TEK5020/TEK Mønstergjenkjenning
|
|
- Gudrun Økland
- 6 år siden
- Visninger:
Transkript
1 Sammendrag og eksempler Lineære diskriminantfunksjoner (Gradientsøk, perceptronmetoden) UiO : Institutt for teknologisystemer Høsten 2018 (22. oktober 2018)
2 Diskriminantfunksjoner Utvidet egenskapsrom Separerende hyperplan, løsningsvektor og løsningsregion y2 ω1 Separerende hyperplan Løsningsregion a ω2 y1 1
3 Diskriminantfunksjoner Utvidet egenskapsrom Representasjon i y-rom med fortegnskonvensjon y2 y1 = 1 ω1 Separerende hyperplan Løsningsregion a ω2 1 y1
4 Trening av vektvektor - gradientsøk Minimalisering av kriteriefunksjon - gradientsøk En kriteriefunksjon J(a) skal minimaliseres for å finne en optimal vektvektor. Gradientsøk: a 1 = vilkårlig startverdi a k+1 = a k ρ k J(a k ), k = 1,2,... der ρ k er en positiv skrittlengde (inkrementet). Forhåpentligvis oppnås konvergens mot et globalt minimum, men løsningen vil avhenge av J(a),a 1 og ρ k. For stort inkrement kan gi divergens, mens for liten verdi kan føre til langsom konvergens.
5 Perceptron-kriteriet Her velges kriteriefunksjonen: J p (a) = a t y der Y = {y : a t y 0}. y Y Her er Y mengden av feilklassifiserte sampler fra treningssettet. Egenskaper ved Perceptron-kriteriet: J p (a) er kontinuerlig i a og skal minimaliseres mhp. a, J p (a) def = 0 når Y = /0 dvs. ingen feilklassifiseringer, J p (a) = 0 kun når a er en løsningsvektor eller a = 0, og J p (a) > 0 dersom minst ett sample er feilklassifisert mht. a, dvs. a t y 0 der y er feilklassifisert. Minimalisering gir et hyperplan med flest mulig sampler på positiv side og/eller nær opp til hyperplanet på negativ side.
6 Perceptron-algoritmen Gradienten til kriteriefunksjonen er: J p (a) = y y Y Gradientsøket skissert i foregående avsnitt gir da følgende algoritme: a 1 = vilkårlig startvektor a k+1 = a k + ρ k y, k = 1,2,... Perceptron-algoritmen y Y k der: Y k = {y : a t k y 0} = mengden av feilklassifiserte sampler mht. a k. Her oppdateres vektvektoren etter et helt gjennomsøk av treningssettet (sammensatt oppdatering).
7 Enkeltsample oppdatering Forenklet algoritme der vektvektoren oppdateres for hvert feilklassifiserte sampel: } a 1 = vilkårlig startvektor a k+1 = a k + ρ k y k Variabelt-inkrement regelen, k = 1,2,... der y k, k = 1,2,... er feilklassifisert med hensyn til a k. Det er vanlig å betrakte sampler der a t k y k b (med marginen b > 0) som feilklassifiserte. Dette gir en sannsynligvis mer robust løsningsvektor inne i løsningsregionen. Indeksen k er en fortløpende nummerering av feilklassifiserte sampler i en syklisk gjennomløping av treningssettet y 1,y 2,...,y n. Eksempel med n = 4: y 1 y 2 y 3 y 4 y 1, y 2, y 3, y 4, y 1, y 2, y 3, y 4, y 1, y 2, y 3, y 4,... y 5
8 Fast-inkrement regelen. Et spesialtilfelle av variabelt-inkrement regelen med inkrementet satt til en fast verdi, f.eks. ρ k = ρ = 1. Enkeltsample-algoritmen redusert derved til: } a 1 = vilkårlig startvektor a k+1 = a k + y k, k = 1,2,... Fast-inkrement regelen Sampelet representert ved y k er her feilklassifisert med hensyn til vektvektoren a k.
9 <latexit sha1_base64="fegr7deequuhhrwfzwyl6ehdt/u=">aaacdhicbzdlssnafizp6r3eqoibn8eiujcsdknl0y3lfq0ksait6wkdojmjm5nkcxkexeqlubo3vombn8ihchpzepth4om/53do/hhkmtae9+6uzmbn5hcwl8rlk6tr65wnzuudzipiiyy8udcx0cizxjzhhun1qpcimonv3d8d1a8gqdrl5iuzphgj0posyygx1jon7xq7uvvq3ljux/cnud3ebn7caecjxfkmownnbepdode68l3urdlrhlgortnmnkae9kkpa4uscnrrpj61cpes03g7ibjpgnfsfp/iidb6kglbkyi51b9ri/mgfv+vg8x0j6kcytqzkolkvzfjrknc0dfddlnidr9aifqxe65lb4ki1niayqfcixc0eylith4okbabh+vhlpkqxxq2jv93kh/hsl7zltdtxicw0slswc7sgw+hcaxn0iawuojbptzck/pgpdsvzuuktermz7bgh5y3l+o8nxg=</latexit> <latexit