Braggdiffraksjon. Nicolai Kristen Solheim

Transkript

1 Braggdiffraksjon Nicolai Kristen Solheim Abstract Gjennom denne øvelsen skal vi gjøre oss kjent med røntgenstråling og elektrondiffraksjon. Herunder finner vi bremsestråling, karakteristisk stråling, energispektrum, røntgenspektroskopi og Braggspredning. Vi ser her på braggdiffraksjon både teoretisk og i praksis. 1 Introduksjon Denne øvelsen er todelt. I de tre første oppgavene tar vi for oss røntgenstråling og aspekter ved dette, mens vi i de tre siste oppgavene ser på elektrondiffraksjon og Braggspredning. Vi kan se på disse delene hver for seg. I første del bruker vi et røntgenspektrometer, mens vi i andre del bruker en elektronkanon med fokuseringssystem og karbonfilm som er montert i en evakuert glassbeholder. 1.1 Røntgenstråling Røntgenstråling er elektromagnetisk stråling med bølgelengde i området eller fotonenergi i området Denne typen stråling oppstår når elektroner bremses i et stoff, som kan skje ved to forskjellige prosesser. Den første prosessen kalles bremsestråling. Her oppstår røntgenstråling når elektronene støter mot andre elektroner eller avbøyes i feltet rundt atomkjernene. Her kan bremsestrålingsfotonene ha alle energier mindre enn elektronets kinetiske energi. Energispektret fra bremsestråling er med andre ord kontinuerlig. Siden den maksimale energien er avhengig av elektronets kinetiske energi, kan vi i prinsippet lage bremsestråling med så høy energi vi ønsker. Den andre prosessen kalles karakteristisk stråling. Den prosessen oppstår når hurtige elektroner som går gjennom et stoff eksiterer eller ioniserer stoffets atomer eller molekyler. Atomene eller molekylene faller så tilbake i sin laveste energitilstand slik at stoffe deeksiteres, for så å sende ut elektromagnetisk stråling. Fotonene i denne strålingen har diskret energi, tilsvarende forskjellen mellom atomenes energinivåer. Energispektret blir et linjespektrum hvor linjene svarer til bestemte overganger i atomene i det stoffet som bremser elektronene. Disse helt bestemte energiene er karakteristiske for stoffet, og kan derfor brukes til å identifisere atomer i et stoff. Bremsestrålingen og den karakteristiske strålingen kan inneholde både synlig lys og stråling utenfor det synlige spektret. Stråling med kortere bølgelengde enn lys kalles ultrafolett stråling hvis den kan undersøkes med optiske metoder, f.eks. med mekanisk fremstilte strekgitre. Røntgenstråling er stråling med så kort bølgelengde at optiske metoder ikke kan benyttes. Vi må derfor studere denne strålingen med krystallspektrometre. Skillet mellom røntgenstråling og ultrafiolett stråling er ikke satt ved noen bestemt bølgelengde. Det er den adekvate målemetoden som avgjør om strålingen skal kalles Side 1 av 12

