Matematikk og Ornamentikk Lærerveiledning

Transkript

1 Matematikk og Ornamentikk Lærerveiledning Versjon 2.1 Vitensenteret Trondheim Nils Kr. Rossing Inger-Marie Larsen Åshild Adsen Vigdis Dagsdatter Øien Vitensenteret Kunstindustrimuseet

2 Vitensenteret 2009 Nordenfjeldske Kunstindustrimuseum ISBN Matematikk og Ornamentikk Henvendelser om dette heftet kan rettes til: Vitensenteret Postboks Trondheim Tlf: Omslag og layout: Nils Kr. Rossing Trykk: NTNU-trykk NTNU Versjon Nordenfjeldske Kunstindustrimuseum Vitensenteret Trondheim - 2 -

3 Innhold 1 Forord/Innledning Programmet Program ved Nordenfjeldske kunstindustrimuseum (90 min.) Program ved Vitensenteret (90 min.) Ornamenter i kunst og håndverk (Kunstindustrimuseet) Introduksjon til ornamenter Elevene lager åttebladrose Rebusløp - Matematikk og ornamentikk i museets utstilling Gækkebrev Andre oppgaver Kort introduksjon til ornamenter ved Vitensenteret Speilsymmetri (aksesymmetri) Det aksesymmetriske mennesket Norske kommunevåpen Strikkemønster Symmetriske bokstaver CHECKED OK / ALL WRONG Hemmelig speilskrift Rotasjonssymmetri - punksymmetri Rotasjonssymmetri Punksymmetri og rotasjonssymmetri Åttebladrosa Tradisjonen knyttet til åttebladrosa Symmetrier i åttebladrosa Tesselering med åttebladrosa Åttebladrosa og A4-arket Rosettmønster og karveskurd Fødselsdagsdatoene som ble til ornamenter Båndsymmetri

4 8 Flatesymmetri og tesselering Regulære tesseleringer Semiregulære tesseleringer Enhjørnige mønster Flerhjørnige mønster Fra semiregulær til irregulær Irregulære tesseleringer Tesselering med uregelmessige mangekanter Egendefinerte irregulære tesseleringer Penros-tesselering Brolegning Geometriske mønstre i islamsk kunst De 17 flatesymmetriene Grunnmønster og operasjoner De 17 symmetrigruppene Analyse av flatedekkende mønster Glidning Glidning og vertikal speiling Rotasjon og glidning Vertikal og horisontal speiling Speiling av 1/8 grunnmønster Flatedekkende puslespill Flatedekkende mønster i kaleidoskoper Programvare Art and Crafts Tile designer TESS (Pedagoguery Software Inc.) Kali Evaluering Oppsummering elevsvar/jenter og gutter Oppsummering lærersvar Referanser

5 11.1 Litteratur Nettreferanser Appendix AKopiorginaler A.1 Eksempler for studie av ansiktssymmetri A.2 Eksempler på rotasjonssymmetriske mønster A.3 Maler for regulære og semiregulære tesseleringer A.4 Semiregulært Jovomønster A.5 Kopieringsmal til oppgaven om å dele opp et kvadrat A.6 Maler til Penrose-tesselering A.7 Grunnfigurer flatedekkende mønster A.8 Eksempler på flatedekkende mønster A.9 Kopieringsmal til islamske mønstre A.10 Mønsterark for å tegne kaleidoskopmønster Appendix BFramstilling av materiell B.1 Framstilling av vinkelspeil Appendix CLøsninger på oppgaver C.1 Løsninger på oppgaver i rebusløpet ved Kunstindustrimuseet C.2 Løsning på rotasjonssymmetrier Appendix DPuslekort

6 - 6 - Matematikk og Ornamentikk

7 1 Forord/Innledning Bakgrunnen for prosjektet er et samarbeid mellom Vitensenteret og Nordenfjeldske Kunstindustrimuseeum som ble etablert for en del år tilbake i forbindelse med lærerkurset Teknologi og Design. Å knytte Vitensenterets realfaglige og teknologiske kunnskaper til Kunstindustrimuseets fokus på kunst, håndverk og design, viste seg å være svært fruktbart og berikende for begge miljøer og forhåpentlig også lærerne som deltok på kurs. Ornamenter har gjennom alle tider vært brukt i kunst og håndverkstradisjonen, gjerne sprunget ut av et ønske om å dekorere og gjøre tingene vakre, men også symbolsk for å beskytte mot onde makter. Ornamenter kan være særegne for den enkelte kultur, men oftere vil en oppdage at ornamenter har vandret fra kultur til kultur. Mange ornamenter er derfor mer internasjonale en vi ofter ønsker å tro. Et typisk eksempel er Selburosa eller åtteblarosa som ofte knyttes til en lokal kultur, men som i virkeligheten finnes over hele verden. Mennesker har gjennom alle tider latt seg fascinere av det vakre og formfullendte og ofte har symmerien i ornamentene hatt en viktig rolle i denne sammenheng. Likevel kan brudd på en ellers streng symmeri, skape spenning og liv i et ornament. I symmetri finner vi også møtepunktet mellom ornamentikk og matematikk. Matematikken er opptatt av å generalisere og systematisere og kan i møte med kunsthåndverk virke streng og kald. Gjennom dette prosjektet har vil villet vise hvordan matematikk og ornamentikk kan berike hverandre. Mens ornamentene synes å kunne vaieres i det uendelige, streber man innen matematikken etter å finne fellesnevnere mellom ulike ornamenter slik at det blir mulig å kategorisere og systematisere mønstrene. I denne systematiseringen er symmetriegenskapene til ornamentene av avgjørende betydning. I matematikken snakker man om akse-, punkt- og rotasjonssymmetri i tillegg til glidning. Ved hjelp av disse symmetribegrepene har matematikken klart å plassere alle regelmessige båndmønster (border) i 7 kategorier og alle flatedekkende mønster i 17 ulike symmetrigrupper. Eksempler på båndmønster er border og friser, mens regelmessige tapetmønster er et eksempel på flatedekkende mønster. I alle disse typende av mønster er symmetri nøkkelbegrepet. Uten symmeri ingen matematikk i ornamentet. Vi aner også at begrepet symmetri har en annen og videre betydning en i dagligtalen. På bakgrunn av entusiasmen over å oppdage sammenhengen mellom matematikk, og kunst og håndverkstradisjonen, vokste ideen om å et samarbeid mellom Vitensenteret og Kunstindustrimuseet fram. Ønsket var at vi skulle vise elever og lærere i grunnskolen hvilke spennende koblinger det var mellom disse fagområdene. Dette mener vi at vi har - 7 -

