Bølgeegenskaper til lys Alexander Asplin og Einar Baumann 30. oktober 2012 1
Forord Denne rapporten er skrevet som et ledd i lab-delen av TFY4120. Forsøket ble utført under oppsyn av vitenskapelig assistent Marianne Daae 14. oktober 2010. NTNU 15/11 2010 Alexander Asplin og Einar Baumann 2
Sammendrag Vi har i dette eksperimentet sett på noen av lysets bølgeegenskaper ved å studere interferensog diraksjonsmønstrene til monokromatisk lys som ble sendt gjennom en serie med linser og spalter. Vi har bl.a. brukt resultatene av eksperimentet til å beregne bølgelengden av lyset ( λ = (631 ± 11) nm) og bredden til spaltene. Resultatene stemmer godt overens med referanseverdier. 3
Innhold 1 Innledning 5 2 Teoretisk Grunnlag 6 2.1 Elektromagnetiske bølger [1].............................. 6 2.2 Huygens-Fresnels prinsipp............................... 7 2.2.1 Huygens-Fresnels prinsipp brukt på to små spalter............. 7 2.3 Interferens........................................ 8 2.4 Usikkerhet........................................ 9 3 Eksperimentell framgangsmåte og oppgitte data 10 3.1 Oppsett......................................... 10 3.2 Kontroll av laserens bølgelengde........................... 10 3.3 Begrensning av strålebredde.............................. 10 3.4 Måling av diraksjon fra to faste spalter....................... 11 3.5 Måling av tykkelsen på et hårstrå........................... 11 4 Resultater og diskusjon 13 4.1 Kontroll av laserens bølgelengde........................... 13 4.2 Begrensing av strålebredde.............................. 14 4.3 Måling av diraksjon fra to faste spalter....................... 14 4.4 Måling av tykkelse på hårstrå............................. 14 5 Konklusjon 15 6 Litteraturhenvisninger 16 4
1 Innledning I laboratorieoppgaven som denne rapporten omhandler ble lysets bølgeegenskaper undersøkt gjennom en rekke eksperimenter. I laboratorieoppgaven ble dataprogrammet FraunDi sammen med en fotodiode og en skinne med påmontert HeNe-laser, linser og utbyttbare spalter brukt for å utføre målinger av intensiteten til lyset etter at det hadde passert gjennom apparaturen. 5
2 Teoretisk Grunnlag 2.1 Elektromagnetiske bølger [1] Elektromagnetiske bølger er forplantning i rommet av tidsvariasjoner til elektriske og magnetiske felt. Det viser seg at vi ofte, bl.a. her, får korrekte resultater selv om vi neglisjerer det magnetiske feltet og betrakter det elektriske. En lineærpolarisert laserstråle som går parallelt med x-aksen kan med god tilnærmelse beskrives matematisk ved ( ) E = E 2π 0 cos λ x 2πft ϕ (1) der λ er bølgelengden (633 nm i dette eksperimentet) og f er frekvensen (4, 74 10 14 Hz i dette eksperimentet), ϕ er en fasekonstant og E 0 er en amplitude som er avhengig av styrken til laserstrålen, i tillegg til at den angir svingeretningen til det elektriske feltet. Fordi vi ikke kan måle de hurtige variasjonene som det elektriske feltet svinger med, måler vi intensiteten til lyset, som er gitt ved I = cu (2) der c er lyshastigheten og u er gjennomsnittsverdien av energitettheten til summen av det elektriske og det magnetiske feltet som bølgen består av. Energitettheten til et elektrisk felt i vakuum, og med svært god tilnærmelse i luft, er gitt ved u E = 1 2 ɛ 0E 2 (3) og siden vi har at energitettheten for magnetisk felt (u M ) er like stor som energitettheten for det elektriske feltet [1], er den totale enrgitettheten gitt ved u = u E + u M = 2u E = ɛ 0 E 2 (4) som satt inn i Ligning 2 gir intensiteten som funksjon av det elektriske feltet: I = cɛ 0 E 2 (5) Når vi har en bølge som varierer over tid som gitt i Ligning 1 kan det vises ved å midle over en periode T at E 2 = 1 2 E2 0 (6) og dermed at I = 1 2 cɛ 0E 2 0 (7) 6