sha1_base64="gurrfc1gjqm4o8pnk4pqge8gmaq=">aaacdhicbzc7sgnbfizn4y3gw1swsvkmgowe3trahthyjmgukf3c7oqkgtizu8zmrskyj6clpowdndij72dju/gati6fjv4w8pgfczhn/ibivgnh+bqyk6tr6xvzzdzw9s7uxn7/okhcwbkok5cfshvgbywkqguqgbqiczghdjrb8gpsb45akhqkwz2owoe4l2ipeqyndym7pu6+4bsdqexlcodqkb/vvuhz5b3ayx973zdehiqmdcvvdp1i+wmwmhigac6lfusydhef2gyf5qd8zhpqap8ap2v3qmme0pbu/t2ryk7umaemk2m9uiu1ixke8p/k7vj3lv2eiijwimhsvy9mtg7tydftlpvanbsbwersc65nblhiok1aou+cgdssco5fn/fgqnk26ydewjocm6ymjncxlgvoliqu4zrjq4jmyqjjdilokisuubldoyqqi4l66b49oifrwxqxxq23wwvgms8coj+ypn4adosfna==</latexit> <latexit sha1_base64="gurrfc1gjqm4o8pnk4pqge8gmaq=">aaacdhicbzc7sgnbfizn4y3gw1swsvkmgowe3trahthyjmgukf3c7oqkgtizu8zmrskyj6clpowdndij72dju/gati6fjv4w8pgfczhn/ibivgnh+bqyk6tr6xvzzdzw9s7uxn7/okhcwbkok5cfshvgbywkqguqgbqiczghdjrb8gpsb45akhqkwz2owoe4l2ipeqyndym7pu6+4bsdqexlcodqkb/vvuhz5b3ayx973zdehiqmdcvvdp1i+wmwmhigac6lfusydhef2gyf5qd8zhpqap8ap2v3qmme0pbu/t2ryk7umaemk2m9uiu1ixke8p/k7vj3lv2eiijwimhsvy9mtg7tydftlpvanbsbwersc65nblhiok1aou+cgdssco5fn/fgqnk26ydewjocm6ymjncxlgvoliqu4zrjq4jmyqjjdilokisuubldoyqqi4l66b49oifrwxqxxq23wwvgms8coj+ypn4adosfna==</latexit> <latexit sha1_base64="yg96b/uchmyaxymw5lwhm8ivn04=">aaacdhicbzbltsmweiad8irlvwdjjijcyogqpbtyvrbhwqr9se1uoc60two7ke0uvvgoaeu4cdveljtwdw6a22yblb9k6dm/m5rxhyamku26x1zpbx1jc6u8xdnz3ds/qb4etvwcsgiternydkosgfeblu01g24iafoqqscc38zqnqlirwpxokcjbbwpbr1qgrwx7ng/3q86bs2dy14frwahfwr2q99+fjoug9ceyav6npvoimnsu8igr/ipggstmr5cz6dahfsqzu/n7tpjrpygluyjbc/d3xmz5kpnewg6odyjtvybmrch/6/cs/xgksiosfingix2dvjm69iefd2oqasi2dqajpkac20ywhitbqkq+biepjkycyyizj8ayxtekpkhzxwvz01m3nioq9cu1zzdd67tuc4ck6mtdirokycuuqpdoizqiykg6am9offr2xqz3q2prwvjkmao0r9znz8boput</latexit> <latexit sha1_base64="wkdbzxqhwk0ph5txgfg1rbjcapq=">aaacdhicbzblsgnbeizrfmb4igpu3awgwyxijbtdbt24tna8idpenk4lnnb3dn09ktdmexspf3enbr2dg0/haewkljtxh4apv6qo6j9konpg8z6cufmfxaxlwkpxdw19y7o0td3qcaoo1mnmy9wkiebojnynmxxbiuiiio7n6o5ivg8ougkwy2sztdaupc9zj1firhvfon6nvpaovbhcwfb/ofzzrx3eaec1u/okujfnbupdodg67xujctoidkmc82kqakwivsn9bfuurkaos/gpuxtgna7bi5v90rhj9/derotwqxhztkhmrz6ujcyjspxxbqemdxzmtcapquknu3opd03sjr7udplcavjqaqgk2xndeksuocygvawusrynsrbedrnggdrv+2ewrcir+3luy/knq5mfxsmxb7lm8zqhiqqwb/twcd6cqguuoqp1onchb3icz+frexfenbdj65zzm7mdf+s8fwpolp13</latexit> <latexit sha1_base64="lzzugzbw7s3wwpfolzvsluumfxo=">aaacdhicbzc7sgnbfiznvcz4iwo2notbsjcwa6nlii1lguycu0uynzwkq2zml5nzsfj2ebtup7czezvxhwx8ch/ayaxqxb8gpv5zdufmh8amku04n9bs8srq2npui7+5tb2zw9jbb6gokqtqjgkrbivyaamc6ppqbq1yauyhg2y4ubrxm0oqikbivo9icdjucdqlbgtj3ec22y4unzizkb0i7gyk5cpaf32uvffbhw+/e5geg9ceyau814l1kgkpkwgq5f1eqyzjapfamygwbxwkk1mz+8q4hbsbsfoetifu74kuc6vgpdsdhou+mq+nzboq/1f2et29dfiq4ksdinnd3ytzorlhx7c7valrbgqae0nnutbpy4mjnghlfqkc7kjeorad1b8cytw3sp2qp0u3y0xm7nwoi9a4l7mgayavcpoqh47qmtpflrpazxsnqqiocoqhe/sinqwh68v6td6mruvwboya/zh18qn03p8z</latexit> <latexit sha1_base64="lzzugzbw7s3wwpfolzvsluumfxo=">aaacdhicbzc7sgnbfiznvcz4iwo2notbsjcwa6nlii1lguycu0uynzwkq2zml5nzsfj2ebtup7czezvxhwx8ch/ayaxqxb8gpv5zdufmh8amku04n9bs8srq2npui7+5tb2zw9jbb6gokqtqjgkrbivyaamc6ppqbq1yauyhg2y4ubrxm0oqikbivo9icdjucdqlbgtj3ec22y4unzizkb0i7gyk5cpaf32uvffbhw+/e5geg9ceyau814l1kgkpkwgq5f1eqyzjapfamygwbxwkk1mz+8q4hbsbsfoetifu74kuc6vgpdsdhou+mq+nzboq/1f2et29dfiq4ksdinnd3ytzorlhx7c7valrbgqae0nnutbpy4mjnghlfqkc7kjeorad1b8cytw3sp2qp0u3y0xm7nwoi9a4l7mgayavcpoqh47qmtpflrpazxsnqqiocoqhe/sinqwh68v6td6mruvwboya/zh18qn03p8z</latexit> <latexit sha1_base64="ylvol5ndc9pewgxztexonq2avd0=">aaacdhicbzbltsmweiydnqw8cizzrerilfcvsiflbruwrdch1esv40xaq7yt2u5rfeuisislsensuqp34ac4brbq8kuwpv0zoxn/ycqo0q77za2srq1vbfa2qts7u3v7typdtkoysabfepbibogvmcqgpalm0e0lyb4y6isjm2m9mwapacie9csfgoobodelwbvrhve9fs1x6+5m9jj4jtiovlnf+/ajhgqchcymk9xz3fqhozaaegzf1c8upjim8ab6bgxmoij8dmphnxonsunemie0pxn/t+sykzxhoenkwa/vym1qnof8v3iv0/fvkforzhoeme+km2brxj5+3y6obklzxaamkppzbtleehntaqr6egq8korzlklchwmpel6q+yhpha8otezeyijl0l6oe4bvxkdxxqzwqcfobj0hd12ibrpftdrcba3qe3pbr9az9wa9wx/z1hwrndlcf2r9/gazljus</latexit> Diskriminantfunksjoner Oppdateringen i fast-inkrement regelen a 2 a k+1 y k a t y k =0 y k a k a 1 Vektvektoren a k oppdateres ved å legge til det feilklassifiserte samplet y k (flyttes direkte mot hyperplanet gitt ved a t y k = 0). y k blir i dette tilfellet riktig klassifisert av den nye vektvektoren a k+1.
