HØGSKOLEN I SØR-TRØNDELAG

Eksamensdato Fag Dato: 17.11.10 C:\Per\Fag\Regtek\Eksamen\Eksamen10\LX2011jan.wpd HØGSKOLEN I SØR-TRØNDELAG AVD. FOR INGENIØR OG NÆRINGSMIDDELFAG INSTITUTT FOR ELEKTROTEKNIKK 7. januar 2011 LØSNINGSFORSLAG Versjon 2 (NB! Ikke helt kvalitetssikra ennå) EDT212T Reguleringsteknikk grunnkurs Sign: PHv Løsningsforslag basert på læreboka til Bjørvik og Hveem Oppgave 1 (100%) Fartsregulering (Cruisecontrol) Figur 1. Forenkla blokkskjema for fartsregulering. Fartsregulatoren bestemmer gasspedalpådraget. Regulatoren er en digital regulator med samplingstid lik 0,1 sekunder. Når regulatoren brukes som PID-regulator er den på sum-form. Figur 2. Forenkla blokkskjema for motor mm, bilens masse mm og fartsmåler. Dette gjelder ved manuell styring av farten. Sjåføren trykker på gasspedalen. Bilens toppfart er 180 km/t og i normaliserte verdier er 0-180 km/t lik 0 % til 100 %. Nominelle verdier for gasspådraget er satt til 0-1 eller 0 % til 100 %. Krav til reguleringssløyfa 1 Null stasjonært avvik 2 Innsvingningsforløp av typen minimum forstyrrelse 3 Raskest mulig reguleringssløyfe Side 133

Løsningsforslag eksamen i Reg.tek. grunnkurs jan 2011 2 A (6%) Eksperimentell modellering av bilens masse og luftmotstand. Sprangresponsen er vist i figur 3. Vi ser at responsen i figur 3 tilhører en første ordens prosess uten tidsforsinkelse. Overføringsfunksjonen har derfor følgende form: Stasjonær endring i utsignalet (virkelig fart) er 50 % - 40 % = 10 % og endringen i innsignalet (netto kraft) er 16 % - 25 % = 9 %. Dette gir: K = Äut/ÄInn = 10/9 = 1,1 Spranget i innsignalet kommer når t = 100,0 sek og endringen i utsignalet kommer nøyaktig samtidig. Vi har dermed ingen tidsforsinkelse. Tidskonstanten er den tida utgangen bruker på å nå 63% av stasjonær endring. Dvs tida det tar å nå 10*0,63 6,3 opp i forhold til startverdien for utsignalet på 40. Utsignalet når verdien 40 + 6,3 = 46,3 [%] når t 110,0 sek. Det betyr at tidskonstanten, T = 110,0-100,0 = 10 sek. Overføringsfunksjonen for bilens masse og luftmotstand: B B (8 %) Eksperimentell modellering av motor, gir, hjul mm. Tar utgangspunkt i sprangresponsene i figur 5 og 6 for å finne overføringsfunksjonen h M. Fra figur 5 ser det ut som det er en første ordens prosess med tidsforsinkelse. Ser vi på figur 6 som viser et utsnittså ser vi tydelig at det er en skarp knekk der tidsforsinkelsen slutter og første orden prosessen starter. Det tyder på at det ikke er en andre ordens prosess. Overføringsfunksjonen har derfor følgende form: Stasjonær endring i utsignalet (kraft fra hjul mot vei) er 25 % - 16 % = 9 % og endringen i innsignalet (gasspedalpådrag ) er 16 % - 25 % = 9 %. Dette gir: K M = Äut/ÄInn = 9/9 = 1 Spranget i innsignalet kommer når t = 20,0 sek og endringen i utsignalet starter først når t = 20,25 sek. Vi har dermed en tidsforsinkelse ô = 20,25-20,0 = 0,25 [sek]. Tidskonstanten er den tida utgangen bruker på å nå 63% av stasjonær endring. Dvs tida det tar å nå 9*0,63 5,67 opp i forhold til startverdien for utsignalet på 16. Utsignalet når verdien 16 + 5,67 = 21,67 [%] når t 22,25 sek. Det betyr at tidskonstanten, T = 22,25-20,25 = 2 sek. Overføringsfunksjonen for motor, gir, hjul osv: Side 134

