FYS2140 Kvantefysikk, Obligatorisk oppgave 3. Nicolai Kristen Solheim, Gruppe 2

Transkript

1 FYS2140 Kvantefysikk, Obligatorisk oppgave 3 Nicolai Kristen Solheim, Gruppe 2

2 Obligatorisk oppgave 3 Oppgave 1 a) Fra Bohrs formel for energinivåene i H-atomet kan vi vise at det emitterte lyset vil ligge utenfor det synlige området ved alle overganger til det laveste nivået (Lyman-serien). For et hydrogenatom H, kan vi anta at hvor er Rydbergkonstanten for hydrogen. Med dette utgangspunktet kan vi finne for 2, 3 [...] og. For 1, Å, hvor 1Å 10 For 1, Å For 1, Å For 1, Side 1 av 8

3 972 Å For 1, lim Å Fra dette ser vi at det emitterte lyset vil ligge utenfor det synlige området definert ved Å. Bølgelengdene vil alså ligge mellom Å ved overgang til laveste nivå. b) Dersom vi nå betrakter Balmer-serien, kan vi finne den korteste og lengste bølgelengden ved overganger til det nest laveste nivået. Vi løser her for 3 og. 2. For 2, Å For 2, lim Å Dette gir at den lengeste 6564 Å, mens den korteste 3647 Å. c) Videre kan vi finne hvor mange spektrallinjer som ligger i det synlige området i Balmerserien. Vi må da løse for til 4000 Å. For 2, Side 2 av 8

4 4862 Å For 2, Å For 2, Å For 2, Å Fra dette ser vi at ligger i det synlige området for lik 3, 4, 5 og 6. Dette gir at vi har fire spektrallinjer som befinner seg mellom Å i Balmer-serien. Side 3 av 8

5 Oppgave 2 a) Vi skal i denne oppgaven betrakte et fysisk system beskrevet av bølgelingninger som tillater cos som løsninger, der sirkelfrekvensen er en reell funksjon av bølgetallet, kalles for et lineært, dispersivt system. Funksjonen kalles for dispersjonsrelasjonen til systemet. Vi skal begynner med å vise at dispansjonsrelasjonen for frie, relativistiske elektronbølger er gitt ved der er elektronets hvilemasse. Vi tar utganspunkt i da vi må regne relativistisk. Tilsvarende, er frekvensen til en materiebølge gitt ved. Samtidig kan vi definere 2 og. Vi tar utgangspunkt og. Dette viser at dispersjonsrelasjonen for frie, relativistiske elektronbølger er gitt ved. b) Videre kan vi finne et uttrykk for fasehastigeten og gruppehastigheten til disse bølgene. Vi tar utgangspunkt i. Tilsvarende, så har vi., Side 4 av 8

6 Fra dette har vi funnet fasehastigheten og gruppehastigheten. Videre kan vi løse for og se at dette er uavhengig av. Dette viser at er konstant og er uavhengig av. c) Fra uttrykket for, ser vi at. Dette bryter likevel ikke med den spesielle relativitetsteorien fordi partikkelen ikke fører med seg noe informasjon. Vi ser også at, som betyr at enhver partikkel i denne gruppen beveger seg i henhold til den spesielle relativitetsteorien. Så siden en gruppe har fart, vil alltid uten at dette bryter med spesiell relativitetsteori. Side 5 av 8

7 Oppgave 3 a) Dersom vi legger sammen to sinusbølger, vil de superponere/interferere. Vi kan enkelt vise hva vi legger i dette dersom vi anvender MATLAB for to vilkårlige sinusfunksjoner. Vi har for de følgende figurene brukt sin0.6 og sin0.7, hvor 1. Disse er relativt ekle funksjoner, og er kun brukt for å demonstrere hva som skjer dersom to funksjoner med tilnærmet lik frekvens legges sammen. Figur 1: og plottet separat. I figuren over har vi plottet de to sinusfunksjonene hver for seg. Dersom vi nå superponerer dem, altså legger dem sammen, vil vi få ett plott. Side 6 av 8