10 Konvergens av Perceptron-algoritmene Perceptron algoritmen med sammensatt oppdatering, variabelt inkrement regelen og fast inkrement regelen kan alle vises å konvergere mot en løsningsvektor dersom datasettet er lineært separabelt. Mange valg av ρ k gir konvergens, f.eks.: ρ k = ρ > 0 ρ k = ρ 0 /k ρ k = ρ 0 k (konstant inkrement) (langsomt avtagende inkrement) og til og med (voksende inkrement). Dersom man ønsker å finne en god vektvektor også for et ikke-separabelt sett, er det mest fornuftig å benytte et lite, konstant inkrement eller et langsomt avtagende inkrement.
Minimalisering av kriteriefunksjon - gradientsøk
Trening av vektvektor - gradientsøk Minimalisering av kriteriefunksjon - gradientsøk En kriteriefunksjon J(a) skal minimaliseres for å finne en otimal vektvektor. Gradientsøk: a 1 = vilkårlig startverdi
Ikke-separable problemer
Feilrettingsmetoder Ikke-separable problemer Feilrettingsmetodene konvergerer under gitte betingelser til løsningsvektorer for lineært separable problemer, men kan også gi gode resultater på ikke-separable
Innledning Beslutningsteori Parametriske metoder Ikke-parametriske metoder Diskriminantfunksjoner Evaluering Ikke-ledet læring Klyngeanalyse Oversikt
Oversikt Innhold i kurset Beslutningsteori (desisjonsteori) Parametriske metoder Ikke-parametriske metoder Lineære og generaliserte diskriminantfunksjoner Feilrateestimering og evaluering av klassifikatorer
Generalisering til mange klasser - feilrettingsmetodene
Mange klasser Generalisering til mange klasser - feilrettingsmetodene Kesslers konstruksjon - omskriving av c-klasseproblemet til et toklasseproblem. Her innføres en sammensatt vektvektor a og et sett
Unik4590/Unik9590/TTK Mønstergjenkjenning
Sammendrag og eksempler Universitetssenteret på Kjeller Høsten 2016 (15. oktober 2016) Hva er mønstergjenkjenning? Formålet med mønstergjenkjenning Gjenkjenne objekter - tilordne objekter til én av flere
Dimensjonalitetsproblemer (3)
Dimensjonalitetsproblemer Dimensjonalitetsproblemer (3) Ved å inkludere flere uavhengige egenskaper der µ i1 6= µ i2 i egenskapsvektoren vil r 2 øke og P(e) avta, slik at: P d+1 (e) apple P d (e). Dette
TEK5020/TEK Mønstergjenkjenning
Sammendrag og eksempler Innledning UiO : Institutt for teknologisystemer Høsten 2018 (18. august 2018) Hva er mønstergjenkjenning? Formålet med mønstergjenkjenning Gjenkjenne objekter - tilordne objekter
Unik4590/Unik9590/TTK Mønstergjenkjenning
Sammendrag og eksempler UiO : Institutt for teknologisystemer Høsten 2017 (14. august 2017) Hva er mønstergjenkjenning? Formålet med mønstergjenkjenning ˆ Gjenkjenne objekter - tilordne objekter til én
Unik4590/Unik9590/TTK Mønstergjenkjenning
Sammendrag og eksempler Universitetssenteret på Kjeller Høsten 2016 (17. august 2016) Hva er mønstergjenkjenning? Formålet med mønstergjenkjenning Gjenkjenne objekter - tilordne objekter til én av flere
Innledning Beslutningsteori Parametriske metoder Ikke-parametriske metoder Diskriminantfunksjoner Evaluering Ikke-ledet læring Klyngeanalyse Oversikt
Oversikt Innhold i kurset Beslutningsteori (desisjonsteori) Parametriske metoder Ikke-parametriske metoder Lineære og generaliserte diskriminantfunksjoner Feilrateestimering og evaluering av klassifikatorer
Følger og rekker. Department of Mathematical Sciences, NTNU, Norway. November 10, 2014
Department of Mathematical Sciences, NTNU, Norway November 10, 2014 Forelesning (03.01.2014): kap 9.1 og 9.2 Beskrivelse av følger eksempler og definisjon Egenskaper med følger Grenseverdi for følger (og
Løsningsforslag: Eksamen i MAT111 - Grunnkurs i Matematikk I
Universitetet i Bergen Matematisk institutt Bergen, 8. desember 006. Bokmål Løsningsforslag: Eksamen i MAT - Grunnkurs i Matematikk I Mandag desember 8, 006, kl. 09-4. Oppgave Gitt funksjonen f(x) = ln(
Normalfordelingen. Univariat normalfordeling (Gaussfordelingen): der µ er forventningsverdien og σ 2 variansen. Multivariat normalfordeling:
Normalfordelingen Univariat normalfordeling (Gaussfordelingen): p(x µ,σ 2 ) = 1 µ)2 (x e 2σ 2 = N(µ,σ 2 ) 2πσ der µ er forventningsverdien og σ 2 variansen. Multivariat normalfordeling: [ 1 p(x µ,σ) =
Løsningsforslag til Eksamen i MAT111
Universitetet i Bergen Matematisk institutt Bergen, 9. desember 25. Bokmål Løsningsforslag til Eksamen i MAT Mandag 9. desember 25, kl. 9-. Dette er kun et løsningsforslag. Oppgave a) Betrakt de to komplekse
Velkommen til oversiktsforelesninger i Matematikk 1. med Jørgen Endal
Velkommen til oversiktsforelesninger i Matematikk 1 med Jørgen Endal Nytt tema: Følger, rekker, og potensrekker (kap. 9.1 9.7) Nytt tema: Følger, rekker, og potensrekker (kap. 9.1 9.7) Forelesning 1 (kap.