2 optisk lys eller røntgenstråling. Optiske metoder kan benyttes for bølgelengder ned til omlag 10, røntgenspektroskopiske metoder for bølgelengder opp til ca. 60. Røntgenstråling har som regel lavere energi, altså lengre bølgelengde, enn -stråling, men forskjellen mellom røntgen- og -stråling avgjøres av selve strålingsmekanismen. Røntgenstråling oppstår ved prosesser i elektronbanene, mens -stråling oppstår i atomkjerner eller ved desintegrasjon av elementærpartikler. For å måle bølgelengder benytter vi optikken i forskjellige typer gitre some er mekanisk framstilt, slik at gitterkonstanten er av samme størrelsesorden som bølgelengden. For røntgenstråling kan vi som sagt ikke benytte oss av mekaniske gitre, og heller bruke krystaller med naturlige gitre. I krystallene vi benytter oss av, er atomene ordnet i et enkelt kubisk gitter hvor overflaten er et gitterplan. Når strålingen treffer et gitterplan, virket dette som et speil og strålingen blir reflektert med hensyn på innfallsvinkelen. Det har seg videre slik at stråling som spres mot de enkelte atomer i et plan vil interferere konstruktivt dersom dersom refleksjonsvinkelen er lik innfallsvinkelen. Dette gjelder alle bølgelengder, og vi kaller dette speilbetingelsen. Vi kan i figur en se hvilken type krystaller vi har, og hvordan vi betrakter gitterplanet. Figur 1: Refleksjon fra krystall med gitterplanavstand. Tilsvarer figur 17.3 i oppgaveteksten. Videre vil også stråling som reflekteres fra to forskjellige gitterplan interferere. Vi vil også få konstruktiv interferens dersom gangforskjellen mellom den reflekterte strålingen fra de to planene er et helt antall bølgelengder. Fra figur 1 over ser vi at gangforskjellen mellom stråling som reflekteres fra to gitterplan med en avstand fra hverandre vil være gitt som 2 sin, der er vinkelen mellom innfallende/reflektert stråling og gitterplanene. Dersom det benyttes et monoenergisk røntgenstråling vil vinkelen variere mellom innfallende stråle og gitterplanet, og vi vil observere den reflekterte strålen i en retning 2 i forhold til den innfallende. På denne måten vil vi se skarpe maksima i bestemte retninger, altså for bestemte verdier av. Vi kaller det maksimum som svarer til at gangforskjellen mellom bølger fra to naboplan er for første ordens maksimum. En gangforskjell 2 gir annen ordens maksimum og videre gir 3 tredje ordens maksimum For å gjennomføre denne praktiske oppgaven bruker vi et røntgenspektrometer. Dette spektrometeret består av tre deler: et røntgenrør, en krystall og en detektor for røntgenstråling. Spektrometeret må dessuten inneholde spalter eller blendere som avgrenser strålingen, og krystallen og røntgendetektoren er plassert på et dreiebord slik at innfallsvinkelen og den reflekterte vinkelen blir like store. Oppsettet for spektrometeret er vist i figur 2 under. Side 2 av 12

3 Figur 2: Bragg-type røntgenspektrometer med GM-detektor. Røntgenstråling fra anoden A passerer to spalter, og treffer krystallen i vinkelen. Den reflekterte strålen som danner vinkelen 2 med den innfallende, går inn i GM-røret. Foran GM-røret er det to spalter som skjermer mot spredt stråling fra veggene i spektrometeret. Tilsvarer figur 17.4 i oppgaveteksten. Dette spektrometeret danner røntgenstråling ved hjelp av vakumrør og en glødekatode. Elektroner fra katoden vil akselereres i feltet mellom anoden og katoden og treffer anoden med en energi, hvor er spenningen over røret. Når elektronene treffer anoden bremses de, og det produseres røntgenstråling. Det produseres både bremsestråling og karakteristisk stråling. Den minste bølgelengden eller maksimale frekvensen i spekteret svarer til at hele elektronenergien er overført til et enkelt foton. Energien til den karakteristiske strålingen er kun bestemt av anodematerialet og er derved uavhengig av spenningen over røret. Røntgenrøret som benyttes i denne øvelsen har en anode av kopper, og spenningen over røret holdes på 20. Den karakteristiske strålingen fra kopperanoden i vårt måleområde består av fire linjer listet i tabell 1 under. Tabell 1: Karakteristiske linjer for kommer i vårt måleområde Linje # Bølgelengde Det bør også påpekes at krystallen som brukes har en matt og en plank flate. For å oppnå størst mulig intensitet i den reflekterte strålen skal krystallen monteres ned den blanke flaten ut. En bør da passe på at krystallen blir stilt riktig slik at den treffer GM-røret. 1.2 Elektrondiffraksjon Elektrondiffraksjon skjer når elektroner blir spredt fra atomene i et krystallgitter. Dette vil skape diffraksjonsmønstre som kan beskrives ved elektronenes bølgeegenskaper. I denne praktiske øvelsen måler vi to gitteravstander i polykrystallinsk grafitt (karbon) ved bruk av denne effekten. Vi betrakter her de Broglies berømte hypotese fra Denne går ut på at atomære partikler har bølgeegenskaper og kan knyttes til kvanteteorien. Her ser vi også på Braggspredning, som på samme måte som røntgendiffraksjon gir en første ordens spredning når 2 sin der er gitterplanavstanden. I denne oppgaven treffer de spredte elektronene en kuleformet skjerm med radius. Geometrien for dette er vist i figur 3 under. Side 3 av 12

