2. Teoretisk grunnlag

Transkript

1 1 1. Innledning Denne rapporten baserer seg på laboratorieforsøket «Bølgeegenskaper i Lys» der vi, som tittelen tilsier, har sett på bølgeegenskaper i lys. Dette ble gjort ved hjelp av en laser og forskjellige linser, samt gitter og spalter for bøyning av lyset. Vi ser først litt fort på såkalt geometrisk optikk der lyset forplanter seg rettlinjet og reflekteres i en vinkel like stor som innfallsvinkelen. Hoveddelen av forsøket gikk dog med på å se på hva som skjer når man sender lys gjennom tilstrekkelig smale åpninger (spalter) for så å observere hvordan lyset oppfører seg da. Rapporten vil derfor i stor grad omhandle bølgeteori for lys. I «virkeligheten» må man dog ta hensyn til at lys bare kan sendes og tas opp i små energipakker, kjent som kvarker, men dette neglisjerer vi i denne rapporten.

2 2. Teoretisk grunnlag I dette forsøket har vi sett på lysbølger som er en undergren av elektromagnetiske bølger med bølgelengde mellom 380 og 780 nm. Elektromagnetiske bølger er forplantninger i rommet av tidsvariasjoner til elektriske og magnetiske felt, men i dette eksperimentet ser vi kun på dem som elektriske felt. 2 Lysbølgene har alt for raske svingninger til at vi kan oppfatte svingningene med øynene eller annet måleinstrument. Det som merkes som lys for øyet er intensiteten til lyset, denne er litt ved: ū (2.1) der c er lyshastigheten og ū er middelverdien av energitettheten til summen av det elektriske og magnetiske feltet. Når man sender lys inn mot en vertikal spalte med tilstrekkelig smal åpning i horisontal retning og stor åpning i vertikal retning vil man kunne se et mønster av lyset på en skjerm bak spalten. Dette mønsteret vil bestå av en stråle som er bredere enn strålen vi sender inn i spalten. Dessuten vil man kunne se maksima og minima på skjermen. Dette fenomenet kalles diffraksjon og beskrives i Huygens-Fresnels prinsipp: Ethvert uhindret punkt på en bølgefront kan ses på som en kilde for sekundære kulebølger med samme bølgelengde som den opprinnelige bølgen. Det totale feltet for ethvert punkt framfor den opprinnelige bølgefonten, er for et gitt tidspunkt lik summen av feltene til de sekundære bølgene. Summeringen må ta både amplitude og fase i betraktning. (kilde: Oppgave 4, Lab i TFY4106: Bølgeegenskaper i lys: K.A. Strand, A.K. Bjørke, H. Haugen, J.A. Henriksen og L.E. Walle, NTNU 2007) Figur 2. 1 En laserstråle sendes inn mot spalter med åpning a der a<<λ, og bøyes dermed gjennom åpningen. (Hentet fra: Oppgave 4, Lab i TFY4106: Bølgeegenskaper i lys: K.A. Strand, A.K. Bjørke, H. Haugen, J.A. Henriksen og L.E. Walle, NTNU 2007).

3 3 Når man sender lysbølger mot åpninger med en bredde a, der a er mye mindre enn bølgelengden til lyset λ, vil lyset brytes og man vil få et interferensmønster på skjermen på andre siden. Dette illustreres i figur 2.1. Vi kan også finne formler for hvordan laserlyset vil bøyes gjennom spaltene og dermed hvordan interferensmønsteret viser seg på skjermen. Dersom vi har ganglengdeforskjell, r (se figur 2.2) og et helt antall bølgelengder vil vi få konstruktiv interferens og vi vil kunne se tydelige røde punkter på skjermen: Midt mellom lyspunktene, altså der: sin, 0, 1, 2, (2.2) Figur 2. 1 sin, 0, 1, 2, (2.3) får vi da destruktiv interferens og vi får mørke områder på skjermen. Figur 2.2 Illustrasjonen viser hvordan intensiteten til laserlyset varierer (Hentet fra: Oppgave 4, Lab i TFY4106: Bølgeegenskaper i lys: K.A. Strand, A.K. Bjørke, H. Haugen, J.A. Henriksen og L.E. Walle, NTNU 2007)