8 klart ved å la elevene besøke begge institusjonene hvor de har opplevd å gjenkjenne de samme ornamentene på begge steder, men med forskjellige briller. Ved Kunstindustrimuseet skulle elevene studere ornamentene med kunsthåndverkets briller, mens de ved Vitensenteret skulle ta på seg matematikkbrillene. Våren 2009 tok Vitensenteret og Kunstindustrimuseet imot ca elever fra 5. trinn sammen med nærmere 100 lærere, hvilket er hele kullet på 5. trinn i Trondheim kommune. For at lærerne skal ha bedre forutsetninger for å bruke besøket i undervisningen, arrangeres det lærerkurs i forkant av besøket. Tilbudet har vært mulig ved at det har vært finansiert gjennom Den kulturelle skolesekk. Kapitlene 3 omhandler opplegget ved Nordenfjeldske Kunstindustrimuesum, mens opplegget ved Vitensenteret er spredd ut over kapitlene 4 til 7. Elevene ble delt i to grupper på inntil 25 elever. Den ene gruppen møtte på Kunstindustrimuseet, mens den andre møtte ved Vitensenteret. Opplegget varte ca. 1,5 timer på hvert sted. Etter lunsj byttet gruppene. Hvilket sted de besøkte først og sist ble derfor tilfeldig. Oppleggene måtte derfor være slik at rekkefølgen av besøkene var uten betydning. I kapittel 10 har vi oppsummert elevenes og lærenes oppfatning av opplegget. Både elever og lærere har fått anledning til å uttale seg. Hovedkonklusjonen er at både elever og lærere hadde stort faglig utbytte av opplegget og at det var liten forskjell på jenter og gutter. Samarbeid med andre institusjoner er fruktbart både for de som utvikler tilbudet og deltagerne, en bør imidlertid sørge for at delere av opplegget er av en slik art at det kun oppleves ved å oppsøke institusjonene. Det er imidlertid viktig at deler av opplegget kan følges opp på egen skole. Vi håper at både elever og lærere på denne måten har fått økt forståelse av hva ornamentikk er og at innsikten i de matematiske sidene ved ornamentikken har virket inspirerende og bidratt til økt interesse for begge fagfelter. Forøvrig er mange av artiklene i denne boka hentet fra Den matematiske krydderhylle [1]. Inger-Marie Larsen, Nils Kr. Rossing Vitensenteret Åshild Adsen, Vigdis Dagsdatter Øien Nordenfjeldske Kunstindustrimuseum Trondheim juli

9 2 Programmet Heftet inneholder langt mer stoff enn det som ble brukt i løpet av de 3 timene aktivitetene tilsammen varte. Her vil vi kort skisser programmet og henvise til omtalen lengre bak i heftet. 2.1 Program ved Nordenfjeldske kunstindustrimuseum (90 min.) 1. Introduksjon til ornamenter (20 min.) avsnitt 3.1 på side 11 Samtale om, og eksempler på hva ornamenter og symmetri er 2. Legg en Åtteblarose (10 min.) avsnitt 3.2 på side 17 Elevene la en åttebladrose i stort format med vinylfliser. 3. Rebusløype i utstillingen (30 min.) avsnitt 3.3 på side 17 Elevene leter etter mønster i utstillingen og løser oppgaver, avsluttes med kort oppsummering. 4. Gækkebrev (30 min.) avsnitt 3.4 på side 21 Elevene klipper og skriver gækkebrev 5. Ev. lunsj (20 30 min.) Reserveoppgaver: 6. Tegn mønster på kjolen 7. Tegn mønsterbord (frise) i et rom 2.2 Program ved Vitensenteret (90 min.) 1. Mønster i kroppen, en intro. til båndsymmetri (5 min.) kapittel 7 på side 53 Elevene hopper langs ulike båndmønster inn til aktivitetsrommet. Bare delvis brukt. 2. Introduksjon til speilsymmetri (10 min.) kapittel 4 på side 25 - Grunnfiguren (foten) og speiling av grunnfigur, hva er speilsymmetri? - Utvikling av båndsymmetrier avsnitt 7 på side Utforsk speilsymmetri (15 min) - Kommunevåpen avsnitt 5.2 på side 29 - Symmetri i ansikter avsnitt 5.1 på side Vottemønster (20 min) avsnitt 5.3 på side 30 - Lag et symmetrisk vottemønster - 9 -

10 5. Rotasjonssymmetri (10 min) avsnitt 6.1 på side 34 - Utforsk rotasjonsymmetriske mønster 6. Lag en rosett (30 min) 7. Ev. lunsj (20 30 min.) Reserveoppgaver: 8. Tesseler semirulært mønster med Jovobrikker (15 min) kapittel 8 på side

11 3 Ornamenter i kunst og håndverk (Kunstindustrimuseet) 3.1 Introduksjon til ornamenter Et ornament er et formelement eller et mønster som vi bruker som pynt eller dekorasjon på en gjenstand eller på mennesker. Det kan forestille en plante, et dyr, en geometrisk figur - ofte plassert i et symmetrisk mønster. Islamsk kunst er kjent for sine geometriske, abstrakte mønstre. Til høyre ser vi et motiv fra et glassvindu. Fra museets Van der Velde interiør Fra Wikipedia, den frie encyklopedi: Et ornament (fra latin ornamentum, utrustning, prydelse, smykke) er et visuelt formelement som kan stå alene eller være en del av et sammensatt mønster. Det kan sees som en dekorasjon eller utsmykning, og forestiller ofte en plante, et dyr, en gjenstand eller grafisk figur som på geometrisk vis er stilisert og plassert i et symmetrisk mønster. Et ornament kan videre være en rent geometrisk, abstrakt form som kjent fra islamsk kunst og arkitektur (Alhambra-palassene) eller et mer eller mindre stilisert motiv fra naturen, som ofte er brukt i Art Noveau. Ornamentet kan dessuten ha et symbolsk verdi, noe som i dag brukes mye i forbindelse med kroppskunst og tatovering (for eksempel tribals). En annen måte å bygge opp et ornament på er ved å ta utgangspunkt i et midtpunkt og bruke hjelpelinjer og enkle grunnformer. Dette resulterer i et komplisert mønster preget av symmetri og streng orden. I modernismen tok man avstand fra overdreven bruk av ornament etter at Adolf Loos skrev sitt berømte manifest Ornament og forbrytelse i Det ser ut til at mennesket alltid har hatt behov for å pynte gjenstandene sine. Og vi finner det i alle land og alle kulturer. Samtidig opplever vi å finne de samme ornamentene i forskjellige land. Vi kan si at ornamentene har reist på kryss og tvers. Ofte kan man spørre seg hvor et ornament egentlig kommer fra, som f.eks. det vi kjenner som Selburosa, og hvordan det har funnet veien hit til Norge. Folk reiste selvfølgelig før også, f.eks. i Middelalderen. På 1200-tallet oppdaget Marco Polo det som har blitt kalt

