MAT-4 Vårsemester 7 Obligatorisk øving Contents OPPGAVE Hvordan å løse oppgaven? 4 Formatering av svarene 9. Rasjonale tall............................. 9. Matriser og vektorer......................... 9. Tupler................................. 9
Oppgaven nedenfor er knyttet til Ch. Inner Product Spaces. Der introduseres det et vektorrom V med et indre produkt x, y. Hovedeksemplet er R n (i vårt tilfelle R 5 ) med dotproduktet, dvs. x, y = x y. Vi betrakter vektorer fra R 5 både som kolonnevektorer og radvektorer, derfor beskrives dotproduktet slik i matriseform (se Tabell.. i boka): x T y hvis både x og y er kolonnevektorer, xy x, y = x y = T hvis både x og y er radvektorer, xy hvis x er en radvektor, og y er en kolonnevektor, x T y T hvis x er en kolonnevektor, og y er en radvektor. OPPGAVE Gitt 5 radvektorer (hver student får sine egne vektorer) v, v, v, v 4, w R 5. La V = span (v, v, v, v 4 ) R 5. a) Finn en basis G for underrommet V. Resultatet oppgis som et s-tuppel (s = dim V ) G = (g, g,..., g s ) av radvektorer. b) Finn en basis H for det ortogonale komplementet (the orthogonal complement) V. Resultatet oppgis som et t-tuppel (t = 5 s) av kolonnevektorer. H = (h, h,..., h t ) Hint til a) og b): sett vektorene v i som rader i en 4 5 matrise A, og bruk Gauss-Jordan. Se Th. 4.8.9 i læreboken, og Seksjon 4 (Teorem 4., Eksemplene 4. og 4.5) i Kompendium. c) Finn en ortogonal (ikke nødvendigvis ortonormal) basis P for V. Resultatet oppgis som et s-tuppel (s = dim V ) av radvektorer. P = (p, p,..., p s )
d) Finn en ortogonal (ikke nødvendigvis ortonormal) basis Q for V. Resultatet oppgis som et t-tuppel (t = 5 s) av kolonnevektorer. Q = (q, q,..., q t ) Hint til c) og d): bruk Gram-Schmidt process (se Ex...7 i boka) uten det siste steget (normalisering av vektorer). I formlene i boka står det u, v, u, v osv. Erstatt med u v, u v osv. Hint til c) og d): det er lurt å arbeide med heltallsvektorer. Hver gang du bruker Gram-Schmidt p i = g i g i p p g i p p... g i p i p i p p p p p i p i (tilsvarende for q i og h i ), multipliser p i (tilsvarende q i ) med et helt tall for å få en heltallsvektor. Se Seksjon nedenfor. e) Finn projeksjonen proj V (w) til vektoren w på underrommet V (orthogonal projection of w on V ). Resultatet oppgis som en radvektor. Hint: bruk Th...4(a) i boka. Erstatt u, v, u, v osv. med u v, u v osv. la f) For en vilkårlig kolonnevektor x = x x x x 4 R5, T (x) = proj V (x) være projeksjonen til vektoren x på underrommet V (orthogonal projection of x on V ). T er en lineær operator T : R 5 R 5, derfor beskrives den som en matriseoperator T (x) = Bx, der B er en 5 5 matrise. Du oppgir matrisen B i svaret. Hint: bruk Th...4(a) som i deloppgave e). Istedenfor en konkret vektor, får du et uttrykk for T (x) som inneholder x i. Beskriv uttrykket som Bx.
