Kjell Arne Brekke Vidar Christiansen Sensorveiledning ECON 00, Vår Vi gir oeng for hvert svar. Maksimalt oengtall å hver ogave svarer til den vekt som er ogitt i rosent. Maksimal total oengsum blir dermed 00. Det er ikke noe i veien for å gi halve oeng. Der noen har gitt ekstra gode svar og overofylt kravet, kan det gjerne gis et skjønnsmessig bonusoeng eller to. I rinsiet kan en dermed får mer enn 00 totalt, men i raksis vil slike bonusoeng tjene til eventuelt å vie kandidatene over oenggrensene for de enkelte karakterene. Praksis har vært å bruke følgende oenggrenser for de forskjellige karakterene å ECON00: A:80 B: 65 79 C: 50 64 D: 40 49 E: 30 39 Imidlertid kan vi justere grensene i løet av sensurkoordineringen hvis disse grensene gir en klart urimelig karakterfordeling. Ellers bør en merke seg at dette er et kurs hvor studentene skal lære å regne. Rent grafisk analyse belønnes derfor tilnærmet ikke, men kan selvfølgelig verdsettes som illustrasjon og hjel til tolkning av utregninger/algebraiske resultater. Ogave (vekt %) (++++++4, ett oeng er derivasjon, unntatt g der hver derivasjon gir oeng) ) Deriver følgende funksjoner med hensyn å alle variabler. a) b) f ( ) f ( ) e 4 gir 3 gir f '( ) e c) f ( ) ln( e ) gir 3 3 f '( ) 4 4 4 e ( e ) e e 3 3
d) f( ) gir g ( ) e) F(, y) y gir g( ) g '( ) f '( ) g ( ) F ' y og F ' y f) Finn de andreordensderiverte til funksjonen F(, y) ln( f ( ) g( y)). Denne kan løses å to måter. Direkte: f '( ) f ( ) g '( y) g '( y) F ' f '( ) g( y) og F ' y f ( ) g( y) f ( ) f ( ) g( y) g( y) Eller ved først å se at F(, y) ln f ( ) ln g( y) som gir '( ) '( ) F' f og F' y g y f ( ) g( y) I begge tilfelle blir den andrederiverte: f ''( ) f ( ) f '( ) g ''( y) g( y) g '( y) F'' og F' y f ( ) g( y) z g) Finn t og z s når z ln y, t s og y t s z z z y z z z y Her er og ( ) t t y t y t s y s y y Ogave (vekt 0%) (To oeng for hvert rett svar, ingen krav om begrunnelse) Sant eller Galt? Gjelder følgende åstander generelt (for alle verdier av og y der funksjonene er veldefinert)? a) b) c) d) e) ln( y) ln ln y e Galt! e Riktig da ln ln ln 3 3 5 ( i ) 5 Galt! i0 5 i0 ( i ) 3 4 5 6 ln ln Riktig da ln ln 5 3y y 5 Riktig da 5 3 y 5( y ) y 5 y y y y y y Ogave 3 (vekt 5%) (Foreslått oengfordeling: -3-4-4-3) En monoolist selger et rodukt i to ulike markeder. Han vil da onå en ris ( ) A a om han selger et kvantum i marked og en ris ( ) B b om han selger et kvantum i marked. Bedriftens kostnader er c( ).
a) Vis at den totale rofitten blir (, ) A B a b c( ). (, ) ( Aa ) ( B b ) c( ) A B a b c( ) b) Finn et sett ligninger som karakteriserer den rofittmaksimerende omsetningen ' A a c'( ) 0 ' B b c'( ) 0 c) Hvilke betingelser må vi legge å c( ) for å være sikre å at løsningen i a) faktisk er et rofittmaksimum? Vi krever at '' a c ''( ) 0 som gir c '' a '' b c ''( ) 0 som gir c '' b '' c '' 0 som gir ( a c '')( b c '') c '' 4ab ( a b) c '' 0 4ab ab c '' ( a b) a b Tilsammen gir det: ab c '' ma( a, b, ) a b ab min( ab,, ) a b ab a b Vi kan kreve at de ser de tre betingelsene, men jeg krever ikke at de skal klare å se at det kan forenkles videre til en. Anta nå at bedriften er ristaker i de to markedene, og at risene i markedene er og. d) Under hvilke betingelser vil bedriften selge et ositivt kvantum i begge markedene? Bare om =. Det er olagt at det lønner seg å selge i det markedet der risen er høyest, og et intuitivt argument er godt nok. Betingelsen for en indre løsning er nå ' c'( ) 0 og ' c '( ) 0 Som gir c'( ) For å unngå hjørneløsningen 0 må vi også kreve c'(0) oeng for og for c'(0)