Løsningsforslag eksamen i Reg.tek. grunnkurs jan 2011 3 C (8 %) Eksperimentell modellering av fartsmåler Tar utgangspunkt i frekvensresponsen til fartsmåleren som vist i figur 4 for å finne h F. Vi ser at amplitudekurva er flat ved lave frekvenser med amplitude på ca 1 db og går nedover med 20dB/dekade ved høge frekvenser. Fasekurva starter ved null grader ved lave frekvenser og ser ut til å flate ut på 90 ved høge frekvenser. Dermed er nivåmåleren en første ordens prosess uten tidsforsinkelse og har denne overføringsfunksjonen: Ved å legge en asymptote med stigning lik 0 db/dekade til kurva for amplitudeforholdet ved lave frekvenser og en asymptote med stigning lik 20 db/dekade ved høge frekvenser finnes knekkfrekvensen ù k = 10 rad/sek. Knekkpunktet ser rett ut fordi kurva går ca 3 db under knekkpunktet. I tillegg ser det ut til at faseforskyvinga er omtrent 45 ved knekkfrekvensen. Det stemmer også med en første ordens prosess. Forsterkinga ved lave frekvenser gir stasjonær forsterking K. Av Bodediagrammet ser den ut til å være ca 1 db. Dette gir K = 1,1. I oppgaveteksten står det at fartsmåleren måler 10 % for mye. Det betyr at når den virkelige hastigheten er 50 km/t så måler fartsmåleren 55 km/t. Dette gir en stasjonær forsterking på 55/50 = 1,1. Dermed blir K = 1,1. Det er det samme som ble funnet ut fra bodediagrammet. Side 135

Løsningsforslag eksamen i Reg.tek. grunnkurs jan 2011 4 Tidskonstanten er det inverse av knekkfrekvensen: T = 1/ù k = 1/10 rad/sek = 0,1 sek. Overføringsfunksjonen for nivåmålereren blir dermed: D (10 %) Sprangresponsen fra gasspedalpådrag til målt fart. En rask skisse av sprangresponsen fra gasspedalpådrag til målt fart når spranget i gasspedalpådraget er 50 % i normalisert verdi tar utgangspunkt i overføringsfunksjonene i oppgavene A, B og C. Når vi skal skissere sprangresponsen er det greiest å ta utgangspunkt i en andre ordens prosess med tidsforsinkelse. Den korteste tidskonstanten slås sammen med tidsforsinkelsen. Når innsignalet er et sprang på 50 % så blir stasjonær endring i utsignalet: Sprangresponsen kan nå skisseres ve å tegne opp en første orden prosess med stasjonær verdi på 60,5 % og tidskonstant på 10 sek. Denne starter opp ô + T kortest = 0,35 + 2 = 2,35 sek etter spranget på inngangen. Tida det tar for sprangresponsen å nå 0,63 av stasjonærverdien blir ô + T kortest + T lengst = 0,35 + 2 + 10 = 12,35 sek. Deretter tegnes en bue fra det tidspunktet hvor tidsforsinkelsen slutter over på den første ordens prosessen: Side 136

Løsningsforslag eksamen i Reg.tek. grunnkurs jan 2011 5 E (28 %) Frekvensanalyse Ea (8 %) Vi bruker åpen sløyfefunksjon uten regulator, men med tidsforsinkelsen i regulatoren når vi finner fram til overføringsfunksjonen som brukes som utgangspunkt for opptegning av frekvensresponsen i et bodediagram når regulatoren skal justeres inn basert på frekvensanalyse. Eb (10 %) Dimensjonering: Vi skal ha en PID-regulator på sumform. Kravet til innsvingningsforløp er minimum forstyrrelse. I følge læreboka kan vi oppnå dette o med stabilitetsmarginer på minst 45 og minst 12dB. Ved dimensjoneringen tar vi utgangspunkt i fasemarginen. <h 0= 210 + 45 = 165. Bodediagrammet er allerede tegna ut i figur 7 i oppgaveteksten. Finner fasevinkelen som gir ønska kryssfrekvens ut fra det skissen til frekvensresponsen for åpen sløyfe uten regulator, men hvor vi har inkludert tidsforsinkelsen i regulatoren. Vi ser at 165 har vi ved 0,85 rad/sek. Dette gir en Side 137

