1 Vektorer KATEGORI Implikasjon og ekvivalens. 1.2 Vektor og skalar

Transkript

1 Oppgaver

2 1 Vektorer KATEGORI Implikasjon og ekvivalens Oppgave Er noen av im plikasjonene gale? a) Ola er nord mann Ola er fra Nor den b) Kari har tatt ser tifi kat for bil Kari er 18 år c) Per har en søs ter Per er ikke ene barn Oppgave 1.11 Sett inn ett av sym bo le ne, el ler i ru te ne der det er mu lig. a) x er de le lig med x er et par tall b) x er x er et par tall c) x er od de tall x er el ler 5 1. Vektor og skalar Oppgave 1.10 Vi har teg net en rek ke vektorer. Oppgave Hvilken implikasjon er gal? a) Tore er norsk Tore er fra Trond heim b) Kari er norsk Kari har norsk pass c) Per har en bror Per er ikke ene barn Oppgave 1.11 Un der søk om vi kan bru ke ek vi valenstegnet mellom disse utsagnene. a) Trine er tanten til Arne Arne er nevøen til Trine b) Mette har bil Met te har ser ti fi kat for bil c) I dag har Norge nasjonaldag Det er 17. mai i dag e c g h a) Hvil ke vek to rer er pa rallelle? b) Hvil ke vek to rer er like? f y d j i x 15

3 Oppgave 1.11 Hvil ke av dis se stør relsene er vek torer, og hvil ke er skalarer? a) Mas se b) Luftmotstand c) Leng de d) Fart e) Temperatur f) Ar beid Oppgave 1.1 Trapeset nedenfor er satt sammen av tre tre kan ter som er formlike og har sam me størrelse (kongruente). A E D C Finn and re vek to rer på fi gu ren som er lik a) A b) AE c) E Oppgave 1.1 ACD er et rektangel der E er skjæringspunktet mellom diagonalene. Oppgave 1.11 Vi har gitt vek torene og. Finn ved teg ning. a) + b) + Oppgave 1.1 Trekk sam men hvis mu lig. a) A + D b) C + CD + DE c) CA + A + D + DE 1.4 Vektordifferanse Oppgave Vi har gitt vek torene, og c. D C b c A E Vi ser at vek torene A og CD er like. Finn and re vek to rer på figuren som er like. 1. Sum av vektorer Oppgave 1.10 Vi har gitt vek torene og. Finn ved teg ning. a) + + c b) c) c Oppgave I tre kanten AC set ter vi A = og AC = C Finn ved teg ning. a) + b) + ( ) A a) Tegn inn. b) Tegn inn. 154 Sinus T > Vektorer

4 Oppgave 1.14 Vi har fire ulike punkter A,, C og D i pla net. Trekk sam men. a) A C b) A + C DC 1.5 Produkt av tall og vektor Oppgave Finn absoluttverdiene. a) b) 5 4 c) d) 5 Oppgave a) Tegn en tre kant AC. Vi set ter A = og AC = Vi de re er M midt punk tet på AC og N midt punk tet på A. b) Finn AM ut trykt ved og. c) Finn M ut trykt ved og. d) Finn CN ut trykt ved og. Oppgave Vi har gitt vek to re ne og. Finn ved teg ning. a) + c) Oppgave 1.15 Trekk sam men. a) ( + b) ( c) 4 ( + b ) + ( b ) ( b ) ( b) + a ) + 6 ) ) Oppgave 1.15 I AC er A = 6, C = 4 og = 90. Vi set ter A = og C =. Et punkt D er be stemt ved at AD =. a) Finn punk tet D ved teg ning. b) Finn D ut trykt ved og. c) Finn D. d) Hva slags fir kant er ACD? Oppgave a) Tegn en tre kant AC. Vi set ter A = og C = b) Et punkt P er plas sert slik at P = C Merk av punk tet P og finn AP ut trykt ved og. c) Et punkt Q er plas sert slik at Q = C Finn AQ ut trykt ved og. 155

5 Vektorer på koordinatform Oppgave Finn koordinatene til dis se vek torene: Sinus T > Vektorer y Oppgave a) Tegn vek torene med utgangspunkt i origo. 1) [, 4] ) [ 1, ] ) [, 0] 4) [4, 5] b) Tegn de sam me vek torene med utgangs punkt i punk tet ( 1, ) og skriv opp koordinatene til endepunktet for hver av vektorene. Oppgave 1.16 a) Tegn vek torene fra punk tet (1, ) til punk te ne (, 4), (4, ) og ( 1, ). b) Skriv opp koordinatene til vek torene. Oppgave 1.16 Tegn punk tet A sam men med vek toren A i et ko ordinatsystem og finn ko ordinatene til når a) A = [, ] og A(, ) b) A = [1, ] og A(, 4) c) A = [, 5] og A(4, 7) Oppgave Vektorene = [1, ], = [ 1, ] og c = [x + 1, y 1] er gitt. a) Finn x og y når = c. b) Finn x og y når = c. c x 1.7 Regning med vektorkoordinater Oppgave Vektorene = [1, ], = [, 1] og c = [, 1] er gitt. a) Finn +, + c og + c. b) Finn + + c. Oppgave Vektorene p = [, ] og q = [ 1, 1] er gitt. a) Finn p og q. b) Finn p + q. c) Finn p q. Oppgave 1.17 Vektorene, og c er teg net ne den for. 4 c 4 4 Finn ko ordinatene til disse vek torene: a) + b) c c) + c d) + c 1.8 Vektoren mellom to punkter y Oppgave Punktene A(1, 0), (0, ) og C(1, ) er gitt. a) Finn A, C og AC. b) Finn C og A. x

6 Oppgave Punktene A( 1, ), (4, 4) og C(1, 7) er hjør ne ne i en tre kant. a) Tegn trekanten. b) Finn A, AC og C. Oppgave 1.18 Vi har gitt punk te ne A(1, 1), (4, 0), C(5, ) og D(, 4). a) Tegn punktene i et koordinatsystem. b) Finn A, C, CD og DA. c) Finn vektorene AC og D. d) Hva slags fir kant er ACD? 1.9 Lengde og avstand Oppgave Finn leng den av vek to ren p når a) p = [1, ] c) p = [ 1, ] b) p = [, 0] d) p = [ 4, 0] Oppgave Finn leng den av vek to ren når a) = [, ] c) = [ 1, 1] b) = [, 1] d) = [x, y] Oppgave 1.19 Vi har mer ket av punk te ne A(, ) og (1, 5) i et ko or di nat sy stem. A y x a) Finn avstanden d mel lom punk te ne ved hjelp av avstandsformelen. b) Finn avstanden mellom punktene ved å bru ke pytagorassetningen. Oppgave 1.19 Finn avstanden mellom punktene ved hjelp av avstandsformelen. a) A(1, 4) og (, 6) b) P(, 0) og Q(4, 8) c) R(, ) og S(1, ) d) U(0, 4) og V(, ) KATEGORI 1.1 Implikasjon og ekvivalens Oppgave 1.10 Hvilke ekvivalenser er riktige? a) x = 4 x = 0 b) x = 5 x = 5x c) x = 1 x = 1 eller x = 1 Oppgave 1.11 Sett inn rik tig tegn (, el ler ) i rutene. a) x = x = 4 b) x 9 = 0 x = c) x 4 + x = 0 x = d) x x = 0 x = 1 eller x = Oppgave 1.1 Sett inn det rik ti ge teg net (, el ler ) i ru te ne. a) x > 0 x < 0 b) (x 1) > 0 (x 1) > 0 c) x + x 6 < 0 x, d) x + x 4 > 0 x > 1 157

7 1. Vektor og skalar Oppgave 1.0 Figuren viser en sekskant der alle si dene er like lange og alle vink lene er like store. D 1. Sum av vektorer Oppgave 1.0 Vi har gitt vek torene, og c. b c E C F A a) Finn vek torer mellom hjørner på fi gu ren som er lik vek toren 1) A ) AC ) E b) Hvor mange vekto rer kan du trek ke mellom hjørner i sekskanten som er parallelle med 1) A ) AC Oppgave 1.1 Figuren består av ni like kvadrater. M N O P I J K L E F G H Finn ved teg ning. a) ( + ) + c b) + ( c ) c) ( + ) c Oppgave 1.1 Trekk sam men vek torene. a) A + C + CD + DA b) XY + UV + YZ + ZU c) A + ( DC ) + ( C ) Oppgave 1. Et le ge me er an gre pet av tre kref ter F 1, F og F slik at sum men av de tre kreftene er nullvektoren. Kreftene F 1 og F er teg net inn på figuren. Tegn inn kraf ten F som an griper midt under legemet. A C D Hvilke andre vek torer på figuren er lik disse vektorene? a) AM b) AN c) AJ d) AG e) KA f) DM Oppgave 1. Tegn et kvad rat ACD. Hvor man ge uli ke vek to rer kan du trek ke mellom hjørnene i kvadratet? F 1 F 158 Sinus T > Vektorer

8 1.4 Vektordifferanse Oppgave 1.40 Vi har teg net tre vek to rer, og c. c ruk figuren ovenfor og tegn a) b) c c) c d) c Oppgave 1.41 Tegn tre vek to rer u, v og w som ikke er parallelle. Finn ved teg ning. a) u + v + w c) u v + w b) u + v w d) u v w Oppgave 1.4 Tegn tre vek to rer, og c som ikke er parallelle. Vis geo me trisk (ved teg ning) at ( + c ) = ( a ) c 1.5 Produkt av tall og vektor Oppgave 1.50 Tegn to vek to rer u og v som ikke er parallelle. Finn ved teg ning. a) u + v b) u v c) u + 5 v d) u v Oppgave 1.51 I AC set ter vi A = og AC = Midtpunktet på siden C kal ler vi M. a) For klar at AM = + b b) På linja gjennom og C lig ger et punkt D slik at D = C Finn AD ut trykt ved og. Oppgave 1.5 Trekk sam men. a) ( ) ( + ) b) ( 5 u + v ) ( v 4 u ) 1.6 Vektorer på koordinatform Oppgave 1.60 Vektorene = [1, 1], = [, 1] og c = [0, ] er gitt. a) Tegn vek torene når endepunk tet er (, 1). b) Finn ko ordinatene til utgangspunktet for vek torene. Oppgave 1.61 a) Tegn punktene A(1, 1), (4, ), C(6, ) og D(, 4) i et ko ordinatsystem. b) Skriv vektorene A, C, AD og DC på ko or dinatform. c) Skriv vektorene AC og CD på koordinatform. d) Hva slags fir kant er ACD? 159

9 Oppgave 1.6 a) Tegn punktene A(, 1), (1, ) og C(5, ) i et ko or di nat sy stem. b) Skriv vektorene A og C på koordinatform. c) Finn koordinatene til et punkt D slik at ACD blir et pa ral lel lo gram. Oppgave 1.6 Vi har gitt vek to re ne = [, ] = [ 1, 6] u = [x, y ] a) Finn x og y når u =. b) Finn x og y når u =. 1.7 Regning med vektorkoordinater Oppgave 1.70 Vektorene = [4, ], = [, 8] og c = [6, ] er gitt. a) Finn + c. b) Finn + c. c) Finn a. d) Finn t + t. Oppgave 1.71 Løs vektorlikningene. a) [x, ] + [y, x] = [4, y] b) [, t] + [s, ] = [t, s] Oppgave 1.7 Finn koordinatene til x. a) x + [1, ] = [0, ] b) [, 9] x = x c) 1 x + [, 4] = 0 Oppgave 1.7 Finn i hvert av til fel le ne. 4 a + b 4 a + b a + b Vektoren mellom to punkter y Oppgave 1.80 Vi har gitt punk tene A(1, ), (, ), C(, 4) og D(0, ). a) Finn A, CD og C + A. 4 b) Finn koordinatene til punktet P(x, y) slik at A + C + CD + DP = 0 Oppgave 1.81 Punktene A(, 0), (1, ) og C(4, 1) er gitt. Et punkt D er plas sert slik at AD = C A a) Lag fi gur og plas ser punk tet D. b) Finn koordinatene til D ved reg ning. Oppgave 1.8 Punktene A( 1, ), (, 0) og C(, 1) er gitt. Et punkt D er plas sert slik at D = A AC Finn koordinatene til D. 1 x 160 Sinus T > Vektorer

10 1.9 Lengde og avstand Oppgave 1.90 estem tallet t slik at = [, 1] og c = [1, t] har sam me leng de. Oppgave 1.91 Vi har gitt punk tet A(, 1) og de to vek to re ne A = [, 1] og AD = [1, ]. D 4 AD 1 x A A 4 y a) Forklar hvorfor punktene A, og D kan være tre av hjør ne ne i en rom be. b) Finn koordinatene til punk tet C slik at firkanten ACD blir en rom be. Oppgave 1.9 I firkanten ACD er hjør ne ne A(, ), (, 0), C(, ) og D( 6, 0). a) Finn leng den av si de ne i firkanten. b) Finn leng den av dia gonalene. c) Hva slags fir kant er ACD? Oppgave 1.9 I AC er A(, 0), (6, 0) og C ( 4, ). a) Finn leng den av si de ne i tre kan ten. b) Hva slags tre kant er AC? LANDEDE OPPGAVER Oppgave 1.00 Vektorene = [, 0] og = [, ] er gitt. a) Finn ved reg ning. b) Finn ved teg ning. c) Finn ved teg ning. Oppgave 1.01 Punktene (, 0) og C(0, 4) er to av hjørnene i en likebeint trekant AC der hjørnet A lig ger på x-ak sen og A = C. a) Tegn trekanten og finn koordinatene til punk tet A. b) Finn A, C og AC. Oppgave 1.0 I parallellogrammet ACD set ter vi A = og AD =. Midt punk tet på AD kal ler vi M. Videre er punktene P og Q be stemt ved at AP = 4 a og MQ = +. a) Tegn parallellogrammet sammen med punktene M, P og Q. b) La N være midt punk tet på C. Finn be lig gen he ten til et punkt R som er slik at NR = NP. c) Finn AR ut trykt ved og. Oppgave 1.0 a) Vektorene og er gitt. Tegn inn en vek tor c slik at + + c = 0 b) Punktene A(1, ), (t, 5) og C(x, y) er gitt. 1) e stem t slik at A = 5. ) Hvor må punk tet C lig ge hvis AC = 5? 161

11 Oppgave 1.04 Punktene A( 1, ), (1, ), C(, 4) og D(1, 5) er gitt. Vis at ACD er et pa ral lel lo gram. Oppgave 1.05 Ola skal ro fra A til. Avstanden mellom punktene er 60 m. A Elva ren ner mot høy re med far ten 0,5 m/s, og Ola ror med far ten m/s fra A mot. a) Hvor lang tid bru ker Ola på å ro over elva? b) Hvor langt fra vil Ola kom me hvis han ikke tar hen syn til strøm men i vannet? c) Finn far ten til bå ten til Ola der som han ror vin kel rett på strøm men. d) Finn det punk tet C som Ola må sik te mot hvis han skal tref fe punk tet. Oppgave 1.06 a) Sett av to punk ter A og på x-ak sen. Marker det punktet P mellom A og som de ler A i for hol det 1 :, dvs. slik at AP : P = 1 :. Les av koordina ten til P. Gjør det sam me med and re par A og av punk ter. Ser du noen sammenheng mel lom koordi naten til P og koordinatene til A og? b) Kall koordinaten til A for x 1 og koordinaten til for x. Skriv opp det ut tryk ket du tror gjel der for koordina ten til punk tet P som de ler A i for hol det 1 :. e vis at ut tryk ket er riktig ved å regne ut koordinatene til vektoren OP når O er ori go. Oppgave 1.07 a) Sett av to punk ter A og i et koordinatsystem. Marker midtpunktet M på linjestykket A og les av koordi natene til M. Gjør det sam me med and re linjestykker A og midtpunkter M. Ser du noen sam menheng mellom koordinatene til M og koordinatene til A og? b) Kall koordinatene til A for (x 1, y 1 ) og koordinatene til for (x, y ). Skriv opp det ut tryk ket du tror gjelder for koordinatene til midtpunktet M på A. ruk vektorregning til å bevise at ut tryk ket er rik tig. Oppgave 1.08 a) Sett av to punk ter A og i et koordinatsystem. Marker det punktet P på linjestykket A som de ler linjestykket i for hol det 1 :, dvs. at AP : P = 1 :. Les av ko or di na te ne til de lingspunktet P. Gjør det sam me med and re linjestykker A og punk ter P som de ler A i for hol det 1 :. Ser du noen sam men heng mel lom koordinatene til P og koordinatene til A og? b) Kall koordinatene til A for (x 1, y 1 ) og koordinatene til for (x, y ). Skriv opp det ut tryk ket du tror gjel der for koordinatene til punktet P som de ler A i for hol det 1 :. ruk vektorregning til å be vise at uttrykket er rik tig. 16 Sinus T > Vektorer

12 Oppgave 1.09 I AC set ter vi A = og AC =. Punktene M 1, M og M er midtpunkte ne på de tre si de ne i tre kan ten slik figuren viser. A M C M 1 M Finn mest mu lig ut om M 1 M M i forhold til AC. Oppgave 1.11 I et tra pes ACD er A =, AD = og DC =. Videre plasserer vi to 5 punkter P og Q slik at P = C og AQ = 7 a 5. a) Finn AC, D og C ut trykt ved og. b) Finn AP ut trykt ved og. c) Finn PQ ut trykt ved og. Oppgave 1.1 I AC er A(1, ), (, 0) og C(, 4). Hva slags tre kant er AC? Oppgave 1.10 Finn koordinatene til og når og + = [, 1] = [4, ] 16

13 FASIT oppgavedel b) er gal c) er gal I oppgavene a og c kan vi bruke ekvivalenstegn a) b) c) 1.10 a), d, g, j og, c, f, i b) = d = g og = c = i 1.11 a) Skalar b) Vektor c) Skalar d) Vektor e) Skalar f) Skalar 1.1 a) A = C = ED b) AE = D c) E = CD 1.1 A = DC, AD = C, DA = C, AE = EC, EA = CE, E = ED og DE = E 1.1 a) AD 1.14 a) AC b) E b) AD c) CE a) 1 b) c) 0 d) 1.15 a) 5 4 b) 5 c) 1.15 b) c) 10 d) Trapes b) AM = c) M = + d) CN = b) AP = + c) AQ = = [, ], = [, ], c = [0, 4] b) (1, 6), (, 5), (, ), (, ) 1.16 b) [1, ], [, 0], [, 5] 1.16 a) (4, 4) b) (, 7) c) (7, ) a) x = 0, y = 4 b) x =, y = a) [ 1, ], [1, 0], [4, 1] b) [, ] a) p = [4, 6], q = [, ] b) [1, 4] c) [8, 7] 1.17 a) [8, 0] b) [5, 10] c) [, 10] d) [, 11] a) A = [ 1, ], C = [1, 4], AC = [0, ] b) C = [ 1, 4], A = [1, ] b) A = [5, ], AC = [, 5], C = [, ] 1.18 b) A = [, 1], C = [1, ] CD = [, 1], DA = [ 1, ] c) AC = [4, ], D = [, 4] d) Kvadrat a) 5 b) c) 10 d) a) 1 b) c) d) x + y 1.19 a) 5 b) a) 5 b) 10 c) d) 1.10 a) Riktig b) Gal c) Riktig 1.11 a) b) c) d) 1.1 a) b) c) d) 1.0 a) 1) ED ) FD b) 1) 5 ) ) Ingen 1.1 a) N, CO og DP b) O og CP c) K, CL, EN, FO og GP d) H, EK, FL, IO og JP e) L, OE og PF f) Ingen a) 0 b) XV 1.51 b) 5 c) AD

14 1.5 a) _ 6 b) 9 u 5 v 1.60 b) (1, ), (0, 0), (, ) 1.61 b) A = DC = [, ] C = AD = [, 5] c) AC = [5, ], CD = [, ] d) Parallellogram 1.6 b) A = [, ], C = [4, 6] c) (, 5) 1.6 a) x = ± og y = 0 b) x = ±1 og y = 1.70 a) [ 4, 7] b) [5, 7] c) [8, 5] d) [0, 18t] 1.71 a) x = 1, y = b) s = 1, t = a) x = [ 1, 5] c) x = [ 4, 8] 1.7 1) = [, 1] ) = [6, 0] b) x = [1, ] ) = [0, 4] 1.80 a) A = [, ] CD = [ 6, ] 1 C + A = 4 [ 9 4, 1 4 ] b) x = 1, y = 1.81 b) (, ) 1.8 (1, 1) 1.90 t = ± 1.91 a) A = AD b) C(, ) 1.9 a) A = C = AD = DC = 5 b) AC = 6, D = 8 c) Rombe 1.9 a) A = C = AC = 4 b) Likesidet trekant 1.00 a) [5, ] b) [5, ] c) [, 1] 1.01 a) A(, 0) b) A = [5, 0], C = [, 4], AC = [, 4] 1.0 c) AR = 1.0 b) 1) t = eller t = 5 ) C må ligge på sirkelen med sentrum i A(1, ) og radius a) 0 s = 0,5 min b) 15 m til høyre for c),06 m/s d) 15,5 m til venstre for 1.06 b) x 1 + x 1.07 b) M ( x 1 + x y 1 + y, ) 1.08 b) P ( x 1 + x, y 1 + y ) 1.09 M 1 M M er formlik med AC og har halvparten så lange sider = [, ], = [ 1, ] 1.11 a) AC = 5 + D = + C = 5 + b) AP = 7 5 c) PQ = _ A = AC, likebeint trekant.110 a) Parallelle b) Ikke parallelle c) Parallelle d) Ikke parallelle.111 a) x = 6 b) x = c) x = d) x = 6 5 e) x = 8 eller x = 8.11 a) A = [, 1], AC = [6, ] b) Ja, de ligger på samme linje..11 a) A = [, 4], AC = [9, 9] b) Nei, de ligger ikke på samme linje..10 a) 5,7 b) 4 c) 0.11 a) 17, b) 14,1 c) 0.1 4,9.1 a) 10,6 kj b) 7,50 kj c) 5,1 kj.10 a) 8 b) 1 c) 8 d) t 1.11 a) p q = 10 c) q r = 0 b) p r = 0.1 a) x = b) x = 1 4 c) x = d) x = eller x = 09

15 .14 a) 1) = 11, = 5, = 4 ),5 b) 1) = 1, = 1, = 5 ) 97,1.140 a) A = [, 1], AC = [1, ], A AC = 0 b) A = AC = 5 c) En rettvinklet, likebeint trekant.141 b) A = [, 1], AC = [ 1, 4] c) 7 d) A = 10, AC = 17 e) 57,5.14 a) A = [, 4], AC = [, 1] b) 0 c) A = 5, AC = 5 d) b) l : { x = 1 + t y = + t c) (, 0) d) (0, ).151 b) l : { x = + t y = 4 t c) (, 0) d) (0, ).15 b) (0, 0) c) (0, 0).15 b) (, 0) c) (0, ).160 a) t x y b) x aksen: ( 1, 0) og (, 0) y aksen: (0, ).161 a) t x y d) x aksen: ( 1, 0) y aksen: (0, 1) og (0, 1).170 a) (, 1).171 a) l : { x = 1 + t y = 5 t b) m : { x = 1 + s y = s c) (, 1).17 a) l : { x = + t y = 1 t b) m : { x = + t y = t c) ( 1, ).10 a) Parallelle b) Ikke parallelle c) Ikke parallelle.11 a) t = ± b) t = c) Alle t R.1 a) Ikke på samme linje b) t = 11.1 a) A = [4, ], D = [, 6] b) For eksempel er A = DC. c) (, 4 ) d) Parallelle.0 a) 1 b) 1 c) 8.1 a) 4,9 kj b) F x = 491 N, F y = 44 N c) 4,9 kj, 0 J d),5 kj. b) 1 c) 56, d) 4 e) 6. a) =, = b) = 5, = 5.0 a) 60 b) A = CD, de er parallelle c) t =.1 k =. a) k = 7 b) k = eller k = 5 c) k = ±4 d) k = 10 eller k = 6 e) k = ± eller k = 0. a) 4 b) 99,, 80,8.4 c) [b, a] og [ b, a].40 a) ( 0, 9 5 ) b) ( 7 5, 0 ).41 a) A = [ 5, 5 ], A = 5 5 c) y = 6 d) 6,4.4 A = 17,, = 9,9, C =,8.4 a) (4, 0) c) [ 4, ], C = 4, = 5,4.50 b) l : { x y = = t t c) x = 5 d) y = 5.51 a) F.eks. l : { y x = = t tsssssss + 1 b) F.eks. l : { x = tssss y = + t 10