12 Silkeveien til Kina. De så og de handlet med hverandre. Vasco de Gama oppdaget sjøveien til India i 1498, og et par hundre år seinere begynte land i Europa å importere porselen og silke fra Kina, lakkarbeider fra Japan og bomullstekstiler fra India. Gjennom kolonialiseringen og utbredelsen av kristendommen og andre religioner, spredte også ornamentene seg. Lotusblomsten var et indisk ornament som spredte seg til Kina med Buddhismen. Bildet over viser rikt ornamenterte kjoler og mannsdrakt fra tallet (fra museets samling). Hakekorset, svastikaen eller solhjulet som det også kalles er et ornament som er fullt av symbolikk. Det kommer fra kufisk skrift som er en type arabiske skrifttegn med stive, kantete former, fra tallet. I Vesten så de på denne skriften som et ornament, som særlig ble brukt i broderier i middelalderens kristne Europa. Etter hvert kom mønsteret også til Norge og ble blant annet brukt i norsk bunadsøm. Fordi nazistene brukte dette merket som symbol på sin politikk ble dette et ornament som symboliserte negative ting for mange. I Europa og USA forbinder vi nå dette med nazismen. Men i India og i Asia er dette et ornament som er et tegn på alt det gode; Gud, lykke evig liv, eller solen. Bildet til høyre viser Vase i porselen av William Sanday, England 1897 (fra museets samling)

13 Denne vasen er et flott eksempel på hvordan europeiske formgivere har latt seg inspirere av ornamenter fra Østen. I Kina symboliserte svastikaen bl.a energi og kraft. Bildet til høyre viser utsnitt av Vase, hvor svastikaene kommer tydelig fram. Det motivet som vi i Trøndelag kaller Selburosa er en 8- bladsrose som vi kan spore tilbake til flere land i verden. Historien forteller at det var Marit Gulsetbrua som sommeren 1857 strikket de første vottende med dette mønsteret, og stilte på kirkebakken iført de nye vottene sine. I 1897 begynte Marit Emstad fra Selbu å levere votter med dette mønsteret til husfliden. Andre navn på selburosa er Stjernros, ottbladros, Mariastjerne og dobbelt marekors. Det som ofte blir sett på som et særegent lokalt ornament viser seg å være et ornament som har vandret gjennom flere land gjennom århundrer. Åttebladsrosa er et ornament som har blitt knyttet til husflidd i Norge og i tillegg til å finne den på Selbustrikken finner man ornamentet i Hardangersøm. Men åttebladrosa kan spores tilbake til den sumeriske kulturen. Videre finner man den i den tradisjonelle folkekunsten og husfliden flere steder i Europa. Husflidsteknikker som den nordiske hvitsøm henger sammen med renessansen internasjonale kulturmønster (H. Dedekam 1914). Bildet til venstre viser et koptisk tekstil fra 500-tallet. Tekstilet tilhører Kunstindustrimuseet i Oslo, Nasjonalmuseet. Man finner også mønsteret i italiensk renessanseklær og renessansetidens mønsterbøker. Ornamenter med enkle geometriske former kan ha oppstått spontant uavhengig av hverandre, og deres avstamning kan med sikkerhet vanskelig fastslås

14 Også Ellinor Flor har latt seg inspirere av åttebladrosa i sine strkkede kreasjoner. Bildet til høyre viser Rosa hemifra, Ellinor Flor Tatovering er en populær måte å dekorerer kroppen med oranmenter på og har vært en del av den eurasiske kulturen siden yngre steinalder. Det er funnet kinesiske mumier datert til det andre århundre f.kr. med tatoveringer. Japanske tatoveringer menes å ha funnet sted titusener av år tilbake. Mange andre kulturer har hatt egne tatoveringstradisjoner, fra å gni aske inn i åpne sår til å prikke tegn inn med nåler - nesten som i dag. Gjennom historien har taoveringer vært bruk for å vise tilhørighet til spesielle kulturer eller yrkesgrupper, på 1960-tallet var det i Norge mest sjømenn som hadde tatoveringer. I dag er tatoveringskulturen blitt mote, og både ungdommer og bestemødre rundt om i verden velger å smykke huden sin med tatoveringer. Bilde over er fra gjengitt med tillatelse creative commons Elevenes møte med mønster Når elevene kommer til museet blir de møtt av Ellinor som forteller at ornamenter ofte brukes for å gjøre ting pent, men kan også ha spesielle betydninger

15 Ellinor spør hvor man kan finne ornamenter. Elevene svarer: - på klær og gensere - som logoer på merkevarer - som merket til fotballag Dersom vi setter mange ornamenter ved siden av hverandre så får vi et mønster. Hun peker på et stort veggteppe (bildet til høyre). Hun spør hva elevene forstår med ordet symmetri.en svarer at symmetri er når flere ornamenter er satt sammen på en spesiell måte. Hun får fram en elev som blir bedt om å hoppe bortover gulvet foran de andre elevene. Hva må vi passe på for at dette mønsteret skal være symmetrisk? En elev svarer at fotavtrykkene må ha lik avstand. Ellinor tar fram et mønster fra en eske og holder det opp mot speilet på veggen og forteller at dette blir et speilsymmetrisk mønster. Så ber hun en av elevene hoppe sideveis langs kanten av en sirkel. Når vi hopper på denne måten blir sporene rotasjonsymmetriske, sier hun. Hun tar igjen utgangspunkt i veggteppet og sier: Mønsteret på dette teppet er sammensatt av mange like grunnmønster. Hun tar fram et stempel. Er det noen her som har brukt stempel? Noen elever forteller at de har trykket med potet, og laget potettrykk, andre har brukt fingermaling og latt hendene være stempel

16 Ofte er ser vi mønster som er trykket på klær slik dere ser på klærne bak meg her, sier Ellinor. Vet dere at til og med for 2000 år siden trykket man mønster på tøy for å gjøre dem fine. Når dere skal pynte dere så har dere på dere fine klær. Jentene har kanskje på seg kjoler med flotte mønster slik som denne kjolen her som er strikket av Ellinor Flor. Vi ser at mønsteret er likt på begge sider, det er symmetrisk. Ellinor spør om noen av tingene elevene har hjemme er dekorert med mønster. Flere elever forteller at de har mønster på dynetrekkene sine. En har striper, en annen prikker, nok en har hester og en sover i kamuflasjemønstret dynetrekk. Er det noen av dere som kan strikke spør Ellinor? Noen få av jentene rekker opp hånden. Noen har dessuten strikkete vanter..ellinor retter igjen oppmerksomheten mot drakten strikket av Ellinor Flor. Denne drakten kalte hun: Rosa hjemmefra. Men er dette en rose da? spør Ellinor elevene. Ja, noen av elevene mener at det ligner en rose. Vet dere hva denne rosen kalles? Jo, den kalles Selburosa, fordi noen i Selbu begynte å bruke dette mønsteret på votter for over 100 år siden. Men egentlig er mønsteret mye eldre og vi finner det over hele verden, da kalles den åttebladrose, sier Ellinor. Selburosa ble også brukt som merke for VM på ski i Hun viser fram maskottene. Og ser dere teppe dere sitter på, det har også åttebladroser, det teppet kommer fra Irak. Til og med er åtteblad rosa benyttet som mønster på påskeegg

17 Ellinor viser deretter eksempler på åttebladroser fra hele verden. 3.2 Elevene lager åttebladrose Nå skal dere få lov til å sette dere i grupper og lage selburoser av disse plastbitene. Ser dere at rosene er samnesatt av ruter. Hvor mange ruter trenger dere for å lage en rose? Elevene setter seg i grupper å begynner å sette sammen selburoser, og det går ikke lang tid før de første gruppene er ferdige. De legger hvite trekanter langs kantene slik at ørnamentet får form som en regulær åttekant. Etter at selburosene er ferdig lagte blir hvert lag utfordret til å delta i et rbusløp i museumsutstillingen. 3.3 Rebusløp - Matematikk og ornamentikk i museets utstilling Her er oppgave elevene skulle løse: 1. Memphis Du skal til kjelleren nå. Denne fantasifulle sengesofaen er designet av den italienske Memphis-gruppen på 80-tallet. Legg merke til den spesielle fargekombinasjonen i puten. A) Hvilke geometriske ornament kan du finne i dette spesielle møbelet? B) Sofaens føtter og rygg har også geometriske former. Hvilke?