MA2501 Numeriske metoder
MA251 Numeriske metoder Løsningsforslag, Øving 3 Oppgave 1 a) Start med å tegne en skisse av funksjonen f(x) = x.99(e x 1). Vi oppdager fort at α må ligge svært nær, faktisk rundt.2. Newtons metode anvendt
4.4 Koordinatsystemer
4.4 Koordinatsystemer Minner om at B = { b 1, b 2,..., b n } kalles en basis for et vektorrom V dersom B er lineært uavhengig og utspenner V. I samme vektorrom kan vi innføre ulike koordinatsystemer ;
Konvergenstester Forelesning i Matematikk 1 TMA4100
Konvergenstester Forelesning i Matematikk 1 TMA4100 Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 1. november 2011 Kapittel 8.3. Integrasjonstesten 3 Ikke-avtagende delsummer Husker at n-te delsum av
Eksamen TMA desember 2009
Eksamen TMA41 14. desember 009 Norges teknisknaturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag 1 a) Grafen. - 0 4 6 b) Dersom vi antar at f(x) = 1 (f(x + 0) + f(x 0)), har vi f(x) = Setter
Numerisk løsning av ikke-lineære ligninger
Numerisk løsning av ikke-lineære ligninger Anne Kværnø February 26, 2018 1 Problemstilling Vi vil først se på numeriske teknikker for å løse skalare ligninger (en ligning, en ukjent), for eksempel eller
2 3 2 t der parameteren t kan være et vilkårlig reelt tall. i) Finn determinanten til M. M =
Oppgave a) Løs likningssystemet x + 3x + x 3 = x + x 3 = 0 3x + x + 3x 3 = 8 Svar: Rekkereduksjon av totalmatrisen gir 0 0 0 0 7 0 0 0 0 Det betyr at løsningen er gitt ved x +x 3 = 0, x = 7 og x 3 en fri
4.4 Koordinatsystemer
4.4 Koordinatsystemer Minner om at B = { b 1, b 2,..., b n } V kalles en basis for et vektorrom V dersom B er lineært uavhengig og B utspenner V. I samme vektorrom kan vi innføre ulike koordinatsystemer
Lineære diffligning(ssystem)er i ECON 4140 V2017: Hva er pensum, hva er forelest, og hva er vesentlig.
Lineære diffligning(ssystem)er i ECON 4140 V2017: Hva er pensum, hva er forelest, og hva er vesentlig. (If you need an English version, please notify me. Nils) Jeg har blitt gjort oppmerksom på at forelesningsplanen
Potensrekker Forelesning i Matematikk 1 TMA4100
Potensrekker Forelesning i Matematikk 1 TMA4100 Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 11. november 2011 Kapittel 8.8. Taylorrekker og Maclaurinrekker 3 Taylor-polynomer Definisjon (Taylorpolynomet
EKSAMEN I TMA4180 OPTIMERINGSTEORI
Norges teknisknaturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side av 4 Faglig kontakt under eksamen: Marte Pernille Hatlo 7359698 / 97537854 EKSAMEN I TMA48 OPTIMERINGSTEORI Fredag 2. juni
TMA4100 Matematikk 1 for MTDESIG, MTIØT-PP, MTMART og MTPROD høsten 2010
TMA4100 Matematikk 1 for MTDESIG, MTIØT-PP, MTMART og MTPROD høsten 2010 Toke Meier Carlsen Institutt for matematiske fag 28. oktober 2010 2 Fremdriftplan I går 7.7 Uegentlige integraler 8.1 Følger I dag
MA2501 Numeriske metoder
MA2501 Numeriske metoder Løsningsforslag, øving 7 Oppgave 1 a) Vi vet at r = Ae e = A 1 r. La være en vektornorm på R n med en tilhørende avledet (subordinat) matrisenorm på R n n. Siden blir Ax A = sup
MA2501 Numeriske metoder
MA250 Numeriske metoder Oppgave Løsningsforslag, øving 7 a) Vi vet at r = Ae e = A r. La være en vektornorm på R n med en tilhørende avledet (subordinat) matrisenorm på R n n. Siden blir Ax A = sup Ax
LP. Kap. 17: indrepunktsmetoder
LP. Kap. 17: indrepunktsmetoder simpleksalgoritmen går langs randen av polyedret P av tillatte løsninger et alternativ er indrepunktsmetoder de finner en vei i det indre av P fram til en optimal løsning
Arne B. Sletsjøe. Oppgaver, MAT 1012
Arne B. Sletsjøe Oppgaver, MAT 101 1 En-variabel kalkulus 1.1 I de følgende oppgavene, i) finn alle kritiske punkter til f(x), ii) beskriv monotoniegenskapene til funksjonene ved å se på fortegnet til
5.8 Iterative estimater på egenverdier
5.8 Iterative estimater på egenverdier Det finnes ingen eksplisitt formel for beregning av egenverdiene til en kvadratisk matrise. Iterative metoder som finner (ofte) en (meget god) approksimasjon til
Eksamensoppgave i TMA4250 Romlig Statistikk
Institutt for matematiske fag Eksamensoppgave i TMA4250 Romlig Statistikk Faglig kontakt under eksamen: Professor Henning Omre Tlf: 90937848 Eksamensdato: 5. juni 2015 Eksamenstid (fra til): 09:00-13:00
Seksjonene 9.6-7: Potensrekker og Taylor/Maclaurinrekker
Seksjonene 9.6-7: Potensrekker og Taylor/Maclaurinrekker Andreas Leopold Knutsen 15. februar 2010 Funksjonsrekker En rekke på formen f n (x) der f n er en funksjon, kalles en funksjonsrekke. For alle x
Partieltderiverte og gradient
Partieltderiverte og gradient Kap 2 Matematisk Institutt, UiO MEK1100, FELTTEORI OG VEKTORANALYSE våren 2009 Framstilling Kommentarer, relasjon til andre kurs Struktur Mye er repitisjon fra MAT1100, litt
TMA Matematikk 4D Fredag 19. desember 2003 løsningsforslag
Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag TMA Matematikk D Fredag 9. desember 23 løsningsforslag a Vi bruker s-forskyvningsregelen Rottmann L{gte at } Gs a med gt t.
