Manual for wxmaxima tilpasset R1 Om wxmaxima wxmaxima er en utvidet kalkulator som i tillegg til å regne ut alt en vanlig kalkulator kan regne ut, også regner symbolsk. Det vil si at den kan forenkle uttrykk, faktorisere uttrykk, løse likninger og mye mer. Programmet er gratis og kan lastes ned fra nettsiden http://maxima.moglestu.com I motsetning til programmet Geogebra, må programmet installeres på maskinen det kjører på. Innhold Om wxmaxima... 1 Kom i gang med wxmaxima... 2 Hva er riktig notasjon?... 2 Polynomdivisjon... 3 Forkorting av rasjonale uttrykk... 3 Faktorisere polynomer... 4 Likninger... 4 Ulikheter... 4 Logaritmer... 5 Sannsynlighetsregning... 5 Vektorregning... 7 Grenseverdier... 9 Derivasjon... 10 Funksjoner... 11 Funksjondrøfting... 11
Kom i gang med wxmaxima NB! For en mer grunnleggende opplæring i wxmaxima, se manualen for faget 1T. Etter at wxmaxima er installert på maskinen, kan du som regel starte det opp fra skrivebordet. Se etter ikonet med navnet wxmaxima. Dersom du ikke finner det på skrivebordet, vil du finne det i Start-menyen. Når du starter wxmaxima, får du opp dette vinduet: Svarene kommer ut her Problemene skrives inn her Knapper for de vanligste oppgavene Hva er riktig notasjon? Stort sett skrives problemene inn akkurat slik de skrives for hånd, men som på kalkulatorer, er det noen forskjeller. Her er de viktigste: Vanlig notasjon Notasjon i wxmaxima Kommentar x^2 Tegnet ^ betyr opphøyd i 3*x Vi kan aldri sløyfe gangetegnet i wxmaxima 3,14 3.14 Desimaltall må skrives med punktum %pi Spesielle symboler begynner med tegnet % %e Spesielle symboler begynner med tegnet % x^(7/5) Røtter skrives på potensform lg( log( I wxmaxima må man alltid ha med parentesene Naturlige logaritmer skrives log, ikke ln.
Polynomdivisjon For å utføre en polynomdivisjon i wxmaxima, velg Polynomdivisjon fra menyen Funksjonsanalyse. Skriv inn telleren i det øverste feltet, og nevneren i det andre feltet. wxmaxima vil regne ut både divisjonen og resten. Utfør polynomdivisjonene i wxmaxima a) b) a) Fyll ut skjemaet som vist til høyre. wxmaxima svarer: og 0. Det første uttrykket er resultatet av divisjonen, og det siste er resten. Så er lik b) Fyll ut skjemaet som vist til høyre. wxmaxima svarer: og. Så er lik Forkorting av rasjonale uttrykk Det er svært enkelt å forkorte rasjonale uttrykk ved hjelp av wxmaxima. Skriv inn uttrykket du vil forkorte, og trykk på knappen Regn ut: Forkort uttrykket i wxmaxima Skriv inn: (x^3-9*x^2+26*x-24)/(x^3-4*x^2+x+6) i wxmaxima og trykk Regn ut. wxmaxima svarer.
Faktorisere polynomer Det er svært enkelt å faktorisere uttrykk ved hjelp av wxmaxima. Skriv inn uttrykket du vil faktorisere, og trykk på knappen Faktoriser: Faktoriser uttrykkene i wxmaxima hvis mulig a) b) c) a) Skriv inn: (a+2)^2+a og trykk Faktoriser. wxmaxima svarer: b) Skriv inn: x^3-9*x^2+26*x-24 og trykk Faktoriser. wxmaxima svarer: c) Skriv inn: x^2+4*x+5 og trykk Faktoriser. wxmaxima svarer:. Det betyr at uttrykket ikke kan faktoriseres. Likninger Det er svært enkelt å løse likninger ved hjelp av wxmaxima. Skriv inn likningen du vil løse, og trykk på knappen Regn ut: Løs likningene i wxmaxima a) b) c) d) a) Skriv inn: 2*(x-2)=3*x-5 og trykk Regn ut. wxmaxima svarer: b) Skriv inn: 5/x-2=4/x og trykk Regn ut. wxmaxima svarer: c) Skriv inn: x/(x-1)=3/(x^2-3*x+2) og trykk Regn ut. wxmaxima svarer: d) Skriv inn: 1/(t-3)+3=2/(t-3)og trykk Regn ut. wxmaxima svarer: Noen likninger har komplekse løsninger. For å se disse, må man skru på komplekse løsninger i konfigurasjonen, men dette er ikke pensum i R1