Løsningsforslag eksamen i Reg.tek. grunnkurs jan 2011 6 ønska kryssfrekvens: ù øc = 0,85 rad/sek. Amplitudeforholdet ved denne frekvensen leses av til 22 db. Regulatorparametrene kan nå raskt beregnes: T = 2,8/ù = 2,8/0,85 = 3,3sek og T = 1/ù = 1/0,85 = 1,2sek, K = h (jù ) 2dB = ( 22dB) 2dB = 20dB = 10 = 10,0 I øc D øc * 20/20 P o øc Ec (10 %) Etterjustering vurderes ut fra Bodediagrammet til åpen sløyfe med den valgte regulatoren for å se om vi har oppnådd den fasemarginen og forsterkingsmarginen vi vil ha dvs ÄK 12dB og Äö 45. For det første ser vi at kryssfrekvensen er ca 0,9 i stedet for 0,85 som var ønska kryssfrekvens. Dette tyder på at vi var litt unøyaktig når vi fant K p i punkt Fa. Ut fra Bodediagrammet ser vi at Äö 45 og det er lik kravet. Forsterkingsmarginen er ca 9dB og det er litt lite. Dermed er kravet ikke oppfylt. Her er kravet minst 12dB. Forsterkinga må dermed reduseres med 3 db. Dette er det samme som å flytte alle punktene på amplitudeforholdskurva 3 db nedover. Dette gir: Når vi reduserer forsterkinga med 3 db så vil også kryssfrekvensen flytte seg til litt lavere frekvens. I dette tilfelle til ca 0,65 rad/sek. Dette gir i så fall en ny fasemargin. Men ved denne frekvensen vil vi få en fasemargin på litt mer enn 45 grader. Dermed er kravene oppfyllt. (Større ù c gir raskere reguleringssløyfe. Når ÄK bare er ca 25% mindre enn kravet kan det være verdt å teste med K = 10) p Side 138

Løsningsforslag eksamen i Reg.tek. grunnkurs jan 2011 7 F (40 %) Endring i fart ved kjøring i motbakke med P- og PID-regulering. Fa (5 %) Når bilen kjører med konstant hastighet på en flat vei med manuell fartsregulering og sjåføren ser at fartsmåleren viser 80 km/t så kan den virkelige farten bestemmes ut fra fartsmålerens stasjonære forsterking. Stasjonært har vi at y = K F * x. Snur vi på dette finner vi virkelig fart, x, når vi kjenner målt fart,y: x = y/k F = 80/1,1 = 72,7 [km/t]. I normalisert verdi blir dette: Fb (5 %) Gasspedalpådrag (i normalisert verdi) som kreves for å holde denne farten kan regnes ut når vi kjenner stasjonær forsterking for motor mm og for bil mm. Ved manuell drift har vi åpen sløyfe og x = u * K M * K B. Vi kjenner alt unntatt u. Ved å snu på dette finner vi: u = x/(k * K ) = 40,4 %/(1 * 1,1) = 36,7 % M B Fc (3 %) Ved innkopling av fartsregulatoren holder bilen en målt fart på 80 km/t samtidig setter referansen også lik 80 km/t. Dermed blir reguleringsavviket e lik null. For at gasspådraget til motoren ikke skal endres må det nominelle pådraget settes lik pådraget vi hadde ved manuell kjøring rett før innkopling av fartsregulatoren. Dvs u = 36,7 %. 0 Fd (12 %) Bilen kjører inn i en lang motbakke med en stigning som tilsvarer F motbakke = 20 % i normalisert verdi. Referansen og det nominelle pådraget endrer seg ikke så lenge fartsregulatoren er innkopla. Vi kan derfor finne ut hvor mye den stasjonære målte farten synker med ved å se på overføringsfunksjonen fra F motbakke til y og så finne virkningen av motbakken på y. Fordi vi skal bruke sluttverditeoremet og der inngår det å la s gå mot null kan vi her forenkle oppsettet når vi kjenner stasjonær forsterking til hver blokk. Når vi har første ordens blokker på standard form er konstanten i telleren lik stasjonær forsterking. (Alternativt kan stasjonær forsterking finnes ved å la s gå mot null i overføringsfunskjonen til hver enkelt blokk.) Side 139