e) Hva blir den rofittmaksimerende roduksjonen til bedriften? Når bedriften selger i det markedet der risen er høyest blir c'( ) ma(, ) Og om risen er ulik er kvantum ositivt bare i det markedet der risen er høyest. Ogave 4 (vekt 7%) Maksimer under bibetingelsen ved hjel Lagranges metode. Her er Lagrangefunksjonen ln ln y y L y y ln ln ( ) Med FOB: L ' 0 L' y y 0 y Gir altså y y Innsatt i bibetingelsen y y altså y 4, y, 8 Ogave 5 (vekt 8%) Anta at en bedrift er risfast kvantumstilasser og har kostnadsfunksjonen der K og a er ositive konstanter. La betegne roduktrisen. a C( ) K a) C'( ) a b) C( ) C( ) / K a c) C'( ) 0 K a
K C''( ) 0 3 K a Da er K a a a K C( ) K Ka / Ka / Ka K a d) Profittmaksimering for 0 gir C'( ) a / a For 0 må være over minimum av C er lik Ka. Tilbudsfunksjonen blir 0 for Ka og / a for Ka. Ogave 6 (vekt 0%) a) Bedriften vil maksimere rofitten mh n. f ( n, k) wn qk d f (, ) 0 n k w dn d dn f 0 b) Førsteordensbetingelsen definerer imlisitt n(k) f ( n( k), k) w 0 f ( n( k), k) n'( k) f ( n( k), k) 0 n'( k) f ( n( k), k) / f ( n( k), k) n'( k) er null ved uavhengighet, ositiv ved teknisk komlementaritet og negativ ved teknisk alternativitiet. c)
k f ( n, k) q k q Ogave 7 (vekt 8%) u/ L a) forteller hvor mye forbruk forbrukeren er villig til å ogi for å få en ekstra enhet (time u/ c eller lignende) fritid. b) Blant godekombinasjoner (forbruks-, fritids-kombinasjoner) som forbrukeren synes er like gode, er han/hun villig til å ogi mindre forbruk for en ekstra time fritid jo mer fritid og mindre forbruk han/hun allerede har. c) maksimer u( c, L) gitt c wl R. Formuler Lagrange-funksjonen u( c, L) ( c wl R) Deriver mh henholdsvis c og L og sett lik null. Vi får betingelsene u/ L w u/ c og c wl R til å bestemme otimale c og L: c( w, R) og L( w, R ). Det forbruk forbrukeren er villig til å ogi for å få en ekstra time fritid, er lik det forbruk han/hun faktisk vil ogi ved å arbeide en time mindre. d) Innsetting av c( w, R) og L( w, R) i (den direkte) nyttefunksjonen gir u( c( w, R), L( w, R)) V( w, R) som angir hvordan forbrukeren rangerer situasjoner med ulik lønnssats og full inntekt når han/hun tiasser seg otimalt. e) dl er endringen i otimal fritid når w øker med én enhet. dw h L er endringen i fritid når w øker med én enhet, og full inntekt samtidig endres slik at forbrukeren w forblir å samme indifferenskurve. Dette er en negativ substitusjonseffekt. En substituerer seg bort fra fritid som blir relativt dyrere.
L H inntektseffekten. Når lønnsatsen øker med én enhet, vil arbeideren faktisk få økt inntekt lik R L én ganger H. H sier er oss hvor mye mer fritid arbeideren vil ønske som følge av dette. R dl er bestemt av den samlede virkning av de to motstridende effektene. dw Endringen i arbeidstid er lik minus endringen i fritid. dl dl dl dl f) Differensier L( w, R ) : dl dw B ( t) B dw dr dw dr Innsetting fra Slutsky-likning gir hl L L dl ( t) th B w R R hl L dl t ( B th) w R Ogave 8 (vekt 7%) d a) d Priselastisiteten d e d 00 =0 imliserer 0 e 0,5 00 0 8 4 m b) d dm d m m m 00 5 dm m m 4 40 6 d d m d m m 5 d m m 4 6 c),5 0,4 m a, m
siden -,5+0,4+a=0 å grunn av homogeniteten. Ogave 9 Likevektsrisen bestemmes ved E (, ) T(, ). En forventer et negativt skift. Vi antar avtar og E (, ) / 0. Likevektsbetingelsen innebærer E( ( ), ) T( ( ), ) E '( ) E T'( ) '( ) E / ( T E ) >0 '( ) TE / ( T E ) Virkninger av lavere : '( ) E / ( T E ) <0 '( ) T E / ( T E ) <0 Vi går ut fra at lavere gir sunnere kosthold. Den absolutte endringen i er '( ) E / ( E / T) Reduksjonen i blir større jo større skift en får, jo mindre risfølsom ettersørselen er, og jo mer risfølsomt tilbudet er. Hvis tilbudet er lite risfølsomt, og ettersørselen reagerer sterkt å risøkning, vil ikke tiltaket få særlig stor effekt. Da vil omsatt kvantum gå lite ned fordi rodusentene i stor grad orettholder roduksjonen, og fordi risnedgang stimulerer ettersørselen sterkt og aog motvirker den direkte effekten av skiftet.