4 Figur 2.2 viser hvordan intensiteten til laserlyset varierer når laserlys med bølgelengde λ sendes gjennom spaltene S 1 og S 2 i avstand d fra hverandre. L er avstanden fra spalten til observasjonsskjermen, P er et punkt på skjermen der vi ser på interferensmønsteret, r er avstanden fra S 1 til P, (r+ r) er avstanden fra S 2 til P og θ er vinklene mellom r og L. 4 Man kan videre se på formelen som gir oss intensiteten som funksjon av vinkelen θ: sin (2.4) Når man videre har at x << L (noe det er i vårt forsøk) kan vi sette sinθ tanθ : (2.5) I forhåndsoppgaven på labforsøket skal vi finne bølgelengden til laseren vi skal bruke. Dettes gjøres ved hjelp av en dobbeltspalt med spalteavstand d, og vi kan da finne formler (fra formel 2.2): Vet at vi har x << L i forsøket, så setter dermed: (2.6) sin tan θ (2.7) I denne formelen er f 3 fokallengden til linse 3, altså avstanden fra siste linse til måleren og x er halve avstanden mellom to n'te ordens maksima. Hvis vi kombinerer 2.6 og 2.7 nå får vi: (2.8) Videre skal vi finne feilforplantningen på grunn av den resulterende relative usikkerheten i λ. Denne formelen finner vi i tidligere utdelte notat om feilestimering: Δ (2.9) (kilde: K. A. Strand: En liten innføring i usikkerhetsanalyse, NTNU 2006) der vi skal finne usikker heten i en størrelse,,, som beregnes ut fra målinger av x, y, z,..., og x, y, z,... er uavhengige av hverandre (en feil i en av dem vil altså ikke påvirke de andre).

5 5 3. Eksperimentell fremgangsmåte og oppgitte data For å måle og observere egenskapene til lys har vi brukt et optisk oppsett beståendee av en rekke linser, en lyskilde(laser) og mottaker(fotodiode) samt forskjellige spalter og gitter, alt dette festet på en skinne der avstandene mellom dem kunne endres. En laser sendte ut rødt lys (kun en bølgelengde, λ = 633nm). Denne strålen ble forstørret 6 ganger ved hjelp av to linser L1,L2. Figur 3. 1 En enkel skisse av apparaturen vi benyttet til laboratorieøvingen, sett ovenifra. (Hentet fra Oppgave 4, Lab i TFY4106, Knut Arne Strand, Astrid Kornberg Bjørke, Håvard Haugen, Jorunn A. Henriksen og Lars Erik Walle, NTNU 2007 ). Mellom linse L2 og L3 var det en holder H der vi kunne sette opp spalter og gitter for å utføre forsøkene. Alt ble tatt imot av en fotodiode F. På fotodioden registrerte vi forskjellige intensiteter mens den flyttet sensoren horisontalt. Avstandene mellom linsene målte vi med lengdeskalaen på skinnen utstyret sto festet på. En datamaskin var koblet til fotodioden(sensoren) og her kunne vi få opp intensiteten ettersom dioden beveget seg. Figur 3. 2 Enkel skisse av hvordan datamaskinen er koblet opp med fotodioden. (Hentet fra Oppgave 4, Lab i TFY4106, Knut Arne Strand, Astrid Kornberg Bjørke, Håvard Haugen, Jorunn A. Henriksen og Lars Erik Walle, NTNU 2007 ). Fotodioden sitter fast på en motor, SM, som roterer frem og tilbake (i dette tilfellet, ut og inn av arket). Det er denne målingen man ser på skjermen på figur 3.2.

