Øving 4. Kanskje litt mye å gjøre på denne øvingen, men mange av spørsmålene tar kort tid å besvare.

Transkript

1 FY/TFY445 Mekanisk fysikk. Institutt for fysikk, NTNU. Høsten 24. Veiledning: september. Innleveringsfrist: Mandag 29. september kl 4. Øving 4 Kanskje litt mye å gjøre på denne øvingen, men mange av spørsmålene tar kort tid å besvare. Oppgave : Tyngdepunkt y R x a) En tynn, jevntykk bøyle er en del av en sirkel og har sektorvinkel 2, som vist i figuren. Sirkelradien er R. Vis at tyngdepunktet er X = R sin. Hva blir resultatet for = π og? Er svarene rimelige? b) Bøylen erstattes av en sirkelsektor (dvs ei tynn, jevntykk skive) med samme åpningsvinkel 2 og radius R. Vis at tyngdepunktet er X = 2 3 R sin. Hva blir resultatet for = π og? Er svarene rimelige? c) Vis at massesenteret til ei kompakt halvkule ligger i avstand 3R/8 fra sentrum av den sirkulære bunnflaten. Oppgave 2: Litt ymse a) En kloss sendes oppover et skråplan. Det er friksjon mellom klossen og underlaget. Hvilken eller hvilke av figurene viser mulig graf for klossens hastighet v? (s angir klossens posisjon på skråplanet, og v og s er begge positive i retning oppover skråplanet.) A) Kun graf. B) Kun graf 2. C) Graf 2 og 4. D) Graf og 3. v v 2 s s v 3 s v 4 s A B C D b) Ei vogn har stor nok hastighet til å fullføre en vertikaltstilt sirkelformet loop. Hvilken figur viser riktige akselerasjonsvektorer på de fire stedene på loopen (nederst, øverst, venstre og høyre)? (Se bort fra friksjon.)

2 2m v FØR 5m ETTER 3m v c) En kloss med masse 2m kolliderer fullstendig uelastisk med en kloss med masse 3m. Før kollisjonen har klossen med masse 2m hastighet v mens klossen med masse 3m ligger i ro. Etter kollisjonen har klossene felles hastighet v. Hvor mye mekanisk energi har gått tapt i kollisjonen? A) mv 2/3 B) 2mv2 /5 C) 3mv 2/5 D) mv2 Oppgave 3: Saturn V, trinn Rakett-typen som blant annet sørget for å bringe Apollo fra jorda til månen i juli 969 kalles Saturn V. I det første av i alt tre rakett-trinn ble 3.2 tonn drivstoff forbrent pr sekund (dvs dm/dt = kg/s) og blåst ut bakover med en hastighet u = 2.58 km/s relativt raketten. Etter 2.5 minutter var alt drivstoff i trinn brukt opp. Oppskytingen startet med raketten i ro på bakken, der tyngdens akselerasjon er g = 9.8 m/s 2. Total masse før avreise var kg. a) Bruk rakettligningen (som vi utledet i forelesningene) til å vise at rakettens hastighet etter en tid t blir ma = F ytre +F skyv v(t) = uln m m gt. Her er m startmassen, mens m = m(t) er gjenværende masse ved tidspunktet t. Vi har valgt positiv retning oppover, slik at ytre kraft på raketten er mg. Skyvkraften er u β, der u er eksosens hastighet relativt raketten og β = dm/dt angir forbrent drivstoffmasse pr tidsenhet. Her er både u og β negative størrelser, og vi antar at de begge er konstante, som antydet innledningsvis. Vi antar også at tyngdens akselerasjon g kan regnes som konstant. (Denne antagelsen kan du se nærmere på i et frivillig ekstrapunkt e) nedenfor.) b) Hvor stor må skyvkraften minst være for at raketten i det hele tatt skal ta av fra bakken? Sjekk at dette var tilfelle for Saturn V. Regn ut drivstoffmassen m d ved avreise, t =, og rakettens sluttmasse m f ved tidspunktet t f, dvs idet alt drivstoff er brukt opp. c) Vis at rakettens akselerasjon kan skrives som a(t) = uβ m +βt g. Bestemakselerasjonenvedt =.Bestemogsåakselerasjonoghastighetvedsluttenavtrinn,dvsvedt = t f. d) Det oppgis at dersom x, er det en god tilnærmelse å erstatte brøken /( + x) med polynomet x. (Prøv for eksempel med x =..) Bruk Rottmann til å verifisere at /(+x) x når x. Bruk deretter denne opplysningen til å vise at a lin (t) = a() uβ2 m 2 er en god tilnærmelse for a(t) så lenge t m /( β). Ta utgangspunkt i MATLAB-programmet rakett.m og modifiser linjene 25 og 48 slik at du får plottet a(t) og a lin (t) i samme figur, for < t < t f. Anslå på t 2