Hvordan å løse oppgaven? La og v = [, v = [, v = [, v 4 = [, w = [. Sett v i som rader i en 4 5 matrise A, og bruk Gauss-Jordan: G J. der a) Tuppelet G = (g, g, g ) g = [, g = [, g = [, danner en basis for V. Vi skriver ([,,,,,[,,-,,,[,,,,-) i feltet a. b) Siden V = Null (A), løser vi systemet Ax =. Det er frie variable, x = s og = t: x s t x x = x x 4 = s s t = s + t. t Tuppelet H = (h, h ) =, 4
danner en basis for V = Null (A). Vi skal skrive ([-;;;;,[-;;;;) i feltet b. Legg merke til semikoloner istedenfor kommaer. c) Bruker Gram-Schmidt:. p = g = [.. p p = [ [ T =, g p = [ [ T =, p = g g p p = p p = [ [ = = [ 5. For å unngå brøk, la oss multiplisere vektoren med : p = [ 5 = [ 5.. p p = [ 5 [ 5 T =, g p = [ [ T =, g p = [ [ 5 T =, p = g g p p p p g p p p p = = [ = [ 8 4 4. Multipliserer vektoren med : [ [ 5 = p = [ 8 4 4 = [ 8 4 4. Endelig: en ortogonal (ikke ortonormal) basis P for V er: P = ([, [ 5, [ 8 4 4 ). Vi skal skrive ([,,,,,[,,-5,,,[8,4,4,,-) i feltet c. 5
d) Enklere:. q = h =.. q q = T =, h q = T =, q = h h q q q q = = 4. Multipliserer vektoren med : q = 4 =. Endelig: en ortogonal (ikke ortonormal) basis Q for V er: Q =,. Vi skal skrive ([-;;;;,[-4;-;-;;) i feltet d.
e) Vi skal bruke Th...4(a). Noen dotprodukter er allerede beregnet: p p = [ [ T =, p p = [ 5 [ 5 T =, p p = [ 8 4 4 [ 8 4 4 T = 5, w p = [ [ T = 7, w p = [ [ 5 T = 5, w p = [ [ 8 4 4 T = 7. Endelig: proj V (w) = w p p + w p p + w p p = p p p p p p = 7 [ 5 [ 7 + 5 + = [ 7 54 og vi skal skrive [-/,/,-/,7/,-54/ i feltet e. f) Vi skal bruke Th...4(a) for en vilkårlig vektor x x x = x x 4 R5 : q q = q q = x q = x x x x 4 T T T, =, = 9, = x x + x, 5 [ 8 4 4 = 7
x q = x x x x 4 T = x x x + x 4 +. Endelig: proj V (x) = x q q + x q q = q q q q = x x + x + x x x + x 4 + 9 = x 5 x 5 x 8 x 4 4 5 x + 9 x + 9 x 4 x 4 5 x + 9 x + 9 x 4 x 4 8 x 4 x 4 x + x 4 + 4 x x x + x 4 + 5 5 8 4 5 9 9 4 5 9 9 4 8 4 4 4 x x x x 4 = = Bx, = og vi skal skrive [/,-5/,-5/,-8/,-4/;-5/,9/,9/,-4/,-/;-5/,9/,9/,- 4/,-/; -8/,-4/,-4/,/,/;-4/,-/,-/,/,/ i feltet f. 8
Formatering av svarene. Rasjonale tall Alle tall i svarene er enten hele eller rasjonale. Hele tall skal skrives på vanlig måte som,, - osv. Rasjonale tall skal skrives slik: -/ for, 45/7 for 45 7. Merknad. Tall på formen 7 eller 7 er ikke tillatt. Skriv -/ eller 45/7 i stedet.. Matriser og vektorer De settes i kvadratiske parenteser. Radene (rows) er separert med semikoloner ; mens elementene i radene er separert med kommaer, for eksempel matrisen 4 5 4 5 5 skal skrives som [,,-/,4;,-5/4,5,;/5,,/,, radvektoren (the row vector) [ 4 skal skrives som [,,-/,4, og kolonnevektoren (the column vector) skal skrives som [;;/5. Legg merke til semikoloner istedenfor kommaer! 5. Tupler Tuplene settes i runde parenteser. Leddene separeres med kommaer. For eksempel, hvis en basis G for R 5 består av kolonnevektorer 7 G = (g, g, g, g 4, g 5 ) = 4, 7 8 9,,, 8 9, 5 9
er G et 5-tuppel, og skal skrives ned som ([; ; ; 4; 5, [; 7; 8; 9;, [; ; ; ;, [; ; ; ;, [7; 8; 9; ; ) Merknad. Legg merke til at leddene i kolonnevektorene er separert med semikoloner, mens leddene i 5-tuppelet er separert med kommaer.