8 Figur 2: Superponert bølge,. Fra figuren over ser vi hvordan resultatet blir dersom de to sinusfunksjonene blir lagt sammen. Måten vi kan tolke de to delene av denne funksjonen på er at de påvirker hverandre, noe som vi kaller interferens. Det vil si at de enten forsterker eller svekker hverandre. b) Vi bruker videre fasegruppe.m for å animere en superponert bølge. Dette gir hva vi ser i figur 3 da riktignok animert. Side 7 av 8

9 Figur 3: Den animerte, superponerte bølgen. Fra animasjonen kan vi se forholdet mellom fasehastigheten og gruppehastighet. Det vi med en gang kan påpeke er at det kun er det ene av plottene som antyder til gruppehastighet. Utover det ser vi at den superponerte bølgen utbrer seg med en annen fasehastighet enn fasehastigheten til de enkelte bølgene hver for seg. Det kommer av forskjellig bølgetall, og på den måten blir bølgene enten forsterket eller svekket av hverandre. Det er dette vi ser i den superponerte bølgen, og som et resultat av dette dannes det en rekke grupper som hver for seg er begrenset av områder uten bølgebevegelse. Dette er hva kompendiet beskriver som omhyllingskurve. Side 8 av 8

10 :28 C:\Users\Nicolai Solheim\Desktop\Uni\FYS2140\Oblig 03\trea.m 1 of 1 x=linspace(0,100,101); a=sin(0.6*x); b=sin(0.7*x); c=(a+b); figure(1); plot(x,a,x,b) title('to sinusbølger') legend('sin(0.6*x)','sin(0.7*x)'); xlabel('x'); ylabel('y') figure(2); plot(x,c) title('superponert bølge') legend('superponert bølge'); xlabel('x'); ylabel('y')

11 :28 C:\Users\Nicolai Solheim\Desktop\Uni\FYS2140\...\fasegruppe.m 1 of 2 function M = fasegruppe(k, x, t) %FASEGRUPPE(k, x, t) Plotter en boelge med boelgetall % lik det foerste elementet i vektoren k samt superposisjonen % av boelger med boelgetall lik hvert av elementene i k. % % k er en vektor som angir boelgetallet til hver av boelgene % som skal superponeres. Velg f.eks. verdiene 0.6 og 0.7. % % x er en vektor med alle x-verdiene det skal plottes for. % La x gå f.eks. fra 0 til 120 og bruk ca 200 punkter. % % % t er en vektor med alle tidene det skal plottes ved, og antallet % elementer i t angir dermed hvor mange frames animasjonen skal % inneholde. La t gå f.eks. fra 0 til 150. % Du boer nok ha i hvert fall rundt 100 rammer for aa faa en pen % animasjon av passe lengde. % Vi velger enheter slik at massen er 1 mass = 1; % DEFINER VEKTORENE x, t OG k HER: % x = linspace(0,120,121); t = linspace(0,150,151); k = [0.6, 0.7]; % y skal holde verdiene til boelgefunksjonene i hvert punkt x y = zeros(size(x)); % Matrisen M skal inneholde plott som settes sammen til en animasjon (movie) M = moviein(length(t)); % k maa vaere en soeylevektor, saa vi transponerer den k = k.'; % For aa legge sammen flere boelger trenger vi en matrise av % t-verdier med like manger rader som elementer i k: T = zeros([length(t), length(x)]); for i = 1:length(x) T(:,i) = t.'; end % Sett passende aksestoerrelse paa plottene % axis([x(1) x(length(x)) -2 2]); % Begynn plottingen. Lag et plott for hvert element i t % og legg det til i en matrise av plott med kommandoen getframe. for j = 1:length(t) y = sin(k*x - sqrt(k.*k + mass*mass)*t(j,:)); plot(x,[y(1,:);sum(y)]); M(:,j) = getframe;

12 :28 C:\Users\Nicolai Solheim\Desktop\Uni\FYS2140\...\fasegruppe.m 2 of 2 end % Lag en animasjon av plottene lagret i M movie(m)