3 øyemål ved hvilket tidspunkt a lin (t) begynner å bli en mindre god tilnærmelse for a(t). Modifiser videre linje 27 slik at du får plottet v(t) i en annen figur. (For innlevering, lagre figurene i pdf-format og send som vedlegg pr epost til din studass.) e) (Frivillig ekstraoppgave) Hvor høyt, h f, kommer raketten i løpet av dette første oppskytingstrinnet? Raketten trekkes mot jorda med gravitasjonskraften F G = GMm r 2, der G er gravitasjonskonstanten, M er jordmassen, m er rakettmassen og r er avstanden mellom raketten og jordas sentrum. Anta at jorda er kuleformet med radius R = km. Hvis du har regnet riktig, har du kommet fram til at h f er i underkant av 6 km. Bruk disse verdiene til å anslå hvor stor feil du har gjort underveis i dine regninger ved å bruke den konstante verdien 9.8 m/s 2 for tyngdens akselerasjon. Oppgave 4: I for kuleskall og kompakt kule Vis at I = 2MR 2 /3 for et tynt kuleskall og at I = 2MR 2 /5 for ei kompakt kule. Tips, kuleskall: Del opp kuleskallet i tynne ringer med omkrets 2πRsinθ og bredde Rdθ, dvs masse dm = MdA/A = M 2πRsinθ Rdθ/4πR 2, og legg sammen (dvs integrer). Tegn figur! Du kan få bruk for sin 3 x = (3/4)sinx (/4)sin3x. Tips, kompakt kule: Del opp kula i tynne kuleskall med radius r, tykkelse dr, og dermed masse dm = MdV/V = M 4πr 2 dr/(4πr 3 /3), og legg sammen (dvs integrer). Tegn figur! Oppgave 5: Idrett og treghetsmoment (Bruk resultatene i oppgave 4. Slå opp tallverdier eller gjør rimelige estimater.) a) Hva er treghetsmomentet til en bordtennisball mhp en akse gjennom CM? A) kg m 2 B) kg m 2 C) kg m 2 D) 7.2 kg m 2 b) Hva er treghetsmomentet til ei friidrettskule (for menn) mhp en akse gjennom CM? A) kg m 2 B). kg m 2 C). kg m 2 D). kg m 2 3

4 Oppgave 6: Parry People Movers Energien i en tung roterende skive ( flywheel ; svinghjul) kan utnyttes til å drive en trikk eller buss framover og oppover, som et alternativ til eksterne strømførende ledninger, bensin eller gass. I en Parry People Movers trikk benyttes kompakte stålskiver på 5 kg, diameter m, og rotasjonshastighet opp mot 25 rpm ( revolutions per minute ). I spørsmålene nedenfor antar vi maksimal rotasjonshastighet, der det er relevant. a) Hva er svinghjulets treghetsmoment I mhp hjulets sylinderakse (dvs en akse sammenfallende med akslingen)? A) 62.5 kg m 2 B) kg m 2 C) kg m 2 D) kg m 2 b) Hva er svinghjulets omløpstid (periode)? A) 2.4 s B).24 s C) 24 ms D) 24 µs c) Hva er svinghjulets vinkelhastighet? A).47 s B) 2.62 s C) 4.7 s D) 262 s d) Hva er svinghjulets kinetiske energi? A).59 Wh B).59 kwh C) 59 Wh D) 59 kwh 4