6 6 Usikkerhet I foroppgaven til laboratorieøvingen fant vi et uttrykk for den resulterende relative usikkerheten i λ. Vi benyttet ligning (2. 9) fra teorien og dette ga oss (3.1) Oppgitte data Spalteavstand: d = (1,01 ± 0,01) 10-3 m. Fokallengden til linse 3: f 3 = (1000 ± 10) mm. Vi anslår x = ± 0,1 mm. n = 5 (5 te ordens maksima). Vi brukte ligning (2.8) og fikk λ = 6, mm Vi bruker ligning(3.1) og ganger opp λ får vi et uttrykk for λ, og setter inn tallene. Dette gir oss λ = 2, mm λ ± λ = (6, ± 2, ) mm Dette betyr at bølgelengden til det røde lyset, λ = 633 nm, er godt innenfor usikkerheten i uttrykket vi har funnet.

7 7 4. Resultater og diskusjon 4.1 Kontroll av laserens bølgelengde Vi sendte rødt laserlys igjennom en dobbeltspalt med kjent bredde og fikk et interferensmønster. Hensikten var å regne ut bølgelengden til det røde lyset. Figur 4. 1 Figur 4.1 viser intensitetsfordelingen på fotodioden mellom 46 mm og 54 mm. Vi ser vi får maksima og minima på figuren noe som indikerer at lyset bytter mellom å ha sterk intensitet til nesten ingen. Med denne figuren målte vi 5. ordens maksima til høyre og til venstre for midten. (4.1) Vårt resultat ble her,, 3,1 Vi anslo deretter en feilmåling på x = 0,1 mm. Vi beregnet deretter bølgelengden λ. Dette har vi gjort i usikkerhetsdelen vår. Vi endte opp med λ ± λ =( 6, ± 2, ) mm

8 8 4.2 Begrensning av strålebredde I denne delen av forsøket benytter vi en variabel spalt som vi skal bruke til å begrense laserstrålens bredde. I tillegg satte vi en skjerm foran lysdioden for å se mønsteret til strålen, vi varierte så spalteåpningen for å se hvordan mønsteret på skjermen fra laserstrålen oppførte seg. Figur 4. 2 Illustrasjon av diffraksjon I starten (mens spalteåpningen var relativt stor) så vi at lyset bare ble tynnere og tynnere som begrenset av åpningen. Men straks spalteåpningen ble liten nok ( a << λ ) så vi at lyset spredde seg utover skjermen. Dette kalles et diffraksjonsmønster, og skyldes at lyset bøyes igjennom den trange spalten. Vi ser at teorien stemmer godt overens med resultatet vi fikk. Straks spalteåpningen ble liten nok spredde lyset seg og vi fikk se maksima- og minimaintensitet på skjermen. 4.3 Måling av diffraksjon fra to faste spalter Vi skulle måle diffraksjon fra strålen vår, til dette brukte vi to spalter med nominell bredde på 0,3 mm og 0,15 mm Vi gjorde opptak av intensitetsfordelingen til laserstrålen mellom 30 mm og 70 mm. Vi fikk ut et sett med tall representert som en graf. Denne ble så presentert både i lineær og logaritmisk skala. For å sjekke våre eksperimentelle resultater sammenlignet vi disse med det innebygde programmet FraunDiff som gav oss en kurve over den teoretiske intensitetsfordelingen. Figur 4. 3 Prikkene er de eksperimentelle resultatene, mens linja er den teoretiske. Lineær skala.

9 Med spalteåpning lik 0,3 mm fikk vi gode tilnærminger hvis man ser på figur 7.3 og 7.4. Så lenge målingene skjer innenfor et visst intervall. Vi ser godt på figur 7.4 at avvikene først begynner å komme i endene, der intensiteten er lav. I tillegg bommer våre resultater litt når det kommer til der intensiteten er som minst. Dette kan blant annet skyldes lys ellers i rommet og varme. 9 Figur 4. 4 Prikkene er de eksperimentelle resultatene, mens linja er den teoretiske. Logaritmisk skala. Her ser vi det logaritmiske plotet av samme figur. Resultatene våre passer godt med de teoretiske. Hvis vi legger merke til den teoretiske spaltebredden så passer dette svært godt. Denne viser mm. Siden spalten hadde nominell bredde på 0,3 mm ga dette oss en god tilnærming. Bytter så om til en liten spalte med spaltebredde på 0.15 mm, og fikk gode resultater her også, men med litt større avvik. Figur 4. 5 Prikkene er de eksperimentelle resultatene, mens linja er den teoretiske. Lineær skala.