Figur 1: Huygens-Fresnels prinsipp med to spalter med åpning a λ Figur 2: Huygens-Fresnels prinsipp med en spalte med åpning ikke a λ 2.2 Huygens-Fresnels prinsipp Huygens-Fresnels er formulert som følger [1] : Ethvert uhindret punkt på en bølgefront kan ses på som en kilde for sekundære kulebølger med samme bølgelengde som den opprinnelige bølgen. Det totale feltet for ethvert punkt framfor den opprinnelige bølgefronten, er for et gitt tidspunkt lik summen av feltene til de sekundære bølgene. Summeringen må ta både amplitude og fase i betraktning. I Figur 1 er prinsippet illustrert med to spalter som er så smale sammenlignet med λ at vi kan betrakte dem som punktkilder. Dersom spalteåpningen er større, må vi dele spalteåpningen opp i n smale striper som hver har bredde a /n λ (Se Figur 2) 2.2.1 Huygens-Fresnels prinsipp brukt på to små spalter Skal se på et tilfelle der et laserlys kommer inn mot to like spalter som er så smale at deres bredde kan neglisjeres sammenlignet med laserlysets λ. Vi skal nne intensitetsvariasjonen i et vilkårlig punkt P på en observasjonsskjerm, som illustrert i Figur 3. 7
Figur 3: Intesitetsfordeling for laserlys gjennom to små spalter Når vi vet at ( ) 2π E 1 = E 0 cos λ r 2πft ϕ ( ) 2π E 2 = E 0 cos (r + r) 2πft ϕ λ (8) (9) r = d sin θ = nλ n = 0, ±1, ±2,... (10) og utfører en rekke mellomregninger, nner vi at ( ) πd I (θ) = I 0 cos 2 λl x og det er en slik variasjon av intensiteten avhengig av vinkelen mellom fotodioden og spalten som skal måles i dette eksperimentet. (11) 2.3 Interferens Interferens er fenomenet som oppstår når ere bølger opptar samme plass, og derfor i følge superposisjonsprinsippet danner et nytt bølgebilde, som er summen av bølgene som møtes. Hvis for eksempel to bølger med samme fase møtes i et punkt, vil utslaget i punktet bli summen av de to bølgene. Dette kalles konstruktiv interferens. Hvis de derimot møttes i motfase, vil de oppheve hverandre. Dette kalles destruktiv interferens. Hvis to elektromagnetiske bølger med samme frekvens, men motsatt bevegelsesretning møtes vil de danne en stående bølge. Superposjonen av to elektromagnetiske bølger er gitt ved E ( r, t) = E 1 ( r, t) + E 2 ( r, t) (12) 8
2.4 Usikkerhet I denne rapporten er usikkerheten i målningene begenet med Gauss-feilforplantningslov [2]. Denne loven sier at hvis vi har en vilkårlig funksjon f av ere variable f = f (a, b, c,... ), der hver av variablene har en usikkerhet på a, b, c,..., så vil usikkerheten være gitt ved ( f) 2 = ( ) 2 ( ) 2 ( ) 2 f f f a a + b b + c c + (13) 9
3 Eksperimentell framgangsmåte og oppgitte data 3.1 Oppsett I dette eksperimentet ble det brukt en HeNe-laser som sender monokromatisk rødt lys (λ = 633 nm). Laseren var montert på en skinne sammen med 3 linser som forstørret og samlet lysstrålene. De tre linsene L 1, L 2 og L 3 hadde brennvidder på henholdsvis f 1 = 50 mm, f 2 = 300 mm og f 3 = 1000 mm. Gjennom L 1 ble lyset forstørret med en faktor på 6, før det gjennom L 2 ble endret slik at lysstrålene gikk parallellt idet de gikk gjennom en port (H) hvor det ble satt inn spalter og stoppere. Etter porten ble lysstrålene igjen samlet i L 3 før de tra fotodioden (F). Figur 4 viser en prinsippskisse av oppsettet. Figur 4: Oppsett Fotodioden var montert i enden av skinna, på en stepmotor som kunne endre posisjonen til fotodioden i horisontal retning normalt på den optiske