18 2. Røde vaser Du skal finne disse røde vasene som er laget av Trondheimskunstneren Brit Dyrnes. De henger på en vegg nede i kjelleren. Flere av vasene har en spesiell type symmetri, slik at hvis du deler dem i to, er de helt like på begge sider. A) Hva heter denne symmetrien? B) Hvor mange vaser har akkurat denne symmetrien? C) Hvor mange vaser er det til sammen på veggen? D)Finn de to plastikkdelene som er like og sett dem sammen på golvet. (Det er kun én riktig løsning blant delene. Svaret finner du på veggen.) 3. Sengeteppe Dette er et vevd sengeteppe i ull. Det henger på veggen i kjelleren og er nesten 350 år gammelt. Det er mange figurornamenter i teppet. A) Hvor i teppet kan du finne "de fem kloke jomfruer"? B) Hvor mange figurer finner du til sammen i teppet? 4. Rokokko-stol Mot en vegg i kjelleren finner du en stol med en veldig fint dekorert rygg i mørkt tre. Skinnsetet er brunt og føttene på stolen bøyer seg ut, som om den neier. Damene som levde på denne tiden hadde digre og brusende kjoler som var så store at de ikke kunne sette seg i en stol med armlener. A) Med øynene dine kan du dele stolen rett i to. Hvilken type symmetri får da denne stolen?

19 5. Fugleteppe Går du litt videre mot høyre i kjelleren finner du et vakkert, rødt teppe med fugleornamenter, som henger på veggen. "The Bird" heter teppet. A) Kan du se at de samme ornamentene gjentar seg flere ganger i det vevde teppet? Vet du hva en slik gjentakelse kalles? B) Hvor mange fugler finner du i teppet? 6. Tulipanskap Nå jakter du i kjelleren etter et staselig, brunt treskap som har fire runde blomsterornament i skinnende messing på kantene. Du skal finne tulipanene inni messingsirkelen på skapet. A) Hvor mange ganger gjentas tulipanen inne i sirkelen? B) Hva kalles denne symmetrien? 7. Pytagoras Pythagoras var en gresk filosof og matematiker. I matematikken snakker vi om Pythagoras læresetning, som blant annet handler om rettvinklede trekanter. Du er nå i kjelleren og skal du finne et veggteppe som heter "Pytagoras". Teppet har geometriske ornament i seg. Legg merke til bruken av farger og hvordan dette påvirker formene i teppet. A) Hvilke geometriske ornament finner du i teppet? B) Lag ditt eget "Pytagoras-teppe" med formene på golvet Tulipanskap Pytagoras 8. Panton-ornamentikk Panton ornament I et hjørne i kjelleren står et fargerikt interiør. Stoffene på veggen har farger så knalle. Bordet til fire står under lampen blank og rund. A) Hvor finner du ornamenter i dette gull-gule interiøret? B) Hvilke typer ornamenter finner du?

20 9. Trappe-teppe Du må ut av kjelleren og opp i trappen for å finne dette teppet vevd i ull. I teppet kan du se havfruer og fisker som lever i vannet. Du skal finne røde fisker som svømmer på rekke og rad. A) Hvor finner du de røde fiskene som lager en bånd-symmetri? B) Hvor mange fisker er det i hele teppet? 10. Samurai Nå skal du ta ferden opp trappen til Japan-utstillingen i 2.etg. Du skal finne denne Samurai-krigeren. Visste du at Samuraien oftest hadde to sverd, et langt og et kort? Denne flotte rustningen er ca 200 år gammel og rikt utsmykket. A) Hvor kan du finne blomsterornamenter i rustningen? B) Hvor mange blomsterornamenter finner du? Svarene til disse oppgavene er samlet i vedlegg C.1. Elevene gikk ivrig i gang med oppgavene etter å ha fått en kort briefing av Ellinor. Hver av gruppene startet med ulike oppgaver slik at de ble spredt ut over hele utstillingen. Ved enkelte av postene var det også lagt ut tilleggsoppgaver. Etter at de har arbeidet med oppgavene en tid samles de og snakker om noen av oppgavene. Ellinor spør: - Hvor var de kloke jomfruene? - Hvor mange fugler var det på teppet? - Hvor mange tulipaner var det i sirkelen?

21 Tatovering er en gammel kunst. I gamle egypten var det vanlig blant overklassen å tatovere seg, det ser vi på de mange mumiene som har tatoveringer på kroppen. Også den år gamle ismannen, Utsi, hadde tatoveringer på kroppen. Det er også blitt ganske vanlig å tatovere kroppen i dag. Mange av tatoveringene er ornamenter. Ellinor spør elevene om de kjenner noen som har tatoveringer og flere elever forteller om tatoveringer de har sett. Besøket ved Kunstindustrimuseet avsluttes i aktivitetsrommet hvor de skal lære å lage gækkebrev. 3.4 Gækkebrev Gækkekort, el Gækkebreve, å "gække" betyr å narre, jf aprilsnarr. Det er bare i Danmark man sender gækkebrev, og det har de gjort i 200 år. Et gækkebrev skal inneholde et papirklipp, et vers og en presset snøklokke. I Danmark blir snøklokke kalt vintergæk, og allerede på 1600-tallet ble Vintergæk (snøklokke) brukt til å "gække" med. Man overrakte blomsten til den man gjerne ville gække, gjerne med ordene "Min gæk, min Vintergæk". Da hadde personen blitt gækket, dvs narret. Tidligere var det vanlig å gi blomsten til en person man likte ekstra godt. Det eldste gækkebrevet som man har bevart i Danmark, er fra Det er skrevet til Maria Christiane Hansdatter i Odense, og slutter med ordene: "En giæk lader hun sig kalde det monne mit hjerte befalle min giæk skal hun være fra vinteren til somren med ære" De eldste gækkebrev var som regel underskrevet med navnet til avsenderen. Det Gækkebrev laget av Psaligrafikunstneren Karen Bit Vejle til datteren Zeleste. handlet om å narre mottakeren med den vedlagte snøklokken. Slik var gækkebrevet også et varsel om at våren var i anmars. Utover på 1800-tallet ble det mer alminnelig at brevet ble et gjettebrev, dvs. at avsenderens navn var skjult i et vers i teksten eller skrevet med prikker:

22 Etter hvert utviklet det seg en ny tradisjon med egne regler; brevet ble sendt i februar, og innen 1. påskedag måtte den som hadde fått et gækkebrev, gjette hvem avsenderen var. Dersom han el hun gjettet riktig, ble de belønnet med et påskeegg eller en teaterbillett. Hvis avsenderen var en pike, kunne mottakeren velge mellom et egg eller et kyss. Den som ikke fulgte reglene, var gæk (en narr) resten av året: "Nar, nar, nar - til næste februar" Gækkebrevstradisjonen var altså en spøk mellom unge voksne - en måte å komme i kontakt med hverandre på. I dag er det særlig barn som sender gækkebrev f eks til besteforeldrene for å få påskeegg: Brevet består av et vers, en navnegåte, en vårblomst og selve brevet er et fint papirklipp. Klippene får man til ved å brette arket, f.eks. en gang på langs og en gang på tvers for så å klippe seg inn fra sidene. Det er heller ikke uvanlig å pynte brevene med trykk som viser ulike ornamenter. Det utklipte og dekorerte arket kan også limes på et ubeskåret ark av en annen farge. Dermed kommer mønsteret tydeligere fram Etter at Ellinor har fortalt hva gækkebrev er, går elevene straks i gang med å brette og klippe papir

23 Her er noen eksempler på resultatet. Tilslutt et par eksempler på gækkebrev laget av elevene. 3.5 Andre oppgaver Følgende oppgaver ble ikke brukt

24 Dekorer rommet Tegn en mønsterbord på veggen over skapet. Denne aktiviteten ble ikke brukt. Mønstertrykk Ved hjelp av stempler med ulike mønstre skal elevene lage sine egne rapporter. Kjolemønster Elevene får utdelt omrisset av en kjole og skal lage mønster på kjolen

25 4 Kort introduksjon til ornamenter ved Vitensenteret En definisjon av ornamenter er alt gitt på side 11. Har skal vi konsentrere oss hva som gjør ornamenter matematiske. Vi har derfor behov for å avgrense undersøkelsen til ornamenter som er symmetriske eller er bygget opp av rene geometriske former. Alternativt at ornamentet inngår som grunnelement i et bånd eller et periodisk flatedekkende mønster (f.eks. tapetmønster). Grunnelementet kan i denne sammenheng ha friere former som f.eks. et hånd- eller fotavtrykk, blomster, blader eller andre ting. Vi lager oss derfor følgende forenklede definisjon: Et ornament er et mønster som kan være en dekorasjon eller utsmykning for å gjøre noe pent. Det kan være laget av blomster, geometriske figurer eller andre ting, og er ofte symmetrisk. Et ornament kan også ha en spesiell betydning. Følgende kan være eksempler på ornamenter. Derimot er det ikke umiddelbart riktig å kalle fotavtrykket eller hjulkapselen til høyre for ornamenter. Selv om begge uttrykkene kan inngå i ornamenter, så tenker vi først og fremst på disse formene som et fotavtrykk i sanden og en gjenstand til å beskytte hjulet på en bil. Setter vi dem derimot inn i en ny og kanskje uvanlig sammenheng hvor deres primære hensikt er utsmykning, vil også disse kunne omtales som ornamenter. Som tidligere nevnt er det først og fremst ornamentets symmetri som knytter det til matematikken. Vi vil derfor i denne sammenhengen primært se på symmetriske ornamenter. Dessuten vil vi bruke gjenstander og former til å illustrere ulike symmetriegenskaper, selv om disse eksemplene ikke nødvendigvis er ornamenter

26 De fleste forbinder symmetri med aksesymmetri, eller det som i dagligtale kalles speilsymmetri. En figur er speilsymmetrisk dersom den høyre siden er en speiling av den venstre siden (vertikal speilsymmetri). Men i matematikken er symmetri mer omfattende: Generelt kan vi si at en figur er symmetrisk dersom figuren forblir uendret etter en bevegelse. Bevegelsen kan være refleksjon, glidning eller rotasjon, eller en kombinasjon av disse. La oss først se på speilsymmetri som er det de fleste forbinder med symmetri. 5 Speilsymmetri (aksesymmetri) Oppgave: Kroppen vår er et eksempel på speilsymmetri, selv om symmetrien skjelden er perfekt. Dersom vi står barfot i sanden med beina ved siden av hverandre, vil vi få to avtrykk som er symmetriske. Dersom vi har et avtrykk av en venstrefot, vil vi kunne få fram det perfekte avtrykket av høyrefoten ved å sette et speil til høyre for venstrefoten. Ved hjelp av en linjal plassert ved fotavtrykket, kan vi lett se at avstanden fra de enkelte delene av venstrefoten er like langt til venstre for speilet som de tilsvarende delene på høyrefoten er til høyre for speilet. En speilvendt linjal sett i speilet, viser oss at avstanden fra speilet er symmetrisk for de to avtrykkene. Dette er det grunnleggende prinsippet for speilsymmetri (i mattermatikken kalt aksesymmetri). Oppgave: Ta et A4- eller et A3-ark og brett det midt på langsiden. Ta en blyant i hver hånd og tegn symmetriske figurer omkring brettekanten i midten av arket. Pass på at startpunktet er symmetrisk om midtlinjen. Brett sammen arket og hold det opp mot lyset. Undersøk hvor symmetriske de to tegningene er. Tegn mange figurer

27 Du vil sannsynligvis oppdage at de to figurene ikke er helt symmetriske. Undersøk om det er noe systematikk i avvikene mellom høyre- og venstretegningene. Er det likhetstrekk i avvikene elevene imellom? En annen symmetrisk del av kroppen er ansiktet. La oss se litt nærmere på dette. 5.1 Det aksesymmetriske mennesket Stort sett er vi ganske symmetriske, utenpå i større grad enn innvendig. Likevel er det forskjeller. Dersom vi studerer et ansikt vil vi oppdage at det er små forskjeller mellom høyre og venstre side. Venstre side synes ofte å være litt mer alvorlig enn høyresiden. I 1930 malte William E. Benton maleriet Duality Mirror, hvor han undersøkte hvordan ansiktet så ut dersom det var satt sammen av to høyresider eller to venstresider. To venstresider To høyresider Han tok utgangspunkt i et bilde av forfatteren Edgar Allan Poe ( ). Vi har gjentatt eksperimentet her med moderne datahjelpemidler og ser at Poe ikke er helt symmetrisk. Benton beskriver hvordan Poes høyre ansiktstrekk uttrykker hans bevisste og åpenbare sider, Mr. Jekyll. Mens den venstre siden av ansiktet viser hans ubevisste og skjulte sider, Mr. Hyde. Det finnes nok ingen forskning som fastslår dette, men det er verdt å legge merke til at ansiktets to halvdeler som oftest ikke er helt like og at den venstre ofte er noe mer dyster [13]. Med digitale kamera og bruk av programvare for bildebehandling, er det lett å eksperimentere med bilder av ansikter. Her er noen eksempler. Figuren til høyre viser to eksempler på sammenstilling av to høyresider og to venstresider. En kan vel ikke annet enn å bli slått av hvor symmetrisk jenta på bildet er. To høyresider Normalt To venstresider