5 FY/TFY445 Mekanisk fysikk. Institutt for fysikk, NTNU. Høsten 24. Øving 4. Tips. Oppgave. a) Forholdet mellom massen dm til en liten bit av bøylen som dekker en liten vinkel dθ og total masse M må være lik forholdet mellom dθ og total vinkel 2. b) Forholdet mellom massen dm til en liten bit av skiva med arealet da = rdθ dr og total masse M må være lik forholdet mellom da og skivas totale areal A =... c) Rotasjon av ei tynn kvart skive omkring (f.eks) y-aksen gir kompakt halvkule. Rotasjon av ei lita flate med areal da = rdrdθ omkring y-aksen gir ring med volum dv = da 2πx, med x = rcosθ. For hele ringen er y = rsinθ. Oppgave 2. a) To krefter tangentielt til skråplanet, friksjonskraften og tyngdens komponent tangentielt. Pass på fortegnene. b) Energibevarelse. Sentripetalakselerasjon og baneakselerasjon. c) Impulsbevarelse. Oppgave 3. a) Multiplikasjon av den oppgitte bevegelsesligningen (N2) med dt/m separerer variablene v, t og m, slik at du kan integrere ligningen. b) Fasitsvar: m d =.98 6 kg, m f =.6 6 kg. c) Fasitsvar: a() =.39 m/s 2, a(t f ) = 22.3 m/s 2, v(t f ) =.25 km/s. d) Trekk ut en felles faktor slik at du får et uttrykk som inneholder /(+x), med en liten (og negativ) x. MATLAB-tips: Husk at du kan regne ut a og v for alle de N = 2 t-verdiene ved å bruke. (dvs punktum) foran divisjonstegn og multiplikasjonstegn. Mitt øyemål tilsier at a lin (t) er en brukbar tilnærmelse de første ca 2 sekundene. e) Integrer hastigheten v(t) for å finne tilbakelagt distanse. Du vil trolig få bruk for integralet lnxdx = x lnx x. Fasitsvar: h f = 58.4 km. Relativ feil ved å bruke g(h f ) = g(): ca 2%. Oppgave 6. a) Kompakt skive: I = MR 2 /2.

6 FY/TFY445 Mekanisk fysikk. Institutt for fysikk, NTNU. Høsten 24. Løsningsforslag til øving 4 Oppgave y dm a) Massen til del av bøylen innenfor vinkelelementet dθ er dm = λdl = λrdθ, R d θ θ x der λ = M/2R er bøylens masseprlengdeenhet (kg/m). Men i slike oppgaver kan det være like greit å ikke innføre massetettheter, idet vi kan uttrykke massen i vinkelelementet dθ som dm = (total masse) (dm sin andel av hele massen) = M dθ 2. Med denne dm og bruk av x = Rcosθ blir tyngdepunktets x-verdi X = M = R 2 Tyngdepunktets y-verdi er Y =, av symmetrigrunner. = π gir X =, som ventet for en hel sirkel. x dm = legeme M R M cosθ dθ 2 sin [sin sin( )] = R. gir (sin)/ og X = R, som ventet for en liten masse samlet i x = R. b) Massen til en infinitesimal del av sektoren innenfor vinkelelementet dθ og radius dr er dm = (total masse) (dm sin andel av hele massen) = M da A = M rdθ dr rdθ dr = M πr2 R 2. Med denne dm og bruk av x = rcosθ blir tyngdepunktets x-verdi 2 2π y dm R dr r d θ θ x X = M = R 2 = sektor θ= R 2 [sinθ] = 2 3 R sin. x dm = M M R R 2 r 2 cosθ dθdr θ= r= R cosθ dθ r 2 dr [ 3 r3 r= ] R