Ulikheter For å løse ulikheter i wxmaxima, skriv inn ulikheten, og trykk på knappen Regn ut. Løs ulikhetene i wxmaxima a) b) a) Skriv inn: x^3+x<4*x^2-6 og trykk Regn ut. wxmaxima svarer. Det vil si: b) Skriv inn: x/(x-3)>=2 og trykk Regn ut. wxmaxima svarer. Det vil si. PS: Eldre versjoner av wxmaxima faktoriserer bare ulikhetene. Får du ikke svaret over, last ned siste versjon. Logaritmer wxmaxima har støtte for Briggske logaritmer (med 10 som grunntall) og naturlige logaritmer (med tallet som grunntall). Briggske logaritmer kaller wxmaxima for lg, mens naturlige logaritmer kalles log. wxmaxima foretrekker å bruke log fremfor lg, så svar som inneholder logaritmeuttrykk vil normalt uttrykkes ved den naturlige logaritmen. Løs likningene/ulikhetene i wxmaxima a) b) c) d) a) Skriv inn: 4*%e^x=%e^(2*+3 og trykk Regn ut. wxmaxima svarer: b) Skriv inn: 9*2^x>=3*4^x og trykk Regn ut. wxmaxima svarer: c) Skriv inn: lg(3*x+2)=5*lg(2) og trykk Regn ut. wxmaxima svarer: d) Skriv inn: log(t)^2+1=2*log(t)og trykk Regn ut. wxmaxima svarer: Sannsynlighetsregning wxmaxima kan regne ut binomialkoeffisienter og sannsynligheter knyttet til binomiske og hypergeometriske forsøk. Regn ut i wxmaxima a) Binomialkoeffisienten b) Sannsynligheten for at en hendelse A inntreffer 7 eller flere ganger når sannsynligheten for A er 0.3 og vi utfører 20 binomiske forsøk. c) Sannsynligheten for å trekke 10 eller flere gjenstander av type 1 når vi trekker totalt 25 gjenstander og det finnes 15 gjenstander av type 1 og 19 gjenstander av type 2. (hypergeometrisk forsøk).
a) Velg Binomialkoeffisient fra menyen Sannsynlighet og fyll ut skjemaet slik: wxmaxima svarer: 74604711829408425056 b) Velg Binomisk fordeling fra menyen Sannsynlighet og fyll ut skjemaet slik: wxmaxima svarer 0.392 som er lik 39.2 %. c) Velg Hypergeometrisk fordeling fra menyen Sannsynlighet og fyll ut skjemaet slik: wxmaxima svarer 0.8841 som er lik 88.41 %.
Vektorregning Maxima er god på vektorregning, bl.a. ren vektorregning, lengden av vektorer og skalarprodukt. Regn ut i wxmaxima a) b) c) Len gden av vektoren [3,5] d) Bestem a og b slik at e) Undersøk om vektorene er parallelle f) Undersøk om vektorene er parallelle g) Finn tallene x og y slik at h) Bestem a slik at skalarproduktet i) Finn vinkelen mellom vektorene og a) Skriv inn: [1,3]+3*[4,5]. wxmaxima svarer: b) Skriv inn: 6*(2/3*a+3/2*b) og trykk Regn ut. wxmaxima svarer: c) Velg Lengden til en vektor fra menyen Algebra og fyll ut skjemaet slik: wxmaxima svarer d) Skriv inn: 3*[a,b]+[2,3]=[1,3] og trykk Regn ut. wxmaxima svarer: e) Skriv inn: t*[143,77]=[39,21] og trykk Regn ut. wxmaxima svarer:. Vektorene er altså parallelle for. f) Skriv inn: t*[143,77]=[19,11] og trykk Regn ut. wxmaxima finner ingen løsning. Vektorene kan altså ikke være parallelle. g) Skriv inn: [x-1,y]=[-x,2] og trykk Regn ut. wxmaxima svarer:
h) Velg Skalarprodukt fra menyen Algebra og fyll ut skjemaet slik: wxmaxima svarer:. Men skalarproduktet skulle være null, så vi skriver inn 7*a+55=0 og trykker Regn ut. wxmaxima svarer. Alternativt kan vi skrive inn skalarproduktet direkte. Det skrives som et punktum slik: [a,5].[7,11]=0 Vi trykker på Regn ut, og får direkte at i) Velg Vinkelen mellom to vektorer fra menyen Algebra og fyll ut skjemaet slik: wxmaxima svarer: 85.0303.