(3/2)R 2+R 3 R 1 +R 2,( 2)R 1 +R 3 ( 2)R 1 +R 4 6/5R 3 +R 4 1/5R 3
NTNU Institutt for matematiske fag TMA4115 Matematikk 3 våren 2009 Løsningsforslag - Øving 10 Fra Edwards & Penney, avsnitt 4.4 5 Vi bruker Algoritme 1 og 2 i EP på sidene 190 og 193 for å finne en basis
FFI-RAPPORT. Teknologiske muligheter for Tolletaten. mønstergjenkjenning og maskinlæring
FFI-RAPPORT 17/17026 Teknologiske muligheter for Tolletaten mønstergjenkjenning og maskinlæring - Idar Dyrdal Lars Aurdal Kristin Hammarstrøm Løkken Thor Engøy Teknologiske muligheter for Tolletaten mønstergjenkjenning
Eksamensoppgave i MA1101 Grunnkurs i analyse
Institutt for matematiske fag Eksamensoppgave i MA1101 Grunnkurs i analyse Faglig kontakt under eksamen: Kari Hag Tlf: 48 30 19 88 Eksamensdato: 15. oktober 018 Eksamenstid (fra til): 17:30 19:00 Hjelpemiddelkode/Tillatte
Løsningsforslag til Mat112 Obligatorisk Oppgave, våren Oppgave 1
Løsningsforslag til Mat2 Obligatorisk Oppgave, våren 206 Oppgave Avgjør om følgende rekker er konvergente: (a) n + n n + n + Løsning: rekken lim : n n + n n + n + Vi bruker grensesammenligningstesten mhp.
dg = ( g P0 u)ds = ( ) = 0
NTNU Institutt for matematiske fag TMA4105 Matematikk 2, øving 8, vår 2011 Løsningsforslag Notasjon og merknader Som vanlig er enkelte oppgaver kopiert fra tidligere års løsningsforslag. Derfor kan notasjon,
Bayesisk estimering. Tettheten i punkt x er her gitt ved: der p(q X ) er áposterioriparameterfordelinggitt ved: p(q X )=
Bayesisk estimering Bayesisk estimering Tettheten i punkt x er her gitt ved: Z p(x X )= p(x q)p(q X )dq der p(q X ) er áposterioriparameterfordelinggitt ved: p(q X )= p(x q)p(q) R p(x q)p(q)dq og p(x q)
MAT jan jan feb MAT Våren 2010
MAT 1012 Våren 2010 Mandag 25. januar 2010 Forelesning Vi fortsetter med å se på det bestemte integralet, bl.a. på hvordan vi kan bruke numeriske beregninger til å bestemme verdien når vi ikke nødvendigvis
Taylorpolynom (4.8) f en funksjon a et punkt i definisjonsmengden til f f (minst) n ganger deriverbar i a Da er Taylorpolynomet til f om a
Taylorpolynom (4.8) f en funksjon a et punkt i definisjonsmengden til f f (minst) n ganger deriverbar i a Da er Taylorpolynomet til f om a P n (x) = f (a) + f (a)(x a) + f (a) 2 (x a)2 + + f (n) (a) (x
Eksamensoppgave i TMA4135 Matematikk 4D
Institutt for matematiske fag Eksamensoppgave i TMA4135 Matematikk 4D Faglig kontakt under eksamen: Gunnar Taraldsen Tlf: 46432506 Eksamensdato: 3. desember 2016 Eksamenstid (fra til): 09:00 13:00 Hjelpemiddelkode/Tillatte
OPPGAVESETT MAT111-H16 UKE 44. Oppgaver til seminaret 4/11
OPPGAVESETT MAT111-H16 UKE 44 Avsn. 5.5: 19, 41, 47 Avsn. 5.6: 9, 17, 47 Avsn. 5.7: 15 På settet: S.1, S.2. Oppgaver til seminaret 4/11 Oppgaver til gruppene uke 45 Løs disse først så disse Mer dybde Avsn.
KJM Molekylmodellering. Korrelerte metoder - repetisjon. Korrelerte metoder
KJM3600 - Molekylmodellering Vebjørn Bakken Kjemisk institutt, UiO Korrelerte metoder - repetisjon 29. mars 2004 KJM3600 - Molekylmodellering p.1/30 Korrelerte metoder - repetisjon p.2/30 Korrelerte metoder
TMA4210 Numerisk løsning av part. diff.lign. med differansemetoder Vår 2005
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag TMA4210 Numerisk løsning av part. diff.lign. med differansemetoder Vår 2005 Løsningsforslag Øving 2 1 Denne oppgaven er ganske
Eksamen i TMA4180 Optimeringsteori Løsningsforslag.
