Statisk magnetfelt. Kristian Reed a, Erlend S. Syrdalen a

Transkript

1 Statisk magnetfelt Kristian Reed a, Erlend S. Syrdalen a a Institutt for fysikk, Norges Teknisk-Naturvitenskapelige Universitet, N-791 Trondheim, Norway. Sammendrag I det følgende eksperimentet ble en aksial Hallprobe benyttet til å måle de statiske magnetfeltene på aksen til ulike oppsett av strømførende spoler. Teoretiske beregninger og eksperimentelle data ble deretter sammenlignet. En kort spole, en Helmholtspole med ulike aksialavstander og en solenoide ble undersøkt. Resultatet ble gjennomsnittlige avvik fra teori på henholdsvis,%, 1,91%,1% og,17%. 1. Innledning Den danske vitenskapsmannen Hans Christian Ørsted ( ) la i 1819 grunnlaget for læren om elektromagnetisme idet han oppdaget at en magnetnål ble påvirket av en strømførende leder. En elektrisk strøm var altså opphavet til et tilhørende magnetfelt, en sammenheng som blant annet de franske fysikerne Jean-Baptiste Biot og Félix Savart umiddelbart fattet interesse for. llerede året etter Ørsteds gjennombrudd klarte de ved hjelp av en rekke eksperimenter å nne en fundamental kvantitativ sammenheng mellom magnetfeltet i et punkt og bidraget til dette fra innitesimale biter av en strømførende leder. Sammenhengen kalles i dag Biot-Savarts lov etter opphavsmennene.[] ed å summere alle innitesimale magnetfeltbidrag kan loven brukes til å beregne det totale magnetfeltet i et punkt forårsaket av en leder med vilkårlig form. I det påfølgende eksperimentet vil dette benyttes til å nne tilnærmede teoretiske verdier til de magnetiske feltene på aksene til tre ulike typer sirkulære spoler. Deretter vil måleresultater utført med en Hallprobe langs samme akse benyttes til å undersøke samsvaret mellom teori og eksperiment. Rapporten tar først for seg en kort gjennomgang av relevant teoretisk bakgrunn, før en beskrivelse av apparatur og fremgangsmåte vil bli beskrevet. Deretter følger resultatet av målingene og en diskusjon rundt disse, før det hele avrundes med en oppsummering av eksperimentet.. Teoretisk bagrunn.1. Generell teori Enhver ladning i bevegelse er opphav til et magnetisk felt. Biot-Savarts lov forteller at bidraget til magnetfeltet db i et punt P i rommet forårsaket av en strøm I i et innitesimalt ledningselement d l er gitt ved: db = µ Id l r π r, (1) hvor r er posisjonsvektoren til punktet P fra ledningselementet d l, r = r er avstanden mellom dem og µ 1 er tomromspermeabiliteten. ed å avende superposisjonsprinsippet, og ved å integrere ligning (1) over alle bidrag db fra hele lederens lengde L, kan det totale magnetfeltet B i punktet P nnes ved hjelp av utrykket B( r) = µ Id l r π L r. () Det er i dette eksperimentet imidlertidig kun interessant å se på magnetfeltet langs aksen til sirkulære strømspoler. Denne aksen deneres i det påfølgende til å være x-aksen, og nullpunktet på denne til å være spolens sentrum. Den enkleste sirkulære spolen er den som kun består av en enkelt vikling, og integrasjon over en slik spole vil av symmetriårsaker kansellere alle bidrag til magnetfeltet som står normalt på x-aksen ettersom størrelsen på dette bidraget er likt i alle retninger. ed å relatere et gitt punkt P i avstand x fra spolens sentrum til spolens radius ξ og tilhørende r, blir resultatet den enkle relasjonen r = x +ξ. idere er sin α = ξ/r, hvor α er vinkelen mellom r og x- aksen som igjen medfører at sin α = ξ/ x + ξ. ed å bruke denisjonen av kryssprodukt, og ved å benytte at d l = ξdθ kan dermed de innitesimale magnetfeltbidragene som er av interesse ved substitusjon i (1) uttrykkes som: db x = µ π Iξ dθ, () (x + ξ ) / hvor θ blir integrasjonsvinkelen rundt strømsløyfen. ed å integrere dette bidraget over en sirkel blir det totale magnetfeltet i et punkt på x-aksen for èn enkelt vikling gitt ved: B x = µ ) / I (1 + x ξ ξ. () 1 Per denisjon er µ = π 7 H m 1 Preprint submitted to Peder N. Galteland 1. april 1