28 I tilfellet med gutten til høyre så kan det se ut som om de to høyresidene har et noe mer trist uttrykk enn de to venstresidene, altså det motsatte av det en skulle forvente ifølge diskusjonen foran. Om det har noe å si at vedkommende er venstrehendt, skal være usagt. Også dyr kan være svært symmetriske. To høyresider Normalt På bildet under er vist en Cavaler King Charles Spaniel. To venstresider Eneggede tvillinger kan være svært like. Det betyr ikke nødvendigvis at ansiktene deres er mer symmetriske enn hos andre. Det påstås imidlertid at usymmetrien i den ene tvillingens ansikt, er speilvendt i den andres 1. Så er det bare å finne et tvillingpar og sjekke. Ved hjelp av speilet er det også lett å undersøke hva som skjer når det dreies litt mot høyre eller venstre som vist på bildene til høyre. Kanskje ikke så vakkert, men ganske morsomt. Se vedlegg A.1 for ansikter som kan brukes for studie av ansiktssymmetri. Speil Speil 1. Se:

29 Elever fra Bratsberg skole eksperimenterer med symmetrien i ansikter. 5.2 Norske kommunevåpen Men det finnes selvfølgelig mange andre ting som også er symmetriske. Under har vi gjengitt noen av de mange symmetriske norske kommunevåpnene. Ser vi imidlertid nøye etter så vil vi se at to av kommunevåpnene på bildet ikke er helt symmetriske. Kan du se hvilke?

30 5.3 Strikkemønster Matematikk og Ornamentikk Klær er ofte smykket med symmetriske mønster. Strikkevotter er intet unntak. Vottene til venstre har en meget tydelig symmetriakse langs midten av mønstret. Hovedmotivet er en åttebladet rose. Utvalget av slike mønster er stort og bildene under viser mange eksempler. Ikke alle er like symmetriske og noen er symmetriske i deler av mønstret. Vottene er strikket av Maria Nordvik og hentet fra artikkelen Strikkevottenes høye beskytter i Ukeadressa 3. januar Bildene under viser flere eksempler på strikkemønster på votter fra samme artikkel. Oppgave: En enkel og illustrativ oppgave er å tegne den ene halvdelen av et vottemønster (figuren til høyre). Ved hjelp av planspeilet kan en gjøre mønstret speilsymmetrisk om en langsgående akse (stiplet linje på figuren). Dernest kan en tegne det symmetriske mønstret og erfare speilsymmetriens grunnleggende regler

31 Bildene er tatt av Jens Petter Søraa (Adresseavisen) og gjengitt med tillatelse. 5.4 Symmetriske bokstaver La oss til slutt i dette kapittelet se på noen overraskende eksempler på speilsymmetri CHECKED OK / ALL WRONG Bruk et reagensrør, tykkelse og lengde er ganske ukritisk, men et rør med en diameter på ca. 13 mm passer til de runde skivene under. Fyll røret med kokt vann, og press en kork inn i åpningen, slik at vannet stenges inne uten luftbobler. Fordelen med å bruke kokt vann er at det inneholder lite luft. På den måten unngår vi at det dannes luftbobler. Vann Vi har nå laget en sylindrisk linse med spesielle egenskaper. Skriv følgende to ord med fonten Albertus eller New Times Roman 2. Ordene på figuren er skrevet med Albertus. CHECKED OK ALL WRONG 2. Disse to fontene har bokstaver som er symmetriske i formen

32 Hold vannlinsen over de to ordene i passende avstand og observer hva du ser gjennom linsen. Du vil da observere følgende: CHECKED OK CHECKED OK ser ut til å være uforandret og stå rett vei. Mens ALL WRONG er snudd på hodet. Hvordan kan dette ha seg? Har det noe med fargen på teksten å gjøre, eller er det noe annet lureri? Oppgave: Lag linsen, skriv teksten på et papir, og la elevene prøve å finne årsaken til dette merkelige fenomenet. Dersom elevene synes dette er vanskelig å forklare, fortell dem at forklaringen på fenomenet ligger nærmere matematikken enn fysikken. Årsaken til dette fenomenet finner vi i at noen bokstaver er symmetriske om en horisontal akse. Dersom vi undersøker bokstavene i ordene CHECKED OK, ser vi at alle er symmetriske om en horisontal linje. Dette gjelder ikke bokstavene i ordene ALL WRONG. Vi kan derfor konstatere at begge ordene blir snudd gjennom linsen, men siden CHECKED OK er symmetrisk, vil ordet se likedan ut selv om det er snudd på hodet. La denne oppgaven være introduksjonen til symmetri i matematikken. Øvelsen kan også brukes i forbindelse med optikk og linser i naturfag. Oppgave La elevene finne de bokstavene i alfabetet som er symmetriske langs den horisontale aksen. Utfordre dem til å lage meningsfulle ord og uttrykk bare satt sammen av disse bokstavene. La oss se på en annen oppgave som er knyttet til en annen symmetri hos bokstaver Hemmelig speilskrift Hos en glassmester kan en for en billig penge, skaffe seg biter av halvgjennomsiktig speil. Ved å montere en rektangulær speilbit i en holder slik at den kan stå på bordet, kan vi utføre noen enkle eksperimenter for å demonstrere vertikal aksesymmetri hos bokstaver

33 Oppgave: To tekster er skrevet ut på et ark som vist på figuren til høyre 3. Plassér det halvgjennomsiktige speilet på tvers av teksten slik at den kan leses når en ser inn i det halvgjennomsiktige speilet. Teksten skal dels leses i speilet og dels gjennom speilet. Om det er vanskelig å se teksten på baksiden av speilet, bruk ekstra lys på baksida. Figuren til høyre viser resultatet når speilet er plassért rett med riktig belysning, og sett på skrå inn i det halvgjennomsiktige speilet. Tekst 1 Tekst 2 Tekst 2 Speilet settes omtrent her Matematikk Vi har det kult med geometri 3. Etter en idé fra Cato Tveit ved Høgskolen i Stavanger