10 10 Figur 4. 6 Prikkene er de eksperimentelle resultatene, mens linja er den teoretiske. Logaritmisk skala. Som vi ser på figurene, spesielt figur 7.6, blir avviket litt større, særlig i kantene. Her er intensitetsnivået mye lavere, noe som gjør at annet lys i rommet vil ha større innvirkning på resultatene. Dette kan sees ut ifra grafene, der den målte intensiteten aldri er 0, og intensiteten i kantene er nesten konstant. Nominell bredde på vår spalte var her 0,15 mm mens den teoretiske spaltebredden FraunDiff regnet ut fant bredde på 0,142 mm, noe som nok engang viser at teori og praksis passer nokså godt sammen i dette forsøket.

11 Feilkilder De største kildene for feil i dette forsøket vil antakelig være menneskelige feil som oppstår når vi skal stille inn måleinstrumentene. Dette vil dermed bli systematiske feil som vi håper vil bli fanget opp av usikkerheten rundt forsøket. Spesielt i 4.1 kontroll av laserens bølgelengde, der vi skal finne og klikke på 5. ordens maksimum til høyre og venstre side. Dette har vi prøvd å veie opp for ved å sette en nokså høy usikkerhet på disse målingene. Et annet godt eksempel for menneskelig feil vil være når vi skal finne den teoretiske intensitetsfordelingen i resultatene videre i 4.3. Her skal man selv klikke på maksima og 2. ordens minima, og da sier det seg selv at det vil kunne bli en del feil. Dette er dog ikke resultater man bruker videre, og blir kun visuelt representert på grafene våre.

12 12 5. Konklusjon I dette forsøket begynte vi med å finne bølgelengden til en rød laser. Her brukte vi en spalte som vi sendte laserlys igjennom for så å benytte interferensmøsteret til å beregne bølgelengden til laseren. Vi fant her at bølgelengden, λ, λ = (6, ± 2, ) mm Den oppgitte bølgelengden på laseren var λ = 633 nm, noe som stemmer meget godt overens med resultatet vårt. Vi har dog en relativ stor usikkerhet på måling av avstand mellom maksimumene. Dette fordi vi vil ha en stor systematisk feil (se feilkilder). Neste del av forsøket ser vi på hva som skjer når vi begrenser bredden til en stråle ved hjelp av en spalte med en varierbar spalteåpning. Vi observerte at med stor spalteåpning vil strålen bli langsomt mindre mens spalten minker, men så vil strålen plutselig bli brutt igjennom spalten og vi får et diffraksjonsmønster på skjermen. Dette skjer når bølgelengden blir mye større enn spalteåpningen(λ>> a). Til slutt så vi på hvordan energiintensiteten fordeler seg i dette diffraksjonsmønsteret. Her brukte vi to faste spalter med kjente spalteåpninger. Vi sendte lyset igjennom og lot fotodioden bevege seg på langs med mønsteret og observerte hvordan energiintensiteten varierte. Siden vi brukte to forskjellige spalteåpninger, fikk vi to forskjellige resultater, men begge to passet godt overens med en teoretisk simulering av en modell med samme maksima. Den teoretiske simuleringen ga oss to teoretiske spalteåpninger som stemte meget godt overens med de nominelle spalteåpningene vi brukte i forsøket.

13 13 6. Litteraturhenvisninger En liten innføring i usikkerhetsanalyse, Knut Arne Strand, NTNU Oppgave 4, Lab i TFY4106, Knut Arne Strand, Astrid Kornberg Bjørke, Håvard Haugen, Jorunn A. Henriksen og Lars Erik Walle, NTNU Bestemmelse av tyngdens akselerasjon ved fysisk pendel, eksempelrapport i lab TFY4106, Ola Olsen, NTH Veiledningshefte for rapportskriving i TFY4106, Hans Joakim Skadsem, NTNU Kompendium i emne TFY4106 Fysikk, Johan Skule Høye m.fl, NTNU Physics for Scientists and Engineers, Gene P. Mosca og Paul A. Tipler, W.H.Freeman & Co Ltd 2007.