4 Figur 3: Geometrien for måling av småvinkel elektrondiffraksjon fra en krystall. Tilsvarer figur 17.6 i oppgaveteksten. Avstanden 2 mellom punktet der strålen treffer krystallen og skjermen er for denne praktiske øvelsen. 2 Teori Røntgenstrålingen karakteriseres ved bølgelengden, frekvensen eller fotonenergien, og energien gis vanligvis i elektronvolt,. For omregning gjelder følgende Videre vil har vi for et røntgenspektrometer at det oppstår konstruktiv interferens mellom strålingene fra de to gitterplanene dersom 2 sin 4 der kvantetallet er en helt tall og er bølgelenden for strålingen. Vi kjenner dette som Braggs lov, alternativt som Braggs betingelse for refleksjon av røntgenstråler. Når det kommer til elektrondiffraksjon kan vi se på elektronenes de Broglie bølgelengde. Han postulerte at en partikkel med en impuls har en bølgelengde som kan skrives på formen. 5 Dersom en så akselererer elektroner gjennom en potensialforskjell, kan vi finne hastigheten fra uttrykket 6 som videre gir der og Side 4 av 12 7

5 . 9 Videre kan vi betrakte geometrien i figur 3. For små vinkler vil relasjonen 10 gjelde, som videre gir at 11 med hensyn på 4. 3 Eksperimentelt 3.1 Oppgave 1 I denne første oppgaven benytter vi en LiF-krystall som har 2 401, og vi velger den nominelle verdien for spenningen over røntgenrøret 20. Det første vi ønsker å gjøre er å måle intensiteter for hver halve grad fra 2 12 inntil intensiteten flater ut. Vi har gitt at dette vil skje ved cirka Vi bruker en måletid på 60 sekunder. Videre fremstiller vi måleresultatene grafisk, for så å benytte grafen til å bestemme spenningen over røntgenrøret. Vi sammenlikner til slutt denne verdien med den nominelle verdien. 3.2 Oppgave 2 Deretter bytter vi ut LiF-krystallen med en RbCl-krystall. Dette gjør en veileder for oss. Vi beregner så 2 og 2 for 1,2 og 3. Totalt skal det være 6 topper, og vi bruker verdiene i tabell 1. Vi antar her at og. Vi får også oppgitt fra oppgaveteksten at Vi bruker så 4 for å løser for og med hensyn på. 3.3 Oppgave 3 I denne oppgaven ser vi på spekteret fra RbCl-krystallen, for å se om vi eksperimentelt kan påvise topper i nærheten av av vinklene vi beregnet i oppgave 2. Vi bruker måletid på 10 sekunder. Måten vi gjør dette på er at vi sjekker områdene rundt toppene vi allerede har beregnet i forrige oppgave. Vi skulle egentlig ha sjekket for hver halve grad, men da dette var den siste oppgaven som ble gjort under tidspress sjekket vi kun hver grad, som likevel viste topper rundt vinklene som ble beregnet i forrige oppgave. Et annet spørsmål i denne deloppgaven er om toppenes posisjoner på vinkelskalaen er avhengig av den valgte spenningen over røntgenrøret. 3.4 Oppgave 4: Relativistisk korreksjon Videre beregner vi verdien av den relativistiske korreksjonsfaktoren for 1, 5, 20, 50 og 100. Vi løser her med 9. Side 5 av 12