Løsningsforslag eksamen i Reg.tek. grunnkurs jan 2011 8 Vi har en digital regulator og må dermed ta hensyn til tidsforsinkelsen som alltid oppstår i en digital regulator. Som tommelfingerregel kan denne settes til 1,5 ganger samplingstida h. ô reg 1,5 0,1 = 1,5 0,1 =0,15 [sek]. Forsterkinga i regulatoren er oppgitt til å være K p=5. Hurtigmetode hvor vi bare ser på de stasjonære forsterkingene med en gang: Endring i stasjonær fart fra flata og over i motbakken blir da: I km/h tilsvarer dette: Fartsmåleren viser nå oppe i motbakken: y + Äy = (80-5,26) km/t = 74,74 km/t Sidesprang: En mer grundig utregning av stasjonær endring av den målte farten kan gjøres ved å bruke sluttverditeoremet, men svaret blir det samme: Dersom vi har blokker som ikke har en konstant stasjonær forsterking som f eks integratorblokker så må vi bruke den grundige måten med sluttverditeoremet. Sidesprang slutt. Fe (5 %) Den virkelige farten bilen holder er lavere enn 74,74 km/t fordi fartsmåleren viser for mye. Den virkelige farten, x, er nå: x = y/k = 74,74/1,1 = 67,9 [km/t]. Den F Side 140

Løsningsforslag eksamen i Reg.tek. grunnkurs jan 2011 9 virkelige farten målt med politiets lasermåler vil dermed bli 67,9 km/t og dette er lavere enn 72 km/t som politiet hadde satt som grense for bøtelegging. Bilføreren blir ikke bøtelagt. Ff (5 %) Med PID-regulator sørger I-delen i regulatoren for at det ikke blir noe stasjonært avvik. Dermed blir den målte farten, y, lik referansen, r. Den målte farten blir dermed 80 km/t. Fg (5 %) Når den målte farten er 80 km/t så blir den virkelige farten lik: x = y/k F = 80/1,1 = 72,7 [km/t]. Politiets lasermåler registrerer den virkelige farten og ser at den er over 72 km/t. Bilføreren vil dermed bli bøtelagt. Sidesprang: Det å sette opp en matematisk modell for en bil er ganske komplisert. Særlig fordi det er mange ulineære sammenhenger. Luftmotstanden øker f eks med kvadratet av farten. En linearisert modell vil derfor bare være riktig i området rundt et arbeidspunkt. Fordi det i virkeligheten er så mange og store ulineære sammenhenger er det vanlig at fartsregulatoren (cruise-controlleren) først kan aktiveres når farten er over ca 35 km/t. Sidesprang slutt. Sidesprang: Ved et (urealistisk) sprang i motbakke blir sprangresponsen med PID-regulator basert på vanlig Ziegle Nichols og basert på frekvensanalyse som vist her: Som vi kunne vente gir polanalyse og Ziegler-Nichols tommelfingerregler et innsvingningsforløp omtrent av typen minimum areal, mens innsvingningsforløpet når vi baserer oss på frekvensanalyse gir mer lik minimum forstyrrelse. Med K p = 10 blir det best sjøl om frekvensanalysa viser at forterkingsmarginen bare er 9 db og kravet egentlig er 12 db. Med K p = 10 ble ù c = 0,9 mens den med K p = 7,1 bare ble 0,65. Ofte kan det være lurt å prøve hvordan det går sjøl om forsterkingsmarginen er litt mindre en tommelfingerreglene anbefaler. Sidesprang slutt. Side 141