2 .. Kort spole For en kort spole er det en god tilnærming å multiplisere () med antall viklinger N i spolen, hvor x nå er avstand fra midlere sentrum av spolen og ξ er gjennomsnittlig radius til viklingene. Denne tilnærmingen tar ikke hensyn til spolens utstrekning. Dette gir følgende utrykk for magnetfeltet på aksen til en kort spole:.. Helmholtspoler B x N µi ξ ( 1 + x ξ ) /. () En Helmholtspole er et oppsett bestående av to identiske korte spoler med innbyrdes avstand a i koaksial oppstilling. Superposisjonsprinsippet gir at det totale magnetfeltet på aksen til disse spolene i avstand x fra midtpunktet mellom dem kan nnes ved å ta utgangspunkt i () for å ende opp med den gode tilnærmingen: B x µin ξ.. Solenoide [ ( 1 + (x a/) ξ ) / + ( 1 + (x+a/) ξ ) / ]. () En solenoide kan i prinsippet betraktes som en lang spole med lengde l. ed å ta utgangspunk i () kan magnetfeltet i et vilkårlig punkt på x-aksen regnes ut ved B = µi tn l (cos θ 1 cos θ ), (7) hvor θ 1 og θ er som gitt i gur 1, og hvor I t er total strøm gjennom solenoiden. Inne i solenoiden er θ 1, π/ og θ 1 π/, π, og det kan også sees fra guren at og cos θ 1 = cos θ = + R, (8) (l ) + R, (9) hvor er avstand fra venstre enda av solenoiden til punktet P, og R angir solenoidens indre radius.[1] dx θ θ 1 θ x P l Figur 1: Tverrsnitt av solenoide. θ angir vinkelen mellom den venstre enden av solenoiden og et element dx, hvor P er et gitt punkt på x-aksen. enstre ende er denert som nullpunktet på x-aksen, R er solenoidens indre radius og er avstanden mellom nullpunktet og punktet P.. Metode og apparatur Eksperimentet baserer seg på målinger av det statiske magnetfeltet fra tre ulike spolekongurasjoner, henholdsvis en kort spole, en Helmholtspole og en solenoide. Utformingen av de ulike kongurasjonene er vist i gur. For kort spole er det utført en måleserie med 17 målepunkter i et intervall på ± cm. Den korte spolen består av viklinger med gjennomsnittlig radius lik 7, cm. Når det gjelder Helmholtspolen er det utført tre måleserier à 17 målepunkter med innbyrdes avstand a mellom spolene på henholdsvis R, R og R/, hvor R er spolenes radius. Det to spolene som er brukt her er identiske med de som er brukt for kort spole. For solenoiden er det utført målinger gjennom hele solenoiden, som er,91 m lang og består av 8 viklinger. I alle måleserier er magnetfeltet målt med et Halleekt-gaussmeter på den horisontale aksen gjennom spolene og solenoiden. Gaussmeteret fungerer slik at Halleektproben står aksialt på det magnetfeltet som skal måles. Gaussmeteret består i prinsippet av en strømkilde som gir en konstant strøm gjennom proben, og et voltmeter som måler Hallspenningen over proben. Denne Hallspenningen er proporsjonal med ukstettheten gjennom proben, så gjennom en kalibreringsprosess kan derfor ukstettheten bestemmes ved hjelp av gaussmeteret. For å få minst mulig tidsvariasjon i magnetiske strøfelt, blir Halleektproben i alle deleksperiment holdt i ro, mens det er de ulike spoleoppsettene som blir variert ved hjelp av et rullende skinnesystem. Strømmen i alle måleserier er konstant på 1,. Dette kan kontrolleres nøyaktig ved at det er koblet et amperementer i serie med strømforsyningen. De teoretisk forventede verdiene er i alle tilfeller først beregnet for det målte R