Eksamen i TMA48 Optimeringsteori Løsningsforslag. Oppgave :. ordens betingelse for minima gir oss f(x) = [ 2x 2x 2 + 2 2x 2 2x 2 ] [ = som er oppfylt for når x 2 = x +. I dette punktet er [ ] 2 2 2 f(x)
Prøveeksamen i MAT 1100, H-03 Løsningsforslag
Prøveeksamen i MAT, H- Løsningsforslag. Integralet cos x dx er lik: +sin x Riktig svar: c) arctan(sin x) + C. Begrunnelse: Sett u = sin x, da er du = cos x dx og vi får: cos x + sin x dx = du du = arctan
LP. Leksjon 6: Kap. 6: simpleksmetoden i matriseform, og Seksjon 7.1: følsomhetsanalyse
LP. Leksjon 6: Kap. 6: simpleksmetoden i matriseform, og Seksjon 7.1: følsomhetsanalyse matrisenotasjon simpleksalgoritmen i matrisenotasjon eksempel negativ transponert egenskap: bevis følsomhetsanalyse
Prøveeksamen STK2100 (fasit) - vår 2018
Prøveeksamen STK2100 (fasit) - vår 2018 Geir Storvik Vår 2018 Oppgave 1 (a) Vi har at E = Y Ŷ =Xβ + ε X(XT X) 1 X T (Xβ + ε) =[I X(X T X) 1 X T ]ε Dette gir direkte at E[E] = 0. Vi får at kovariansmatrisen
1 Mandag 1. februar 2010
Mandag. februar 200 I dag skal vi fortsette med rekkeutviklinger som vi begynte med forrige uke. Vi skal se på litt mer generell rekker og vurdere når de konvergerer, bl.a. gi et enkelt kriterium. Dette
Høgskolen i Agder Avdeling for realfag EKSAMEN
Høgskolen i Agder Avdeling for realfag EKSAMEN Emnekode: MA 40 Emnenavn: Analyse Dato: 9. desember 999 Varighet: 09.00-5.00 Antall sider inklusivt forside: Tillatte hjelpemidler: Merknader: 2 Alle, også
Notater fra forelesning i MAT1100 mandag
Notater fra forelesning i MAT00 mandag 3.08.09 Amandip Sangha, amandips@math.uio.no 8. august 009 Følger og konvergens (seksjon 4.3 i Kalkulus) Definisjon.. En følge er en uendelig sekvens av tall {a,a,a
INF Stikkord over pensum til midtveis 2017 Kristine Baluka Hein
INF2310 - Stikkord over pensum til midtveis 2017 Kristine Baluka Hein 1 Forhold mellom størrelse i bildeplan y og "virkelighet"y y y = s s og 1 s + 1 s = 1 f Rayleigh kriteriet sin θ = 1.22 λ D y s = 1.22
Generell informasjon om faget er tilgjengelig fra It s learning. 1 En kort oppsummering Adaptiv filtrering 2. 3 Prediksjon 4
Stavanger, 13. august 2013 Det teknisknaturvitenskapelige fakultet ELE500 Signalbehandling, 2013. Generell informasjon om faget er tilgjengelig fra It s learning. Innhold 1 En kort oppsummering. 1 2 Adaptiv
Optimeringsmetoder anvendt på klassifikasjon av hyperspektrale data. Hovedoppgave. Bjørn Terjei Austenaa
Universitetet i Oslo Institutt for informatikk Optimeringsmetoder anvt på klassifikasjon av hyperspektrale data Hovedoppgave Bjørn Terjei Austenaa 2. mai 2006 Forord Formålet med denne oppgaven har vært
Uendelige rekker. Konvergens og konvergenskriterier
Uendelige rekker. Konvergens og konvergenskriterier : Et absolutt nødvendig, men ikke tilstrekkelig vilkår for konvergens er at: lim 0 Konvergens vha. delsummer :,.,,,. I motsatt fall divergerer rekka.
6.8 Anvendelser av indreprodukter
6.8 Anvendelser av indreprodukter Vektede minste kvadraters problemer Anta at vi approksimerer en vektor y = (y 1,..., y m ) R m med ŷ = (ŷ 1,..., ŷ m ) R m. Et mål for feilen vi da gjør er y ŷ, der betegner
Eksamen i TMA4122 Matematikk 4M
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side av 6 Faglig kontakt under eksamen: Yura Lyubarskii: mobil 9647362 Anne Kværnø: mobil 92663824 Eksamen i TMA422 Matematikk
Biseksjonsmetoden. biseksjonsmetode. Den første og enkleste iterativ metode for ikke lineære likninger er den så kalt
Biseksjonsmetoden Den første og enkleste iterativ metode for ikke lineære likninger er den så kalt biseksjonsmetode. Gitt en intervall [a, b] hvor f skifter fortegn, vi halverer [a, b] = [a, b + a 2 ]
Utregning av en konvolusjonssum
Forelesning 4.mars 2004 Tilhørende pensum: 5.4-5.8 byggeklosser i implementasjon av FIR-filtre multiplikator adderer enhets blokkdiagrammer over FIR-filtre LTI-systemer tidsinvarians linearitet utlede
Sampling ved Nyquist-raten
Samplingsteoremet Oppgavegjennomgang, 7.mai Oversikt Presisering av samplingsteoremet Løse utsendt oppgave om sampling Løse oppgave, V Løse oppgave 3, V If a function f (t contains no frequencies higher
Sensitivitet og kondisjonering
Sensitivitet og kondisjonering Gitt en lineær likningssystem Ax = b vi skal studere effekten av perturbasjoner av input data: 1/19 på output data: Man kan A, b x perturbere bare b perturbere b og A samtidig.