6 3.5 Oppgave 5: Måling av ringenes diametere Når anodespenningen overstiger 3 ses to lysende ringer på skjermen som en følge av gittergeometrien. Denne geometrien er vist i figur 4. Figur 4: Skisse som viser de to spredningsretningene for ytre og indre ring. Tilsvarer figur 17.7 i oppgaveteksten. Vi ønsker å måle ytre og indre diameter for hver av disse to ringene, og bruker middelverdien av to diametre ved utregning av gitterplanavstandene. For å ikke forstyrre elektronstrålen benyttes et skyvemål av plast. Vi måler ringenes diametre for 11 verdier av mellom 6.0 og 8.0. Totalt måler vi altså fire forskjellige diametre per valgte. 3.6 Oppgave 6: Gitterplanavstandene Til slutt beregner vi (svarende til indre ring) og (svarende til ytre ring) for alle målingene i oppgave 5. Vi finner deretter de to middelverdiene med den statistiske og eksperimentelle usikkerheten hver for seg, før vi legger usikkerhetene sammen. Helt til slutt beregner vi forholdet mellom gitterplanavstandene (se figur 4) og sammenligner med det målte forholdet. 4 Resultater 4.1 Oppgave 1 Vi har her målt intensiteten til hver halve grad fra 2 12 inntil intensiteten flater ut. Den samlede dataen er vist i tabell 2. Måletiden er 60 s. Tabell 2: Intensiteter med hensyn på. Tellinger Side 6 av 12

7 Vi kan videre fremstille dette grafisk, både med målte og relativt. Dette er vist i hhv. figur 5 og 6 under. Figur 5: Grafisk fremstilling av data. Side 7 av 12

8 Figur 6: Relativ fremstilling av data. Fra figurene 5 og 6 over ser vi at vi får en knekk rundt cirka Videre er det slik at vi vil finne ved. Vi har fra oppgaveteksten oppgitt at og at den nominelle verdien 20. Videre har vi fra 1 at gis i slik at vi kan kombinere med 4 og få at 12 hvor er verdien vi skal beregne. Fra 4 får vi at , som er en akseptabel bølgelengde og ligger innenfor området for røntgenstråler. Setter vi dette inn i (1) gir dette at Den målte er med andre ord 2 større enn den nominelle. 4.2 Oppgave 2 Vi har her antatt at og, og bruker middelverdien av disse, altså og Videre beregner vi 2 og 2 for 1,2 og 3 ved hjelp av 4, slik at sin 13 der og er definert ved og. Resultatene som er funnet for 2 og 2 er gitt i tabell 3. Tabell 3: Beregning av vinkel for topper Side 8 av 12

9 Fra tabell 3 ser vi at vi har en topp for hver verdi av med hensyn på og. Totalt gir dette 6 topper. 4.3 Oppgave 3 Deretter undersøkte vi spekteret til RbCl-krystallen for å se om vi eksperimentelt kunne påvise topper rundt vinklene vi har beregnet i oppgave 2. Grunnet dårlig tid ble det foretatt ferre målinger enn det som ble anbefalt, men vi kan fra dataen i tabell 4 se topper rundt verdiene vi fant i oppgave 2. Måletiden for hver vinkelverdi er 10 sekunder. Tabell 4: Data for spekteret fra RbCl krystallen (måletid: 10 sekunder) Fra dataen i tabell 4 ser vi at vi har topper i nærheten av de 6 toppene vi beregnet i forrige oppgave. Vi har også en topp ved Vi har med dette eksperimentelt påvist at det er topper i nærheten av vinklene vi beregnet. Videre vil toppenes posisjoner på vinkelskalaen ikke avhenge av den valgte spenningen over røntgenrøret. Dette skyldes at energien til den karakteristiske strålingen kun er bestemt av anodematerialet, og derved uavhengig av spenningen over røret. 4.4 Oppgave 4 Vi beregner så den relativistiske korreksjonsfaktoren, se 9, for 1, 5, 20, 50 og 100. Vi bruker her og Side 9 av 12