aksen for systemet. Linsene og fotodioden ble stilt inn slik at fokalpunktet til L 3 tra midt på fotodioden. Fotodioden var koblet sammen med en datamaskin ved hjelp av en analog til digital omformer. På datamaskinen ble programmet FraunDi brukt til å styre stepmotoren og registrere måleresultatene. Stepmotoren hadde en nullposisjon på 50 mm. 3.2 Kontroll av laserens bølgelengde En dobbeltspalte ble montert i porten H slik at laserstrålen tra normalt midt på dobbeltspalten, som vist i gur 5. Det ble så montert et rør på fotodioden for å skygge for annet lys som kunne forstyrre målingen. Fotodioden ble så kjørt med opptak fra 46-54 mm. Lysintensiteten i interferensmønsteret ble registrert som funksjon av posisjonen på datamaskinen, fremstilt grask og skrevet ut. I programmet ble markøren brukt til å lese av x-verdiene for 5. ordens maksimum på hver side av utgangsposisjonen (0.-ordens maksima. x og bølgelengden til lyset (λ)ble beregnet. 3.3 Begrensning av strålebredde Det ble satt en plate med linjal foran fotodioden og fotodioden ble kjørt til posisjon 50,0 mm L 3 og dobbeltspalten ble fjernet, og en variababel spalte ble satt inn i cirka 30 cm fra fotodioden, og 10
Figur 5: Lys treer spalte slik at laseren tra spalten midt på. Spalteåpningen ble variert gradvis fra stor til ingen åpning, mens lysekken på platen foran fotodioden ble observert. 3.4 Måling av diraksjon fra to faste spalter Oppsettet ble tilbakestilt til det opprinnelige, med unntak av L 3 i posisjon 91cm. En plate med to faste spalteåpninger 0, 3 mm og 0, 15 mm ble satt inn i H, og stilt inn slik at laseren strålte midt på den brede spalten. Røret ble satt på fotodioden for å skygge for strølys og det ble gjort opptak fra 30 mm til 70 mm. Så ble FraunDi brukt til å gjøre en simulering med kriteriene fra det faktiske eksperimentet. Resultatene fra eksperimentet og simuleringen ble sammenlignet. Opptaket og simuleringen ble så utført med lyset sendt gjennom den smale spalten. 3.5 Måling av tykkelsen på et hårstrå Det ble montert en plate med hull i porten H og et hårstrå ble plassert midt i laserstrålen foran hullet ved hjelp av et par magneter. Håret ble montert i spenn, vertikalt, slik at interferensmønsteret ble best mulig. Så ble det gjort opptak med fotodioden fra 30 mm til 70 mm, og FraunDi ble brukt til å nne tykkelsen av håret. 11
Usikkerhet Usikkerheten i kontroll av laserens bølgelengde avhenger av avlesningsnøyaktigheten, det ble anslått at den graske fremstillingen kunne leses av med 0,03 mm nøyaktighet. I resten av dataene for bergeningen brukte vi bare de oppgitte usikkerhetene. På resten av oppgaven har FraunDi utført beregningene, og det er blitt valgt å se på usikkerheten som neglisjerbar. Den oppgitte verdien for dobbeltspalten og fokallengden f 3 i eksperimentet var: d = 1, 01 ± 0, 01 mm f 3 = 1000 ± 10 mm 12
4 Resultater og diskusjon 4.1 Kontroll av laserens bølgelengde Ved avlesning (se vedlegg, Figur V1) fant vi femteordensmaksima x h = 53, 11 mm og x v = 53, 11 46, 86 46, 86 mm. Dette ga en x = mm = 3, 125mm 2 Dersom vi regner med at usikkerhet i avlesningen 0, 03 mm får vi minimumsverdi og maksimumsverdi for x: x min = x maks = Som videre brukes til å regne ut x: x = 53, 08 46, 89 2 53, 14 46, 83 2 3, 155 3, 095 2 Som gir en verdi for x med usikkerhet x mm = 3, 095 mm mm = 3, 155 mm mm = 0, 030 mm Bølgelengden λ beregnes med formelen Setter inn verdiene og får at: λ = λ λ = x ± x = 3, 125 ± 0, 030 mm λ = xd nf 3 (14) 3, 125 mm 1, 01 mm 5 1000 mm ( d ) 2 + d ( ) 2 x + x = 631 mm ( f3 (0, ) 2 ( ) 2 ( ) 2 λ 01 0, 030 10 λ = 1, 01 mm + 3, 125 mm + 1000 mm = 0, 017 Dette gir en beregnet bølgelengde: f 3 ) 2 λ = 0, 017λ = λ = 0, 017 631 nm = 11 nm λ ± λ = 631 ± 11 nm 13