3 Probe Teoretisk verdi a) B (G) Probe Figur : Plot av både måleverdier og teoretisk beregnet kurve av magnetisk ukstetthet B langs aksen til en enkelt kort spole. Nullpunktet på x-aksen svarer til sentrum av spolen. b) Probe Kort spole c) Figur : Plot av dieransen mellom målte og teoretiske verdier til kort spole. Nullpunktet på x-aksen svarer til sentrum av spolen. Figur : Figur av de ulike eksperimentoppsettene. a) kort spole, b) Helmholtspole, c) solenoide. indikerer et amperemeter og en spenningskilde. au=ur intervall, før de eksperimentelle data deretter er sammenlignet med dette. For å kunne få noenlunde overenstemmelse mellom beregnede og eksperimentelle verdier, er eksperimentet avhengig av å nne en nøyaktig verdi for nullpunktet for kort spole og Helmholtspole slik at punktet der feltet er sterkest kan nnes nøyaktig. Dette ble løst ved å først nne et tilnærmet midtpunkt ved største verdi for magnetisk ukstetthet B, for deretter å nne middelverdien mellom henholdsvis % mer, og % mindre ukstetthet. For solenoiden derimot, var det vankeligere å måle et klart topp eller bunnpunkt for magnetisk ukstetthet. enstre endeplan ble derfor denert som solenoidens nullpunkt, og dette ble funnet ved å ta utgangspunkt i den teoretisk forventede verdien.. Resultater Figur viser teoretisk og målte verdier for kort spole med tilhørende relativt avvik mellom teori og målepunkter i gur. Tilsvarende viser gur data og teori til de tre ulike oppsettene av Helmholtsspolen med tilhørende relativt avvik i gur. Solenoidedataene er vist i gur 7, og avvik i gur 8. u au=ur u au=ur/ u Figur : Plot av både måleverdier og teoretisk beregnede kurver av magnetisk ukstetthet B langs aksen til tre ulike Helmholtspoler med senter til senter avstand a på henholdsvis R, R og R/, hvor R er spolenes radius. Nullpunktet på x-aksen svarer til midtpunktet mellom de to individuelle spolene som utgjør Helmholtspolen.

4 8 a=r a=r a=r/ 1 Figur : Plot av dieransen mellom målte og teoretiske verdier til en Helmholtspole som svarer til måleseriene med senter til senter avstand a på henholdsvis R, R og R/, hvor R er spolenes radius. Nullpunktet på x-aksen svarer til midtpunktet mellom de to individuelle spolene som utgjør Helmholtspolen. Bn(G) 8 Teoretisknverdi xn(m) omformingen av Biot-Savarts lov (1) benyttet her er korrekt gjennomført, men langt viktigere er at dette er en bekreftelse på lovens gyldighet. Helmholtspolen har også en interessant egenskap ved at det skapes et veldig homogent magnetfelt inne i spolen ved oppsettet med a = R. Dette kan forklares ved at gjentatt derviasjon av ligning () i x = er gitt som: db dx = d B dx = d B =. () dx t det først er den. deriverte som er forskjellig fra gir faktisk kun 7% dieranse i feltstyrke mellom senter og endene. Et slikt homogent magnetfelt har mange anvendelser der man ønsker å kunne kontrollere feltstyrken, som for eksempel å nulle ut jodens magnetfelt. Det kan tenkes at mulige strøfelt som jordmagnetfeltet og elektriske kretser i laboratoriet vil få innvirkning for måleverdiene. Det viser seg derimot at denne eekten er minimal, ettersom Hallproben ble nullstilt for hvert forsøk med de ulike strøfeltene tilstede. Siden Hallproben også ble holdt i ro mens spolene ble beveget lags x-aksen vil det heller ikke være noe tidsvariasjon i de ulike strøfeltene. En feilkilde som derimot er av betydning, er forutsetningen om at de korte spolene har null utstrekning. Dette resulterer derfor