48: a) Punktet lier en høyde h= høyere enn Når partikkelen så idt kommer opp til, betyr det at partikkelens kinetiske eneri kan nelisjeres i Da er m = m = Vi ser at lier en høyde h= høyere enn Tilsarende resonnement ir m = m = b) Så snart partikkelen har passert, beinner den se i en sirkel med radius Den har da en sentripetalakselerasjon a = = = med retnin inn mot sentrum, ds rett oppoer Vi kaller kraten ra renna mot partikkelen or F Newtons lo ir nå

7 4 rbeid o eneri Løsniner på blandede oppaer Side 4-7 F m = ma F = m + m = m F 6 6 m m sin 6 = m Like ør partikkelen passerer, er sentripetalakselerasjonen a = = = iuren ser i at kraten F ra renna mot partikkelen er itt ed F m = m a F = m + m = m Oppae 49: Når jærene er kommet til ro, er kretene i de to jærene like store nta at orlenes en streknin x, mens da orlenes en streknin d x Da er kd k d 5 kx = k( d x) kx + kx = kd x= = = d k + k k + k 8 Dermed il orlenes en streknin 5 d x = d a = d Oppae 4: a) 6 ο iuren ser i at h = sin =, o at h = Siden klossen slippes uten startart, år i mh = m = h = = mh = m = h = b) 6 ο N 6 ο G Så lene partikkelen beinner se på den rette banestrekninen, har den inen akselerasjon inkelrett på banen Da er (se iuren øerst til enstre): N m cos = N = m cos 6 = m Når partikkelen er kommet oer på den sirkelormede delen a banen med art, år den en sentripetalakselerasjon a = som har retnin inkelrett på banen Like etter at N partikkelen har passert punktet, blir N m cos = man

8 4 rbeid o eneri Løsniner på blandede oppaer Side ο N N N = m cos6 + m ( ) = m + m = m + m = m G G Like ør klossen kommer til, er den remdeles inne i sirkelbeeelsen Men Newtons lo blir nå (se iuren oenor): ( ) N m = ma = N m m m N m m m = = = + = c) Dersom klossen skal øle renna, må arten i høyst ære så stor at sentripetalkraten er lik tynden, ds at m m = = Men i et jo at = Da er arten or stor til at klossen il øle renna