10 Tabell 5: Relativistiske korreksjonsfaktorer Tabell 5 over viser den relativistiske korreksjonsfaktoren med hensyn på. 4.5 Oppgave 5 Vi måler så diameteren på de to lysende ringene vi ser på skjermen, når anodespenningen overstiger 3. Den ytre og indre diameteren for hver ring er vist i tabell 6. Tabell 6: Verdier for diameterne til ringene Indre ring Ytre ring I tabellen over er indre diameter, er ytre diameter og / er middelverdien av disse. Vi har videre at lengden Denne dataen skal brukes for å beregne gitterplanavstandene i neste oppgave. 4.5 Oppgave 6 Får å beregne gitterplanavstanden tar vi utgangspunkt i 7, hvor vi neglisjerer da denne varierer lite for små verdier. Bruker vi dataen fra oppgave 5, gir dette oss verdiene i tabell 7. Tabell 7: Bølgelengde og gitterplanavstander med hensyn på Side 10 av 12

11 Videre kan vi beregne middelverdi, standardavvik og den statistiske usikkerheten for dataen ved hjelp av MATLAB. Vi her her brukt funksjonene mean(a), std(a) og std(a)/sqrt(length(a)) der A er en vektor. Funksjonene tilsvarer hhv. uttrykkene, 14, og 15 / 16 der. Tabell 8: middelverdi, standardavvik og statistisk usikkerhet Fra tabell 8 er standardavviket og den statistiske usikkerheten for middelverdien. Herfra mangler vi kun den eksperimentelle dataen. Denne er gitt ved, hvor usikkerheten. Dette gir 4.7 og 2.7. Herfra vil den totale usikkerheten være gitt ved For den indre ringen, vil vi da få at mens vi for den ytre ringen vil få at Fra dette har vi at mens Dette gir et forhold Videre kan vi beregne forholdet mellom gitterplanavstandene i figur 4. Antar vi at dette er en likesidet 6-kant og at lengden for en av sidene,, er 1, kan vi beregne lengden på. Fra geometri kan vi bruke cosinus til å løse dette, slik at 2 19 der er gitt ved Side 11 av 12

12 cos 30 cos Fra dette har vi at 1.73, og forholdet mellom disse er gitt ved 1.73 som er tilnærmet det vi har funnet eksperimentelt. 5 Diskusjon Vi så i oppgave 1 hvor vi skulle bestemme spenningen at vi fikk en verdi som var 2 større enn den nominelle verdien. Hva dette kan komme av er usikkert, men vi kan kanskje ha valgt feil verdier. Eventuelt kan det også være en mulighet for at vi har misforstått måten vi skulle bruke grafen på. Utover dette virker grafen og data riktig. Det må igjen påpekes at vi i oppgave 3 foretok ferre målinger enn hva som var forventet. Et aspekt her er jo hvor nøyaktig vi kan skille disse toppene fra hverandre. Dersom vi hadde tatt dobbelt så mange målinger, altså med hensyn på hver halve grad, ville vi sett toppene mer nøyaktig. Et annet aspekt ved denne oppgaven er toppen som vi observerte ved 15. Da det var gitt at det bare skulle være 6 topper, var dette litt uventet. Selvom det er lite sannsynlig at dette er en feil, kunne det vært interessant å foreta en ny måling på samme område for å bekrefte denne intensitetstoppen. Når det gjelder toppenes posisjon på vinkelskalaen, vil de ikke avhenge av den valgte spenningen over røntgenrøret da energien til den karakteristiske strålingen kun er bestemt av anodematerialet, og derved uavhengig av spenningen over røret. I oppgave 4 ser vi på relativistisk korreksjon fra 1 til 100. Vi ser her (jmf. tabell 1) at korreksjonsfaktoren ikke varierer mye i det området vi betrakter. Det vil derfor ikke være nødvendig å regne relativistisk for så små verdier som vi bruker her i denne øvelsen. 6 Konklusjon Gjennom denne øvelsen har vi gjort oss kjent med røntgenstråling og elektrondiffraksjon. Vi har sett på forskjellige prosesser ved røntgenstråling, herunder bremsestråling og karakteristisk stråling. I tillegg har vi gjort oss kjent med røntgenspektroskopi og Braggspredning, og sett på dette i praksis. 7 Kilder - Oppgavetekst: FYS2150, øvelse 17, Braggdiffraksjon Side 12 av 12