Matematikk 1. Oversiktsforelesning. Lars Sydnes November 25, Institutt for matematiske fag
Matematikk 1 Oversiktsforelesning Lars Sydnes sydnes@math.ntnu.no Institutt for matematiske fag November 25, 2009 LS (IMF) tma4100rep November 25, 2009 1 / 21 Matematikk 1 Hovedperson Relle funksjoner
Karine Nyborg, ECON3610/4610, høst 2008 Seminaroppgaver uke 46
Karine Nyborg, 05.11.08 ECON3610/4610, høst 2008 Seminaroppgaver uke 46 Oppgave 1. To husholdninger, 1 og 2, søker barnehageplass. Bare en ledig plass er tilgjengelig. Prisen for en plass er 900 kr per
MAT Grublegruppen Uke 37
MAT00 - Grublegruppen Uke 37 Jørgen O. Lye Bemerkning: Mye av stoffet i dette notatet er å finne i Kalkulus, kapittel. Dette kapittelet er leselig etter man vet hva følger er, men er ikke pensum før i
Newtons metode. Gitt f(x) slik at f(a)f(b) < 0, Newtons metode genererer en følge {x k }, hvor. (Newton Raphson) x k+1 = x k f(x k) f (x k )
Newtons metode 1/15 Gitt f(x) slik at f(a)f(b) < 0, Newtons metode genererer en følge {x k }, hvor x k+1 = x k f(x k) f (x k ) x 0 [a, b] gitt. (Newton Raphson) y=f(x) x k+1 x k Konvergens: Iterasjons
'HQ GLVNUHWH )RXULHU-WUDQVIRUPHQ (')7)
TE6146 ignalbehandling 'HQ GLVNUHWH )RXULHU-WUDQVIRUPHQ (')7),QWURGXNVMRQ,, Har tidligere sett på Fourier- og Z-transformene for diskrete følger. For følger av endelig varighet, er det mulig å utvikle
Seksjonene 9.6-7: Potensrekker og Taylor/Maclaurinrekker
Seksjonene 9.6-7: Potensrekker og Taylor/Maclaurinrekker Andreas Leopold Knutsen 14. februar 2012 Funksjonsrekker En rekke på formen fn(x) der fn er en funksjon, kalles en n=1 funksjonsrekke. For alle
Nicolai Kristen Solheim
Oppgave 1. 1a) 1, 0, 2, sin 5 4cos sin 54cos sin 8 sin cos cos 54cos 8 sin cos 5cos 4cos 8sin cos 5cos 4cos Dersom vi plotter grafen for vil vi se hvor vokser og avtar. 1 Fra grafen for ser vi følgende
Repetisjon: LTI-systemer
Forelesning, 11. mars 4 Tilhørende pensum er 6.1-6.4 i læreboken. repetisjon av FIR-filtre frekvensresponsen til et FIR-filter beregne utgangen fra FIR-filtret ved hjelp av frekvensresponsen steady-state
Eksamen - INF 283 Maskinlæring
Eksamen - INF 283 Maskinlæring 23 feb. 2016 Tid: 3 timer Eksamen inneholder 15 oppgaver, som vil bli vektet likt ved evaluering. 1 Table 1 attributt antall personer forsørget av låntaker månedlig inntekt
TTK4180 Stokastiske og adaptive systemer. Datamaskinøving 2 - Parameterestimering
Institutt for teknisk kybernetikk Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet 27.10.98 EWR TTK4180 Stokastiske og adaptive systemer Datamaskinøving 2 - Parameterestimering Tid og sted: -Utdeling av
TMA4122/TMA4130 Matematikk 4M/4N Høsten 2010
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag TMA4122/TMA410 Matematikk 4M/4N Høsten 2010 1 Oppgave: Løs følgende ligningssystemer ved hjelp av Gauss-eliminasjon med delvis
Strøm av olje og vann i berggrunnen matematisk model, simulering og visualisering
Strøm av olje og vann i berggrunnen matematisk model, simulering og visualisering Hans Fredrik Nordhaug Matematisk institutt Faglig-pedagogisk dag, 01.02.2000. Oversikt 1 Oversikt Introduksjon. Hva er
For J kvantiseringsnivåer er mean square feilen:
Slide 1 Slide 2 Kap. 6 Bilde kvantisering Kap. 6.1 Skalar kvantisering Desisons og rekonstruksonsnivåer velges ved å minimalisere et gitt kvantiseringsfeilmål mellom f og ˆf. Kvantisering: Prosessen som
MAT-1004 Vårsemester 2017 Obligatorisk øving 2
MAT-1004 Vårsemester 2017 Obligatorisk øving 2 Contents 1 OPPGAVE 2 2 OPPGAVE 2 Eksempler 4.1 Oppgave 1............................... 4.2 Oppgave 2............................... 5 4 Formatering av svarene
UNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i Eksamensdag: 11. juni 21. Tid for eksamen: 14.3 17.3. Oppgavesettet er på 7 sider. Vedlegg: Tillatte hjelpemidler: MAT111 Kalkulus
Forelesning, TMA4110 Torsdag 11/9
Forelesning, TMA4110 Torsdag 11/9 Martin Wanvik, IMF Martin.Wanvik@math.ntnu.no (K 2.8) Tvungne svingninger. Resonans. Ser på masse-fjær system påvirket av periodisk ytre kraft: my + cy + ky = F 0 cos
Øving 6 Tallfølger og differenslikninger
Øving Tallfølger og differenslikninger Teori Se også Mathematicakompendiet kap. En tallfølge er en liste av elementer satt opp i en bestemt rekkefølge { a[0]a[]a[]...a[n]... } = {a[n]} 0. Vi kaller elementet
Potensrekker Forelesning i Matematikk 1 TMA4100
Potensrekker Forelesning i Matematikk 1 TMA4100 Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 1. november 2011 Kapittel 8.7. Potensrekker (fra konvergens av) 3 Konvergens av potensrekker Eksempel For
LØSNINGSFORSLAG TIL EKSAMEN I FAG SIF5045 NUMERISK LØSNING AV DIFFERENSIALLIGNINGER
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side av 8 Faglig kontakt under eksamen: Syvert P. Nørsett 7 59 5 45 LØSNINGSFORSLAG TIL EKSAMEN I FAG SIF545 NUMERISK LØSNING
Uke 4: z-transformasjonen
Uke 4: z-transformasjonen Jo Inge Buskenes Institutt for informatikk, Universitetet i Oslo INF3470/4470, høst 2013 2/31 Dagens temaer z-dometet; ett av tre domener z-transformasjonen; definisjon og egenskaper
Uke 4: z-transformasjonen
Uke 4: z-transformasjonen Jo Inge Buskenes Institutt for informatikk, Universitetet i Oslo INF3470/4470, høst 2012 2/30 Dagens temaer z-dometet; ett av tre domener z-transformasjonen; definisjon og egenskaper
Generell informasjon om faget er tilgjengelig fra fagets nettside, og for øvinger brukes canvas. 1 Adaptiv filtrering 2.