34 Bokstavene som leses som speilbilde, er aksesymmetriske om en vertikal akse slik at de blir like når de speiles. Bokstavene på baksiden av speilet leses gjennom speilet. Disse bokstavene blir ikke speilvendt og er heller ikke aksesymmetriske om den vertikale aksen. Hittil har vi sett hvordan vi kan utnytte den horisontale og den vertikale symmetrien hos bokstaver. Slike symmetrier kalles aksesymmetriske (speilsymmetrisk) fordi de er speilet omkring en akse, enten horisontalt eller vertikalt. 6 Rotasjonssymmetri - punksymmetri 6.1 Rotasjonssymmetri I dette avsnittet skal vi se hvilke symmetrier vi kan få til ved hjelp av et fleksibelt vinkelspeil. Et vinkelspeil er i denne sammenheng to speil som er sammenføyet langs én av kantene, slik at vinkelen mellom dem kan endres. Skal vi forstå mulighetene med et slikt vinkelspeil, må vi kjenne litt til rotasjonssymmetriske mønstre. En hjulkapsel er et ganske vanlig eksempel på en rotasjonsymmetrisk gjenstand. Dersom vi dreier hjulkapselen en viss vinkel, vil vi oppdage at den ser eksakt likedan ut som før dreiningen I eksempelet over kan kapselen dreies til fem ulike posisjoner som alle gir samme utseende før den er tilbake til utgangspunktet. Mønstret kalles derfor femfoldig rotasjonssymmetrisk. De andre eksemplene som er vist, har forskjellig grad av rotasjonssymmetri

35 Et vinkelspeil kan lett lages ved å tape sammen to rektangulære speil langs den ene kanten. Ønskes en mer robust og varig løsning, kan en benytte hengsler som vist på bildet over. Vinkelspeilet er også beskrevet i vedlegg B.1. La oss eksperimentere litt med vinkelspeilet. Oppgave: Et vinkelspeil egner seg ypperlig til å lage rotasjonssymmetriske mønstre. Lag et grunnmønster. Sett vinkelspeilet inntil grunnmønstret. Vinkelspeilets åpningsvinkel bestemmer hvor mange ganger mønstret vil bli gjentatt som vist på figuren under. Grunnmønster 5-foldig r.s. 7-foldig r.s. Også kjente mønstre som åttebladrosa er rotasjonssymmetrisk. Vi ser at denne kan betraktes både som speil- og rotasjonssymmetrisk. Speiling om vertikal akse Speiling om horisontal akse Rotasjonssymmetrisk speiling Vi skal benytte vinkelspeilet til å framskaffe den komplette åttebladrosa ut fra en passende grunnfigur som vist på figuren under. Oppgave: På figuren under har vi fire mønstre, og fire grunnfigurer

36 Vinkelspeilet skal åpnes i riktig vinkel og plasseres inntil grunnfiguren slik at det ønskede mønstret framkommer når en ser inn i speilet. Mønster Grunnfigurer Mønster Grunnfigurer Plassér et vinkelspeil ved grunnmønstret slik at rosen til venstre dannes i speilbildet. Løsningen finnes i vedlegg C.2. Denne typen øvelse egner seg også godt til å la elevene bruke speilet for å finne ut hva ting er. Ved å vise grunnfiguren på et ark kan de ved å sette vinkelspeilet rett finne ut hva grunnfiguren er en del av. Oppgave: Bruk vinkelspeilet til å finne ut hva bildene på figuren under forestiller. Ved å plassere speilet med toppunktet i det øverste hjørnet for så å åpne speilet slik at figuren akkurat dekker flaten mellom beina på det åpne speilet, vil de lett se at det første forestiller en hjulkapsel. Denne vil bli gjengitt eksakt. Det neste vil gi inntrykk av å være den innerste rosen i rosevinduet på Nidarosdomen. Imidlertid vil de raskt skjønne at gjengivelsen ikke er perfekt fordi de enkelte

37 bladene i rosen i virkeligheten har forskjellige motiver. Dartskiva synes enkel inntil en oppdager at grunnfiguren lengst til venstre ikke gir noen vanlig dartskive. Det viser seg nemlig at denne grunnfiguren ikke er den egentlige grunnfiguren, men vil gi to hvite og to svarte felter ved siden av hverandre. Grunnfiguren i midten vil gi en dartskive slik vi kjenner den. På denne måten vil de oppdage at grunnfiguren må være symmetrisk om en midtakse dersom figuren skal bli riktig når man benytter vinkelspeil for å lage hele figuren. Tallene langs kanten av dartskive blir selvfølgelig alltid feil. Det er imidlertid mulig å bruke grunnfiguren til venstre på figuren over for å lage en riktig dartskive. Hvordan må du da plassere speilet? Elev fra Bratsberg skole som forsøker å gjenskape rosevinduet i Nidarrosdomen

38 6.2 Punksymmetri og rotasjonssymmetri Er punktsymmetri det samme som rotasjonssymmetri? Nei, det er ikke nødvendigvis det samme, men kan ofte være det. Figuren til høyre illustrerer forskjellen. A viser en figur som er både punktsymmerisk og rotasjonssymmetrisk. Dersom vi trekker linjer fra punkter på flagget til venstre gjennom sentrum, vil vi se at tilsvarende punkter Matematikk og Ornamentikk på flagget til høyre ligger like langt på andre siden av punktet og langs den samme linjen. Figuren er også rotasjonsymmetrisk siden den blir uforandret dersom vi roterer den 180. B derimot er rotasjonssymmetrisk, men ikke punktsymmetrisk. Vi ser at dersom en figur skal være både rotasjons- og punktsymmetrisk så må den være 2, 4, 6, 8 osv - foldig rotasjonssymmtrisk. 6.3 Åttebladrosa Siden Selbu-rosa, eller åttebladrosa som den ofte kalles, har vært en gjenganger i dette prosjektet er det naturlig å se litt spesielt på denne. A Rotasjonssymmetrisk og punktsymmetrisk B Rotasjonssymmetrisk Tradisjonen knyttet til åttebladrosa Slik åttebladsrosa er vist på figuren til høyre, møter vi den ofte i vår norske strikke- og vevtradisjon. Mange forbinder den også med Selbu i Sør- Trøndelag, hvor åttebladrosa ble tatt inn i den lokale strikketradisjonen på midten av 1800-tallet. Selbu har også valgt tre åttebladsroser på sølvbakgrunn i sitt kommunevåpen. Historien forteller at det var Marit Gulsetbrua som sommeren 1857 strikket de første vottene med dette mønsteret. Det sies at hun tok motivet fra Storbrurplagget, som var hodeplagget til brura når hun trådte inn i ektestanden