Grenseverdier For å finne en grenseverdi, velg Finn grenseverdi fra menyen Funksjonsanalyse. a) Finn grenseverdien i wxmaxima b) Finn grenseverdien i wxmaxima c). Finn vekstfarten i punktet a) Fyll inn skjemaet slik: wxmaxima svarer: 3 b) For å velge grenseverdien uendelig, skriv inn teksten "inf" eller trykk på knappen med symbolet. Fyll inn skjemaet slik: wxmaxima svarer: c) Start med å definere funksjonen ved å skrive f(:= 2*x^3-3*x^2+4*x-1 Fyll så inn skjemaet slik:
wxmaxima svarer: 16 Derivasjon Dersom du skal derivere et uttrykk med hensyn på, kan du bare skrive inn uttrykket og trykke på knappen Deriver. Dersom du skal derivere med hensyn på en annen variabel, må du velge Deriver fra menyen Funksjonsanalyse. Deriver uttrykkene i wxmaxima a) b) c) a) Skriv inn: 3*x^3-5*x^2+4*x^(1/2) og trykk Deriver. wxmaxima svarer: b) Skriv inn: log(x^2)*%e^(3* og trykk Deriver. wxmaxima svarer: c) Siden dette ikke er en funksjon av, må vi gå via menyen. Fyll ut skjemaet slik: wxmaxima svarer:
Funksjoner Dersom man ønsker å definere funksjoner i wxmaxima, finnes det svært god støtte for dette, men legg merke til at man må skrive ":=" (kolon lik) når man definerer en funksjon I wxmaxima. Bruk wxmaxima til å finne funksjonsverdiene a) når b) når c) når d) for alle mellom 0 og 15 a) Skriv inn: f(:= 3*x^3-5*x^2+4*x^(1/2) Skriv inn: f(3). wxmaxima svarer: b) Skriv inn: g(:=if x < 3 then x^2 else 3*x Skriv inn g(2). wxmaxima svarer: c) Skriv inn: K(t) := [x=t^2-3, y=3*t+4 ] Skriv inn: K(3) wxmaxima svarer d) Skriv inn: for k:0 thru 15 do display( g(k)) wxmaxima svarer g(0)=0 g(1)=1 g(2)=4.. g(14)=42 g(15)=45 Funksjondrøfting Funksjonsdrøfting handler om å finne nullpunkter, bruddpunkter, topp-, bunn, og vendepunkter til funksjoner. I tillegg handler funksjonsdrøfting om å finne intervallene der en funksjon er positiv, negativ, stigende, synkende, krummer oppover og krummer nedover. Alt dette kan vi enkelt finne med wxmaxima for nært sagt hvilken som helst funksjon. 4 Eksempel: Gitt funksjonen f ( x 5. Finn Nullpunkter, ekstremalpunkter, og vendepunkter x til funksjonen. Avgjør også i hvilke intervaller funksjonen er positiv, negativ, stigende, synkende, krummer oppover og nedover. 1. Ved å faktorisere f ( og tegne fortegnsskjema, kan vi finne nullpunkter samt hvor funksjonen er positiv og negativ.
2. Ved å faktorisere f '( og tegne fortegnsskjema, kan vi finne topp-, bunn- og terassepunkter samt hvor funksjonen stiger og synker. 3. Ved å faktorisere f ''( og tegne fortegnsskjema, kan vi finne vendepunkter samt hvor funksjonen krummer oppover og nedover. 4. Vi løser oppgaven i wxmaxima slik: Skriv inn: x+4/x+5 ( x 1)( x 4) 5. Trykk på knappen Faktoriser. Vi får at f ( x ( x 2)( x 2) 6. Trykk på knappene Deriver og Faktoriser. Vi får at f '( 2 x 8 7. Trykk på knappene Deriver og Faktoriser. Vi får at f ''( 3 x 8. Vi lager fortegnsskjema for f ( : 9. Vi ser av fortegnskjemaet at f ( a. Har nullpunkter for x 4 og x 1 b. Har bruddpunkt for x 0 c. Er positiv for 4 x 1 d. Er negativ for x 4 og x 1 10. Vi lager fortegnsskjema for f '( : 11. Vi ser av fortegnskjemaet for f '( at f ( a. Har toppunkt for x 2 og bunnpunkt for x 2 b. Er stigende for x 2 og x 2 c. Er synkede for 2 x 0 og 0 x 2 12. Vi lager fortegnsskjema for f ''( : 13. Vi ser av fortegnskjemaet for f ''( at f ( a. Krummer nedover når x 0 b. Krummer oppover når x 0
14. Vi tegner til slutt grafen i GeoGebra og ser at svarene ser riktige ut: