Algebra. Mål. for opplæringen er at eleven skal kunne

8 1

Algebra Mål for opplæringen er at eleven skal kunne regne med potenser, formler, parentesuttrykk og rasjonale og kvadratiske uttrykk med tall og bokstaver omforme en praktisk problemstilling til en likning, en ulikhet eller et likningssystem, løse det og vurdere løsningens gyldighet løse likninger, ulikheter og likningssystemer av første og andre grad, både ved regning og med digitale hjelpe midler bruke begrepene implikasjon og ekvivalens i matematisk argumentasjon

1.1 Bokstavregning og parenteser I uttrykket x + 4x står x for en variabel eller et ukjent tall. Uttrykket består av to ledd, x og 4x. Bokstavuttrykk eller tall med plusstegn eller minustegn mellom kaller vi ledd. Disse to leddene er av samme type, og dermed kan vi trekke dem sammen: I uttrykket x + 4x = x 4a + a + 1 a + 3a 1 er det seks ledd. Leddene 4a og a er av samme type, og vi kan trekke dem sammen. Leddene 4a og a er ikke av samme type og kan derfor ikke trekkes sammen. Vi samler ledd av samme type og trekker sammen. 4a + a + 1 a + 3a 1 = 4a a + a + 3a + 1 1 = 3a + 5a Når vi regner med bokstavuttrykk, får vi bruk for å løse opp parenteser. Når vi løser opp en parentes, fjerner vi parentesen. Fra ungdomsskolen kjenner vi reglene nedenfor. Når vi skal løse opp en parentes som har et minustegn foran, må vi skifte fortegn på alle leddene inne i parentesen. En parentes med et plusstegn foran kan vi fjerne uten å endre noe fortegn inne i parentesen. EKSEMPEL Trekk sammen 5a + (3a + b) (4a + b). Løsning: 5a + (3a + b) (4a + b) = 5a + 3a + b 4a b = 5a + 3a 4a + b b = 4a 10 10 Sinus S1 > Algebra

? Oppgave 1.10 Trekk sammen uttrykkene. a) x 5y + 3x + 7y + 1 b) a + a + 3 + a 3a 1 c) x + x + y x y d) xy + xy x y xy yx Oppgave 1.11 Løs opp parentesene og trekk sammen. a) (5x + y) + (x y) b) a + b ( a + b) c) (x + x + 1) (x x + 1) d) a a 3 + ( a + a + 3) Når vi multipliserer parentesuttrykk, bruker vi disse reglene: Når vi skal multiplisere et tall og et parentesuttrykk, må vi multiplisere tallet med hvert ledd som står inne i parentesen. Når vi skal multiplisere to parentesuttrykk, må vi multiplisere hvert ledd i den første parentesen med hvert ledd i den andre. EKSEMPEL Regn ut. a) 3(x + 3x ) b) 3(x 4) c) (x 3)(x + ) d) y (y + 3)(y 1) Løsning: a) 3(x + 3x ) = 3 x + 3 3x 3 = 3x + 9x b) 3(x 4) = ( 3) x ( 3) 4 = x + 1 c) (x 3)(x + ) = x x + x 3 x 3 = x + 4x 3x = x + x d) y (y + 3)(y 1) = y (y y + y ( 1) + 3 y + 3 ( 1)) = y (y y + y 3) = y (y + 5y 3) = y y 5y + 3 = 5y + 3 Når vi multipliserer uttrykk med minus foran, må vi beholde parentesen. 11

Et produkt av tre faktorer kan vi regne ut på flere måter. Her skal vi vise hvordan vi kan regne ut (t 5)(t + 1 ) på tre forskjellige måter. Metode 1 Vi kan multiplisere parentesene med hverandre først: (t 5)(t + 1 ) = (t + 1 t 5t 5 ) = (t 9 t 5 ) = t 9t 5 Metode Vi kan multiplisere med (t 5) først: (t 5)(t + 1 1 ) = (t 10)(t + = t t + t 1 ) 1 10t 10 = t + t 10t 5 = t 9t 5 Metode 3 Vi kan multiplisere med (t + 1 ) først: (t 5)(t + 1 ) = (t 5)(t + 1 ) = (t 5)(t + 1) = t + t 10t 5 = t 9t 5 Vi ser at alle de tre metodene gir samme svar, og vi kan velge fritt hvilken metode vi vil bruke. Her er kanskje den tredje metoden den beste, for den gir minst brøkregning.!? Når vi skal regne ut (t 5)(t + 1 ), må vi ikke multiplisere begge parentesene med. Oppgave 1.1 Regn ut. a) (x + 4) b) (t 3) c) 3(x + 1) (3x + 1) d) 5(x + 3x + ) 5(x + 1) Oppgave 1.13 Trekk sammen. a) (a b) + 3( a + 3b) b) a(ab b ) b(a ab) c) (x + 1)(x 3) d) (3t )(t + 1) Oppgave 1.14 Trekk sammen. a) (x 1)(x + 3) + (x 1)(x 4) b) (x + 3)(4x 1) (x + 1)(x 3) c) (x 1)(x + 3) d) 3 (t + 3)(8t 4) 4 1 1 Sinus S1 > Algebra

1. Rasjonale uttrykk Et rasjonalt bokstavuttrykk er en brøk som inneholder en eller flere variabler. Vi bruker de vanlige regnereglene for brøker når vi regner med slike uttrykk. EKSEMPEL Regn ut. a) 5 7 x x + 1 4 b) a 4 ab c) x 4 : x 1 Løsning: a) Vi utvider brøkene slik at alle får fellesnevneren 4x. 5 7 x x + 1 4 = 4 5 4 x 7 x + 1 x 4 x = 0 4x 14 4x + x = 0 14 + x = + x 4x 4x 4x = b) Vi multipliserer telleren med telleren og nevneren med nevneren. a 4 ab = a 4 1 ab = a 4 a b = b 1 1 = c) Når vi deler med en brøk, ganger vi med den omvendte brøken. x 4 : x 1 = x 4 1 = x 1 3 x 4 x = 1 x 1 4 x = 3 1 = 3 1 1? Oppgave 1.0 Trekk sammen. a) a + a 3 + a b) 1 a + 1 3a + 1 a c) + 3 x x 4 3x Oppgave 1.1 Regn ut. a) a 3 b) x a 3y 5y 4x c) 8a 5 : 4a 15 d) a 5 : a Oppgave 1. Trekk sammen. a) 3 5 + 1 a 7 3a b) x ( 5x 3 7x ) c) ( x 3 + 5x ) : x 1 13

Hvis telleren inneholder en sum, må vi sette parentes om summen når vi setter uttrykkene på felles brøkstrek. EKSEMPEL Regn ut. a) x + 3 3 x + 1 b) 8 3 x + 1 4 Løsning: a) x + 3 3 x + 1 = (x + 3) 3 = 4x + b) 8 3 x + 1 = 8 (x + 1) 4 3 4 x + 1 x + 1 = = 4x + x 1 = 3x + 5 = 1 = (4x + ) (x + 1) (x + 1) = x + 3 3 = Brudne brøker som inneholder en variabel, er det lettest å forenkle hvis vi multipliserer over og under hovedbrøkstreken med fellesnevneren for småbrøkene. EKSEMPEL Regn ut. x + x 4 + 1 Løsning: Fellesnevneren for småbrøkene er 4. Vi multipliserer derfor med 4 over og under hovedbrøkstreken. x + 4 ( x + ) 4 x x 4 + 1 = + 4 4 ( x 4 + 1 = ) 4 x 4 + 4 1 = x + 8 x + = 14 14 Sinus S1 > Algebra

? Oppgave 1.3 Regn ut. a) x + 3 x + 1 4 4 c) x + x x 1 3x Oppgave 1.4 Regn ut. x 5 + 1 a) x 1 10 c) 1 a b a 1 b b) a + d) + a a b) d) 1 x + 1 1 + x 1 + 1 x 1 x 1 3x a 1 a a + 3 3a 1.3 Likninger På vg1 lærte vi å løse likninger. Vi bruker disse reglene: Vi kan trekke fra eller legge til det samme tallet på begge sidene av likhetstegnet. Vi kan multiplisere eller dividere med det samme tallet på begge sidene av likhetstegnet dersom tallet ikke er null. Vi kan flytte et ledd over på den andre siden av likhetstegnet hvis vi samtidig skifter fortegn på leddet. Når vi har løst en likning, kan vi sette prøve på svaret. Vi setter da inn løsningen i likningen og kontrollerer at begge sidene av likhetstegnet har samme verdi. EKSEMPEL Løs likningen 5x + 3 = x 11 og sett prøve på svaret. 15

Løsning: 5x + 3 = x 11 5x + x = 11 3 7x = 14 7x 7 = 14 7 x = Vi kontrollerer løsningen ved å sette prøve. Venstre side: 5x + 3 = 5 ( ) + 3 = 10 + 3 = 7 Høyre side: x 11 = ( ) 11 = 4 11 = 7 Venstre og høyre side er like. Løsningen er derfor riktig.? Oppgave 1.30 Løs likningene og sett prøve på svaret. a) x + 1 = 5 b) 3x 1 = x + c) x + = x d) x + = 3x + 7 Oppgave 1.31 Løs likningene. a) 1x 13 = 9x 7 b) 7x + 11 = x 3 c) 0,0x + 0,7 = 0,03x + 0, Når vi skal løse en noe mer sammensatt likning, kan det ofte svare seg å bruke denne framgangsmåten: 1 Løs opp parenteser. Multipliser med fellesnevneren på begge sidene av likhetstegnet hvis det fins brøker. 3 Trekk sammen leddene på begge sidene av likhetstegnet. 4 Samle alle leddene med den ukjente på venstre side og alle andre ledd på høyre side. 5 Trekk sammen leddene på begge sidene av likhetstegnet. Finn løsningen ved å dividere på begge sider av likhetstegnet med det tallet som står foran den ukjente. 1 1 Sinus S1 > Algebra

EKSEMPEL Løs likningen x ( 1 + x 3 ) = x + 1 Løsning: x ( 1 + x 3 ) = x + 1 x 1 x 3 = x + 1 1 ( x 1 x 3 ) = ( x + 1 ) x 1 x 3 = x + 1 3x x = x + 1 x = x + 1 3 x + x = 1 + 4 7x = 7 5 x = 1 Tallene viser til numrene i framgangsmåten foran. Fellesnevneren er. Vi dividerer med 7. I noen likninger finner vi den ukjente i nevneren. I slike tilfeller må vi alltid kontrollere den løsningen vi kommer fram til. Noen ganger kan den gi null i en nevner. Da kan vi ikke bruke løsningen. EKSEMPEL Løs likningene. a) 5 x + 3 = 1 x + 1 b) x 1 x + 1 x = 1 3 1 3x Løsning: a) Vi multipliserer med x på begge sidene av likhetstegnet. 5 x + 3 = 1 x + 1 x 5 x x + 3x = 1 x x + x 5 + 3x = 1 + x x = 4 x = x = gir ikke null i noen nevner. 17

b) Fellesnevneren for x, x, 3 og 3x er x. Vi multipliserer derfor med x på begge sidene av likhetstegnet. x 1 x ( x 1 x + 1 x = 1 3 1 3x + 1 x ) x = ( 1 x 3 1 3x ) x x 1 3 x + 1 x x x = 1 3 x 1 3x x (x 1) 3 + 1 = x 3x 3 + 1 = x 3x = x 3x x = + x = 0 x = 0 gir null i tre av nevnerne i likningen i oppgaven. Da kan vi ikke sette inn x = 0. Likningen har ingen løsning.? Oppgave 1.3 Løs likningene og sett prøve på svaret. a) 1 3 x + = 1 x 1 3 x c) 3 = x b) (x 1) = 1 (x 3) 3 d) 1 x 3 = 4 + x 3 5 5 Oppgave 1.33 Løs likningene. a) + 3 = 0 b) 5 x c) x 1 + = 1 x x d) 3 = 8 x x 1 x + = 3 x Oppgave 1.34 Løs disse oppgavene ved hjelp av likninger. a) Finn tre hele tall som følger etter hverandre og er slik at summen av tallene blir 13. b) Finn fem partall som følger etter hverandre og er slik at summen av tallene blir 40. 18 18 Sinus S1 > Algebra

1.4 Kvadratsetningene I kapittel 1.1 multipliserte vi parentesuttrykk med hverandre. Vi skal nå multiplisere ut tre spesielle uttrykk: (a + b) = (a + b) (a + b) = a a + a b + b a + b b = a + ab + ab + b = a + ab + b (a b) = (a b) (a b) = a a a b b a + ( b) ( b) = a ab ab + b = a ab + b (a + b)(a b) = a a + a ( b) + b a + b ( b) = a ab + ab b = a b Vi har nå bevist de tre kvadratsetningene: Første kvadratsetning: (a + b) = a + ab + b Andre kvadratsetning: (a b) = a ab + b Tredje kvadratsetning: (a + b) (a b) = a b I den tredje kvadratsetningen regner vi ikke ut noe kvadrat. Mange kaller denne setningen for konjugatsetningen. Men vi bruker ofte denne setningen den andre veien. Vi får da at a b = (a + b)(a b). Det gir oss et uttrykk for en differanse mellom to kvadrater. Vi kaller derfor også denne setningen for en kvadratsetning. EKSEMPEL Regn ut. a) (x + 3) b) (y 5) c) (t + 1)(t 1) d) (x + 3) + (x 3) (x + 3)(x 3) Løsning: a) (x + 3) = x + x 3 + 3 = x + x + 9 b) (y 5) = y y 5 + 5 = y 10y + 5 c) (t + 1)(t 1) = (t) 1 = 4t 1 Legg merke til at d) (x + 3) + (x 3) (x + 3)(x 3) = (x + x + 9) + (x x + 9) (x 9) = x + x + 9 + x x + 9 x + 18 = 0x + 0x + 3 = 3 (t) = t t = 4t 19

? Oppgave 1.40 Bruk kvadratsetningene til å regne ut. a) (x 1) b) (x + 4) c) (t + 5) d) (t + 3)(t 3) e) (y 4)(y + 4) f) (t 1 )(t + 1 g) (x + 1 ) h) (x 5)(x + 5) i) (3x ) ) Oppgave 1.41 Bruk om mulig kvadratsetningene når du regner ut og trekker sammen. a) (x + 1) (x + 1)(x 1) b) (x + 3) (x 3) c) (x 3) 4(x + )(x 3) d) (t 4)(t + 4) + 3(t + 4) Vi kan også bruke kvadratsetningene til vanlig tallregning. EKSEMPEL Regn ut ved hjelp av kvadratsetningene. a) 19 1 b) 31 31 c) 39 39 d) 53 47 Løsning: a) 19 1 = (0 1) (0 + 1) = 0 1 = 400 1 = 399 b) 31 31 = 31 = (30 + 1) = 30 + 30 1 + 1 = 900 + 0 + 1 = 91 c) 39 39 = 39 = (40 1) = 40 40 1 + 1 = 100 80 + 1 = 151 d) 53 47 = (50 + 3) (50 3) = 50 3 = 500 9 = 491? Oppgave 1.4 Regn ut ved hjelp av kvadratsetningene. a) 9 31 b) 19 c) 1 d) 8 3 e) 35 45 f) 103 97 Oppgave 1.43 Regn ut uten å bruke lommeregner. a) ( + 1)( 1) b) ( 5 )( 5 + ) c) ( 7 + 3)( 7 3) 0 0 Sinus S1 > Algebra

1.5 Faktorisering Et uttrykk består av flere ledd dersom det er sammensatt av flere deler med plusstegn eller minustegn mellom. Uttrykket x + 5x + har tre ledd: x, 5x og. Uttrykket 5xy + 3(x + y) + y består av de tre leddene 5xy, 3(x + y) og y. Vi sier at et uttrykk er faktorisert når det består av bare ett ledd. Uttrykket 3(x + 5)(x 3) er faktorisert. Det består av de tre faktorene 3, (x + 5) og (x 3). Uttrykket 3(x + 5)y + 7 er ikke faktorisert, for det består av to ledd: 3(x + 5)y og 7. Når vi faktoriserer et uttrykk, skriver vi uttrykket som et produkt av flere faktorer. Vi skal lære flere faktoriseringsmetoder. Dersom leddene i et uttrykk har felles faktorer, kan vi trekke faktorene utenfor en parentes. 4x + 1 = 4 x + 4 3 = 4(x + 3) x 4x = x x 4 x = (x 4) x = (x 4)x 3x 3 9x = 3x x 3x 3 = 3x(x 3) Vi ser at uttrykkene er faktorisert, for nå består de av bare ett ledd. Ved å multiplisere faktorene kan vi alltid kontrollere om en faktorisering er riktig: 3x(x 3) = 3x x 3x 3 = 3x 3 9x Vi må være forsiktige når vi setter negative tall utenfor en parentes: x + 4x 10 = (3x x + 5) 3x x = 3x(x + ) Leddene i parentesen må skifte fortegn. Vi ser at det stemmer når vi multipliserer faktorene: 3x(x + ) = 3x x + ( 3x) = 3x x? Oppgave 1.50 Hvor mange ledd består uttrykkene av? Hvilke uttrykk er faktorisert? a) x(x ) + 4x b) x 4x + 4 c) (x 4y)(x y) d) (x ) 1

? Oppgave 1.51 Sett mest mulig utenfor en parentes. a) 3x + b) x 3x c) y 3 4y d) x 3 4x + x Oppgave 1.5 Trekk mest mulig utenfor en parentes. a) xy + 4x b) 5xy 10xy c) a b + 3a b + ab d) 3x + xy 9x Vi kan bruke tredje kvadratsetning til å faktorisere en differanse mellom to kvadrater. Da bruker vi setningen slik: a b = (a + b)(a b) EKSEMPEL Faktoriser uttrykkene. a) x 4 b) x 5 c) 4t 9 d) (x 1) 4 Løsning: a) x 4 = x = (x + )(x ) b) x 5 = x ( 5 ) = ( x + 5 ) ( x 5 ) c) 4t 9 = (t) 3 = (t + 3)(t 3) d) (x 1) 4 = (x 1) = ((x 1) + )((x 1) ) = (x + 1)(x 3) Når vi faktoriserer, må vi ofte først sette faktorer utenfor en parentes og deretter bruke tredje kvadratsetning. EKSEMPEL Faktoriser 3x 3 48x. Løsning: 3x 3 48x = 3x(x 1) = 3x(x 4 ) = 3x(x + 4)(x 4) Sinus S1 > Algebra

? Oppgave 1.53 Faktoriser uttrykkene. a) x 9 b) t 1 c) x 1 4 d) x 8 Oppgave 1.54 Faktoriser uttrykkene hvis det lar seg gjøre. a) 4x 9 b) x + 4 c) 9x 1 d) 1x 3 75x Oppgave 1.55 Faktoriser uttrykkene hvis det er mulig. a) (x ) 9 b) (x + 1) 1 c) (x 3) + 4 d) (x + 1) 1 1. Andregradslikninger med to ledd Andregradslikningen x 4 = 0 mangler førstegradsledd. Vi løser den på denne måten: x 4 = 0 x = 4 x = eller x = Ofte skriver vi bare x = ± i stedet for x = eller x =. x = ±a betyr x = a eller x = a. EKSEMPEL Løs andregradslikningene grafisk og ved regning. a) x 8 = 0 b) x + 3 = 0 3

Løsning: a) Grafi sk: Vi tegner grafen til funksjonen f(x) = x 8. 8 4 4 3 1 4 8 y f 1 3 4 x Grafen viser at f har nullpunktene x = og x =. Det er løsningen av likningen. x 8 = 0 når x = og når x =. Ved regning: x 8 = 0 x = 8 x = 8 x = 4 x = eller x = Likningen har to løsninger. b) Grafi sk: Vi tegner grafen til funksjonen f(x) = x + 3. 4 3 1 8 7 5 4 3 1 y 0 1 3 4 f x 4 4 Sinus S1 > Algebra

Funksjonen har ingen nullpunkter, for grafen rekker ikke ned til x-aksen. Likningen har ingen løsninger. Ved regning: x + 3 = 0 x = 3 Det fins ingen tall x som er slik at x blir mindre enn null. Tallet x kan derfor ikke bli lik 3, og likningen x = 3 har dermed ingen løsning. Likningen har ingen løsning.? Oppgave 1.0 Løs likningene. a) x = 9 b) x = 10 c) d) x = 4 e) 3x + 1 = 1 Oppgave 1.1 Løs likningene. a) (x + 1) = 10 b) 3x + = x 4 c) (x 1) = 4 d) (x + ) = 1 4x 5 = 0 Oppgave 1. a) Et kvadrat har arealet 18 cm. Hvor lange er sidene i kvadratet? b) En sirkel har arealet 1,5 m. Hvor stor er radien i sirkelen? c) En sirkel har det samme arealet som et kvadrat der sidene er 5 cm lange. Finn radien i sirkelen. Når vi multipliserer to tall som ikke er null, kan vi ikke få null som svar. Dersom vi vet at produktet av to tall er null, må altså ett av tallene være null. Denne slutningen kaller vi produktregelen. Vi kan uttrykke den slik: Dersom r s = 0, så er r = 0 eller s = 0. 5

Vi bruker produktregelen når vi skal løse andregradslikninger uten konstantledd. EKSEMPEL Løs likningen x 3x = 0 og sett prøve på svaret. Løsning: Vi setter x utenfor en parentes. x 3x = 0 (x 3) x = 0 Når produktet av disse to tallene er null, må ett av tallene være null. x 3 = 0 eller x = 0 x = 3 eller x = 0 Vi får to løsninger: x = 3 og x = 0. Nå setter vi disse verdiene inn i x 3x = 0 for å se om vi har regnet riktig. x = 3 gir x 3x = 3 3 3 = 9 9 = 0 x = 0 gir x 3x = 0 3 0 = 0 0 = 0 Begge x-verdiene passer.? Oppgave 1.3 Løs likningene og sett prøve på svarene. a) x(x ) = 0 b) x + 3x = 0 c) x 4x = 0 d) 5x + 3x = 0 Oppgave 1.4 Løs likningene grafisk og ved regning. a) x + x + 3 = x + 7 b) x + x + 3 = 4x + 3 Sinus S1 > Algebra

1.7 Andregradsformelen Vi har en formel som vi kan bruke hver gang vi skal løse en andregradslikning. Vi kaller den andregradsformelen. Andregradslikningen ax + bx + c = 0 har løsningene b ± b x = 4ac a når b 4ac 0. Vi viser nå hvordan vi bruker denne formelen til å løse andregradslikninger. EKSEMPEL Løs andregradslikningene. a) 3x + 5x = 0 b) x x = 9 c) x + x + 3 = 0 Løsning: a) Når vi sammenlikner likningen 3x + 5x = 0 med likningen ax + bx + c = 0, ser vi at a = 3, b = 5 og c =. Vi setter inn i andregradsformelen. 3x + 5x = 0 x = 5 ± 5 4 3 ( ) 3 5 ± 5 + 4 x = 5 ± 49 x = x = 5 ± 7 x = 5 + 7 x = x = 1 3 eller x = 5 7 eller x = 1 eller x = 7

b) Vi ordner først likningen slik at vi får 0 på høyre side. Deretter bruker vi andregradsformelen. x x = 9 x x + 9 = 0 Her er a = 1 fordi x = 1 x. Videre er b =, og c = 9. x = ( ) ± ( ) 4 1 9 1 x = ± 0 x = + 0 x = 3 eller x = 3 x = 3 eller x = 0 Denne likningen har bare én løsning. c) x + x + 3 = 0 a = 1, b =, og c = 3. ± x = 4 1 3 1 ± 4 1 x = ± 8 x = Likningen har ingen løsning. Kvadratrota av 8 fins ikke. Derfor er det ingen løsning på likningen.! Vi kan løse alle typer andregradslikninger med andregradsformelen, også likninger med to ledd. Men slike likninger løser vi enklere med metodene i kapittel 1.. Vi kan også løse andregradslikninger på lommeregneren. På neste side viser vi hvordan vi løser likningen x + x + 3 = 0. 8 8 Sinus S1 > Algebra

ON CASIO Vi velger EQUA på ikonmenyen og velger Polynomial ved å trykke på F. Deretter velger vi andre grad ved å trykke på F1. Vi legger så inn verdier for tallene a, b og c på denne måten: TEXAS Denne lommeregneren har ikke innebygd noe program som løser andregradslikninger. Men vi kan legge inn et program selv. Det kan vi gjøre på to måter: Den ene måten er å få overført et program fra en annen lommeregner der formelen er lagt inn. Alternativet er å taste inn programmet selv. Du finner framgangsmåten og programmet på nettstedet sinus.cappelen.no. Nå trykker vi på F1 (SOLV) og får fram løsningene x = 1 og x = 3. OFF? Oppgave 1.70 Løs andregradslikningene og sett prøve på svaret. a) x 5x + = 0 b) x + x 1 = 0 c) x 4x + = 0 d) x x + = 0 e) x 17x + 1 = 0 Oppgave 1.71 Løs likningene. a) x 4x = b) x x = x c) x x + 1 = x + 1 Oppgave 1.7 Funksjonen f er gitt ved f(x) = x x 3 a) Tegn grafen til f. b) Finn nullpunktene grafisk. c) Finn nullpunktene ved regning. 9

Andregradslikninger får vi bruk for i praktiske sammenhenger. Noen ganger har begge løsningene av andregradslikningen praktisk betydning. I andre tilfeller er det bare én av løsningene som kan brukes. EKSEMPEL I et rektangel er den korteste siden 3 cm kortere enn den lengste. Hvor lange er sidene når arealet av rektangelet er 108 cm? Løsning: Vi setter lengden av den lengste siden lik x cm. Lengden av den korteste siden blir (x 3) cm. 108 cm (x 3) cm x cm Arealet i kvadratcentimeter blir gitt ved A(x) = x (x 3) = x 3x Ettersom arealet er 108 cm, får vi likningen x 3x = 108 x 3x 108 = 0 x = ( 3) ± ( 3) 4 1 ( 108) 1 x = 3 ± 441 x = 3 ± 1 x = 4 eller x = 18 x = 1 eller x = 9 En side i et rektangel kan ikke ha negativ lengde. Oppgaven har bare løsningen x = 1. Den lengste siden er 1 cm, og den korteste er 1 cm 3 cm = 9 cm. 30 30 Sinus S1 > Algebra

? Oppgave 1.73 Vi kaster en stein opp i lufta. Høyden over bakken målt i meter etter t sekunder er gitt ved funksjonen h(t) = 5t + 10t a) Når er steinen m over bakken? b) Når er steinen 5 m over bakken? c) Når er steinen 7 m over bakken? d) Bruk utregningene ovenfor til å finne ut hvor høyt kastet var. Oppgave 1.74 Et rektangulært jordstykke har omkretsen 380 m og arealet 8800 m. a) Vis at dersom den ene siden er x meter, så er den andre siden (190 x) meter. b) Forklar hvorfor arealet er gitt ved funksjonen A(x) = x(190 x) c) Vis at x må være en løsning av andregradslikningen x 190x + 8800 = 0 d) Regn ut lengden og bredden av jordstykket. 1.8 Im pli ka sjon og ek vi va lens Mange av de matematiske symbolene som er vanli ge i dag, ble først tatt i bruk i pe ri oden fra år 1500 til 1700. For noen sym boler kjenner vi både opphavsmannen og nøyaktig når symbo le ne først ble tatt i bruk: Tegn Navn År Brøkstreken Fibonacci 10 Teg ne ne + og Widman 1489 Kvadratrottegnet Rudolff 15 Likhetstegnet = Record 1557 Desimaltegnet. eller, Napier 11 Ulik hets teg ne ne < og > Herriot 131 Multiplikasjonstegnet Oughtred 131 Divisjonstegnet Rahn 159 Divisjonstegnet : Leibniz 184 Multiplikasjonstegnet Leibniz 193 Symbolet Jones 170 31

I den nor ske sko len ble det rundt 1970 tatt i bruk man ge lo giske symboler. Vi skal gjø re oss kjent med noen av dis se symbolene. Vi vet at hvis x + 1 = 4, så er x = 3. Med bruk av sym boler fra logikken skri ver vi x + 1 = 4 x = 3 Teg net er en implikasjonspil som vi le ser «fø rer til at», «med fø rer at» el ler «impliserer at». Vi bruker denne pila mellom to likninger, påstander eller utsagn. Skrivemåten A B betyr at hvis påstanden A er rik tig, så er også påstanden B rik tig. 3 3 Sinus S1 > Algebra Slike påstander trenger ikke være ma tematiske. Vi kan for eksempel skrive: Personen heter Ola Per so nen er en gutt Det er en rik tig slut ning. Men denne slut nin gen er ikke riktig: Per so nen er en gutt Personen heter Ola Hvis x =, fø rer det til at x = 4. Med sym boler skriver vi x = x = 4 Men hvis x = 4, be hø ver ikke det bety at x =. Det rik ti ge kan være at x =. Der for kan vi ikke skri ve at x = 4 x =. Det rik tige er x = 4 x = el ler x = Man ge bru ker et eget lo gisk sym bol for «el ler» og skri ver x = 4 x = x = Teg net le ser vi alt så «el ler». Vi bru ker det mel lom to på stan der for å fortel le at minst en av på stan de ne må være rik tig. Likningene x = 8 og x = 4 har nøy ak tig de sam me løs ningene, nemlig x = og x =. Vi sier at de to lik ningene er ekvivalente (likeverdige) og skriver x = 8 x = 4 Teg net kal ler vi et ekvivalenstegn. Vi le ser «er ek vivalent med», «har sam me løs ning som» el ler «hvis og bare hvis». Vi kan også skri ve x = 4 x = x = Det er ikke bare i ma tematikk vi bru ker ekvivalenstegnet. Vi kan skri ve Ola er fa ren til Jens Jens er søn nen til Ola

To påstander A og B er ekvivalente dersom påstand A er rik tig hvis og bare hvis på stand B er rik tig. Vi skri ver A B. To likninger er ekvivalente hvis de har nøyaktig de samme løsningene. Når vi lø ser en lik ning, gjør vi lik nin gen om på en slik måte at vi får en ny likning med den sam me løs nin gen. Vi kan for eks em pel flyt te ledd over på den andre siden av likhetstegnet når vi samtidig skifter fortegn på leddet. Vi kan også multiplisere eller dividere på begge sidene av likhetstegnet med tall som ikke er null. Når vi om for mer en lik ning på den ne må ten, får vi en ek vi va lent likning som har nøyaktig de samme løsningene som den likningen vi begynte med. Da kan vi bruke ekvivalenstegnet mellom likningene. Når vi flyt ter et ledd over på den and re si den av lik hets teg net og skif ter fortegn på leddet, får vi en ekvivalent likning. Når vi dividerer eller multipliserer på begge sidene av likhetstegnet med et tall som ikke er null, får vi en ek vi va lent lik ning. EKS EM PEL Løs likningen Løs ning: 3x x + 3 = 4x + 3 3x x + 3 = 4x + 3 3x x = 0 3x(x ) = 0 3x = 0 x = 0 x = 0 x =! I den ne boka kom mer vi nor malt ikke til å skri ve ek vi va lens teg net når vi løser likninger. Vi forutsetter vanligvis at likningene er ekvivalente når det ikke står noe sym bol mel lom dem. 33

? Opp ga ve 1.80 Sett inn ett av sym bolene, el ler i ru te ne der det er mu lig. a) Jeg er fra Ha mar Jeg er fra Nor ge b) Jeg er fra Ber gen Jeg er ber gen ser c) Jeg er fra Oslo Jeg he ter Odd d) Jeg er fra Finn mark Jeg er fra Alta e) Jeg er fra Oslo Jeg bor i Oslo Opp ga ve 1.81 Sett inn ett av sym bolene, el ler i ru te ne der det er mu lig. a) 3x = 1 x = 4 b) x = 4 x = 1 c) x = 9 x = 3 x = 3 d) x 3 = x x = 1 I til legg til teg net («el ler») har vi teg net for «og». Teg net bør vi lese «og sam ti dig». Vi kan for eks em pel bru ke det når vi lø ser to lik nin ger med to ukjen te. Likningssettet x + y = 1 x y = be tyr at de to lik nin ge ne skal være opp fylt sam ti dig. Vi kan der for skri ve x + y = 1 x y =! Vi kan ikke all tid er stat te or det «og» med teg net, for teg net be tyr «og sam ti dig». Vi kan gjer ne si at en lik ning har løs nin ge ne x = og x = 3. Det er ikke det sam me som å si at lik nin gen har løs nin ge ne x = x = 3. Variabelen x kan ikke sam ti dig være både og 3. Vi må si at lik nin gen har løsningen x = x = 3.? Opp ga ve 1.8 Omtrent hvor mange nålevende personer passer med beskrivelsen? a) Jeg er norsk Jeg er kvin ne b) Jeg er norsk Jeg er kvin ne c) Jeg er trøn der Jeg er svensk d) Jeg er trøn der Jeg er svensk 34 34 Sinus S1 > Algebra

? Opp ga ve 1.83 Finn løsningene. a) x = 9 x > 0 b) x = 9 x < 0 c) x = 4 3x + 1 = 4 d) x = 4 3x + 1 = 4 1.9 Noen be vis me to der Når vi di vi de rer 17 med, får vi 17 : = 8 1 1 Tal let 8 kal ler vi kvotienten, og tal let 1 kal ler vi resten. Vi kan skri ve 17 = 8 + 1 Vi multipliserer med og får 17 = 8 + 1 Hvis vi dividerer et helt tall x med, får vi en kvo ti ent k og en rest r. Resten r er en ten 0 el ler 1. Vi kan skri ve x = k + r Hvis res ten r = 0, er tal let x de le lig med. Det er det sam me som at tal let x er et par tall. Hvis res ten r = 1, er tal let x ikke de le lig med. Det er det sam me som at x er et od de tall. Den ne egen ska pen kan vi bru ke som defi nisjon av par tall og oddetall. Et helt tall x er et par tall hvis det fins et helt tall k slik at x = k. Et helt tall x er et od de tall hvis det fins et helt tall k slik at x = k + 1. Tal let er et par tall for di = 13. Tal let 15 er et od de tall for di 15 = 7 + 1. I matematikken må vi bevi se alle reg ler og set nin ger. Da tar vi ut gangs punkt i definisjoner og setninger som er bevist før. Så be vi ser vi nye set nin ger som vi der et ter kan bru ke i nye be vis. 35

Vi har man ge forskjellige typer be vis. Et direkte bevis er en se rie med lo giske argumenter som fører oss direkte til den setnin gen vi vil be vi se. Vi skal se på et eks empel. EKS EM PEL La x være et helt tall. Be vis set nin ge ne. a) x er et par tall x er et par tall b) x er et od de tall x er et od de tall Løs ning: a) Hvis x er et par tall, fins det et helt tall k slik at x = k. Da er x = ( k) = k = k = (k ) = s Tal let s = k er et helt tall, og da er x = s et par tall. b) Hvis x er et od de tall, fins det et helt tall k slik at x = k + 1. Da er x = (k + 1) = (k) + k 1 + 1 = 4k + 4k + 1 = (k + k) + 1 = r + 1 Tal let r = k + k er et helt tall, og da er x = r + 1 et od de tall.? Opp ga ve 1.90 Bevis setningene. a) x par tall og y par tall x y par tall b) x par tall og y od de tall x y par tall c) x od de tall og y od de tall x y od de tall Opp ga ve 1.91 La x være et partall. Be vis at 4 går opp i x. Opp ga ve 1.9 La x være et oddetall. Be vis at 4 går opp i x 1. Velg noen verdier for x og vis at også 8 går opp i x 1. Klarer du å forklare hvorfor det er slik? 3 3 Sinus S1 > Algebra

Andre ganger fører vi indirekte bevis el ler et kontrapositivt bevis. Vi an tar da at set nin gen ikke er rik tig, og vi ser at det fø rer til en selv mot si gel se. Vi ser på et eks em pel. EKS EM PEL Bevis setningene. a) x er et par tall x er et par tall b) x er et od de tall x er et od de tall Løs ning: a) Vi ten ker oss at set nin gen ikke er rik tig. Det må da fin nes et helt tall x slik at x er et par tall uten at x er et par tall. Et ter som x ikke er et par tall, må x være et od de tall. Et ter det vi vis te på forrige side, er x da et od de tall. Det er en selv mot si gel se, for x skul le være et par tall. Der som x er et par tall, må alt så x være et par tall. b) Vi ten ker oss at set nin gen ikke er rik tig. Det må da fin nes et helt tall x slik at x er et od de tall uten at x er et od de tall. Hvis x ikke er et od de tall, må x være et par tall. Et ter det vi vis te på forrige side, er x da et par tall. Det er en selv mot si gel se, for x skul le være et od de tall. Der som x er et od de tall, må alt så x være et od de tall. Vi har nå be vist dis se to set nin ge ne x er et par tall x er et par tall x er et par tall x er et par tall El ler sagt med ord: Hvis x er et par tall, så er x et par tall. Og hvis x er et par tall, så er x et par tall. Da har vi vist at x er et par tall hvis og bare hvis x er et par tall. Det te kan vi skri ve med sym bo ler: x er et par tall x er et par tall Vi har også be vist den ne ekvivalensen:! x er et od de tall x er et od de tall Når vi skal bevise ekvivalensen A B, må vi vise at A B, og at B A. 37

? Opp ga ve 1.93 Bevis setningen. x er od de tall og y er od de tall x y er od de tall Opp ga ve 1.94 Bevis setningene. a) x er et par tall x 3 er et par tall b) x er et od de tall x 3 er et od de tall Når vi skal be vi se en ma te ma tisk på stand som in ne hol der variabler, er det ikke nok å vise at set nin gen er rik tig for noen verdier av variablene. Vi må vise at den er rik tig for alle verdier. Hvis vi der imot skal vise at en set ning er feil, er det nok å fin ne et moteksempel. Hvis noen på står at n er et irrasjonalt tall for alle hele tall n, kan vi mot be vi se det ved å fin ne et eks em pel som vi ser at det er galt. Hvis n = 4, er 4 =, og det er ikke noe irrasjonalt tall. På stan den er alt så ikke rik tig.? Opp ga ve 1.95 Bevis at denne setningen er feil: x er et od de tall minst ett av tal le ne x og x + er et prim tall 38 38 Sinus S1 > Algebra

SAMMENDRAG Å løse opp parenteser Når vi skal løse opp en parentes som har et minustegn foran, må alle leddene inne i parentesen skifte fortegn. En parentes med et plusstegn foran kan vi fjerne uten å endre noe fortegn inne i parentesen. Multiplikasjon med parentes Når vi skal multiplisere et tall og et parentesuttrykk, må vi multiplisere tallet med hvert ledd som står inne i parentesen. Når vi skal multiplisere to parentesuttrykk, må vi multiplisere hvert ledd i den første parentesen med hvert ledd i den andre. Kvadratsetningene Første kvadratsetning: (a + b) = a + ab + b Andre kvadratsetning: (a b) = a ab + b Tredje kvadratsetning: (a + b) (a b) = a b Regneregler for likninger Vi kan trekke fra eller legge til det samme tallet på begge sidene av likhetstegnet. Vi kan multiplisere eller dividere med det samme tallet på begge sidene av likhetstegnet dersom tallet ikke er null. Vi kan flytte et ledd over på den andre siden av likhetstegnet hvis vi samtidig skifter fortegn på leddet. Produktregelen Dersom r s = 0, så er r = 0 eller s = 0. Andregradsformelen Andregradslikningen ax + bx + c = 0 har løsningene b ± b x = 4ac a når b 4ac 0. 39