Stavanger, 23. juni 2017 Det teknisknaturvitenskapelige fakultet ELE620 Systemidentifikasjon, 2017. Generell informasjon om faget er tilgjengelig fra fagets nettside, og for øvinger brukes canvas. Innhold
UNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i Eksamensdag: mai 2002 IN 155 Digital Signalbehandling Tid for eksamen: 6. mai 9.00 21. mai 12.00 Oppgavesettet er på 5 sider.
Uke 9: Diskret Fourier Transform, I
Uke 9: Diskret Fourier Transform, I Jo Inge Buskenes Institutt for informatikk, Universitetet i Oslo INF3470/4470, høst 2011 2/23 Dagens temaer Sampling og periodisitet DFT DFT og DTFT 3/23 Tema Sampling
ResTek1 Løsning Øving 11
ResTek Løsning Øving Oppgave a) La L bety lengde, M masse, T tid i et hvilket som helst konsistent sett av enheter. Da er [k] =L 2, [µ] =M/LT, [p] =(ML/T 2 )/L 2 = M/LT 2, [c] =LT 2 /M, og da blir [ ]
LØSNINGSFORSLAG EKSAMEN, MAT 1001, HØSTEN (x + 1) 2 dx = u 2 du = u 1 = (x + 1) 1 = 1 x + 1. ln x
LØSNINGSFORSLAG EKSAMEN, MAT 00, HØSTEN 06 DEL.. Hvilken av funksjonene gir en anti-derivert for f(x) = (x + )? Løsning. Vi setter u = x +, som gir du = dx, (x + ) dx = u du = u = (x + ) = x + a) x+ b)
SIGNERT DOMINASJON OG RETTEDE MATROIDESYSTEMER
SIGNERT DOMINASJON OG RETTEDE MATROIDESYSTEMER Matematisk institutt Binære monotone systemer Grunnelementer i modell: X i = I(ite komponent virker), i = 1, 2, 3 φ(x) = I(Systemet virker) = X 1 X 2 + X
Kap. 5: Numeriske løsningsmetoder
MEK4510 p. 3 Kap. 5: Numeriske løsningsmetoder Tidsintegrasjon for problemer med én frihetsgrad Analytisk løsning av differensiallikningen for enkle problemer Fourier-analyse for generelle, periodiske
ResTek1 Løsning Øving 11
ResTek Løsning Øving Oppgave a) La L bety lengde, M masse, T tid i et hvilket som helst konsistent sett av enheter. Da er [k] L 2, [µ] MLT, [p] (MLT 2 )L 2 MLT 2, [c] LT 2 M, og da blir t D p D» kt φµcr
Løsningsforslag for Eksamen i MAT 100, H-03
Løsningsforslag for Eksamen i MAT, H- Del. Integralet cos( ) d er lik: Riktig svar: b) sin( ) + C. Begrunnelse: Vi setter u =, du = d og får: cos( ) d = cos u du = sin u + C = sin( ) + C. Integralet ln(
Ikke lineære likninger
Ikke lineære likninger Opp til nå har vi studert lineære likninger og lineære likningsystemer. 1/19 Ax = b Ax b = 0. I en dimensjon, lineære likninger kan alltid løses ved hjelp av formler: ax + b = 0
201303 ECON2200 Obligatorisk Oppgave
201303 ECON2200 Obligatorisk Oppgave Oppgave 1 Vi deriverer i denne oppgaven de gitte funksjonene med hensyn på alle argumenter. a) b) c),, der d) deriveres med hensyn på både og. Vi kan benytte dee generelle
EP Patentkrav
1 Patentkrav EP269002 1. Fremgangsmåte for bestemmelse av én eller flere verdier av én eller flere fysikalske parametere for et målvolum () og som omfatter følgende trinn: 1 2 3 - å posisjonere en feltkilde
Oppgave 14 til 9. desember: I polynomiringen K[x, y] i de to variable x og y over kroppen K definerer vi undermengdene:
HJEMMEOPPGAVER utgave av 8-12-2002): Oppgave 15 til 16 desember: La H være mengden av alle matriser på formen A = a 1 a 12 a 13 a 1n 0 a 2 0 0 0 0 a 3 0 0 0 a n der a 1 a 2 a n 0 Videre la SH være matrisene
Eksamensoppgåve i TMA4135 Matematikk 4D
Institutt for matematiske fag Eksamensoppgåve i TMA435 Matematikk 4D Fagleg kontakt under eksamen: Gard Spreemann Tlf: 73 55 02 38 Eksamensdato: 5. august 204 Eksamenstid (frå til): 09.00 3.00 Helpemiddelkode/Tillatne
Løsningsforslag eksamen 18/ MA1102
Løsningsforslag eksamen 8/5 009 MA0. Dette er en alternerende rekke, der leddene i størrelse går monotont mot null, så alternerenderekketesten gir oss konvergens. (Vi kan også vise konvergens ved å vise