39 Det vakte stor oppsikt da Marit og søstrene hennes møtte opp på kirkebakken med votter prydet med åttebladsroser, eller Selbu-roser, som det senere ble hetende. Søstrene giftet seg senere, og flyttet til andre gårder i Trøndelag. På den måten tok de med seg mønsteret, og spredte det utover bygdene omkring. I 1897 begynte Marit Emstad fra Selbu å levere Selbuvotter til husfliden med dette mønsteret, og i 1900 leverte handelsforretningene i Selbu, votter til husflidsbutikker flere steder i landet. Men åttebladrosa er verken en trøndersk, eller en norsk oppfinnelse. En kan spore den helt tilbake til den sumeriske kulturen, og det er funnet mønster av denne typen på de tidligste strikkefunn i Europa. Heller ikke alle steder i Norge forbindes åttebladrosa med Selbu. I Hardanger har de akkurat det samme eiendomsforholdet til åttebladsrosa som de har i Selbu. I Hardanger broderes den i hardangersøm, og de blir overrasket når en trønder kaller den en Selbu-rose. Stjernen ble av mange betraktet som det høyeste målet en kunne strekke seg mot, det være seg ledestjernen eller seiersstjernen. Åttebladstjerna har derfor fått mange navn, som Maria-stjerne og marekors. Marekorset har mange likhetstrekk med åttebladrosa. Figuren til høyre Åttebladrosa Dobbelt marekors sammenligner dobbelt marekors og åttebladrosa. Disse symbolene hadde også ord på seg for å beskytte under fødsler og når en sov. De skulle beskytte mot mareritt og angst. Det er derfor ikke underlig at mønsteret er funnet igjen på natttøy strikket av silketråder. Dette skulle beskytte den som bar tøyet, mens han eller hun sov Symmetrier i åttebladrosa Vi skal her ta utgangspunkt i åttebladrosa for å se på de enkleste formene for symmetrier. Vi starter med grunnmønsteret i rosa, som er et parallellogram. I tillegg til speiling om en vertikal og en horisontal akse, skal vi utnytte åttebladrosas rotasjonssymmetriske egenskaper. Et mønster som er rotasjonssymmetrisk, betyr at det gjentar formen sin når det dreies om et senterpunkt

40 Speiling om vertikal akse Speiling om horisontal akse Rotasjonssymmetrisk speiling Nederst på figuren over har vi latt åttebladrosa gjennomløpe en 90 -rotasjon, i trinn på 15. Vi legger merke til at mønsteret ved 45, er eksakt likt mønsteret ved 0. Vi sier at rosa er åttefoldig rotasjonssymmetrisk, siden den faller over sitt eget mønster åtte ganger i løpet av en 360 -rotasjon Tesselering med åttebladrosa Dersom vi trekker en strek gjennom rosas åtte spisser, vil vi få en regulær åttekant, som vist på figuren under

41 Denne åttekanten kan, sammen med kvadratet, tesseleres til et flatedekkende mønster. Et slikt mønster kalles semiregulært siden det trengs to regulære mangekanter for at mønsteret skal bli heldekkende. I avsnitt 8.2 på side 59, skal vi se at det kun finnes åtte slike semiregulære mønster. En tesselering, som vist på figuren nederst på forrige side, er benyttet som basis for mange åklær og tepper. Figuren til høyre viser et tradisjonelt åklemønster som benytter denne type semiregulær tesselering Åttebladrosa og A4-arket La oss så ta utgangspunkt i noe helt annet, og se om vi kan komme fram til et kjent mønster. De innbyrdes lengdene hos et A4- ark er ikke valgt tilfeldig. Utgangspunktet var at en ønsket å lage et standardformat, som var slik at dersom arket ble delt på tvers, i to like store deler, så beholdt det forholdet mellom den korte og den lange siden. a b ½b a b Dette kan vi sette opp på følgende måte: b -- a = a b 2 (6.1) Dersom vi ordner på denne ligningen, slik at a og b kommer over på venstre side, kan vi skrive: b -- a 2 = 2 (6.2)

42 Tar vi kvadratroten av begge sider av ligningen finner vi at forholdet mellom b og a er lik: b -- = 2 1,41 a (6.3) Dvs. at forholdet mellom den lengste og den korteste siden i A4-arket er lik 1,41. La oss huske på dette når vi går videre. Vi skal bruke flere A4-ark, og legge dem over hverandre på en spesiell måte. På figuren under er de to første trinnene i prosessen vist 4 : A 1 1 B 1 A 1 1 B 1 A 2 1,41 α 1,41 B 2 D 2 D 1 C 1 D 1 Vi legger det første arket flatt på bordet. Hjørnene kaller vi A 1, B 1, C 1 og D 1. Så tar vi et nytt ark. Hjørnene på dette arket kaller vi A 2, B 2, C 2 og D 2. Det andre arket legger vi på skrå over det første, slik at hjørnet D 2 ligger på siden A 1 -D 1, og hjørnet A 2 ligger over hjørnet B 1, som vist på figuren over. Det viser seg at vinkelen mellom arkene lik 45. Når vi vet at 8 45 = 360, skjønner vi at dersom vi fortsetter å legge ark på ark, etter de samme reglene, vil vi ende opp med en regulær åttekant. Dette er vist på figuren under. C 2 4. Etter en idé fra Ingvill Merete Stedøy-Johansen og [18]

43 Dersom vi gjør alle arkene gjennomsiktige, framkommer omrisset av åttebladrosa flere ganger inne i den regulære åttekanten. Benytter vi tynt papir i forskjellige fargesjatteringer, og holder åttekanten opp mot et vindu, vil vi se åttebladrosa eller marekorset i det gjennomskinnelige mønsteret som fremkommer, mot den lyse bakgrunnen. Dette er vist på figuren under. Den som vil eksperimentere mer med denne typen mønsterdanning kan ta en titt i [18]

44 6.4 Rosettmønster og karveskurd Matematikk og Ornamentikk La oss først se på en innledende oppgave. Oppgave: La elevene eksperimentere med passer. Utgangspunktet kan være én eller to konsentriske sirkler med punkter for hver 60 vinkel. Disse kan være utgangspunkt for å slå sirkler som krysser sentrum og tangerer pereferien. Ved gjentatt tegning av sirkelbuer, vil elevene se at det framkommer vakre rosettmønster. Når de behersker teknikken, kan de få større frihet til å eksperimentere. Bildet til høyre viser elev fra Bratsberg skole som fargelegger sitt rosevindu. Norge har rike tradisjoner innen treskjæring. Karveskurd er en gren av denne tradisjonen, som kjennetegnes ved sine sinnrike ornamenter bygd på geometriske mønstre laget ved hjelp av passer og linjal. På denne måten er det mulig å konstruere ulike stjerner, men også trekant- og firkantmønstre. Etter at mønstret er ført på arbeidsstykket, benyttes gjerne et v-formet skjærejern der vinkelen mellom flatene er

45 Teknikken er utbredt over store deler av Europa, mens den i Norge i særlig grad finnes på Vestlandet. Det er vanskelig å spore opprinnelsen til den norske tradisjonen, men på 1700-tallet ble det importert varer med betydelig finere og tettere mønster enn det som tidligere var vanlig her til lands 5. La oss se litt nærmere på de geometriene som skjuler seg bak disse mønstrene. Mesteparten av stoffet til dette kapittelet er hentet fra Knut Engelands meget tiltalende bok Treskjæring [4]. I hovedsak er karveskurdornamentene bygd opp av firkanter og sirkelbuer, som igjen er oppdelt i trekantformer og båt -former. En trekant kan snittes ned i treverket på ulike måter som vist på figuren under. Skåret ned Varierende vinkel for nedkutt Med utgangspunkt i kvadratet kan en ved hjelp av en linjal lage en mengde ulike mønstre som kan være utgangspunkt for nedkutt som vist nederst på forrige side. Knut Engeland har på figuren under vist noen mulige mønstre med utgangspunkt i kvadratet. 5. Se nettreferanse (3)