i en usikkerhet i x som forplanter seg i B. For å kompensere for denne forenklingen ville det blitt korrekt å bruke superposisjonsprinsippet for hver enkelt av de viklingene slik som for de to spolene i Helmholtspolen. Eventuelt kan også de korte spolene betraktes som korte solenoider, og det er mulig å bestemme B-feltet ved hjelp av ligning (7). En beregning av usikkerheten i B for kort spole ved å se på utstrekningen i spolen som usikkerhet i x, gir ved Gauss feilforplantningslov Figur 7: Plott av magnetisk ukstetthet B til måleverdier og teoretisk beregnede verdier på aksen til en solenoide. Nullpunktet på x-aksen svarer til den venstre enden av solenoiden. vvik solenoide Figur 8: Plot av dieransen mellom målte og teoretiske verdier til solenoiden. Nullpunktet på x-aksen svarer til den venstre enden av solenoiden.. Diskusjon Som alle plottene over teoretiske og beregne verdier viser, er det for både kort spole, Helmholtspole og solenoide stor overenstemmelse mellom teoretiske og beregnede verdier. Dette veriserer i første omgang at den matematiske B B = x ξ x, (11) + x som er økende, og gir ved x =, m gir et relativt avvik på,8%. Dette harmonerer også med avviksplottet for kort spole i gur der avviket er økende men stabiliserende, som ligning (11) også antyder. En annen feilkilde er bestemmelse av nullpunktet på x- aksen. Om det her skulle være en ørliten feilplassering er det da naturlig at feilen i det magnetiske feltet vil eskalere ved måleverdier plassert lenger unna. Dette kommer også tydelig frem i avviksplottet for solenoiden i gur 8. For begge de nevnte feilkildene vil feilen være minst for x =, som avviksplottene også bekrefter. Dette viser at feilen i målingene i stor grad er en systematisk feil, og dette kommer spesielt tydelig frem for solenoiden i gur 7, der det kommer frem at etter hvert som x øker ligger det målte magnetiske feltet systematisk for høyt. Tabell 1 viser en oversikt over gjennomsnittlig usikkerhet for de fem måleseriene. Da omstendighetene under hver For x = vil formel (11) gi B/B =

5 Tabell 1: Gjennomsnittlig relativ feil til de fem ulike måleseriene. Måleserie vvik Kort spole, % Helmholtspole med a = R 1,91 % Helmholtspole med a = R, % Helmholtspole med a = R/,1 % Solenoide,17 % målesere er like, vil et slikt gjennomsnitt gi et representativt uttrykk for avviket. Som antatt er det solenoiden som har størst gjennomsnittlig avvik, da det var her det var mest utfordrende å nne en brukbar posisjon for startpunktet x =. Om det tas hensyn til de to foregående diskuterte systematiske feilkildene, er avviket som skyldes tilfeldige faktorer svært liten, som indikerer at måleseriene har blitt utført godt.. Konklusjon Resultatene stemmer godt overens med hva Biot-Savarts lov (1) forteller om hvordan magnetfeltet rundt en strømførende leder utarter seg. De gjennomsnittlige avvikene er på,% for kort spole, 1,91%,1% for Helmholtspolene og,17% for solenoiden. Dette er ikke overraskende med tanke på de relativt store systematiske avvikene forenklingene i de matematiske modellene medfører. Som avviksplottene viser er feilen også systematisk økende ettersom x øker, noe usikkerhetsberegningen i ligning (11) bekrefter. De tilfeldige variasjonene forsøket har blitt gjenstand for er derfor minimale. Referanser [1] K. Rai Naqvi, Gjerde Gjendem og Jon Ramlo, 1 Laboratorium i emne TFY1/FY Elektrisitet og magnetisme, NTNU. [] E. Lillestøl,. Hunderi og J.R. Lien, 1 Generell fysikk for universiteter og høyskoler. Bind : varmelære og elektrisitetslære, Universitetsforlaget.