4.2 Begrensing av strålebredde Når den variable spalten ble justert smalere ble også lysekken smalere, inntil en viss bredde hvor den ble bredere igjen, og viste et interferensmønster. Dette skjer på grunn av diraksjon som opptrer når spalteåpningen blir mindre enn λ. Interferensmønsteret viser minima og maksima for intensiteten til strålingen, forårsaket av interferens mellom forskjellige bøyningsvinkler. Generelt gjelder det at når spalteåpningen blir tilstrekkelig liten blir det utslukkning i interfernsmønsteret for alle θ der a sin θ = mλ (der m = ±1, ±2,...) er oppfylt. 4.3 Måling av diraksjon fra to faste spalter Hovedforskjellen mellom de eksperimentelle måledataene og de simulerte dataene er i utslukkingsområdene. Her har de simulerte dataene null intensitet (se vedlegg, Figur V1) i utslukkingsområdene, mens på de eksperimentelle dataene (se vedlegg, Figur V1) har utslukkingsområdene fortsatt en målt lysintensitet. Det er ere årsaker til at dette skjer, for det første er ikke lyset fokusert nok til gi fullstendig utslukking. I tillegg var det en del strølys i laboratoriet som påvirket resultatet. Dette strølyset kunne nok vært betydelig redusert ved å skru av taklyset i rommet. Det er vanskelig å si om det er laserlysets dårlige fokusering eller strølyset som har størst eekt på målingene. I målningene våre kom vi fram til at breddene på spaltene var henholdsvis 0, 303 mm og 0, 169 mm for den brede og den smale spalten. Dette stemmer godt med verdiene oppgitt i oppgavebeskrivelsen [1]. 4.4 Måling av tykkelse på hårstrå Når hårstrå ble plassert foran laserstrålen dukket det opp et interferensmønster som ble målt med fotodioden, og FraunDi beregnet en spaltebredde på 0, 08 mm eller 80 µm. I følge wikipedia [3] er normal tykkelse på et hårstrå fra 17 µm til 181 µm. Det er altså stor grunn til å tro at metoden gir en god beregning av tykkelsen på et hårstrå. Denne intensitetsgrafen ble dessverre ikke tatt vare på, men den var langt i fra like bra som intensitetsgrafene vi kk med laboratorieutstyret. Dette kommer hovedsaklig av to grunner, det er vanskelig å få et hårstrå til å henge helt i ro og helt vertikalt slik at måligen blir bra. I tillegg har hårstrå en ru overate på mirkoskopisk nivå, som gjør at lyset vil spres uregelmessig. 14
5 Konklusjon Det ble funnet at bølgelengden til lyset utsendt av laseren var (631 ± 11) nm, som stemmer bra overens med litteraturverdien (633 nm). Interferensanalyse er altså god metode for å bestemme bølgelengden til monokromatisk lys. Det ble observert at når lys blir sendt gjennom en dobbeltspalte, vil det oppstå et interferensmønster pga. interferens mellom de to punktkildene som oppstår ved de to spalteåpningene. Videre ble det observert at når lys blir sendt gjennom en smal spalte, oppstår det et diraksjonsmønster pga. interferens mellom de forskjellige bøyningsvinklene. Når lyset i stedet sendes gjennom en bredere spalte, blir diraksjonen mindre tydelig, og 0.-ordens maksima blir langt høyere. Interferensforsøk kan brukes til å bestemme bredden av smale objekter, f.eks. hårstrå. Det ble også observert at Alexander Asplin har rimelig gjennomsnittlig hårtykkelse (se underseksjon 4.4 samt [3]). 15
6 Litteraturhenvisninger [1] Oppgavebeskrivelsen (oppgave4_tfy4120.pdf) [2] En liten innføring i usikkerhetsanalyse [3] http://en.wikipedia.org/wiki/hair#construction_of_the_root_and_strand 16