7 Tyngdepunktets y-verdi er Y =, av symmetrigrunner. Alternativt kan du bruke resultatet fra a) ved å betrakte sirkelsektoren som en sum av bøyler med radius fra til R. En bøyle med radius r har da X = r(sin)/ og masse (sammenlign med det som er gjort ovenfor) og vi får X = M dm = M da bøyle A allebøylerx dm = M R = M r 2 dr 2r dr 2 = M 2π πr2 R 2, r sin M2r dr R 2 = sin 2 R R 2 r 2 dr = 2 3 R sin. = π gir X =, som ventet for en hel sirkel. gir (sin)/ og X = 2R/3, som vel er rimelig for en meget smal sirkelsektor. c) Av symmetrigrunner er X CM = Z CM =. Rotasjon av flateelementet da om y-aksen i figuren nedenfor gir ring med volum dv = 2πrcosθ rdθdr: y dθ R r sin θ r dr θ r cos θ x Denne ringen har masse dm = MdV/V, der M er total masse og V = 2πR 3 /3 totalt volum for halvkula. Dermed: Y CM = ydm M = 3 2πR 3 π/2 R = 3 R 3 ( R r 4 /4 = 3R 8. θ= r= ) ( π/2 rsinθ 2πr 2 drcosθdθ ) 2 sin2 θ 2

8 Oppgave 2. a) C. Graf 4 er åpenbart mulig: Klossen glir oppover med konstant (negativ) akselerasjon og blir liggende i ro dersom friksjonen mot underlaget er stor nok. Alternativt glir den ned igjen, igjen med konstant akselerasjon, men nå med mindre akselerasjon, siden både friksjonskraften og tyngdens komponent tangentielt med skråplanet virker mot bevegelsen når klossen er på vei opp (mens bare friksjonskraften virker mot bevegelsen hvis klossen er på vei ned). Dermed er også graf 2 en mulighet. b) D. Mekanisk energi er bevart, så hastigheten er mindre på toppen enn ved bunnen. Dette er nok til å fastslå at D er riktig figur, siden sentripetalakselerasjonen er v 2 /r. På høyre og venstre side har vi i tillegg baneakselerasjonen g rettet nedover, som gir total akselerasjon på skrå nedover og inn mot midten. c) C. Impulsbevarelse gir 2mv = 5mv, dvs v = 2v /5. Energitapet er dermed K K = (/2)2mv 2 (/2)5m(2v /5) 2 = 3mv 2 /5. Oppgave 3. a) Rakettligningen: m dv dt = mg +udm dt. Vi ganger ligningen med dt/m og integrerer, fra til v for v, fra til t for t, og fra m til m for m: v t m dm dv = g dt+u m m, som gir v(t) = gt+uln m m = uln m m gt. b)måhaskyvkraftminstlikestorsomtyngdekraften m g = N.Hererskyvkraftenlikuβ = N, så raketten vil lette fra bakken. Drivstoffmassen ved avreise er m d = βt f =.98 6 kg. Raketten uten drivstoff har masse m f = m m d =.6 6 kg. c) Fra rakettligningen har vi umiddelbart a(t) = dv dt = g + u dm m dt = uβ m g. Med konstant drivstoff-forbruk har vi m = m + βt, og dermed a(t) som oppgitt. Ved t = : a() = uβ/m g =.39 m/s 2. Ved t = t f : a(t f ) = uβ/m f g = 22.3 m/s 2. d) Vi kan skrive a(t) = uβ m +βt/m g. Hvis t m /( β), så er x = βt/m. Dermed er som oppgitt. a(t) a lin (t) = uβ ( βt ) g = a() uβ2 m m m 2 t, 3

9 Figurer produsert med Matlab-programmet rakettlosning.m for hhv akselerasjon og hastighet som funksjon av t: Oving 5, oppgave : Akselerasjon 2 Akselerasjon (m/s 2 ) Tid (s) 2 Oving 5, oppgave : Hastighet Hastighet (m/s) Tid (s) På øyemål anslår vi at den lineære tilnærmelsen til a(t) er god omtrentlig de første 2 sekundene. e) Tilbakelagt distanse er gitt ved Vi har at h(t) = t v(t)dt. lnxdx = xlnx x, siden den deriverte av høyre side her gir tilbake ln x. Litt fundering på hvordan riktige konstanter skal velges 4

10 her og der gir da h(t) = u m +βt β ln m +βt m ut 2 gt2, og setter vi inn t = t f = 5 s her, finner vi at h(t f ) = m 58.4 km. Forholdet mellom g(), dvs g ved jordoverflaten, og g(h), dvs g i høyden h over bakken, er ( ) g() R+h 2 g(h) =. R Setter vi inn R = km og h = h f = 58.4 km, finner vi at dette forholdet blir ca.2. Med andre ord, vi gjør ikke større feil enn et par prosent ved å bruke samme verdi 9.8 m/s 2 for g for hele distansen. Oppgave 4. θ R d θ ρ = R sin θ x da = 2 πr sin θr d θ Vi setter dm = M da/a, med A = 4πR 2 = arealet av hele kuleskallet og da = 2πρ Rdθ = 2πRsinθ Rdθ = arealet av en smalringmedomkrets2πrsinθ ogbredderdθ.hererθvinkelen mellom (rotasjons-)aksen og linjen fra kuleskallets sentrum ut til den smale ringen, se figur. Dermed: π I = (Rsinθ) 2 M 2πR2 sinθdθ 4πR 2 = 2 MR2 sin 3 θdθ. Vi bruker tipset gitt i oppgaven og finner π π ( sin 3 cos3θ θdθ = 4 (3sinθ sin3θ) = π 3cosθ ) = , slik at I = 2 3 MR2. Vi betrakter ei kompakt kule som mange tynne kuleskall utenpå hverandre, hver med treghetsmoment di = 2r 2 dm/3, radius r, masse dm = M dv/v, der V = 4πR 3 /3 er kulas totale volum, og dv = 4πr 2 dr er volumet til et kuleskall med radius r og tykkelse dr. Dermed: I = di = R 2 3 r2 M 4πr2 dr 4πR 3 /3 = 2M R 3 R π r 4 dr = 2 5 MR2. Alternativ metode: La x-aksen være rotasjonsaksen og del opp kula i tynne skiver med tykkelse dx og radius R 2 x 2, og dermed volum dv = dx π(r 2 x 2 ) og masse dm = MdV/V = M dx π(r 2 x 2 )/(4πR 3 /3). Treghetsmomentet til ei slik skive er di = dm (R 2 x 2 )/2, slik at kulas treghetsmoment blir I = di = dm (R 2 x 2 ) 2 = 2 R M dx π(r 2 x 2 ) 2 4πR 3 (R 2 x 2 ) /3 = 3M R 4R 3 (R 4 2R 2 x 2 +x 4 )dx = 2 5 MR2 5

11 Oppgave 5. a) Bordtennisball: m = 2.7 g =.27 kg og r = 2 mm =.2 m. Dermed: I = 2mr 2 /3 = kg m 2. Riktig svar: B. b) Kule, friidrett, menn: M = 7.26 kg og R = 6 mm =.6 m. (Helt presist: Mellom 55 og 65 mm.) Dermed: I = 2MR 2 /5 =. kg m 2. Riktig svar: D. Oppgave 6. a) I = MR 2 /2 = /2 = 5/8 = 62.5 kg m 2. Riktig svar: A. b) 6 sekunder pr minutt og 25 omløp pr minutt gir T = 6/25 =.24 s = 24 ms. Riktig svar: C. c) ω = 2π/T = 2π/.24 = 262 s. Riktig svar: D. d) K = I ω 2 /2 = /2 = 2.4 MJ, som omregnet ( kwh = 3.6 MJ) gir.59 kwh. Riktig svar: B. 6